www.violet.vn/toan_cap3...................Cỏc chuyờn bi dng hc sinh gii
Các bài toán về nghiệm của PT, BPT vô tỉ chứa tham số
(Phng phỏp chiu bin thiờn hm s)
Bài 1: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm:
2 2
1 1x x x x m+ + + =
.
Giải: Xét hàm số
2 2
1 1y x x x x= + + +
+ Miền xác định D=
R
.
+ Đạo hàm
+
=
+ + +
= + + = + +
+ >



+ + = + +

2 2
2 2
2 2 2 2
2 1 2 1
'
2 1 2 1
' 0 (2 1) 1 (2 1) 1

y +
y 1
-1
Vậy phơng trình có nghiệm khi và chỉ khi -1<m<1.
Bài 2: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm thực
2 1x x m+ = +
Giải:
- Đặt
1; 0t x t= +
. Phơng trình đã cho trở thành:
2t=t
2
-1+m m=-t
2
+2t+1
- Xét hàm số y=-t
2
+2t+1; t0; y=-2t+2
x
0 1 +
y + 0 -
y 2
1
www.violet.vn/toan_cap3...................Cỏc chuyờn bi dng hc sinh gii
- Theo yêu cầu của bài toán đờng thẳng y=m cắt ĐTHS khi m2.
Bài 3: Tìm m để phơng trình sau có đúng 2 nghiệm dơng:
2 2
4 5 4x x m x x + = +
.
Giải:

; t
2
thì t
1
+ t
2
=-1. Do đó (1) có nhiều nhất 1
nghiệm t1.
- Vậy phơng trình đã cho có đúng 2 nghiệm dơng khi và chỉ khi phơng trình
(1) có đúng 1 nghiệm t
(1; 5)
.
- Đặt g(t)=t
2
+t-5. Ta đi tìm m để phơng trình g(t)=m có đúng 1 nghiệm t
(1; 5)
.
f(t)=2t+1>0 với mọi t
(1; 5)
. Ta có BBT sau:
t
1
5
g(t) +
g(t)

5
-3
Từ BBT suy ra -3<m<
5

2
( 2) 2 (*)
2
t t
m t t t m
t
+ +
+ = + + =
+
- Xét
2
2
( ) ;0 2.
2
t t
f t t
t
+ +
=
+
Ta có f(t) liên tục trên đoạn
0; 2. Phơng
trình đã cho có nghiệm x khi và chỉ khi phơng trình (*) có nghiệm t thuộc
0; 20; 2 0; 2

(1) cú nghim.
Gii:
t
3; [0; )t x t= +
. Bt phng trỡnh tr thnh:
2 2
2
1
( 3) 1 ( 2) 1
2
t
m t t m m t t m
t
+
+ + + +
+
(2)
(1)cú nghim (2) cú nghim t0 cú ớt nht 1 im ca THS y=
2
1
2
t
t
+
+

vi t0 khụng phớa di ng thng y=m.
Xột y=
2
1

+
T Bng bin thiờn ta cú m
3 1
4
+
.
Bi 6: Tỡm m phng trỡnh
3 6 (3 )(6 )x x x x m+ + + =
cú nghim.
Gii:
3
www.violet.vn/toan_cap3...................Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
Đặt
( ) 3 6t f x x x= = + + −
với
[ 3;6]x ∈ −
thì
6 3
' '( )
2 (6 )(3 )
x x
t f x
x x
− − +
= =
− +
Bảng biến thiên:
x
-3 3/2 6 +∞
f’(x)

3 2

y’
+ 0 - | - |
y 3

9
3 2
2
−
Bài 7: Cho bất phương trình
2
1
(4 )(2 ) (18 2 )
4
x x a x x− + ≥ − + −
. Tìm a để bất
phương trình nghiệm đúng với mọi x
∈
[-2;4].
Giải:
Đặt
2
(4 )(2 ) 2 8; [0;3]t x x x x t= − + = − + + ∈
. Bất phương trình trở thành:
2 2
1
(10 ) 4 10
4
t a t a t t≥ − + ⇔ ≥ − +

x x x x x x x x
m m m
x x x x
+ + + +
= ⇔ = ⇔ + =
+ + + +
Đặt t=
2
2
1
x
x+
; t
∈
[-1;1].
Khi đó phương trình (1) trở thành 2t+t
2
=4m.
(1) có nghiệm  (2) có nghiệm t
∈
[-1;1]
Xét hàm số y=f(t)=t
2
+2t với t
∈
[-1;1]. Ta có f’(t)=2t+2≥0 với mọi t
∈
[-1;1].
t -1 1
f’

= − = <=> => = − =

=

2) f(t) = -t
2
/2 + t +2 = m (1) . Lập bảng biến thiên : Tacó :
2 2 2 2.m− ≤ ≤
Bµi 10. T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh sau cã nghiƯm:
2
9 9x x x x m
+ − = − + +
HD:
Bình phương : Đặt t=
(9 ) 0 9/ 2x x t− => ≤ ≤
KSHS
2
( ) 2 9 ; 9/ 2 9/ 4 10f t t t o t Ds m
= − + + ≤ ≤ − ≤ ≤
d)
Bµi 11. T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm:
4 4
4
4 4 6x x m x x m
+ + + + + =
HDĐS: Đặt
4 2
4
4 0 : 6 0t x x m pt t t= + + ≥ + − =
5