ðỗ Ngọc Nam_THPT Trung Giã Page 1 03/01/2013
Tôi ñưa ra ở ñây một số hướng biến ñổi có thể nghĩ ñến trong quá trình giải phương trình, bất
phương trình vô tỷ. Một số bài tập có thể giải bằng nhiều cách khác nhau mà, tôi cố gắng ñưa ra
các cách ñể bạn ñọc ñược biết. Một ñiều quan trọng là bạn ñọc cần tự mình luyện giải một lượng
bài tập nhất ñịnh ñể nắm ñược các kĩ năng ñó.
Kĩ năng thứ nhất: Lũy thừa
2
0
g
f g
f g

≥


= ⇔


=


,
3
3
f g f g
= ⇔ =
;
( ) ( )




< ⇔ ≥ > ⇔




≥





<





>





<1>.
Giải phương trình:
1 1 1
1

2 7 2 7
;
2 2
x x
− +
= =
.
<4>.
Giải phương trình:
2 2
2 2
12 12
12
x x
x x
− + − =
. ðáp số x =
±
2
<5>.
Giải phương trình:
3 3
x x x
− = +
. ðáp số:
3
10 1
3
−


5 6 3 21 19 42
x x x x x x
− + + − + + = + −
. ðáp số: x = 3; x = 6; x = 11
<9>.
Giải phương trình:
( )( ) ( )( )
2 2 5 2 10
x x x x x
− − = + − −
. ðáp số:
2
5515
;1
+
==
xx

<10>. Giải phương trình:
4 5 3 1 2 7 3
x x x x
+ + + = + + +

<11>.
Gpt:
2
2 3 1 11 33 3 5
x x x x x
+ + + = − + + −
. ð/s: x = 3; x = 8.

− > −
;
2
2 8 8
x x x
− − > −
;
1 4 2 3
x x x
+ + − > +
;
16 17 8 23
x x
+ = −
;
2
4 2 2
x x x
− + = −
;
5 1 3 2 1 0
x x x
− − − − − =
;
3 2 1 3 2
x x x
+ − − = −
;
3 4 2 1 3
x x x

x x x
+ − − < −
;
5 1 4 1 3
x x x
− − − <
;
1 3 4
x x
+ > − +
;
2
51 2
1
1
x x
x
− −
<
−
;
2 4 3
2
x x
x
− + −
>
;
3 3 3
2 1 1 3 1

3
x
≥
;
2
1 3
x x x
− + ≤ +
. ðáp số:
8
7
x
≥−

3 2 4 3
x x
− > −
. ðáp số:
2
1
3
x
≤ <
;
2
3 4 1
x x x
+ − ≥ +
. ðáp số:
4 1 41

2
x
≤−
và
14
x
≥
;
5 1 1 2 4
x x x
− − − > −
. ðáp số:
2 10
x
≤ <

3 4 1 3
x x x
+ − + < +
;
3 7 2 8
x x x
+ − − > −
. ðáp số: [ - 4; 5) và (6; 7]
<16>.
Giải bất phương trình :
12 3 2 1
x x x
+ ≥ − + +
;

2
1 1
2 1
2 3 5
x
x x
>
−
+ −
ð/s:
( )
5 3
; 1; 2;
2 2
S
   
 
 
= −∞ − ∪ ∪ +∞
 
 
 
 
   

<19>.
Giải bất phương trình:
2 2
2 3 2
x x x x x

(
)
2
2 2 2 3 2
25
4 2 3 2 8 25 0
8
x x x x x x x x x− + ≥ − ⇔ − ≥ ⇔ ≥

ðáp số:
( ] { }
25
; 3 0 ;
8
 


−∞ − ∪ ∪ +∞





là tập nghiệm của bất phương trình.
<20>.
Giải bất phương trình:
3 1
2 1 1 3 3
x
x x x

)
(
)
(
)
4 8 40
4 2 2 1 6 0 0 4 5
2 2 1 6
x x
x x x
x
− −
⇔ − − − ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ≤
− +

ðáp số: S = [4; 5] là tập nghiệm của bất phương trình.
<21>.
Giải bất phương trình:
2
2
( 6) 2 0
x x x x
− − − − ≥

