Phần I: các dạng phơng trình cơ bản.
Bài 1. Giải các phơng trình bậc nhất sau:
1/
6
2
3
1
2
32 +
=


xxx
2/ 2(x-1) - 3 = 5x + 4
3/ 5(x-2) + 3 = 1 2(x-1)
4/
5. 45 0x =
5/
3 1 2 6
1
24 36
x x
+
=
6/
1 2 3 20
5
4 6 3
x x x +
= +
Bài 2. Giải các phơng trình bậc hai khuyết b,c

2
- 64 = 0
8/ 4x
2
+ 25 = 0
9/ 9x
2
+ 16 = 0
10/ 36 x
2
7 = 0
11/ 25x
2
- 1 = 0
12/ - 4+
2
16
x
= 0
Bài 3. Giải các phơng trình sau:
1. (x- 1)( x - 2) = 10 - x
2. x
2
+ 2( 1 +
3
) x + 2
3
= 0
3. (2x + 1) ( x+4) = (x-1) (x- 4)
4.a) x



+
x
x
x
x
3/
4
1
4
1
3
1
=
+
+
xx
4/
1 1 1
6 4x x
+ =
+
5/
1 5
1
2 2
x
x x




+

x
xx
x
x
x
x
9/
xxx
x
x


+
=
+

+

3
1
3
7
3
4
9
14

2/ x
4
- 15x
2
- 16 = 0
3/ 3x
4
+ 2x
3
- 40x
2
+ 2x + 3 = 0
4/
3
1
5
)1(
2
2
2
=
+

+
x
x
x
x
5/ x (x+1) (x +2 ) (x + 3 ) = 3
6/ ( 12x - 1 )(6x - 1)( 4x - 1)(3x-1) =330

4/ x-
031 =x
5/
2322 = xx
6/
262 =+ xx
7/ 3x
2
- 14|x| - 5 = 0
8/ | x
2

- 3x + 2| = x - 2
9/ | x
2
- 3x - 4 | = |2x
2
- x - 1|
10/ x
2
-
x
- 6 = 0
Bài 7. Giải các hệ phơng trình sau:
1.
2
2
5 6 0
3 4 0
x x

=


6.
2
20 0
4 6 0
x x
x

=

>

3.
2
2
5 4 1 0
2 0
x x
x x

+ =






7.

Phần II: Rút gọn biểu thức.
Dạng 1: Tìm điều kiện để các biểu thức xác định
Dạng 2: Rút gọn biểu thức.
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức tại một giá trị của biến
Dạng 4: - Tính giá trị của biến khi biết giá trị của biểu thức.
- Tìm x để giá trị của biểu thức thoả mãn một điều kiện nào đó.
Dạng 5: Tìm x để biểu thức đạt GTLN; GTNN
Dạng 6: Tìm x để biểu thức đạt giá trị nguyên
Dạng 7: CM biểu thức thoã mãn 1 điều kiện với mọi x
Kiến thức bổ trợ:
1. Phép tính trên căn thức và 4 phép biến đổi.
2. Các PP phân tích đa thức thành nhân tử ( Nhân tử chung, HĐT, Nhóm, tách )
3. PP quy đồng mẫu thức các phân thức
4. Phép tính trên căn thức.
5. Các hằng đẳng thức đáng nhớ.
Bài 1: Cho biểu thức:
A =








+

+++ 1
1
1









+

+

1
1
1
1
x
x
x
x
:
2
1
2
2
x
x


ữ

1
4. Tính A tại x = 3- 2
2
Bài 4: Cho biểu thức:
A =
x
x
x
x
xx
x

+


+

+

3
12
2
3
65
92
1. Rút gọn. 2. Tìm số nguyên x để biểu thức A đạt giá trị nguyên.
Bài 5: Cho biểu thức:
M =
1212
1

