TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG
TIỂU LUẬN MÔN HỌC
Thiết kế bộ lọc số và phân tích phổ.

ĐỀ TÀI:
Thiết kế bộ lọc thông cao Butterworth.
Giảng viên hướng dẫn : PGS/TS. Trịnh Văn Loan.
Học viên thực hiện : Lê Xuân Bách–CB120129
Hoàng Bảo Trung–CB120155
Lớp :12BMTTT.

Hà Nội – 30/1/2013.
Tiểu luận: Thiết kế bộ lọc thông cao Butterworth Môn học: Thiết kế bộ lọc số và phân tích phổ.
Giảng viên: PGS/TS. Trịnh Văn Loan. Viện công nghệ thông tin và truyền thông-DHBKHN

Nhóm làm đề 20: Lê Xuân Bách - CB120129 & Hoàng Bảo Trung – CB120155 Lớp 12BMTTT
Trang 1
Phụ lục.
1. Mở đầu. 3
2. Cơ sở lý thuyết. 4
2.1. Bộ lọc thông thấp Butterworth. 6
2.2. Thiết kế bộ lọc Butterworth thông thấp. 7
2.3. Biến đổi thành bộ lọc số bằng phương pháp song tuyến tính. 8
2.4. Thiết kế bộ lọc thông cao từ bộ lọc thông thấp 10

Hình 7 đáp ứng biên độ tín hiệu x(n). 17
Hình 8 đáp ứng pha tín hiệu x(n) 17
Hình 9 đáp ứng xung tín hiệu x(n); 18
Hình 10 đáp ứng xung tín hiệu x(n) dạng bậc 18
Hình 11 ước lượng phổ tín hiệu x(n). 19
Hình 12 phổ tín hiệu x(n) trước khi lọc và sau khi lọc. 19

Bảng phân chia công việc nhóm theo phụ lục.
Công việc
Lê Xuân Bách
Hoàng Bảo Trung
Xây dựng cơ sở lý thuyết, các công thức
thiết kế bộ lọc.
X

Thiết kế bộ lọc, xác định các thông số của
bộ lọc
X

Lập trình Matlab theo các thông số đã xác
định

X
Nhận xét đánh giá
X
X Tiểu luận: Thiết kế bộ lọc thông cao Butterworth Môn học: Thiết kế bộ lọc số và phân tích phổ.
Giảng viên: PGS/TS. Trịnh Văn Loan. Viện công nghệ thông tin và truyền thông-DHBKHN

xét tương ứng với yêu cầu đề bài.
 Chương 5: Kết luân: đánh giá kết quả thực hiện.
 Chương 6: Tài liệu tham khảo.

Tiểu luận: Thiết kế bộ lọc thông cao Butterworth Môn học: Thiết kế bộ lọc số và phân tích phổ.
Giảng viên: PGS/TS. Trịnh Văn Loan. Viện công nghệ thông tin và truyền thông-DHBKHN

Nhóm làm đề 20: Lê Xuân Bách - CB120129 & Hoàng Bảo Trung – CB120155 Lớp 12BMTTT
Trang 4
2. Cơ sở lý thuyết.
Bộ lọc IIR có đáp ứng xung dài vô hạn nên có thể phù hợp với bộ lọc tương tự
trong đó đáp ứng xung thường dài vô hạn. Vì vậy, kỹ thuật cơ bản thiết kế bộ lọc
IIR làbiến đổi bộ lọc tương tự thành bộ lọc số.
Có 2 kỹ thuật cơ bản sử dụng trong thiết kế bộ lọc thông thấp IIR:
 Biến đổi dải tần trong miền s:
 Biến đổi dải tần trong miền Z: Trong đó kỹ thuật thường được sử dụng là kỹ thuật biến đổi dải tần trong miền Z.
Đáp ứng tần số của bộ lọc tương tự 

 được biểu thị như trong hình vẽ:

Hình 1 đáp ứng của bộ lọc số

Thiết kế bộ lọc thông
thấp tương tự

Trong dải chắn : 










;






Với :
  là tham số dao động trong dải thông.
 

là tần số cắt của dải thông tính bằng rad/s.
 

là tần số cắt của dải chắn tính bằng rad/s.
 A là tham số suy giảm dải chắn.







Các tham số Ɛ và A liên quan tới Rp và As tính theo dB như sau:






 













 






thỏa mãn phương trình:

















Với N là bậc của bộ lọc thông thấp, 

là tần số cắt tính bằng rad/s;
 Tại Ω = 0 , 







 Tại Ω =
Hình 2 bộ lọc thông thấp Butterworth.
Đặt   ta có :
















 




.