Học sinh rất dễ biến ñổi tương ñương thành:
2
2
6 0
2 0
x x

{ }
[
)
1
; 2 3;
2
 
−∞ − +∞


 
∪ ∪

<23>.
Giải bất phương trình:
2 2
2 11 15 2 3 6
x x x x x
+ + + + − ≥ +
ðáp số:
7 3
; ;
2 2
S
   


 
= −∞ − ∪ +∞


2
51 2
1
1
x x
x
− −
<
−
ðáp số:
(
)
1; 1 2 3 1 2 13; 5
S
 
= − + ∪ − − −
 

<26>.
Giải bất phương trình:
2 2
2 11 15 2 3 6
x x x x x
+ + + + − ≥ +
ðáp số:
7 3
; ;
2 2
S
   

<28>.
Giải bất phương trình:
2
4 2 3
3
2
x x x
x
− + − −
>
−
. ð/s:
[
)
{
}
1;
\
2
+∞

<29>.
Giải bất phương trình:
2
1 2 1 2 2 .
x x x
− + + ≥ −
ðáp số:
1 1
;

(
)
2
2
2 1 3 1 2
x x x
− = − + −

<32>. Giải các phương trình:
2 2
3 2 1
x x x x
− + − + − =
;
( )( )
2
5 2 3 3
x x x x
+ − = +
;
( )( )
2
4 1 3 5 2 6
x x x x
+ + − + + =
;
( )( )
2
1 2 1 2 2
x x x x

x x x x
+ − = + −
;
( )( )
1 3 1 3 2
x x x x
+ + − − + − =
;
2
2 3 1 3 2 5 3 16
x x x x x
+ + + = + + + −
;
2 2 2
4 1 2 2 9
x x x x x x
+ + + + + = + +
;
4 2
1 1
x x
+ − >
;
2 2
3 15 2 5 1 2
x x x x
+ + + + =
. ð/s: 0; - 5.;
2 2
5 10 1 7 2

2
2
x x
x
x
+ < + −
;
2 1
4 2 2
2
x x
x
x
+ < + +

<34>.
1
2 3
1
x x
x x
+
− >
+
. ðáp số:
4
1
3
x
− < <−

 
   

<36>.
2
1
2 3 1
x x x x
x
+ − = +
ð/s:
1 5
2
±

<37>.
(
)
(
)
2
5 3 1 2 15 8
x x x x
+ − − + + − =
;
(
)
(
)
2

+ − = +
. ð/s:
1 5
2
x =
±

<42>.
Giải phương trình:
2 4 3
1
x x x x x
+ + + = −
. Chia cho x rồi ñặt
<43>.
Giải phương trình:
(
)
(
)
xxxxxx 23413
22
=++++−+
ð/S:
2
131
;
2
51
+


<47>. Giải bất phương trình:
3
2 3 1 3 1 5 8
x x
+ + − <
. ð/s:
1
3
5
x
− < ≤

<48>.
Gbpt:
2
5 8 4 1 2 4 4 3 4 0
x x x x x
− − + + − − − − >
. ð/s:
40
4 ; 8
9
x x
≤ < >

Kĩ năng thứ ba: ðặt 1 ẩn phụ t ñưa về phương trình ẩn t và x “giải ñược”
<49>.
Giải phương trình:
( )

ðặt
2
1
t x
= +
viết phương trình thành:
(
)
(
)
(
)
2
2 4 1 2 1 0 2 1 2 1 0
t x t x t t x
− − + − = ⇔ − − + =

<51>.
Giải phương trình:
2
1
2 3 1 4 3x x x
x
+ + = − + +
ðáp số:
3 17 3 37
;
4 14
x x
− +

( )
2 2
1 2 2 2
x x x x x
+ − = + − +
;
(
)
2 2 2
3 2 1 2 2
x x x x
+ − + = + +
;
2
2
3 3 2
2
3 1
x x
x x
x
+ +
+ + =
+
;
( )
2 2
1 2 3 1
x x x x
+ − + = +

