SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HOÀ BÌNH
TRƯỜNG THPT YÊN THUỶ C
Người thực hiện: Quách Thị Vân
SÁNG KIẾN
HƯỚNG DẪN HỌC SINH
“DỰNG ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG VÀ TÍNH KHOẢNG CÁCH
GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU”
Năm học 2012 - 2013
Mục lục
Nội dung Trang
Phần thứ nhất: Đặt vấn đề
Phần thứ hai: Nội dung
1. Cơ sở khoa học
2. Nội dung
2.1. Cách 1.(Áp dụng cho trường hợp a, b vuông góc với nhau)
2.2. Cách 2.(Áp dụng cho TH dễ dựng mp(α) vuông góc với a hoặc b)
2.3. Cách 3. (Áp dụng cho TH dễ dựng mp(α) chứa a và song song với b)
2.4. Một số chú ý.
3. Hiệu quả sáng kiến
Phần thứ ba: Kết luận chung và đề suất
Tài liệu tham khảo
PHẦN THỨ NHẤT: ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Cơ sở thực tế, lý do chọn sáng kiến
Toán học là một môn học quan trọng trong việc hình thành và phát triển khả
năng tư duy logic và thế giới quan khoa học của học sinh. Quá trình học tập bộ
môn, giúp cho học sinh khắc sâu những kiến thức cơ bản, hình thành được
những khả năng tư duy, sáng tạo, phân tích, tổng hợp, so sánh.
Từ thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy sau khi học sinh đã nắm được kiến thức,
kỹ năng của 1 bài hoặc 1 chủ đề thì việc củng cố, luyện tập kiến thức, nhất là
rèn luyện kỹ năng giải toán rất quan trọng.
Hình học không gian lớp 11 là một trong những mảng kiến thức khó không

- Giảng dạy thực tế để so sánh kết quả và rút kinh nghiệm.
2
PHẦN THỨ HAI: NỘI DUNG
1. CƠ SỞ KHOA HỌC
1.1. Đường thẳng Δ cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b
và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy gọi là
đường vuông góc chung của a và b.
1.2. Nếu đường vuông góc chung Δ cắt
hai đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt tại M, N
thì đoạn thẳng MN gọi là đoạn vuông góc chung
và độ dài đoạn vuông góc chung là khoảng cách
giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.
Ký hiệu: d(a,b) = MN
2. NỘI DUNG

3
a
b
Δ
M
N
H
2.1. Cách 1. (Áp dụng cho trường hợp a, b vuông góc với nhau)
2.1.1. Phương pháp
Bước 1: Dựng mặt phẳng (α) chứa a và vuông góc
với b tại O
Bước 2: Dựng OH vuông góc với b lại H.
Khi đó OH là đoạn vuông góc chung của a, b và d(a;b) = OH
2.1.2. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1. Cho tứ diện OABC, có OA, OB, OC đôi một vuông góc với

2
aa
a =−
Vậy, d(OA; BC) = OI =
2
3a
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh
a. Cạnh SA vuông góc với đáy và SA = h. Dựng đường vuông góc chung và tính
khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:
4
b
a
O
H
α
A
B
I
C
O
a. SA và BC
b. SC và BD
a. Phân tích.
Dễ dàng chứng minh được SA ⊥ BC. Khi đó mặt phẳng (α) cần dựng trong bước
1 đã có sẵn, chính là mp(ABCD). Tuy nhiên vẫn cần hướng dẫn để học sinh phát
hiện và chứng minh được nhận xét đó.
Lời giải.
Do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ BC.
Trong mặt phẳng (ABCD) có AB ⊥ BC.
Vậy AB là đoạn vuông góc chung của SA và BC;

OH
.=⇒=
Trong ∆SAC có SA = h, AC = a
2
nên SC =
22
2ah +
.
Từ đó OH =
22
2
.
2
2
ah
ha
+
Vậy d(BD;AC) =
22
2
.
2
2
ah
ha
+
5
S
C
B

Gọi H là hình chiếu của D lên (ACD’) thì
2222
DD'
1111
++=
DCDADH
=
2222
2
511
2
1
aaaa
=++
⇒ DH =
5
10a
b. Do CDD’C’ là hình vuông nên CD’ ⊥ DC’, mặt khác CD’ ⊥ AD nên CD’ ⊥
AC’. Mặt phẳng (ADC’) chứa AC’ và vuông góc với CD’ tại I ( I = CD’ ∩ DC’)
Trong mặt phẳng (ADC”) dựng IJ vuông góc với AC’ tại J thì IJ là đoạn vuông
góc chung của CD’ và AC’.
Tính IJ
Ta có ∆JIC’ đồng dạng với ∆DAC’ nên IJ =
22.2
2
2
'2
'.
'
'. a