Các điểm cực của hệ 





 

Hình 3 điểm cực của bộ lọc.
Vậy các điểm cực của hệ sẽ nằm trên một vòng tròn trong mặt phẳng S.
Vòng tròn này được gọi là vòng tròn Butterworth. Để bảo đảm hệ thống là ổn định
thì các điểm cực của hệ phải nằm bên trái trục ảo. Vậy trong các điểm cực của hệ
ta sẽ chọn ra các điểm cực nằm bên trái trục ảo để làm cực để bộ lọc ổn định.:








Vậy 




có dạng:




















Tại tần số  

:  








































Ứng với 













 












2.3. Biến đổi thành bộ lọc số bằng phương pháp song tuyến tính.
Giả thiết bộ lọc tương tự mô tả bởi phương trình vi phân:


Lấy xấp xỉ tích phân bằng công thức tính diện tích hình thang tại t=nT và


=nT-T:















 
Đánh giá phương trình vi phân tại các thời diểm t=nT:
Tiểu luận: Thiết kế bộ lọc thông cao Butterworth Môn học: Thiết kế bộ lọc số và phân tích phổ.
Giảng viên: PGS/TS. Trịnh Văn Loan. Viện công nghệ thông tin và truyền thông-DHBKHN

Nhóm làm đề 20: Lê Xuân Bách - CB120129 & Hoàng Bảo Trung – CB120155 Lớp 12BMTTT
Trang 9




 


Biến đổi Z của phương trình sai phân: 






 












 














Như vậy ánh xạ từ miền s sang miền z là:








 với phương trình





  
Đây được gọi là phép biến đổi song tuyến tính, quan hệ này tuyến tính theo s
cũng như theo z.
Kết quả suy ra từ phương trình trên cũng đúng cho phương trình vi phân bậc N.
Đặt 

 













và 


 




Nếu r<1 thì 
Nếu r=1 thì 



  



Hình 4 ánh xạ 1-1 từ miền s sang miền z
Trục ảo ánh xạ 1-1 lên đường tròn đơn vị, và ánh xạ tần số là không tuyến
tính.
2.4. Thiết kế bộ lọc thông cao từ bộ lọc thông thấp.
Ta thực hiện biến đổi dải tần số của bộ lọc thông thấp để có bộ lọc thông cao.
 Đầu tiên thiết kế bộ lọc số thông thấp prototype sau đó áp dụng các phép
biến đổi đại số để có bộ lọc cần thiết:
 

(Z): là bộ lọc thông thấp prototype, H(z): là bộ lọc mong muốn thiết kế
 Việc biến đổi dải tần số dẫn đến việc thay biến 

bằng hàm hữu tỷ





  phải là hàm hữu tỷ theo 

để có thể thực hiện được H(z)
 Đường tròn đơn vị của mặt phẳng Z phải ánh xạ vào đường tròn đơn vị của
mặt phẳng z
 Để ổn định, bên trong đường tròn đơn vị của mặt phẳng Z phải ánh xạ vào
bên trong đường tròn đơn vị của mặt phẳng z.
Gọi w’ và w là biến tần số của Z và z: 



, ta có:









Vì phải có (*) với mọi ω nên ánh xạ phải có dạng bộ lọc cho qua tất, nên ta có
dạng tổng quát của hàm 



















Với việc biến đổi bộ lọc thông thấp thành bộ lọc thông cao ta sử dụng phép biến




Tiểu luận: Thiết kế bộ lọc thông cao Butterworth Môn học: Thiết kế bộ lọc số và phân tích phổ.
Giảng viên: PGS/TS. Trịnh Văn Loan. Viện công nghệ thông tin và truyền thông-DHBKHN

Nhóm làm đề 20: Lê Xuân Bách - CB120129 & Hoàng Bảo Trung – CB120155 Lớp 12BMTTT
Trang 12
3. Thiết kế bộ lọc thông cao.
Thiết kếbộlọc sốthông cao Butterworth có các tham sốnhưsau: tần số căt: 0,3 π,
tần số thông cao: 0,5 π, Rp = 0,5 dB, As = 60 dB. Thực hiện các bước thiết kếbộlọc
này theo phương pháp song tuyến tính.
Theo lý thuyết trình bày ở trên ta thực hiện thiết kế bộ lọc thông thấp trước, sau
đó sử dụng các phép biến đổi như đã nêu để tạo thành bộ lọc thông cao.
3.1. Thiết kế bộ lọc.
Đầu tiên ta thực hiện thiết kế bộ lọc thông thấp Butterworth với các thông số:




 .







 




















 



































 =











 
Tiểu luận: Thiết kế bộ lọc thông cao Butterworth Môn học: Thiết kế bộ lọc số và phân tích phổ.
Giảng viên: PGS/TS. Trịnh Văn Loan. Viện công nghệ thông tin và truyền thông-DHBKHN

Nhóm làm đề 20: Lê Xuân Bách - CB120129 & Hoàng Bảo Trung – CB120155 Lớp 12BMTTT
Trang 13
Như vậy ta đã có các thông số cần thiết cho bộ lọc thông thấp butterworth.
Thực hiện biến đổi sang miền z:
Ta có:



















Thự hiện biến đổi miền Zz theo công thức












  






Trong đó: 








 chọn f1=0.1Fs;
  












 Xác định tần số dải chắn đối với bộ lọc thông thấp ứng với dải thông trên
bộ lọc thông cao:


   chọn f2=0.3Fs;
  









oms=(2/T)*tan(ws/2)
omp=(2/T)*tan(wp/2)
Rp=0.5;
As=60;

