Trn S Tựng WWW.MATHVN.COM
WWW.MATHVN.COM Trang 1

PHNG TRèNH LNG GIC
www.mathvn.com
TRONG THI I HC 2002-2010

Baứi 1. (H 2002A) Tỡm nghim thuc khong (0;
2
p
) ca phng trỡnh:

x x
x x
x
cos3 sin3
5 sin cos2 3
1 2sin2
ổ ử
+
+ = +
ỗ ữ
+
ố ứ

HD: iu kin:
x m
x n
12
7
12

5
3
p
p
ộ
=
ờ
ờ
ờ
=
ở
.
Baứi 2. (H 2002B) Gii phng trỡnh:
x x x x
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6
- = -
HD: PT


x x x
cos .sin 9 .sin 2 0
=



x x
sin 2 .sin 9 0
=




x
cos 0
=


x x x x
3 5 7
; ; ;
2 2 2 2
p p p p
= = = = .
Baứi 4. (H 2002Adb1) Cho phng trỡnh:
x x
a
x x
2sin cos 1
sin 2 cos 3
+ +
=
- +
(a l tham s).
1. Gii phng trỡnh khi a
1
3
=
.
2. Tỡm a phng trỡnh cú nghim.
HD: 1)

cos 0
cos 1
ỡ
ạ
ớ
ạ -
ợ
v
x
x
x
1
1 tan .tan
2 cos
+ = .
Baứi 6. (H 2002Bdb1) Gii phng trỡnh:
(
)
x x
x
x
2
4
4
2 sin 2 sin3
tan 1
cos
-
+ = .
HD: iu kin: cosx

p
- + = = + .
Baứi 8. (H 2002Ddb1) Gii phng trỡnh:
x
x
2
1
sin
8cos
= .
HD: iu kin:
x
x
cos 0
sin 0
ỡ
ạ
ớ
>
ợ

www.MATHVN.com Trn S Tựng
WWW.MATHVN.COM Trang 2

PT


x k x k x k x k
3 5 7
2 ; 2 ; 2 ; 2

p
ộ ự
ờ ỳ
ở ỷ


f t t t m
2
( ) 3 2 3
= - = +
cú nghim t
ẻ
[0;1]
Baứi 10. (H 2003A) Gii phng trỡnh:
x
x x x
x
2
cos2 1
cot 1 sin sin 2
1 tan 2
- = + -
+
.
HD: iu kin:
x x x
sin 0, cos 0, tan 1
ạ ạ ạ
.
PT

x x
2
2 cos 2 cos2 1 0
- - =



x k
3
p
p
= + .
Baứi 12. (H 2003D) Gii phng trỡnh:
x x
x
2 2 2
sin tan cos 0
2 4 2
p
ổ ử
- - =
ỗ ữ
ố ứ
.
HD: iu kin:
x
cos 0
ạ
.
PT

HD: iu kin: cosx
ạ
0.
PT

x x x
2
(1 cos )(2 cos 5cos 2) 0
+ - + =


x k x k
(2 1) , 2
3
p
p p
= + = +
Baứi 14. (H 2003Adb2) Gii phng trỡnh:
(
)
x x x x
3 tan tan 2sin 6cos 0
- + + =
.
HD: iu kin: cosx
ạ
0. PT


x x x x k

2 cos 1
p
ổ ử
- - -
ỗ ữ
ố ứ
=
-
.
HD: iu kin: x
1
cos
2
ạ
. PT

x x x k
3 cos sin 0 (2 1)
3
p
p
- + = = + +
Baứi 17. (H 2003Ddb1) Gii phng trỡnh:
(
)
x x
x
x x
2
cos cos 1

x x
x
2 cos4
cot tan
sin2
= + .
HD: Điều kiện: sin2x
¹
0. PT
Û

x x x k
2
2 cos 2 cos2 1 0
3
p
p
- - = Û = ± + .
Baøi 19. (ĐH 2004B) Giải phương trình:
x x x
2
5sin 2 3(1 sin )tan
- = - .
HD: Điều kiện:
x
cos 0
¹
. PT
Û
x x

HD: PT
Û

x x x
(2 cos 1)(sin cos ) 0
- + =

Û

x k
x k
2
3
4
p
p
p
p
é
= ± +
ê
ê
ê
= - +
ë
.
Baøi 21. (ĐH 2004A–db1) Giải phương trình:
(
)
x x x x

+ =
.
HD:
Baøi 26. (ĐH 2004D–db2) Giải phương trình:
x x x x
sin sin 2 3(cos cos2 )
+ = + .
HD:
Baøi 27. (ĐH 2005A) Giải phương trình: x x x
2 2
cos 3 .cos2 cos 0
- =
.
HD: PT
Û
x x
2
2 cos 4 cos4 3 0
+ - =