2.2. CÁCH 2. (Áp dụng cho trường hợp dễ dựng mp(α) vuông góc với a hoặc b)
2.2.1. Phương pháp
Bước 1: Dựng mặt phẳng (α) vuông góc với a
tại O và cắt b tại I
Bước 2: Dựng b’ là hình chiếu của b lên (α)
(Lấy B bất kỳ trên đường thẳng b,
dựng BB’ vuông góc với (α) tại B’; b’ là đường thẳng qua I và B’)
Bước 3: Dựng OH vuông góc với b’ tại H;
dựng HN // a (N∈ b); dựng MN // OH (M ∈ a).
Khi đó MN là đoạn vuông góc chung của a, b và d(a;b) = MN = OH
2.2.2. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD cá đáy là hình vuông cạnh a, SA = h và
SA vuông góc với đáy. Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng sau:
a. SC và AB
b. AC và SD
a. Phân tích.
Trước hết chúng ta nhận thấy các cặp đường thẳng cần tính khoảng cách trong
bài toán này không vuông góc với nhau. Mặt khác, mp(SDC) vuông góc với
đường thẳng AB tại A và cắt SC tại S. Các dữ kiện bài toán thoả mãn các yêu
cầu của bài toán thứ 2. Trên cơ sở đó, ta dựng đoạn vuông góc chung theo
phương pháp của bài toán thứ hai.
Lời giải.
Ta có
)(
ADAB
SADAB
SAAB
⊥⇒


S
A
D
C
B
H
P
Q
Từ P, dựng PQ song song với AH cắt AB tại Q. Khi đó PQ chính là đường
vuông góc chung của SC và AB và d(SC,AB) = PQ = AH.
Tính AH.
Trong tam giác SAD ta có
22
22
22222
11111
ha
ha
ahADSAAH
+
=+=+=
Từ đó d(SC,AB) = AH =
22
ha
ah
+

b. Phân tích.
Từ phương pháp, ta thấy rằng nếu dựng được mặt phẳng (α) vuông với đường
thẳng thứ nhất và cắt đường thẳng thứ hai thì bài toán dựng đường vuông góc

D
I
J
O
Trong tam giác SAI có
3
3
22
a
SAAI
AISA
SI
AISA
AE =
+
==
Vậy d(SD, AC) =
3
3a
2.2.3. Bài tập dành cho học sinh.
10
2.3. CÁCH 3
2.3.1. Phương pháp
Bước 1: Dựng mặt phẳng (α) chứa a và song song với b
Bước 2: Dựng hình chiếu b’ của b lên (α). Gọi O = a ∩b’
(Lấy B bất kỳ trên đường thẳng b,
dựng BB’ vuông góc với (α) tại B’; Qua B’ dựng b’ song song với b)
Bước 3: Dựng OH vuông góc với (α) cắt b tại H.
Khi đó HO là đoạn vuông góc chung của a, b và d(a;b) = OH.
2.3.2. Ví dụ áp dụng

3
a.
11
S
A
H
M
D
B
N
C
K
P
H
b’
B
a
α
b
O
B’
Trong mặt phẳng (ABC) xác định điểm D sao cho AMND là hình chữ nhật. Khi
đó AB // (SND) , SN ∩ (SND) = S.
Do AMND là hình chữ nhật nên ND ⊥ AN, lại do ND ⊥ SA nên ND ⊥ (SAD),
từ đó suy ra (SAD) ⊥ (SND) và (SAD) ∩ (SND) = SN.
Trong tam gics SAD dựng đường cao AH, Qua H dựng HK song song với DN
cắt SN tại K. Từ K dựng KP song song với AH, P ∈ AB. Khi đó KP chính là
đoạn vuông góc chung của AB và SN và d(AB, SN) = KP = AH.
Tính AH.
Ta có MN =

thì AE ⊥ (SDC).
12
S
A
K
B
C
D
E
H
Qua E dựng đường thẳng song song với DC, cắt SC tại H, Q H dựng đường
thẳng song song với AE, cắt AB tại K. Khi đó HK là đường vuông góc chung
của AB và SC và d(AB, SC) = HK = AE.
Tính AE: trong tam giác SAD ta có
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
4 4 2AE SA AD a a a
= + = + =
⇒ AE = a
2
Vây d(AB, SC) = a
2
2.3.3. Bài tập dành cho học sinh.
13
2.4. Một số chú ý
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa
một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng mặt phẳng song song với nó
và chứa đường thẳng còn lại.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa
hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.