Bài 6: Cho biểu thức: A =
x
xx
xx
xx +
+
+
+ 2
1
1
2
a) Rút gọn A. b) Tìm x để A = 6 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Bài 7: Cho biểu thức:
P =
x
x
xx
xx
xx
xx 111 +
+
+
+



, với x 1, x > 0
Bài 8: Cho biểu thức: A =



xx
( 0 x 1)
1. Rút gọn A 2. Tính
A
khi x = 4 + 2
3
Bài 9: Cho biểu thức:
1. Rút gọn P 2. Tìm x để P =
2
9
A =
xxxx
x
xx ++
+

1
:
1
2
1. Tìm x để A có nghĩa. 2. Rút gọn A
Bài 10: Cho biểu thức: K =
x
xx
x
x
xx
x
3
13

3. Tìm x để K < 0. 4. Tìm x để K có giá trị nguyên.
Bài 11: Cho biểu thức: A =
x
x
xx
x
xx
x
x
x

+
+









+



66
62
:
6

( ) ( )
2 2 4 6 9
:
4
2 2
2 3
x x x x x
x
x x
x x

+ +

ữ
ữ

+ , với x

0 và x 4, x 9
1. Rút gọn. 2. Tính giá trị của A biết |x| =
9
1
3. Tìm x để A 1 4. Tìm x

N / x > 4 để A là 1 số nguyên.
Bài 14: Cho biểu thức:A =
6 1

1
1
1 x
xx
x
xx
, ( x > 0; x 1 )
1. Rút gọn biểu thức Y 2.Coi y là hàm số và x là biến số hãy vẽ đồ thị của hàm số y.
Bài 16: Cho biểu thức: A =
xy
xyyx +
:
yx
yx


, với x > 0, y > 0, x y.
1.Rút gọn biểu thức A 2.Tính giá trị của biểu thức A khi x =
625
, y =
625 +
Bài 17: Cho biểu thức: A =
4
3
1
x
x

+
ữ


0, a

4 )
1. Rút gọn biểu thức A 2. Tính giá trị của A khi a = 9.
Bài 19: Cho biểu thức: A =









+









+
+

2
1


0; x

1
1. Rút gọn biểu thức A 2. Tính giá trị của A khi a = 3 - 2
2
.
Bài 21: Rút gọn các biểu thức sau:
A =
1 1 2
2 2 2 2 1
x x
x x x +
( x

0; x

1 )

1 1 1 2
:
1
1 1 1 1
x x x
B
x
x x x x

x y x y
x
x y
x y x xy y+
+

ữ
ữ

+ +
E =
( )
1 1
1
1
x x x
x x
x
x

+

ữ
ữ

2 2
a a
a
a a

+

ì
ữ
ữ
ữ
+ với a > 0 và
4a

.
H =
1 1 1 1
:
1
1 1
a
a a a

+
ữ ữ

+

2
1
(:)
1
1
11
2

+
++
+

+ x
xxx
x
xx
x

L= (
x
1
-
1
1
x
) : (
)
2
1
1

Chú ý: - Tất cả các biểu thức trên coi nh đã xác định
Phần III: hệ phơng trình hai ẩn và Hàm số y = ax + b
1. Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b
2. Tìm điều kiện của tham số để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất
3. Tìm điều kiện của tham số để hàm số đã cho là hàm số đồng biến hay nghịch biến.
4. Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số tạo với trục Ox một góc nhọn, góc tù.
5. Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số đi qua một điểm A ( x
0
; y
0
) cho trớc.
6. Tìm điều kiện của tham số để 2 đồ thị hàm số: cắt nhau, cắt nhau tại một điểm nằm trên
trục tung, hoành; song song; trùng nhau; vuông góc;
H
à
m

s
ố

y

=

a
x

+

b

1
; y
1
) và song song với đờng thẳng cho trớc.
Hàm số y = ax + b
Bài 1: Với giá trị nào của m thì các hàm số sau là hàm số bậc nhất:
a) y =( 2m + 1 )x - 3m + 2 b) y =
m5
( x - 1 ) c) y =
1
1

