ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2012 - 2013
(Giải bởi Lê Văn Hoan)
Câu 1. Phân tích đa thức thành nhân tử:
x
4
+ 2013x
2
+ 2012x + 2013 = x
4
+ 2013x
2
+ 2013x – x + 2013
= x
4
– x + 2013x
2
+ 2013x + 2013
= x(x
3
– 1) + 2013(x
2
+ x + 1)
= x(x – 1)(x
2
+ x + 1) + 2013(x
2
+ x + 1)
= (x
2
+ x + 1)(x
2

− − −
 ÷
 ÷
+ − + −
 
 
 
 
− − −
= −
 ÷
 ÷
+ − + −
 
 
 
 
− − − −
= −
 ÷
 ÷
+ − +
 
 
 
− − + − +

= +
 ÷
+ − +

5
+ 2
11
chia hết cho 17
b) 19
19
+ 69
19
chia hết cho 44
Giải:
a) Ta có: 8
5
+ 2
11
= (2
3
)
5
+ 2
11
= 2
15
+ 2
11
=2
11
(2
4
+ 1)=2
11

= 88(19
18
– 19
17
.69 + …+ 69
18
) chia hết cho 44 vì 88 chia hết cho 44.
Câu 4. Cho tam giác ABC ( AB > AC )
1) Kẻ đường cao BM; CN của tam giác. Chứng minh rằng:
a)
ABM∆
đồng dạng
ACN
∆
b) góc AMN bằng góc ABC
2) Trên cạnh AB lấy điểm K sao cho BK = AC. Gọi E là trung điểm của BC; F là
trung điểm của AK.
Chứng minh rằng: EF song song với tia phân giác Ax của góc BAC.
Giải:
1) a) chứng minh
∆
ABM đồng dạng
∆
CAN
b) Từ câu a suy ra:
AN
AM
AC
AB
=

·
CAH
nên
∆
CAH cân tại C
do đó : CH = CA => CH = BK và CH // BK
BK = CA
Vậy tứ giác KCHB là hình bình hành suy ra: E là trung điểm KH
Do F là trung điểm của AK nên EF là đường trung bình của tam giác KHA. Do đó EF // AH
hay EF // Ax ( ĐPCM)
Hoặc có cách khác:
Gọi giao của Ax vad BC là I, Trên EB lấy điểm L sao cho E là trung điểm của IL
Vì Ax là phân giác của góc A nên
AC IC
AB IB
=
mà AC = BK =>
BK IC
AB IB
=
<=>
2AB AF LB
AB IB
−
=
(Vì EC = EB mà EI = EL => IC = LB)

AF AFAB LB
AB AB AB IB
− − =

2
- 10y+ 5+ 4
= ( x- y- 6)
2
+ 5( y- 1)
2
+ 4
4≥

Giá trị nhỏ nhất A = 4
Khi: y- 1 = 0 => y = 1
x- y- 6 = 0 x = 7