Khi đó d(B’C, AM) = d(B’C, (AMN)) = d(B,(AMN))
(do M là trung điểm của BC)
Tính khoảng cách từ B đến (AMN).
Xét tứ diện ABMN có các cạnh BA, BM, BN đôi một vuông góc, gọi H là hình
chiếu của B lên (AMN) thì ta có
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 4 2 7
BH BA BM BN a a a a
= + + = + + =
⇒ BH =
7
7
a
. Vậy d(B’C,AM) =
7
7
a
Ví dụ 2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng a. Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của Ab và CD. Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng A’C và MN.
Phân tích.
Học sinh phải dựng được một mặt phẳng chứa đường này và song
song với đường còn lại. Đẻ dựng mặt phẳng chứa A’C và song song với MN sẽ
khó khăn. Bên cạnh đó ta thấy MN // BC nên sẽ gợi ý cho việc chọn mp(A’BC)
chứa A’c và song song với MN. Từ đó ta tính khoảng cách từ MN đến (A’CB)
Lời giải.
Do MN // BC nên MN // (A’BC)
Từ đó d(MN, A’C) = d(MN, (A’BC)) = d(M, (A’BC))
Tính khoảng cách từ M đến (A’BC)
Gọi H là hình chiếu của M lên A’B.

C
M
N
H
Tính AH. Xét tam giác BAA’ đồng dạng với tam giác BHM,
ta có
2 2
.AA' . 2
AA' ' ' 4
2
MH BM MB a a a
MH
BA BA
a a
= ⇒ = = =
+
Vậy d(MN, A’C) =
2
4
a
Ví dụ 3. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’D theo a.
Phân tích.
Công việc dựng được đường vuông góc chung của A’B và B’D sẽ gặp rất nhiều
khó khăn. Từ đó hướng dẫn cho học sinh cách dựng hai mặt phẳng chứa A’B và
B’D, từ đó khoảng cách cần tính sẽ dựa vào những khoảng cách dễ tính hơn. Cụ
thể trong bài tập này, cần dựng mp(A’BP) và mp(B’NDM), trong đó M, N, P lần
lượt là trung điểm của BC, A’D’, AD.
Khi đó d(A’B, B’D) = d((A’BP),(B’NDM)) = d(D,(A’BP) = d(A,(A’BP))
Và bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều.

A
C’
D’
A’
B’
P
Nhận xét. Rõ ràng việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau thông
qua khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song hoặc giữa hai mặt
phẳng song song sẽ đơn giản hơn rất nhiều. Giáo viên cần hướng dẫn học sinh
cách tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng; tù điểm đến mặt phẳng; khoảng
cách giữa đường thẳng và mặt phẳng; giữa hai mặt phẳng thật tốt ở những phần
trước.
17
3. HIỆU QUẢ SÁNG KIẾN
Nội dung của sáng kiến được tôi sử dụng giảng dạy (trong 5 tiết tự chọn)
lần đầu cho 2 đối tượng học sinh, gồm 20hs của tổ 1 và tổ 2 lớp 11A1; 18 học
sinh của tổ 1 và tổ 2 lớp 11A3. Sau đó cho kiểm tra đánh giá trên 78 học sinh
của hai lớp. Giảng dạy lần 2 cho 21 học sinh của tổ 3 và tổ 4 lớp 11A1; 19 học
sinh tổ 3 và tổ 4 lớp 11A3. Sau đó kiểm tra đánh giá lại 40 học sinh của hai lớp
trên. Kết quả thu được như sau:
Lần 1.
KQ
Lớp 11A1
Yếu TB Khá Giỏi
20hs được HD 2 10 6 2
21 hs không được HD 8 10 2 0
KQ
Lớp 11A3
Kém Yếu TB Khá Giỏi
18hs được HD 3 4 10 1 0

4. Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào CĐ, ĐH năm 2012
20