+
m
m
x +
2
7
d) y = 4mx + 3x - 2 e) y = ( m
2
- 4m )x
2
+ ( m- 4 )x + 3
Bài 2. Chứng minh các hàm số sau:
a) y = (6 + 2
2
)x - 9x + 3 nghịch biến

x


1. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm A(2;1) và B(-1;5 )
2. Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị trên với hai trục toạ độ.
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai trục toạ độ và đờng thẳng trên.
Bài 7.
1. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm A(2;5) và vuông góc với đờng thẳng y = 3x - 2
2. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm A(4;1) và song song với đờng thẳng y = 2x + 3
Bài 8.ứ
n
g
s

d
ụ
n
g

c
ủ
a

h
ệ
Cho hàm số y = ( m-1)x + m + 3
1. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số song song với đồ thị y= -3x +1
2. Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm ( 2; -3 )
3. CMR đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định


; -5
2
)
2. Tìm m để đồ thị của hàm số (d) cắt đồ thị hàm số y = 3x+2 trong góc phần t thứ IV.
Bài 13
Cho hàm số y = x + 2m - 1 (d). Tìm m để đồ thị của hàm số (d) cắt đờng thẳng
y = 2x + 1 trong góc phần t thứ II.
Bài 14.
Tìm m để đồ thị hàm số y = (m-3)x+2m +1 và y = 4x - m +2 cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
Bài 15.
Cho đt y = (1- 4m )x + m- 2
1. Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua gốc toạ độ.
2. Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ tới đồ thị hàm số bằng 1
3. Tìm m để đồ thị của hàm số song song với đt y = -x - 1
Bài 16.
Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đờng thẳng y = (2m+1)x - 4m 1 và điểm A( -2; 3 ). Tìm m
để khoảng cách từ A đến đờng thẳng trên là lớn nhất.
Bài 17.
Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A(2; 3) và điểm B (1; -4) và điểm C nằm trên trục Ox. Tìm
toạ độ điểm C để tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất.
Hệ phơng trình
Bài 1. Giải các hệ phơng trình sau:
1.
3
3 4 2
x y
x y
=





+ =

6.
x +y- 10 = 0
x 2
- = 0
y 3





7.
x
3
2 3
5x- 8y = 3
y

=




8.
1 1
1
3 4



10.
x 2 - y 3= 1
x + y 3 = 3





11.
2(x-2) + 3(1+y) = -2
3(x-2) - 2(1+y) = -3



12.
5( x + 2y) = 3x - 1
2x + 4 = 3(x-5y) - 12



13.
2 2
4x - 5 (2y - 1) = (2x - 3)
3(7x + 2) = 5 ( 2y -1) - 3x



14.





17.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 3 1 3
3 1 1 3
x y x y
x y x y
+ = +


+ = + +


Bài 2. Tìm giá trị của a và b:
a. Để hệ phơng trình
3ax - (b +1)y = 93
bx + 4ay = -3



có nghiệm (x,y)=(1;5)
b. Để hệ phơng trình
(a-2)x + 5by = 25
2ax - (b - 2)y = 5



1 2 2( )
3 4 5
3 3
2
4 3
x y x y
x y
y x
+ +

=





=


cũng là nghiệm
của pt: 3mx- 5y = 2m + 1.
Bài 7. Cho hệ phơng trình:
mx - y = 1
x + my = 2



1. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất . Giải hệ phơng trình theo tham số m.
2. Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x;y).Tìm các giá trị của m để x- y = -1
3. Tìm m để hệ có nghiệm dơng.

