Bài 1
MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ
I/ HÀM SỐ CHẴN, HÀM SỐ LẺ
Xét hàm số
( )f x
với tập xác định
( )D f R󽟍
và tập giá trị
( )R f R󽟍
.
ĐỊNH NGHĨA 1
a)
( )f x
được gọi là hàm số chẵn trên M,
( )M D f󽟍
(gọi tắt là hàm chẵn trên M) nếu
( )x M x D f󽜣 󽟏 󽟟 󽜮 󽟏
và
( ) ( )f x f x󽜮 󽜾
,
x M󽜣 󽟏
.
b)
( )f x
được gọi là hàm số lẻ trên M (gọi tắt là hàm lẻ trên M) nếu
x M󽜣 󽟏
( )x D f󽟟 󽜮 󽟏
và
( ) ( )f x f x󽜮 󽜾 󽜮
,
x M󽜣 󽟏

và (1) có dạng
0 0
,
2 2
x x
f t f t t R
󽟧 󽟷 󽟧 󽟷
󽜬 󽜾 󽜮 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸 󽟨 󽟸
󽟩 󽟹 󽟩 󽟹
. (2)
Đặt
0
( )
2
x
g t f t
󽟧 󽟷
󽜾 󽜬
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
thì
0 0
( ) , ( )
2 2
x x
g t f t f t g t
󽟧 󽟷 󽟧 󽟷
󽜮 󽜾 󽜮 󽜾 󽜮
󽟨 󽟸 󽟨 󽟸

x R󽜣 󽟏
. (3)
Giải.
Đặt
2
a
x t󽜮 󽜾
.
Khi đó
2
a
x t󽜾 󽜮
và
2
a
a x t󽜮 󽜾 󽜬
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
1
Thành thử (3) có dạng
2 2
a a
f t f t b
󽟧 󽟷 󽟧 󽟷
󽜬 󽜬 󽜮 󽜾
󽟨 󽟸 󽟨 󽟸
󽟩 󽟹 󽟩 󽟹
. (4)
Đặt
( )

trong đó
( )g x
là hàm lẻ tùy ý trên R.
BÀI TẬP
1. Cho
( )f x
là một hàm số đồng thời vừa chẵn và vừa lẻ trên R. Chứng minh rằng
( ) 0f x 󽞻
.
2. Chứng minh rằng mọi hàm số xác định trên R đều có thể viết được dưới dạng hiệu của một
hàm số chẵn và một hàm số lẻ, xác định trên R.
3. Cho hàm số
( )f x
xác định trên R. Xác định hàm số
( )g x
biết rằng đồ thị của hàm số này đối
xứng với đồ thị của hàm số đã cho qua đường thẳng
0
x x󽜾
cho trước.
4. Cho hàm số
( )f x
xác định trên R. Xác định hàm số
( )g x
biết rằng đồ thị của hàm số này đối
xứng với đồ thị của hàm số đã cho qua điểm
󽜩 󽜪
0 0
,
M x y

VINAMATH.COM
2
II/ HÀM TUẦN HOÀN VÀ PHẢN TUẦN HOÀN
ĐỊNH NGHĨA 2
a) Hàm số
( )f x
được gọi là hàm tuần hoàn (cộng tính) chu kỳ
󽜩 󽜪
0a a 󽜿
trên M nếu
( )M D f󽟍
và
󽜩 󽜪
( ),
x M x a M
f x a f x x M
󽜣 󽟏 󽟟 󽞲 󽟏
󽟭
󽟮
󽜬 󽜾 󽜣 󽟏
󽟯
(4)
b) Cho
( )f x
là một hàm tuần hoàn trên M. Khi đó
󽜩 󽜪
0T T 󽜿
được gọi là chu kỳ cơ sở của
( )f x
nếu