Giải phương trình:
3 2
3
12 17 3 16 19
x x x x
− + = − + −

<55>.
Giải phương trình
2
2 2 2 1
x x x
− = −
;
2
9 6 14 3 16
x x x
+ − = +
;
2
2 6 1 4 5
x x x
− − = +
;
3
3
2 2 1 1
x x
= − −
;

u x v x
ψ ψ
=

<56>.
Giải bất phương trình:
( )
2
1
1 1
2 1
2 4 8
x
x
x x
+
+
− + ≥ − +

ðặt
( )
( )
2
2 2
1
1
2
2 2 1
8
1

( )
2 2
2 2 2 2
2 2 0
a b a b a b a b a b a b
+ ≥ + ⇔ + ≥ + ⇔ − ≤ ⇔ =

ðỗ Ngọc Nam_THPT Trung Giã Page 5 03/01/2013 Dẫn ñến:
2
2
1
1
1 1
2
7 40
2
2 4
1 2 1
14 9 0
2 16
x
x
x
x x
x x
x x
x

2
0
a b
− ≤

<57>.
Giải bất phương trình:
2
2 6 8 1 3
x x x x
+ + + + ≤ +
. ðáp số: x = - 2
<58>.
Giải bất phương trình:
(
)
2
1
1 2 1
x x
x x
−
≥
− − +
. (A2010) ðáp số:
3 5
2
x
−
=

)
3
1 2 1 3 6 6
x x x x
− − + + = +
. ðáp số: x = 2.
<62>.
Giải phương trình:
(
)
2 3
2 5 2 4 2 21 20
x x x x− + = − −
. ðáp số:
9 193 17 3 73
,
4 4
x x
± ±
= =

<63>.
Giải phương trình:
13)13(24572
23
−−=+++ xxxxx
ðáp số:x =1
<64>.
Giải phương trình:
3 223

6
215
;
3
1 −−
== xx

<67>.
2 2
4 5 1 2 1 9 3
x x x x x
+ + − − + = −
;
2 2
9 24 6 59 149 5
x x x x x
− + − − + = −

<68>.
2
1 4 1 3
x x x x
+ + − + ≥
(B2012)
Giải phương trình bằng cách ñặt 2 ẩn phụ ñưa về phương trình thuần nhất bậc 2:
( )
(
)
2 2
2 3 3 4 4 5

4 6 3 13
x x x
+ − + =

2 2
6 3 1 3 6 19 0
x x x x x
+ − + − − − + =
;;
2 4
4 2 2 4 1
x x x
− + = +
;
2 3
2 5 22 5 11 20
x x x x
− + = − +

Giải phương trình bằng cách ñặt 2 ẩn phụ tạo tích:
2
1 3 1 3 1
x x x x
+ + + = − + −
;
2
4 1 1 3 2 1 1
x x x x
+ − = + − + −


+ + − = + + − −
. ðáp số: x = 3.
<72>. Giải phương trình:
( ) ( )
2
4 1 3 2 7 4 2 1 2 4 8 3 4
x x x x x x
− − + − − = − + − +

<73>. Giải bất phương trình:
(
)
7 3 7 4 7 7 32
x x x
− + − − =
. ð/s:
11 2 2
2
±

<74>. Giải phương trình:
(
)
(
)
5 1 2 1 7 3 1
x x x x
+ + − + =

PT, BPT Vô tỷ Page 6 03/01/2013

4 4 5 4 1 4 17 4 11 0
x x x x x
− + − + + + + + =

<79>.
Giải phương trình:
2
2 5 2 2 9 10 3 8
x x x x x
− − − + − + = −
.
<80>. Giải phương trình bằng cách ñặt 2 ẩn phụ ñưa về hệ ñối xứng:
4 4
57 40 5
x x
− + + =
(
)
(
)
n n
a f x b f x c
→ + + − =
:
3 3
9 3
x x
+ − =

Kĩ năng thứ bảy: ðặt 2 ẩn phụ u và v, ñưa về hệ tạm còn x

1
x
+
thì ñặt
tan ;
2 2
x t t
π π
 


= ∈ −




 