Û

x k
2
p
= .
Baøi 28. (ĐH 2005B) Giải phương trình:
x x x x
1 sin cos sin 2 cos2 0
+ + + + =

3
cos sin cos sin 3 0
4 4 2
p p
æ ö æ ö
+ + - - - =
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
.
HD: PT
Û
x x
2
sin 2 sin 2 2 0
+ - =

Û

x k
4
p
p
= + .
Baøi 30. (ĐH 2005A–db1) Tìm nghiệm trên khoảng (0;
p
) của phương trình:

x
x x
2 2

p p p
= = = .
Baøi 31. (ĐH 2005A–db2) Giải phương trình: x x x
3
2 2 cos 3cos sin 0
4
p
æ ö
- - - =
ç ÷
è ø
.
HD: PT
Û
x x x x x x x x
3 3 2 2
cos sin 3cos .sin 3cos .sin 3cos sin 0
+ + + - - =

Xét 2 trường hợp:
a) Nếu
x
cos 0
=
thì PT
Û

x
x x
3

tan 1
ì
¹
í
=
î

Û

x k
4
p
p
= + .
Vậy: PT có nghiệm:
x k
2
p
p
= + hoặc
x k
4
p
p
= + .
Baøi 32. (ĐH 2005B–db1) Giải phương trình :
(
)
x x x x x
2 2 3

ê
ê
= +
ë
.
Baøi 33. (ĐH 2005B–db2) Giải phương trình :
x
x x
x
2
2
cos2 1
tan 3tan
2
cos
p
æ ö
-
+ - =
ç ÷
è ø

HD: Điều kiện:
x
cos 0
¹
. PT
Û
x
3


x
2sin 1
=

Û

x k
x k
2
6
5
2
6
p
p
p
p
é
= +
ê
ê
ê
= +
ë
.
Baøi 35. (ĐH 2005D–db2) Giải phương trình:
x x x x
sin 2 cos2 3sin cos 2 0
+ + - - =


Û

x k
x k
x k
x k
2
6
5
2
6
2
2
2
p
p
p
p
p
p
p p
é
= +
ê
ê
ê
= +
ê
ê

Û

x k
4
p
p
= + .
Đối chiếu điều kiện, kết luận PT có nghiệm:
x m
5
2
4
p
p
= + .
Baøi 37. (ĐH 2006B) Giải phương trình:
x
x x x
cot sin 1 tan .tan 4
2
æ ö
+ + =
ç ÷
è ø
.
Trần Sĩ Tùng WWW.MATHVN.COM
WWW.MATHVN.COM Trang 5

HD: Điều kiện:
x

p
p
p
é
= +
ê
ê
ê
= +
ë
.
Baøi 38. (ĐH 2006D) Giải phương trình:
x x x
cos3 cos2 cos 1 0
+ - - =
.
HD: PT
Û
x x
2
sin (2 cos 1) 0
+ =

Û

x k
x k
2
2
3

Baøi 40. (ĐH 2006A–db2) Giải phương trình: x x
2sin 2 4sin 1 0
6
p
æ ö
- + + =
ç ÷
è ø
.
HD: PT
Û

(
)
x x x
sin 3 cos sin 2 0
+ + =

Û

x k
x k
7
2
6
p
p
p
é
=


x k
6 2
p p
= ± + .
Baøi 42. (ĐH 2006B–db2) Giải phương trình:
x x x x
cos2 (1 2cos )(sin cos ) 0
+ + - =
.
HD: PT
Û

x x x x
(sin cos )(cos sin 1) 0
- - + =

Û

x k
x k
x k
4
2
2
2
p
p
p
p

4
2
2
2
p
p
p
p
p
é
= - +
ê
ê
=
ê
ê
= - +
ê
ë
.
Baøi 44. (ĐH 2006D–db2) Giải phương trình: x x x x
3 2
4sin 4sin 3sin 2 6 cos 0
+ + + =
.
HD: PT
Û
x x x
2
(sin 1)( 2 cos 3cos 2) 0

1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2
+ + + = +
HD: PT
Û

x x x x
(sin cos )(1 sin )(1 cos ) 0
+ - - =

Û

x k
x k
x k
4
2
2
2
p
p
p
p
p
é
= - +
ê
ê
ê
= +
ê

18 3
p p
p p
p p
é
= +
ê
ê
ê
= +
ê
ê
= +
ê
ë
.
Baøi 47. (ĐH 2007D) Giải phương trình:
x x
x
2
sin cos 3 cos 2
2 2
æ ö
+ + =
ç ÷
è ø
.
HD: PT
Û
x x

