ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
PHẠM THỊ THU HƯƠNG
SÓNG ÂM VÀ ỨNG DỤNG TRONG
ĐỊA CHẤN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2014
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
PHẠM THỊ THU HƯƠNG
SÓNG ÂM VÀ ỨNG DỤNG TRONG
ĐỊA CHẤN
Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số : 60 46 01 12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN VĂN NGỌC
THÁI NGUYÊN, 2014
Mục lục
Lời cảm ơn 1
Mở đầu 2
1 Cơ sở vật lý của sóng âm 4
1.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Các đặc trưng vật lý của sóng . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Hiệu ứng Doppler và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Hiện tượng Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Tần số Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Súng bắn tốc độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.4 Siêu âm Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Các sóng AM và FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.7.2 Môi trường hai lớp song song . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.7.3 Môi trường ba lớp song song . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Bài toán Cauchy đối với phương trình sóng 33
3.1 Hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.1 Khái niệm về δ hàm Dirac và hàm suy rộng . . . . . . . . . 33
3.1.2 Các không gian hàm cơ bản D và S . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.3 Không gian hàm suy rộng D

và S

. . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.4 Đạo hàm của các hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.1 Biến đổi Fourier của các hàm thông thường . . . . . . . . . 36
3.2.2 Biến đổi Fourier của các hàm suy rộng . . . . . . . . . . . 37
3.3 Nghiệm cơ bản của toán tử sóng và ứng dụng . . . . . . . . . . . 37
3.3.1 Nghiệm cơ bản của toán tử sóng . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.2 Nghiệm suy rộng của bài toán Cauchy đối với toán tử sóng 38
3.3.3 Nghiệm cổ điển của bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . 39
4 Phương pháp sai phân giải các phương trình sóng 41
4.1 Phép tính gần đúng sai phân hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 Các thuật toán số cho phương trình sóng . . . . . . . . . . . . . . 46
Kết luận 53
Tài liệu tham khảo 54
3
LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa hoc - Đại học
Thái Nguyên. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Nguyễn
Văn Ngọc, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong suốt quá
trình hoàn thành luận văn.

lòng Quả Đất. Các sóng hạ âm và siêu âm được ứng dụng nhiều trong y
học và kỹ thuật cao.
Âm học đóng vai trò quan trọng trong hệ thống thông tin viễn thông,
như radio, tivi, điện thoại, máy tính, v.v Một trong những ứng dụng
quan trọng của âm học là phương pháp địa chấn khúc xạ để nghiên cứu
bên trong lòng Quả Đất.
Các hiện tượng âm được mô tả bởi phương trình toán học
∂
2
P
∂t
2
− c
2
∆P = f, (1)
trong đó P = P (x, t), x = (x
1
, x
2
, , x
n
) biểu thị áp suất trong môi trường
do sóng âm gây ra, c là vận tốc truyền âm của môi trường. Phương trình
(1) là một trong những phương trình cơ bản và quan trọng của vật lý toán.
Mục đích của luận văn này là tìm hiểu và học tập sâu thêm về các hiện
tượng âm và những ứng dụng của chúng trong địa chấn,tìm hiểu các phương
pháp toán học hữu hiệu giải phương trình sóng âm.
Bố cục của luận văn gồm Mở đầu, bốn chương nội dung, Kết luận và
Tài liệu tham khảo.
Chương 1 : Cơ sở vật lý của sóng âm

nhận được những sóng âm có tần số từ 16 Hz đến 20000 Hz. Sóng có tần
số dưới 16 Hz gọi là sóng hạ âm (ví dụ, sóng địa chấn, các sóng sinh học,
v.v ). Sóng có tần số cao hơn 20 000 Hz gọi là sóng siêu âm. Tai người
nghe thính với các âm có tần số từ 1000 Hz đến 5 000 Hz.
1.1.2 Các đặc trưng vật lý của sóng
Khoảng thời gian ngắn nhất để thực hiện một dao động(động toàn phần)
gọi là chu kỳ (period) và được hiệu là T, đơn vị của chu kỳ là giây (s). Số
lần dao động thực hiện trong một giây gọi là tần số (frequency) và ký hiệu
là f. Đơn vị của chu kỳ là hec (Hz). Như vậy :
f =
1
T
. (1.1)
Tần số góc (angular frequency) (rad/s):
ω = 2πf =
2π
T
. (1.2)
4
Khoảng cách giữa hai điểm gần nhất của môi trường dao động đồng pha
trên một phương truyền sóng gọi là bước sóng (wavelength). Bước sóng
ký hiệu là λ và có đơn vị là mét (m). Nếu c là vận tốc của sóng (vận tốc
truyền pha dao động: wave propagation velocity) thì
λ = cT =
c
f
. (1.3)
• Vận tốc của sóng âm trong dây kim loại hoặc lò xo:
c =


là oát/mét vuông. Dòng năng lượng của sóng được cho bởi công thức
I =
1
2
ρω
2
A
2
c = 2ρπ
2
f
2
A
2
c. (1.4)
• Tiếng nói thì thầm: I ≈ 10
−6
w/m
2
.
• Tiếng còi ô tô: I ≈ 10
−3
w/m
2
.
• Tiếng còi báo động: I ≈ 1w/m
2
.
• Nếu f = 50Hz, thì I
ngưỡng nghe