<82>.
Giải phương trình
2 3
1 4 3
x x x
− = −
. ðáp số:
1 2 2
,
4
2
x x

1
2 2 (1 )
x
x
x
x x x
+
+
+ + =
−
ðáp số:
1
3
x =

<85>.
Giải phương trình:
2
2
2
(1 )
3 1 0
1
x x
x
x
+
− − =
−
ðáp số

4 1 2 3
x x x
+ = − + −
. ð/s: x = 2 là nghiệm.
Nhận xét:
Trong nhiều tình huống thì sau khi lôi ñược nhân tử ra, phương trình còn lại sẽ vô nghiệm.
Tất nhiên, với những tình huống phương trình còn lại có nghiệm thì ta sẽ thử tìm một hướng giải
khác.
<87>.
Giải phương trình:
( )( ) ( )( )
2 2 1 3 6 4 6 2 1 3 2
x x x x x x
+ − − + = − + − + +
. ð/s: x = 7
<88>. Giải phương trình bằng cách nhân liên hợp:
2
2 1 5 4 2 0
x x x x
+ − − + − − =
;

<89>.
3
1 24 4
x x x
+ − + = −

<90>.
Giải phương trình:

x x x
− + − + =
. ðáp số: x = 1
<94>.
Giải phương trình:
1 1 1 1
3
2 3 4 3 5 6
x x x x
 
+ = +
 
− − −
 
. ðáp số x = 3
<95>.
Giải phương trình:
(
)
2 2
3 4 1 4 2
x x x x x
− − = − − −
. ð/s: x = 2; x = 5
<96>.
Giải phương trình:
2
3 1 6 3 14 8 0
x x x x
+ − − + − − =

x x x x x x x
− + − − = − − − − +
. ðáp số : x = 2
<100>.
Giải bất phương trình:
2 2
2 3 3 6 11 1
x x x x x x
− + − − ≥ − + − −
ð/s: [2; 3]
<101>.
Giải bất phương trình:
2
1 1 4 3
x x x
+ + < +
ð/s:
1
;
2
 


+∞







∪ +∞
 
 

<105>.
Giải bất phương trình:
2 2
2 3 8 2
x x x x
+ − + − ≤

ðiều kiện:
2 4
x
− ≤ ≤

Khi x = 1 thì hai vế bằng nhau.
Viết bất phương trình về dạng:
( )
( )
2
2
3 1
2 1
2 2
2 3 3 3 8 2 0 0 1
2 2
3 3 3 8 2
x
x x

>
+ + +
(ðỗ Ngọc Nam)
Lời giải:
Chú ý mẫu phân thức ñầu có thể tạo nhân tử và nó có thừa số chung với tử.
ðk:
1 x 9
− ≤ ≤
, x
0
≠

(
)
(
)
x 1 4 2 9 x x 1 2 2 9 x x 1 2 2 9 x
0
x 1 1 1 1
x 1 1 x 1 1
x 1 1 x 1 2
+ − − + − − + − −
> ⇔ > ⇔ − >
+ −
+ − + −
+ + + +
(*)
Quy ñồng ta ñược:
(
)

− −
+ +
− − −
+ + + −
> ⇔ > ⇔ > ⇔ >
+ − + −
+ +

Tương ñương: x > 8 hoặc x < 0
Kết hợp với ñiều kiện ta ñược:
[
)
(
]
1;0 8;9
S
= − ∪
là nghiệm của bất phương trình.
Nhận xét:
Rõ ràng, cách giải trên là gọn, tuy nhiên, việc phát hiện ra nhân tử suốt quá trình là không ñơn
giản! Việc tách nhân tử của hàm bậc 4 (với các hàm có thể tách ñược) có thể sử dụng máy tính
casio 570ES mà tôi hi vọng sẽ ñược trình bày trong một dịp thích hợp.
<108>.
Giải bất phương trình:
1
2 1 4 1
x
x
x x
> −

2 1 2 2
x x x
− − + > −
. ðáp số:
1;7 33 2;7 33
S
   
= − ∪ +
   
   