ê
= - +
ë

Baøi 48. (ĐH 2007A–db1) Giải phương trình:
x x x
x x
1 1
sin2 sin 2 cot 2
2sin sin 2
+ - - = .
HD: Điều kiện
x
sin 2 0
¹
. PT
Û

(
)
x x x
2
cos2 2 cos cos 1 0
+ + =

Û

x k
4 2
p p

sin cos 2 cos
2 4 2 4 2
x x x
æ ö æ ö
- - - =
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
p p

HD: PT
Û

x
x
3
cos 2 cos 2 0
2 4
p
æ ö
æ ö
+ + =
ç ÷
ç ÷
è ø
è ø

Û

x k
x k

x
sin 2 0
¹
. PT
Û

x x
cos cos2
= -

Û

x k
2
3
p
p
= ± + .
Baøi 52. (ĐH 2007D–db1) Giải phương trình: x x
2 2 sin cos 1
12
p
æ ö
- =
ç ÷
è ø

HD: PT
Û
x

+ - =

Û

x k
x k
4
p
p
p
é
= - +
ê
ê
=
ë
.
Baøi 54. (ĐH 2008A) Giải phương trình:
x
x
x
1 1 7
4sin
sin 4
3
sin
2
p
p
æ ö

ç ÷
è ø

Û

x k
x k
x k
4
8
5
8
p
p
p
p
p
p
é
= - +
ê
ê
ê
= - +
ê
ê
= +
ê
ë


+ - =

Û

x k x k
2
2 ;
3 4
p p
p p
= ± + = + .
Baøi 57. (ĐH 2008A–db1) Tìm nghiệm trên khoảng (0;
p
) của phương trình:

x
x x
2 2
3
4sin 3 cos2 1 2 cos
2 4
p
æ ö
- = + -
ç ÷
è ø
.
HD: PT
Û


Î
nên chỉ chọn x x x
5 17 5
; ;
18 18 6
p p p
= = = .
Baøi 58. (ĐH 2008A–db2) Giải phương trình: x x x
3
2 2 cos 3cos sin 0
4
p
æ ö
- - - =
ç ÷
è ø
.
HD: PT
Û
x x x x x x x x
3 3 2 2
cos sin 3cos .sin 3cos .sin 3cos sin 0
+ + + - - =

Xét 2 trường hợp:
a) Nếu
x
cos 0
=
thì PT

Û

x
x
cos 0
tan 1
ì
¹
í
=
î

Û

x k
4
p
p
= + .
Vậy: PT có nghiệm:
x k
2
p
p
= + hoặc
x k
4
p
p
= + .

= + = + .
Baøi 60. (ĐH 2008B–db2) Giải phương trình:
x
x x
x
2
2
cos2 1
tan 3tan
2
cos
p
æ ö
-
+ - =
ç ÷
è ø
.
HD: Điều kiện:
x
cos 0
¹
. PT
Û
x
3
tan 1
= -

Û

x x
(cos 1)(2sin 1) 0
+ - =

Û

x k
x k
2
6
5
2
6
p
p
p
p
é
= +
ê
ê
ê
= +
ë
.
Baøi 62. (ĐH 2008D–db2) Giải phương trình:
sin 2 cos2 3sin cos 2 0
x x x x
+ + - - =



Û

x k x k x k x k
5
2 ; 2 ; 2 ; 2
6 6 2
p p p
p p p p p
= + = + = + = + .
Baøi 63. (ĐH 2009A) Giải phương trình:
x x
x x
(1 2sin )cos
3
(1 2sin )(1 sin )
-
=
+ -
.
HD: Điều kiện: x x
1
sin 1, sin
2
¹ ¹ -
.
PT
Û

x x x x

Û

x x
cos 3 cos 4
6
p
æ ö
- =
ç ÷
è ø

Û

x k
x k
2
6
2
42 7
p
p
p p
é
= - +
ê
ê
ê
= +
ë
.

p p
é
= +
ê
ê
ê
= - +
ë
.
Baøi 66. (ĐH 2010A) Giải phương trình:
x x x
x
x
(1 sin cos2 )sin
1
4
cos
1 tan
2
p
æ ö
+ + +
ç ÷
è ø
=
+

HD: Điều kiện:
x x
cos 0;1 tan 0

Û

x k
4 2
p p
= + .
Baøi 68. (ĐH 2010D) Giải phương trình:
x x x x
sin 2 cos2 3sin cos 1 0
- + - - =
.
HD: PT
Û

x x x
(2sin 1)(cos sin 2) 0
- + + =

Û

x k x k
5
2 ; 2
6 6
p p
p p
= + = + .