52
nhận giá trị nguyên.
Bài 10.
a. Giải hệ phơng trình
3x - 4y = -5
4x + y = 6



b. Tìm các giá trị của m để các đờng thẳng sau cắt nhau tại một điểm:
y = 6 - 4x ; y =
4
53 +x
và y = (m-1)x + 2m
Bài 11. Tìm m để hệ
mx - y = 2
3x + my = 5



có nghiệm (x;y) sao cho
x > 0
y < 0




Bài 12 .Tìm giá trị nguyên của m để hệ
mx - 2y = 3
3x + my = 4

x + y = a + 2



a. Giải hệ phơng trình khi a = -1
b. Gọi nghiệm duy nhất của hệ pt là (x; y). Tìm các giá trị của a để 3x - 2y = 2
Bài 15 . Cho hệ phơng trình
2x + y = 1
x + ay = 3




Bài 16. Cho hệ phơng trình
x - my = 2m
mx - 4y = m + 6



Gọi cặp (x;y ) là nghiệm duy nhất của hệ phơng trình.
Tìm các giá trị của m để 3(3x + y - 7 ) = m
Bài 17. Cho hệ phơng trình
2 2
2 3 4
x y m
x y m
=


+ = +

2
+ 2x - 2m+5 = 0
Bài 2. 1.Với giá trị nào của m thì các PT sau có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép ấy
a) x
2
- (m + 2)x +m
2
- 4 = 0.
b) (m + 3)x
2
- mx + m = 0.
2.Tìm m để phơng trình ( m
2
-9) x
2
+ 2(m + 3)x +2 = 0 vô nghiệm
3. Tìm k để PT kx
2
+ 2(k - 1)x + k + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Bài 2. Cho PT x
2
+2(m-1) - 2m-3 = 0 (1)
1. Giải PT với m = 1
2. CMR PT (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
3. Gọi x
1
, x
2
là 2 nghiệm của PT (1) . Tìm m để
0

1
|-|x
2
| =
14
Bài 5. Cho pt : x
2
- ( 2m - 1 ) + m
2
- m- 1 = 0 (1)
1. CMR phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
2. Giải phơng trình với m =
2
1
3. Gọi x
1
, x
2
là 2 nghiệm của pt (1)
a. Tìm hệ thức lên hệ giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m
b. Tìm m sao cho ( 2x
1
- x
2
) ( 2x
2

1
, x
2
là 2 nghiệm của phơng trình.
a. Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1,
x
2
độc lập với m.
b. Tìm GTNN của hệ thức A= x
1
2
+ x
2
2
4. Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu.
Bài 8. Cho PT : x
2
- 4x + m + 1 = 0
1. Giải phơng trình với m = -1
2. Tìm m để phơng trình có nghiệm.
3. Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu, khi đó 2 nghiệm này mang dấu gì ?
4. Tìm m sao cho PT có 2 nghiệm thoả mãn hệ thức x
1
2
+ x
2
2
= 10
Bài 9. x

1
(1- 2x
2
) + x
2
(1- 2x
1
) = m
2
Bài 11. Tìm m để PT: x
2
- (m +3)x + 2(m+2)= 0 (1)
có 2 nghiệm x
1
,x
2
thoả mãn x
1
= 2x
2
Bài 12. Cho PT: x
2
- 2(m + 1)x + 2m - 15 = 0
1. Giải pt khi m =-1
2. Gọi 2 nghiệm của phơng trình là x
1
và x
2
.Tìm các giá trị của m thoả mãn x
2

|+|x
2
| = 5
Bài 14. Cho Parabol y = -
2
1
x
2
và điểm N(1;-2).
1. CMR phơng trình đờng thẳng đi qua M có hệ số góc là k luôn cắt Parabol tại 2 điểm phân
biệt A,B với mọi giá trị của k.
2. Gọi x
A
, x
B
lần lợt là hoành độ của A và B. Tìm k để
x
2
A
+ x
2
B
- 2x
A
x
B
(x
A
+ x
B