<112>.
Giải bất phương trình:
2 1 5 3
x x x
− − + > −
ðáp số:
(
)
8 48;3
−

Kĩ năng thứ mười: Kĩ năng sử dụng hàm số
<113>.
Giải bất phương trình:
( )
2 2
2 1 2 1 2 3 0
x x x x x x
+ + + + + + + >

= + + ∈
ℝ
, có
( )
2
2
2
' 1 2
2
t
f t t t
t
= + + + ∀
+
nên f là hàm ñồng biến trên
ℝ

Vậy (*)
( ) ( )
1
1 1
2
f x f x x x x
⇔ + > − ⇔ + >− ⇔ >−

Vậy
1
;
2
S

(
)
0 0
f f x g x g
≤ = ≤

<115>.
Giải phương trình:
211
222
+−=++−+−+
xxxxxx
. ð/s: x = 1.
Nhận xét:
- Trong bài toán này ta ñã chứng minh
(
)
(
)
2 2
2
2
2
1 1
4 2
xx x xx x x≤ ≤− − + −+ ++ +

<116>.
Giải phương trình:
2

 

≤ − − = − + ≤

 
 


 
 
 

 

− + − − +




 


   

 






− + + = − +
. ðáp số: x = 1
<119>.
Giải phương trình:
2
4 1 4 1 1
x x
− + − =
. ðáp số
1
2
x
=

<120>.
Giải phương trình:
5 3
15 11 28 1 3
x x x
+ + = −
ðáp số: x = - 1
<121>.
Giải phương trình:
2 2
12 5 3 5
x x x
+ + = + +
. ðáp số: x = 2
<122>.
Giải phương trình:

2
1 3 2 1
x x x x
+ + − = +
. ð/s: x = 1;
1 2
x = +
. Bunhia.
<127>.
(
)
(
)
2
2 2 1 1 4 2 2 6 2
x x x x x
+ + + − − = +
(bu nhia)
Kĩ năng thứ mười hai: Ra ñòn phối hợp
Có những phương trình, bất phương trình bất trị với 11 kĩ năng trên; ñiều ñó ñòi hỏi chúng ta cần
sử dụng miếng ñánh phối hợp. Thông thường nhất, ta sử dụng lũy thừa phối hợp ẩn phụ.
<128>.
Giải bất phương trình:
2
2 6 6 3 3 2 6 0
x x x x
− − − + − ≤
(ðỗ Ngọc Nam)
Lời giải:
ðiều kiện:

3
– 6t
2
– 18t + 9)
0
≤
(
)
(
)
2 2
2 3 6 3 0
t t t
⇔ − + − ≤
2 3 3 3
t
⇔ − ≤ ≤

Khi ñó,
(
)
2
2 3 3 3 3 24 12 3 6
x x
− ≤ − ≤ ⇔ − ≤ ≤

ðáp số:
24 12 3 6
x
− ≤ ≤

1
x
x
x
+ =
−
2 2
ax
x b
x a
→ + =
−

<132>.
Giải phương trình:
( )
3 2 2
8 13 6 6 3 5 5 0
x x x x x x
− + + + − − + =

<133>.
Giải bất phương trình:
2 2
2 3 5 4 6
x x x x x
− − + ≤ − −
. ð/s:
3 13
x

x
+ >
−
−
;
2
2
1 3
1
1 1
x
x
x
>
−
− −

<136>.
Giải phương trình:
(
)
2 2
4 7 7 2 1
x x x x
− = − − +
. ð/s: x = 4;
2 11
±

Kỹ năng thứ mười ba: Giải phương trình tương ứng rồi xét dấu.