󽟏
tùy ý. Vì trong
Q
󽜬
không có số nhỏ
nhất nên hàm
( )f x
không có chu kỳ cơ sở.
Bài toán 2. Cho cặp
( )f x
,
( )g x
tuần hoàn trên M có các chu kỳ lần lượt là
à ba v
với
a
Q
b
󽟏
. Chứng minh rằng
󽜩 󽜪
F x T f󽟭 󽜬 󽜾
󽟮
󽟯
và
( ) : ( ) ( )G x f x g x󽜾
cũng là những hàm
tuần hoàn trên M.
Giải.
Theo giả thiết

là những hàm tuần hoàn trên M.
ĐỊNH NGHĨA 3
a/ Hàm số
( )f x
được gọi là hàm phản tuần hoàn (cộng tính) chu kỳ
󽜩 󽜪
0b b 󽜿
trên M nếu
( )M D f󽟍
và
󽜩 󽜪
( ),
x M x b M
f x b f x x M
󽜣 󽟏 󽟟 󽞲 󽟏
󽟭
󽟮
󽜬 󽜾 󽜮 󽜣 󽟏
󽟯
(5)
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
3
b/ Nếu hàm
( )f x
là hàm phản tuần hoàn chu kỳ
0
b
trên M mà không là hàm phản tuần hoàn với
bất cứ chu kỳ nào bé hơn

x M󽜣 󽟏
Vậy
( )f x
là hàm phản tuần hoàn chu kỳ
2b
trên M.
Bài toán 4. Chứng minh rằng
( )f x
là hàm phản tuần hoàn chu kỳ
b
trên M khi và chỉ khi
( )f x
có dạng
( ) ( ) ( ),f x g x b g x󽜾 󽜬 󽜮
(6)
Với
( )g x
là một hàm tuần hoàn chu kỳ
2b
trên M
Giải.
Thật vậy, với
( )f x
thỏa mãn (6) ta có
( ) ( 2 ) ( )f x b g x b g x b󽜬 󽜾 󽜬 󽜮 󽜬
󽜩 󽜪
( ) ( )
( ) ( )
( ), .
g x g x b

( ) ( )
1 1 1 1
( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ),
2 2 2 2
g x b g x
f x b f x f x f x f x x M
󽜬 󽜮 󽜾
󽟧 󽟷
󽜾 󽜮 󽜬 󽜮 󽜮 󽜾 󽜮 󽜮 󽜬 󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
BÀI TẬP
1. Chứng minh rằng hàm số
( )f x tgx󽜾
không là hàm phản tuần hoàn trên
R \
, .
2
k k Z
π
󽟭 󽟽
󽜬 󽟏
󽟮 󽟾
󽟯 󽟿
2. Chứng minh rằng
2π
là chu kỳ cơ sở của hàm số
( ) osf x c x󽜾
.
VINAMATH.COM

( )f x
được gọi là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ
󽝼 󽝾
󽜩 󽜪
0, 1, 1a a 󽟐 󽜮
trên M nếu
( )M D f󽟍
và
1
(a ) ( ), .
x M a x M
f x f x x M
󽞲
󽟭
󽜣 󽟏 󽟟 󽟏
󽟮
󽜾 󽜣 󽟏
󽟯
Ví dụ.
Xét
󽜩 󽜪
2
( ) sin 2 log
f x xπ󽜾
. Khi đó
( )f x
là hàm tuần hoàn nhân tính 2 trên
R
󽜬
.

à ba v
, tương ứng trên
M và
ln
, , .
ln
a
m
m n N
b n
󽜬
󽜾 󽟏
Chứng minh rằng
( ) : ( ) ( )F x f x g x󽜾 󽜬
và
( ) : ( ) ( )G x f x g x󽜾
là những hàm tuần hoàn
nhân tính trên M.
Giải.
Từ giả thiết suy ra
m
n
a b󽜾
. Ta chứng minh
2 2
:
n m
T a b󽜾 󽜾
là chu kỳ của
( ) à G( )F x v x

VINAMATH.COM
5
( )f x
được gọi là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ
󽝼 󽝾
󽜩 󽜪
0, 1, 1a a 󽟏 󽜮
trên M nếu
( )M D f󽟍
và
1
(a ) ( ), .
x M a x M
f x f x x M
󽞲
󽟭
󽜣 󽟏 󽟟 󽟏
󽟮
󽜾 󽜮 󽜣 󽟏
󽟯
Bài toán 2. Chứng minh rằng mọi hàm phản tuần hoàn nhân tính trên M cũng là hàm tuần hoàn
nhân tính trên M.
Giải.
Theo giả thiết,
󽝼 󽝾
0, 1b󽜥 󽟐 󽞲
sao cho
x M󽜣 󽟏
thì
1