); f(
2
1
); f(-1)
2. Tìm x để h/s lần lợt nhận các giá trị 0; -8; -18; 32
3. Các điểm A(3;-18), B(
3
;-6); C(-2;8) có thuộc đồ thị (P) không ?
Bài 16. Cho h/s y=
2
1
x
2
1. Gọi A,B là hai điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ là 1 và -2. Viết phơng trình đờng thẳng
đi qua A và B.
2. Đờng thẳng y = x + m - 2 cắt đồ thị trên tại 2 điểm phân biệt gọi x
1
và x
2
là hoành độ giao
điểm ấy. Tìm m để x
1
2
+ x
2
2
+ 20 = x
1
2
x

2
2. x
3
1
+ x
3
2
3. x
4
1
+ x
4
2
4. x
2
1
x
2
+ x
2
2
x
1
5.
21
11
xx
+
6.
1

2
1
2
2
1
2121
2
2
2
1
+
+++
xxxx
xxxxxx
9. x
1
-x
2
10. x
1
2
- x
2
2
11. |x
1
|-|x
2
|
12.

(x
2
- 1) 18.
1 2
2 1
2 x -1 2 x -1
x x
+
* Luyện với các pt 2x
2
- 7x + 1 = 0
3x
2
- 4x + 1= 0
Bài 20. Gọi x
1
, x
2
là 2 nghiệm của pt 3x
2
+ 7x + 4 = 0 (1)
Không giải pt hãy lập một pt bậc 2 nhận.
1.
1
1
1
x
x
và
2

Dạng 1: Toán chuyển động.
Bài 1. Một ôtô và xe máy xuất phát cùng một lúc, đi từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 180
km . Vận tốc của ôtô lớn hơn vận tốc của xe máy là 10 km/h , nên ôtô đã đến B trớc xe máy 36
phút. Tính vận tốc của mỗi xe
Bài 2 . Hai ngời đi xe máy khởi hành cùng một lúc từ A đến B dài 75 km . Ngời thứ nhất mỗi giờ
đi nhanh hơn ngời thứ hai 5 km/h nên đến B sớm hơn ngời thứ hai 10 phút. Tính vận tốc của mỗi
ngời.
Bài 3. Khoảng cách giữa 2 thành phố A và B là 180 km. một ô tô đi từ A đến B, nghỉ 90 phút ở B
rồi lại từ B về A. Thời gian từ lúc đi dến lúc trở về A là 10 giờ. Biết vận tốc lúc về kém vận tốc lúc
đi là 5 km/h. Tính vận tốc lúc đi của ô tô.
Bài 4. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc trên quãng đờng từ A đến B dài 120 km. Mỗi giờ ô tô thứ
nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10 km nên đến b trớc ô tô thứ hai là 2/5 giờ. Tính vận tốc của
mỗi xe.
Bài 5. Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 108 km. Cùng lúc đó một ô tô khởi hành từ B đến
A với vận tốc hơn xe đạp 18 km/h. Sau khi 2 xe gặp nhau, xe đạp phải đi mất 4 giờ nữa mới tới B.
Tính vận tốc mỗi xe?
Bài 6 Một ô tô đi trên quãng đờng dài 520 km. Khi đi đợc 240 km thì ô tô tăng vận tốc thêm 10
km/hvà đi hết quãng đờng còn lại. Tính vận tốc ban đầu của ô tô, biết thời gian đi hết quãng đờng
là 8 giờ.
Bài 7 Một ngời dự định đi từ A đến B cách nhau 36 km trong một thời gian nhất định. Đi đợc nửa
đờng, ngời đó nghỉ 18 phút nên để đến B đúng hẹn phải tăng vận tốc 2 km/h. Tính vận tốc ban đầu.
Bài 8 Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A. Sau đó 5 giờ 20 phút, một ca nô cũng khởi hành
từ A đuổi theo và gặp thuyền cách bến A 20 km. Tim Vận tốc của thuyền, biết vận tốc ca nô nhanh
hơn thuyền là 12 km/h.
Bài 9 Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Khi còn cách trung điểm quãng đờng
60 km thì xe tăng vận tốc thêm 10 km/h nên đã đến B sớm hơn dự định là 1 giờ. Tính quãng đờng
AB.
Bài 10. Một canô xuôi dòng 30 km rồi ngợc dòng 36 km. Vận tốc canô xuôi dòng lớn hơn vận tốc
canô ngợc dòng 3km/h. Tính vận tốc canô lúc ngợc dòng. Biết rằng thời gian canô lúc ngợc dòng
lâu hơn thời gian xuôi dòng 1 giờ.

