Tổng hợp các bài toán đại số ôn thi HSG Quốc Gia
Người soạn : Vũ Minh Hoàng 11A-THPT Yên Mô A - Ninh Bình
Bài 1. Cho trước số nguyên tố p và số nguyên dương a với 1 < a ≤ p-1. Giả sử
A = a .
Chứng minh rằng với mọi ước nguyên tố q của A ta đều có q-1 chia hết cho p.
Bài 2. Tìm số tự nhiên n lớn nhất sao cho số 1995 bằng tổng của n số a, a, a , a
trong đó các số a (i=1,2, ,n) đều là hợp số.
Bài 3. Cho a,b,c là ba số hữu tỉ thoả mãn:
abc=1 và + + = + +
Chứng minh rằng ít nhất một trong 3 số a,b,c là bình phương của 1 số hữu tỉ.
Bài 4. Cho dãy số (b), (n=1,2, ) được xác định bởi: b=0; b=14; b=-18 và
b = 7b - 6b với mọi n ≥ 3.
Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p ta đều có b chia hết cho p.
Bài 5. Giải phương trình nghiệm nguyên
4y = 2 +
2
199 2x x− −

Bài 6. Tìm tất cả các số tự nhiên a để phương trình
x - ax+a+1=0
có nghiệm nguyên.
Bài 7. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n (n ≥ 2) ta đều có
C.C chia hết cho 4.

Bài 8. Tìm các số tự nhiên m,n để A = 3 +4 là số nguyên tố.
Bài 9. Tìm các nghiệm nguyên (x ; n) của phương trình
x +
1 1
2 4
x x+ + +
= n.

Bài 20. Chứng minh bất đẳng thức sau với a, b, c là các số dương
+ + ≥
Bài 21. Chứng minh bất đẳng thức
+ + ≤
Bài 22. Giải hệ phương trình

Bài 23. Chứng minh bất đẳng thức sau với n ≥ 5:
1,71 < 1 + + + + < 1,72.
Bài 24. Tìm tất cả các đa thức P với các hệ số thực và thoả mãn:
P = 0, P = P + 1, với mọi x ∈ R
Bài 25. Cho hàm số ϕ : R → R, đặt A = {x ∈ R, ϕ = x}; A = {x ∈ R, ϕ(ϕ) = x}
Giả sử A\A là một tập hợp hữu hạn và tồn tại hàm số f: R → R thoả mãn
f(f) = ϕ ∀ x ∈ R.
Chứng minh rằng số phần tử của A\A là một số nguyên chia hết cho 4.
Bài 26. Cho a, b, c, d, e, f là 6 số thực thoả mãn
ab + bc + cd + de + ef = 1.
Chứng minh rằng a + b + c + d + e + f ≥
Bài 27. Hãy tìm các giá trị x, y, z, t để biểu thức
A = (x-y) + (y-z) + (z-t) + (t-x)
Đạt giá trị nhỏ nhất, trong đó 4 số x, y, z, t là các số 1930, 1945, 1975, 1995.
Bài 28. Cho dãy (a), (n=0, 1, 2, ) được xác định như sau
a = , a = a(4a - 10a +5) ∀ n=0, 1, 2,
Tìm số hạng tổng quát a
Vũ Minh Hoàng - 11A - THPT Yên Mô A - Ninh Bình
Bài 29. Tìm nghiệm dương của hệ phương trình

Bài 30. Giải phương trình
729x + 8 = 36

Bài 31. Giả sử a, b, c là ba số dương, n ∈ N, n ≥ 2. Chứng minh rằng

1, a ≤ a ≤ ≤ a
2, b ≥ 0, (i = 1, 2, , n).
Đặt m={a - a; a}, M = {b}.
Chứng minh rằng
M(ab + ab + + ab) ≥ (b + b + + b).
Bài 42. Cho dãy số thực (x), (n = 1, 2, ) được xác định như sau :
x = 2; x = với mọi n ≥ 1.
Chứng minh rằng < x < 2 với mọi n ≥ 1
Bài 43. Hãy xác định tất cả các bộ ba số thực (a, b, c) sao cho hàm số
f(x) = ax + bx + cx + 1 có tính chất |f(x)| ≤ 1 với mọi x ∈ [-1; 1]
Bài 44. Cho 0 ≤ a, b, c, d ≤ 1. Chứng minh rằng
+ + + ≤ 1 +
Vũ Minh Hoàng - 11A - THPT Yên Mô A - Ninh Bình
Bài 45. Biết rằng đa thức f(x) = x + ax + ax + + ax + a
có 2000 nghiệm thực khác nhau và a = 1995, a = 1997.
Chứng minh rằng |a| > 1996.
Bài 46. Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng :
+ + + <
Bài 47. Cho ba số thực không âm x, y, z thoả mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức
F = x + y + z
Bài 48. Cho x, x, , x là n số thực thuộc đoạn [0; 1]. Chứng minh rằng
x(1 - x) + x(1 - x) + + x(1 - x) + x(1 - x) ≤
Bài 49. Dãy số (a), (n = 1, 2, ) được xác định như sau
a = 1, a = a + với mọi n ≥ 1.
Tìm tất cả các số thực α sao cho dãy số (u), (n = 1, 2, ) xác định bởi u = (n ≥ 1)
là hội tụ và giới hạn của nó khác 0.
Bài 50. Cho các dãy (a) và (b), n ∈ N được xác định như sau
a = 1 + + + .
b = với mọi n ∈ N.

b, a = .
Vũ Minh Hoàng - 11A - THPT Yên Mô A - Ninh Bình
Bài 58. Cho dãy (a), (n = 1, 2, ) thoả mãn
a = a; a = với mọi n ∈ N.
Chứng minh rằng nếu |a| ≥ 2 thì dãy (a) hội tụ và tính giới hạn của dãy khi n → +∞.
Bài 59. Cho dãy số (b), (n = 1, 2, ) được xác định bởi:
b = , b = với mọi n ≥ 1.
Chứng minh rằng dãy (b) là dãy hội tụ và hãy tìm giới hạn của dãy khi n→ +∞.
Vũ Minh Hoàng - 11A - THPT Yên Mô A - Ninh Bình