( )f x
là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ
󽝼 󽝾
󽜩 󽜪
0, 1b b 󽟐 󽞲
trên M khi và chỉ khi
( )f x
có dạng :
󽜩 󽜪
1
( ) ( ) ( )
2
f x g bx g x󽜾 󽜮
, (7)
trong đó,
( )g x
là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ
2
b
trên M.
Giải.
Thật vậy, nếu
( )f x
có dạng (7) thì
2
1
( ) ( ) ( )
2
f bx g b x g bx
󽟪 󽟺

là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ
b
trên M. Khi đó
( ) ( )g x f x󽜾 󽜮
( )f x
là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ
2
b
trên M (Bài toán 2) và
󽜩 󽜪 󽜩 󽜪
1 1
( ) ( ) ( ) ( ( )
2 2
g bx g x f bx f x󽜮 󽜾 󽜮 󽜮 󽜮
󽜩 󽜪
1
( ( )) ( ) ( )
2
f x f x f x󽜾 󽜮 󽜮 󽜬 󽜾
,
x M󽜣 󽟏
.
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
6
IV/ MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC HÀM TUẦN HOÀN CỘNG TÍNH VÀ NHÂN TÍNH
Bài toán 1. Cho
0a 󽞺
,
1a 󽞺 󽞲

󽜩 󽜪
1 1
1 ( ), .h t h t t R󽟜 󽜬 󽜾 󽜣 󽟏
Xét
0x 󽜽
, đặt
t
x a󽜮 󽜾
và
2
( ) ( )
t
f a h t󽜮 󽜾
. Khi đó
log
a
t x󽜾
và
󽜩 󽜪
2 2
(8) 1 ( ),
h t h t x R󽟜 󽜬 󽜾 󽜣 󽟏
(ii) Với
0a 󽜽
Khi đó
2
( ) ( )f a x f x󽜾
và mọi nghiệm của (8) được cho bởi công thức
󽝜 󽝞
1

g x g x f x x R󽜾 󽜬 󽜾 󽜣 󽟏
Ngược lại, nếu
( )f x
thoả mãn (8) thì chọn
( ) ( )g x f x󽜾
. Khi đó
2
( ) ( ),g a x g x x R󽜾 󽜣 󽟏
và
󽝜 󽝞 󽝜 󽝞
1 1
( ) (a ) ( ) (a )
2 2
g x g x f x f x󽜬 󽜾 󽜬 󽜾
󽝜 󽝞
1
( ) ( ) ( ), .
2
f x f x f x x R󽜾 󽜬 󽜾 󽜣 󽟏
Tiếp theo, áp dụng kết quả nhận được trong (i).
Kết luận :
Với
0a 󽜿
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
7
󽜩 󽜪
󽜩 󽜪
1
2

4
1
log 0,
2
( ) ù ý 0,
1
log 0,
2
a
a
h x khi x
g x d t y khi x
h x khi x
󽟭
󽟧 󽟷
󽜿
󽟨 󽟸
󽟰
󽟩 󽟹
󽟰
󽟰
󽜾 󽜾
󽟮
󽟰
󽟧 󽟷
󽟰
󽜽
󽟨 󽟸
󽟰
󽟩 󽟹

( )f x
có dạng đó thì ta có
2
1
( ) ( ) (a )
2
f ax g ax g x
󽟪 󽟺
󽜾 󽜮
󽟬 󽟼
󽝜 󽝞
1
(a ) ( ) ( ), .
2
g x g x f x x R󽜾 󽜮 󽜾 󽜮 󽜣 󽟏
Ngược lại, với mỗi
( )f x
thoả mãn (9), chọn
( ) ( )g x f x󽜾
. Kh đó
2
( ) ( ),g a x g x x R󽜾 󽜣 󽟏
và
󽝜 󽝞 󽝜 󽝞
1 1
( ) (a ) ( ) (a )
2 2
g x g x f x f x󽜮 󽜾 󽜮
󽝜 󽝞
1

󽟨 󽟸
󽟰
󽟩 󽟹
󽟰
󽟰
󽜾 󽜾
󽟮
󽟰
󽟧 󽟷
󽟰
󽜽
󽟨 󽟸
󽟰
󽟩 󽟹
󽟯
với
1 2
( ), ( )h t h t
là các hàm tuần hoàn cộng tính tuỳ ý chu kỳ1 trên R.
Nhận xét. Nếu
( )f x
là hàm tuần hoàn cộng tính chu kì
0a 󽜿
trên R thì
󽜩 󽜪
( ) (ln ) 0g t f t t󽜾 󽜿
là hàm tuần hoàn nhân tính
ê
a
e tr n R