)
(
)
[
]
(
)
0 ; 6 5;2 3;f x x
≤ ⇔ ∈ −∞ − ∪ − ∪ +∞

<138>. Giải bất phương trình:
3 3 3 4
3 3 3
x x
x
x x
+ + −
≥
+ − −

<139>.
Giải bất phương trình:
1 6 3 1
2
1 3
x x
x x
− + −
≥
− + −

≤ ≤ ≤ ≤
− + +
 
− ≥ ⇔ ≥ ⇔ ⇒
 
> >
+ − −
− + +
 

Kĩ năng thứ mười bốn: Nhóm nhân tử
<140>.
Giải phương trình:
( )
2
2 1 1 0
x x x x x x
− − − − + − =
ðáp số: x = 2
<141>.
Giải phương trình:
2
2 7 2 1 8 7 1
x x x x x
+ − = − + − + − +
. ð/s: x = 4; x = 5
<142>.
2 2 4 3 2
3 5 1 8 3 15
x x x x x x x

2
x x x x
+ − + − − >
. ðáp số:
1
x
≥

<146>.
( ) ( )
3 3
2 2
1 1 1 1 2 1
x x x x
 
+ − − − + = + −
 
 

CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN
<147>.
Giải phương trình:
4 1 5
2x x x
x x x
+ − = + −
ðS: x=2
<148>.
Giải phương trình:
(

x
x
x
+ +
+ − =
+
+
ðS:
3
±=
x

<151>.
Giải phương trình:
1)1(22
2
+=−++
xxxxx
ðS:x =1
<152>.
Giải phương trình:
5
3
2314
+
=−−+
x
xx
ðS:
2

ðS; x =1
<155>.
Giải phương trình:
2
12
122
+=
++
+++
x
xx
xxx
ðS:x =1;x =2
<156>.
Giải phương trình:
(
)
2
192 1
5
1 5
x
x
x
x x x x
− +
−
 
+ =
 

2 2 5 2 2 9 10 23 3
x x x x x
+ + + + + + ≥ −
. ð/s: [2; + ∞)
<160>.
Giải bất phương trình:
( )
2
2
4
1 1
x
x
x
> −
+ +
. ð/s: −1 ≤ x < 8
<161>.
Giải phương trình:
4 4
17 3
x x
+ − =
. Hai ẩn phụ ñưa về hệ. ðS:
1, 16
x x
= =
.
<162>.
Giải phương trình

= − = −
1 13; 1 5
x x

<165>.
Giải phương trình:
2 2
2 1 1 3
x x x x x
+ + + − + =
. ð/s : x = 1
<166>.
Giải phương trình:
2
2 12 2 2 1 2
x x x x
+ + − − = +
. ð/s: x = 1
<167>.
(*) Giải phương trình:
10 2 26 5 1 6
x x x
− − + − − = −
. ð/s:
11 17
2
−

Chú ý thật khéo ñể cái căn thức ñầu tiên ñược tự giải thoát, thế rồi ñặt ẩn phụ ñưa về hệ ñối xứng!
<168>.

(
)
2 2 2 3
2 1 6 9 6 1 9 38 10 2
x x x x x x x
+ + − + + − = + − −
. ð/s: x = 0.
<172>.
Gpt:
4 4 3
20 9 7
x x x
+ − + = −
. ð/s: x = 2.
<173>.
Gpt:
2
3 33 3 2 7
x x x
+ + = +
. ð/s: x = 1; x = 4; x = 64
<174>.
Gpt:
2
7 6 3 4 3 12 0
x x x x x
+ + + + + + =
. ð/s: x = - 3; x = - 2.
<175>.
(

x x x x x
− + + = − +
. ðặt t = căn, tạo nhân tử. ðs: 0;
3 5
2
− ±
. Chú ý
hằng ñẳng thức bậc 3 của căn
<180>.
( ) ( )
2
3
3
2
1 3 3 9 3
2
x
x x
+
− = − + −
. ðặt căn bậc 3 bằng t, lũy thừa. ð/s: 0; 217/72
PT, BPT Vô tỷ Page 12 03/01/2013 <181>.
2
3
5 4
2 5 24 23
3

1
32 1023;
32 1023
+
+

<185>.
3
3 2 4 2
15 1 14
x x x x x
− + = + −
. ð/s: 1; - 1;
1 5
;32 5 41
2
+
+
. Chia cho x rồi ñặt
<186>.
2
4 2
1
3 2
x x
x x x
−
≤
+ −
. ð/s: x < 0