nh nhau.
Bài 6 Lớp 9A đợc phân công trồng 480 cây xanh. Lớp dự định chia đều cho số học sinh, nhng khi
lao động có 8 bạn vắng nên mỗi bạn có mặt phải trồng thêm 3 cây mới xong. Tính số học sinh lớp
9A
Bài 7. Trong trờng A có 155 cuốn sách toàn và văn. Dự tính trong thời gian tới nhà trờng sẽ mua
thêm 45 cuốn sách văn và toán, trong đó số sách môn Văn bằng 1/3 số sách môn văn hiện có và
sách môn toán bằng 1/4 số sách môn toán hiện có .
Tính số sách môn văn và toán có trong th viện của nhà trờng.
Bài 8. Hai tổ công nhân đợc giao mỗi tuần sản xuất đợc 980 đôi giầy. Để lập thành tích chào
mừng ,tuần vừa qua tổ 1 vợt mức 8%, tổ 2 vợt mức 10%. So với kế hoạch đợc giao nên cả 2 tổ sản
xuất đợc 1068 đôi. Hỏi định mức đợcgiao của mỗi tổ là bao nhiêu đôi giầy.
Bài 9 Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kỹ
thuật mới nên tổ I đã vợt mức 18% và tổ II đã vợt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã
hoàn thành vợt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm đợc giao của mỗi tổ theo kế hoạch là bao
nhiêu?
Bài 10 Trong một phòng có 80 ngời họp, đợc sắp xếp ngồi đều trên các dãy ghế. Nếu ta bớt đi hai
dãy ghế thì mỗi dãy ghế còn lại phải xếp thêm hai ngời mới đủ chỗ. Hỏi lúc đầu có mấy dãy ghế
và mỗi dãy ghế đợc xếp bao nhiêu ngời ngồi?
Bài 11 Một phòng họp có 360 chỗ ngồi và đợc chia thành các dãy có số chỗ ngồi bằng nhau. Nếu
thêm cho mỗi dãy 4 chỗ ngồi và bớt đi 3 dãy thì số chỗ ngồi trong phòng họp không thay đổi. Hỏi
ban đầu số chỗ ngồi trong phòng họp đợc chia thành bao nhiêu dãy?
Tổng số công nhân của hai đội sản xuất là 125 ngời. Sau khi điều 13 ngời từ đội thứ nhất
sang đội thứ hai thì số công nhân của đội thứ nhất bằng
2
3
số công nhân của đội thứ hai.
Tính số công nhân của mỗi đội lúc đầu.
Dạng 3. Hình học
Bài 1. Một hình chữ nhật có diện tích 300 m
2

nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì ta nhận đợc số mới bằng
7
4
số ban đầu.
Bài 3. Cho một số có hai chữ số, tổng của hai chữ số bằng 11. Nếu thay đổi theo thứ tự ngợc lại đ-
ợc một số mới lớn hơn số lúc đầu 27 đơn vị. Tìm số đã cho.
Bài 4. một số có hai chữ số lớn gấp 3 lần tổng các chữ số của nó, còn bình phơng của tổng các chữ
số gấp 3 lân số đã cho. Tìm số đó.
Bài 5. Đem một số có hai chữ số nhân với tổng các chữ số của nó thì đợc 405. Nêu lấy số đợc viết
bởi hai chữ số ấy nhng theo thứ tự ngợc lại nhân với tổng các chữ số của nó thì đợc 486. Tìm số đó
(54)
Bài 6. Tích của 2 số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109. Tìm 2 số đó.
Dạng 5 : Làm chung công việc:
Bài 1. Hai ngời cùng làm chung một công việc mất 3giờ. Ngời thứ nhất làm đến nửa công việc ng-
ời thứ hai làm nốt cho hoàn thành cả thảy hết 8 giờ. Nếu mỗi ngời làm riêng thì mất mấy giờ ?
Bài 2 Để hoàn thành một công việc, hai tổ phải làm chung trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ
hai đợc điều đi làm việc khác, tổ một đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi mỗi tổ làm
riêng thì sau bao lâu sẽ làm xong công việc đó?.
Phần Hình Học
Bài 1 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đờng tròn ( O; R), hai đờng cao AD và BE
cắt nhau tại H ( D

BC; E

AC; AB < AC ).
a) Chứng minh các tứ giác AEDB và CDHE là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh CE.CA = CD. CB và DB.DC = DH.DA.
c) Chứng minh OC vuông góc với DE.
d) Đờng phân giác trong AN của
ã

1. Chng minh AE = AF
2. Chứng minh A là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác EFH.
3. Kẻ đờng kính BD . Chứng minh tứ giác ADCH là hình bình.
Bài 6: Cho tam giác vuông PQR (
^
P
= 90
0
) nội tiết đờng tròn tâm O, kẻ đờng kính PD.
1. Chứng minh tứ giác PQDR là hình chữ nhật .
2. Gọi M và N thứ tự là hình chiếu vuông góc của Q, R trên PD. PH là đờng cao của tam giác
( H trên cạnh QR ) . Chứng minh HM vuông góc với cạnh PR.
3. Xác định tâm của đờng tròn ngoại tiếp tam giác MHN.
4. Gọi bán kính đờng tròn nội, ngoại tiếp tam giác vuông PQR là r và R .
Chứng minh: r + R


PRPQ.
Bài 7: Cho tam giác vuông ABC vuông tại C. O là trung điểm của AB và D là điểm trên cạnh AB
( D không trùng với A, O, B ) . Gọi I và J thứ tự là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD và tam
giác BCD.
1. Chứng minh OI // BC
2. Chứng minh 4 điểm I, J, O, D nằm trên một đờng tròn.
3. Chứng minh rằng CD là phân giác của góc
ã
ACB
khi và chỉ khi OI = OJ.
Bài 8:
Cho đờng tròn tâm O và M là điểm ở ngoài đờng tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB ( A, B là
tiếp điểm ) và một cát tuyến cắt đờng tròn tại C, D.

1
) và (O
2
) về phía nửa mặt phẳng bờ O
1
O
2
chứa điểm N, có tiếp điểm thứ tự là A và B. Qua M kẻ
cát tuyến song song với AB cắt đờng tròn (O
1
), (O
2
) thứ tự tại C, D. Đờng thẳng CA và đờng thẳng
DB cắt nhau tại I.
1. Chứng minh IM vuông góc với CD.
2. Chứng minh tứ giác IANB là tứ giác nội tiếp.
3. Chứng minh đờng thẳng MNđi qua trung điểm của AB.
Bài 13: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Dựng đờng tròn đờng kính AB, BC, gọi D
và E thứ tự là hai tiếp điểm của tiếp tuyến chung với đờng tròn đờng kính AB và BC, và M là giao
điểm của AD với CE.
1. Chứng minh tứ giác ADEC là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh MB là tiếp tuyến của hai đờng tròn đờng kính AB và BC
3. Kẻ đờng kính DK của đờng tròn đờng kính AB. Chứng minh K, B, E thẳng hàng.
Bài 14: Cho tam giác vuông MNP (góc M = 90
0
). Từ N dựng đoạn thẳng NQ về phía tam giác
MNP sao cho NP = NQ và góc MNP = góc PNQ, và gọi I là trung điểm của PQ, MI cắt NP tại E.
1.Chứng minh góc PMI và góc QNP bằng nhau.
2. Chứng minh tam giác MNE là tam giác cân.
3. Chứng minh MN.PQ = NP.ME