. Xác định tất cả các hàm
( )f x
sao cho
(a ) ( ) ( ), .f x f x f x x R󽜾 󽜬 󽜮 󽜣 󽟏
3. Cho
0a 󽜿
,
1a 󽞺 󽜮
. Xác định tất cả các hàm
( )f x
sao cho
(a ) 1, .f x x R󽜾 󽜣 󽟏
4. Cho hàm số
( )g x
xác định trên R. Xác định tất cả các hàm
( )f x
thoả mãn điều kiện
.),2()()2()( Rxxgxgxfxf 󽟏󽜣󽜬󽜾󽜬
5. Cho hàm số
󽟰
󽟰
󽟯
󽟰
󽟰
󽟮
󽟭
󽟏󽜬󽞺
󽜬
󽟏󽜬󽜾
󽜾

VINAMATH.COM
9
󽝜 󽝞
Ryxyfxf
yx
f 󽟏󽜣󽜬󽜾
󽟸
󽟹
󽟷
󽟨
󽟩
󽟧
󽜬
,,)()(
2
1
2
.
2. Hàm tuyến tính :
󽜩 󽜪
0)( 󽞺󽜾 aaxxf
có tính chất
󽜩 󽜪 󽜩 󽜪 󽜩 󽜪
.,, Ryxyfxfyxf 󽟏󽜣󽜬󽜾󽜬
3. Hàm mũ :
󽜩 󽜪 󽜩 󽜪
1,0 󽞺󽜿󽜾 aaaxf
x
có tính chất
󽜩 󽜪 󽜩 󽜪 󽜩 󽜪

󽜩 󽜪
xxf cos󽜾
có các tính chất
󽜩 󽜪 󽜩 󽜪
󽝜 󽝞
Rxxfxf 󽟏󽜣󽜮󽜾 ,122
2
và
󽜩 󽜪 󽜩 󽜪 󽜩 󽜪 󽜩 󽜪
Ryxyfxfyxfyxf 󽟏󽜣󽜾󽜮󽜬󽜬 ,,2
.
Cặp hàm
󽜩 󽜪
xxf sin󽜾
,
xxg cos)( 󽜾
có tinh chất
󽜩 󽜪
󽜩 󽜪
󽟯
󽟮
󽟭
󽟏󽜣󽜮󽜾󽜬
󽟏󽜣󽜬󽜾󽜬
Ryxyfxfygxgyxg
Ryxxgyfygxfyxf
,),()()()(
,),()()()(
Hàm
tgxxf 󽜾)(

yfxf
yxf
󽜬
󽜮
󽜾󽜬
với
,, yx
󽜩 󽜪
Zkkyx 󽟏󽞺󽜬 π
.
7. Hàm lượng giác ngược
a) Hàm
xxf arcsin)( 󽜾
có tính chất
󽜩
󽜪
󽝜 󽝞
.1,1,,11)()(
22
󽜮󽟏󽜣󽜮󽜬󽜮󽜾󽜬 yxxyyxfyfxf
b) Hàm
xarcxg cos)( 󽜾
có tính chất
󽜩
󽜪
󽝜 󽝞
1,1,,11)()(
22
󽜮󽟏󽜣󽜮󽜮󽜮󽜾󽜬 yxyxxygygxg
.

󽟸
󽟹
󽟷
󽟨
󽟨
󽟩
󽟧
󽜬
󽜮
󽜾󽜬 yxyx
yx
xy
pypxp
.
8. Các hàm hyperbolic
a) Hàm
󽜩 󽜪
xx
eeshxxf
󽜮
󽜮󽜾󽜾
2
1
:)(
có tính chất
.),(4)(3)3(
3
Rxxfxfxf 󽟏󽜣󽜬󽜾
b) Hàm
󽜩 󽜪

󽜬
󽜬
󽜾󽜬
d) Hàm
xx
xx
ee
ee
xxq
󽜮
󽜮
󽜮
󽜬
󽜾󽜾 :coth)(
có tính chất
󽜩 󽜪
0,,:,,
)()(
)()(1
󽞺󽜬󽜣
󽜬
󽜬
󽜾󽜬
yxyxyx
yqxq
yqxq
yxq
.
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM