Vũ Hồng Phong THPT Tiên Du 1, Bắc Ninh
1
Vận dụng một tính chất của hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn

Bằng phơng pháp cộng ta dễ dàng chứng minh đợc kết quả sau
Bài toán Cho hệ phơng trình






222
111
cybxa
cybxa
(*)
Với x,y là các ẩn số ,
222111
;;;;; cbacba
là các tham số
Nếu
0
1221
baba
thì hệ PT (*) có nghiệm duy nhất








1
2
2
1
2
3
m
m
myx
ymx
(1)
Chứng minh rằng
1
22
yx

Lời giải
Ta coi (1) là hệ PT bậc nhất 2 ẩn x,y với m là tham số.
Khi đó x và y đều biểu thị đợc theo m
Thật vậy
do
0121.1)2.(
2
1221
mmmbaba

1
2
.
1
2
12
1.
1
2
)2.(1
2
2
2
2
3
22
2
3
m
m
m
m
m
m
y
m
m
m
m
m


m
mm
m
m
m
m
yx Vũ Hồng Phong THPT Tiên Du 1, Bắc Ninh
2

Thí dụ 2
Cho x,y,z là các số thực thoả mãn





232
1
yxyzxz
yxxz
(1)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = xy(1+z)
Lời giải










22
1
22
1).12(2.
22
1
22
)2(2)3.(1
22
22
zzxz
zz
y
zz
z
zz
zz
x

Suy ra
22

)1(
0
22
2




z
z
P

GTNN của P là 0 khi và chỉ khi
)1;1;0();;(

zyx

GTLN của P là
4
1
khi và chi khi (x;y;z)
)}2;
2
1
;
2
1
();0;
2
1

theo a và b
Thật vậy
Đặt 3x+7y+1=a; x+4y+1 = b
Ta có hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn x,y sau





14
173
byx
ayx
(1)
Có
057.14.3

nên áp dụng công thức (**) thì
hệ pt (1) có nghiệm
Vũ Hồng Phong THPT Tiên Du 1, Bắc Ninh
3









))(()(
22222
qpnmnqmp


))((
2222
qpnmnqmp

áp dụng BĐT trên ta có
159.25))()4(3(43
2222
baba


154715

ab

Suy ra
5
16
5
115
5
143
5
515

yxyx
yxyx

Lời giải
Ta thấy
12

yx
và
52

yx
là các biểu thức bậc nhất đối
với x và y nên có thể giải hệ PT bằng cách đặt

012 ayx
,
052 byx

khi này x, y đều biểu diễn đợc theo a và b
ta có hệ pt bậc nhất 2 ẩn x,y







2
2

22
2115 bax
,
2129

yx
=
22
4ba

Thay vào hệ phơng trình đã cho ta đợc










22
22
33
4
2
2
14
ba
ba

ab(a b)(a - 2b) = 0


a = 0 hoặc b = 0 hoặc a = b hoặc a = 2b
Từng trờng hợp này thay vào hệ (1)
ta đợc nghiệm (a,b) là
)
12
1
;
3
2
(),
5
1
;
5
1
(),0;1(),
4
1
;0(
3
333
3

Với (a;b) tìm đợc thay vào (1) ta đợc
các nghiệm (x;y) của hệ PT đã cho là

)

33
333
3






Thí dụ 5 Giải hệ phơng trình







222
222
312)(72
2127)(
xxyyyxxx
yxyyyxyx

Lời giải
Ta có thể đa hệ PT đã cho về 1 hệ PT bậc nhất với 2 ẩn mới bằng cách
Đặt
vyux 12;7
22

















x
yx
yxyxxxyyx
v
y
yx
yxxyyxyxy
u
22
22
22
22
)(2)3)((
2
)3())((

12
47
02
0
xy
yx
y
x













4
9
0
0
2
2
y
x
y

4
43
2
2
2
m
m
ymx
mmyx

a) Tìm một hệ thức giữa x và y không phụ thuộc vào m
b) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức

33
yxP

Bài 2 Cho x,y là các số thực thoả mãn

4)125()1311(
22
yxyx
.
Chứng minh
7
732
3 yx

Bài 3 Giải hệ phơng trình
a)


zzyzzxz

c)







67652)2(
13452)(
yxxyxyyx
yxyxyyx