ờng tròn (O;R) tại D khác A. Lấy điểm M trên cung nhỏ AB (M khác A, B). Dây MD cắt dây BC
tại I. Trên tia đối của tia MC lấy điểm E sao cho ME=MB. Đờng tròn tâm D bán kính DC cắt MC
tại điểm thứ hai K.
1. Chứng minh rằng:
a. BE song song với DM.
b. Tứ giác DCKI là tứ giác nội tiếp.
2. Không dùng máy tính hoặc bảng lợng giác, hãy tính theo R thể tích của hình do tam giác
ACD quay một vòng quanh cạnh AC sinh ra.
Bài 20: Cho đờng thẳng (O) đờng kính AB = 2R, C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc
với OA tại C. Gọi K là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MN.
1. Chứng minh BCHK là tứ giác nội tiếp.
2. Tính tích AH.AK theo R.
Bài 21: Cho hình thoi ABCD , có góc A = 60
0
, M là một điểm trên cạnh BC, đờng thẳng AM cắt
cạnh DC kéo dài tại N.
1. Chứng minh đẳng thức: AD
2
= BM.DN.
2. Đờng thẳng DM cắt BN tại E. Chứng minh rằng tứ giác BECD là tứ giác nội tiếp.
3. Khi hình thoi ABCD cố định. Chứng minh rằng điểm E năm trên cung tròn cố định khi
điểm M thay đổi trên cạnh BC.
Bài 22:Cho đờng tròn tâm ( 0 ), AB là dây cố định của đờng tròn không đi qua tâm. M là một
điểm trên cung lớn AB sao cho tam giác MAB là tam giác nhọn. Gọi D và C thứ tự là điểm chính
giữa của cung nhỏ MA, MB, đờng thẳng AC cắt đờng thẳng BD tại I, đờng thẳng CD cắt cạnh MA
và MB thứ tự tại P, Q.
1. Chứng minh tam giác BCI là tam giác cân.
2. Chứng minh tứ giác BCQI là tứ giác nội tiếp
3. Chứng minh QI = MP
4. Đờng thẳng MI cắt đờng tròn tại N, khi M chuyển động trên cung lớn AB thì trung điểm

tại E. Chứng minh 5 điểm A, B, D, E, C năm trên một đờng tròn.
4. Xác định vị trí của M sao cho đoạn thẳng O
1
0
2
là ngắn nhất.
Bài 24: Cho tam giác vuông ABC ( AC > AB,
^
A
= 90
0
). Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác
ABC, các tiếp điểm của đờng tròn nội tiếp với các cạnh AB, BC, AC lần lợt tại M, N, P.
1. Chứng minh tứ giác AMIP là hình vuông.
2. Đờng thẳng AI cắt PN tai D. Chứng minh 5 điểm M, B, N, D, I nằm trên một đờng tròn.
3. Đờng thẳng BI và CI kéo dài cắt AC, AB lần lợt tại E và F.
Chứng minh BE. CF = 2 BI . CI
Bài 25: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB. Trên đờng tròn (O) lấy điểm C (C không trùng
với A, B và CA > CB). Các tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại A, tại C cắt nhau ở điểm D, kẻ
CH vuông góc với AB ( H thuộc AB), DO cắt AC tại E.
1) Chứng minh tứ giác OECH nội tiếp.
2) Đờng thẳng CD cắt đờng thẳng AB tại F. Chứng minh
ã
ã
0
2BCF CFB 90+ =
.
3) BD cắt CH tại M . Chứng minh EM//AB.
Bài 26: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm 0 , đờng phân giác trong của góc A cắt cạnh BC
tại D và đờng tròn ngoại tiếp tại I.