<191>.
2
4 2 22 3 8
x x x
+ + − = +

<192>.
2
2 1 5 1 1
x x x
− + − = +

<193>.
(
)
(
)
2
2 2 3 2 1 2 5 3 1 0
x x x x x
+ + − + + + + − =
. ð/s: - 1; -1/2; 3.
<194>.
2
2 5 4 1 2 4 4 17 4
x x x x x
+ + + = + + + +
. ð/s: 0; 12
<195>.
2

3 2 4 3 2 5 4
x x x x x x
− + + − + ≥ − +
. ðáp số: x = 1 và x
4
≥

<200>.
(
)
2
2
2
21
3 9 2
x
x
x
< +
− +
. ðáp số:
{ }
9 7
; 0
2 2
\
 


−

<204>.
(
)
2
3 1 2 1 2 2 3 1
x x x x x
+ − + − = − +
. ð/s:
(
)
1;5;4 3 7
+
<205>.
( ) ( )
3
2
2 1 1 2 3 1 2 1 1
x x x x x
+ − + − + = − +
. ð/s: 3/2; 5
<206>.
( )
2 2
3 10 12
x x x x
+ − = − −
(bình phương)
<207>.
2 2
( 1) 4 1


<212>.
− − − + − + = −
2
2 5 2 2 9 10 3 8
x x x x x

<213>.
Giải bất phương trình:
(
)
(
)
(
)
2
3 2 1 4 4 1 6 1 2
x x x
+ + + − − < + −
. ð/s:
6
2;
5
 
−


 

<214>.

2 2
7 7
x x x
x x
− + − =
ð/s: x = 2.
<217>.
( )
2 2 3
1 1 2 1
x x x x x
− − + + − = +
ð/s: x = 1
<218>.
(
)
(
)
2 6 2 1 3 4
x x x
+ + + − − =
ð/s: x = 7.
<219>.
5 1 6
x x
+ + − =

<220>.
( )
3

(
)
4 2 2 6 1 3
x x x
+ + + − >
. ð/s: -3
≤
x<5
<224>.
Giải bất phương trình:
( )
2
2
4
1 1
x
x
x
> −
+ +
. ð/s: −1 ≤ x < 8
<225>.
Giải bất phương trình:
2
7 7 7 6 2 49 7 42 181 14
x x x x x
+ + − + + − ≤ −
. ð/s:
6
6

<229>.
Gpt:
2 2
3 4 4 6 11 10 2 2 5 5
x x x x x x
+ − + + − = + + + +
. ð/s: x = 2.
<230>.
Gpt:
2
3 33 3 2 7
x x x
+ + = +
. ð/s: x = 1; x = 4; x = 64
<231>.
2
7 1 2 2
x x x x
+ − − = − +
. ð/s: x = 2 liên hợp.
<232>.
Giải phương trình:
2 2
2 1 1 3
x x x x x
+ + + − + =
. ð/s : x = 1
<233>.
Giải phương trình:
2

2 2 1 3 4 1
x x x x x
+ + − = + +
ð/s:
1 5
2
x
+
=

<237>.
Giải phương trình:
7224232
22
++−=+ xxx
ðS:
1
=
x

PT, BPT Vô tỷ Page 14 03/01/2013 <238>.
Giải phương trình:
4
46
2242
2
+

x x x x
− + + < −

<242>.
Giải bất phương trình:
(
)
( )
3
2
1
1
x x
x x
+
≥
+ −
;
( )
(
)
2
7 2 5 4 2
x x x
+ ≥ + +

<243>.
Giải bất phương trình:
2
4 4

x
xx

o Nếu muốn thông minh , bạn hãy học cách hỏi hợp lý, cách chăm chú lắng nghe, cách trả lời thông minh và ngừng nói
khi không còn gì nói nữa. G. Lafata
o Sở dĩ người ta ít nhớ những điều đã đọc được chính là vì tại người ta tự suy nghĩ quá ít. G. Lin-then-béc
o Hỏi một câu, chỉ dốt trong chốc lát. Không dám hỏi sẽ dốt nát suốt đời. Im lặng là cấp độ cao cả nhất của sự khôn
ngoan. Ai không biết im lặng là không biết nói. Pithagos