%Tính bậc của bộ lọc
N=ceil((log10((10^(As/10)-1)/(10^(Rp/10)-1)))/(2*log10(oms/omp)));

%Tính tần số cắt
omc=(omp/((10^(Rp/10)-1)^(1/(2*N))) + oms/((10^(As/10)-1)^(1/(2*N))))/2;
%omc=1145.39
wc=2*atan(omc*T/2);
wc=wc/pi; %wc=0.3246

%thực hiện bộ lọc butterworth thông cao với các tham số ở trên.
[b,a]=butter(N,wc,'high');

%vẽ đáp ứng biên độ theo thang tương đối.
figure
freqz(b,a);
[h,w]=freqz(b,a);
h=abs(h);

%vẽ đáp ứng biên độ theo thang tuyệt đối.
figure
plot(w,h);
title('Đáp ứng biên độ theo thang tuyệt đối)
xlabel('Frequency (Hz)')
ylabel('|Ha(z)|')


[y,zf]=filter(b,a,x);
% vẽ phổ tín hiệu Xz sau khi lọc
Yz=(abs(fft(y,Fs))).^2;
length(Yz)
subplot(2,1,2);
plot([1:1:Fs],Yz);
title('Sau khi lọc')
xlabel('tần so Hz');
ylabel('Yz'); Tiểu luận: Thiết kế bộ lọc thông cao Butterworth Môn học: Thiết kế bộ lọc số và phân tích phổ.
Giảng viên: PGS/TS. Trịnh Văn Loan. Viện công nghệ thông tin và truyền thông-DHBKHN

Nhóm làm đề 20: Lê Xuân Bách - CB120129 & Hoàng Bảo Trung – CB120155 Lớp 12BMTTT
Trang 16
4. Kết quả thực hiện.
Đáp ứng biên độ theo thang tương đối của bộ lọc.

Hình 5 đáp ứng biên độ bộ lọc theo thang tương đối.
Đáp ứng biên độ theo thang tuyệt đối của bộ lọc.

Hình 6 đáp ứng biên độ bộ lọc theo thang tuyệt đối.
Nhận xét:
Với các thông số theo mô hình thiết kế và kết quả hiển thị nhận thấy bộ lọc
sau khi thiết kế đáp ứng được yêu cầu của đề bài.
Tiểu luận: Thiết kế bộ lọc thông cao Butterworth Môn học: Thiết kế bộ lọc số và phân tích phổ.
Giảng viên: PGS/TS. Trịnh Văn Loan. Viện công nghệ thông tin và truyền thông-DHBKHN

Nhóm làm đề 20: Lê Xuân Bách - CB120129 & Hoàng Bảo Trung – CB120155 Lớp 12BMTTT


Tiểu luận: Thiết kế bộ lọc thông cao Butterworth Môn học: Thiết kế bộ lọc số và phân tích phổ.
Giảng viên: PGS/TS. Trịnh Văn Loan. Viện công nghệ thông tin và truyền thông-DHBKHN

Nhóm làm đề 20: Lê Xuân Bách - CB120129 & Hoàng Bảo Trung – CB120155 Lớp 12BMTTT
Trang 20
5. Kết luận.
Qua các phần đã trình bày ở trên thì chúng ta có thể nắm được các bước cơ bản
về phương pháp thiết kế, tính toán các hệ số thực tế và cách thức thực hiện của bộ
lọc thông cao Butterworth. Như vậy qua đó ta có thể nắm bắt được các thủ tục thiết
kế một bộ lọc thông cao Butterworth với các đặc điểm kỹ thuật cho trước.
Cuối cùng quan trọng nhất là ta có thể thiết kế và thực hiện các bộ lọc số bằng
chương trình MATLAB như trong tiểu luận này viết và qua đó có thể ứng dụng để
thiết kế các bộ lọc bằng các phương pháp khác. Với sự phát triển mạnh mẽ của
khoa học kỹ thuật, các ngôn ngữ lập trình mạnh có kèm theo hộp công cụ xử
lý số tín hiệu như ngôn ngữ MATLAB thì việc phân tích và thiết kế các bộ lọc số
ngày càng trở nên đơn giản (kể cả bộ lọc FIR và bộ lọc IIR) và độ chính xác của
phép toán sẽ tăng lên.
Do điều kiện thời gian có hạn cộng với khả năng còn hạn chế nên chắc không
tránh khỏi thiếu sót.
Tiểu luận: Thiết kế bộ lọc thông cao Butterworth Môn học: Thiết kế bộ lọc số và phân tích phổ.
Giảng viên: PGS/TS. Trịnh Văn Loan. Viện công nghệ thông tin và truyền thông-DHBKHN

Nhóm làm đề 20: Lê Xuân Bách - CB120129 & Hoàng Bảo Trung – CB120155 Lớp 12BMTTT
Trang 21
6. Tài liệu tham khảo.
1. Giáo trình xử lý tín hiệu số- PGS/TS Trịnh Văn Loan- Đại học Bách
Khoa Hà Nội
2. Giáo trình điều chế tương tự và số- PGS/TS Trịnh Văn Loan- Đại học
Bách Khoa Hà Nội