Đơn vị của mức cường độ âm là ben (B). Thông thường người ta đo mức
cường độ âm là dexiben (dB): 1B=10 dB.
• Tiếng nói thì thầm: L ≈ 20dB.
• Tiếng chân người đi: L ≈ 48dB.
• Tiếng nói to: L ≈ 80dB.
Sóng âm có mức cường độ âm càng cao thì nghe càng rõ. Khi mức cường
độ của một âm lớn đến mức nào đó sẽ gây ra cảm giác đau trong tai. Độ
to của một âm nằm trong phạm vi từ ngưỡng nghe đến ngưỡng đau.
1.2 Hiệu ứng Doppler và ứng dụng
1.2.1 Hiện tượng Doppler
Khi chúng ta di chuyển, hoặc khi nguồn phát ra âm thanh di chuyển,
chúng ta chúng ta sẽ nghe thấy sự thay đổi âm thanh (cao, thấp) truyền
đến tai. Hiện tượng này được gọi là hiệu ứng Doppler. Hiện tượng vật lý
này được đặt theo tên của nhà vật lý người Áo, Christian Andreas (Johann)
Doppler, là người đã phát hiện ra hiện tượng trên.
Doppler cho rằng, nếu tiếng động đi đến gần bạn, thì có thể là do nguồn
phát ra nó tiến lại gần bạn, hoặc bạn đi về phía phát ra âm thanh, thì
cường độ của nó có vẻ như tăng lên hơn cường độ thật sự của nó. Ngược
lại, khi nguồn phát ra âm thanh đi ra xa, hoặc bạn đi ra xa nguồn âm, thì
âm thanh mà bạn nghe được có vẻ như có cường độ của thật nó.
Hiện tượng Doppler xảy ra do khoảng cách đến nguồn âm thay đổi và
độ dài ngắn của thời gian nghe âm thanh. Nếu bạn nghe một sóng âm có
tần số không đổi trong khoảng thời gian ngắn hoặc dài, thì bạn sẽ có cảm
giác âm thanh đó có tần số, cao thấp khác nhau.
Biểu diễn toán học của hiệu ứng Doppler
Đối với sóng chuyển động trong môi trường, như sóng âm, nguồn sóng và
người quan sát đều có thể chuyển động tương đối so với môi trường. Hiệu
ứng Doppler lúc đó là sự tổng hợp của hai hiệu ứng riêng rẽ gây ra bởi hai
chuyển động này.
Công thức biểu thị giữa tần số thật của sóng âm và tần số cuả âm do

1 +
v
s
c

f
o
. (1.7)
Tương tự, khi nguồn đứng yên, ta có công thức
f =

1 +
v
r
c

f
o
. (1.8)
1.2.2 Tần số Doppler
Hiệu số giữa sóng tới và sóng phản xạ được gọi là tần số Doppler. Tần
số Doppler được cho bởi công thức
∆f = |F
r
− F
i
| = 2F
i
|cos θ|
v

Để tính toán khoảng cách, hệ thống laser sẽ phát đi liên tục những
tia laser hồng ngoại trong một khoảng thời gian ngắn để có các khoảng
cách khác nhau. Bằng cách so sánh những khoảng cách thu được này, hệ
thống laser có thể tính toán chính xác tốc độ thực của xe.
Những hệ thống sử dụng tia laser này có thể ghi nhận hàng trăm
khoảng cách khác nhau chỉ trong khoảng thời gian nửa giây.
1.2.4 Siêu âm Doppler
Siêu âm Doppler là phương pháp ứng dụng hiệu ứng Doppler. Người
ta phát sóng siêu âm tới bộ phận cần khảo sát và thu hồi sóng phản xạ.
Từ sự khác biệt tần số tới và tần số phản hồi ta sẽ có các thiết bị xử lý và
hiển thị lên màn ảnh. Ảnh này cho biết chức năng hoạt động của các cơ
quan ra sao ?
Về mặt kỹ thuật, người ta quan tâm tới hai vấn đề:
Một là, phân tích sóng phản hồi để tính tần số Doppler, nhờ đó tính
toán khảo sát được sự chuyển động của vật cần khảo sát.
Hai là, hiển thị lên màn ảnh sự phân bố của các chuyển động đó.
Khi đánh giá tín hiệu phản hồi của dòng chảy, các vận tốc của dòng chảy
hướng về phía đầu dò được mã màu đỏ trên Doppler màu,còn các vận tốc
của dòng chảy hướng ra xa đầu dò sẽ được mã màu xanh.
Siêu âm Doppler được ứng dụng trong khá nhiều hợp, như:
• Khảo sát các mạch máu.
• Xem xét tình hình phát triển của thai nhi.
• Khảo sát bệnh lý của gan, thận
8
1.3 Các sóng AM và FM
1.3.1 Nguyên lý phát và thu sóng AM
• Tín hiệu âm tần.
Tín hiệu âm tần là tín hiệu của sóng âm thanh sau khi được đổi thành
tín hiệu điện thông qua Micro. Sóng âm thanh là một dạng của sóng cơ học
truyền trong không gian, khi sóng âm thanh va chạm vào màng Micro, làm

tầng điện ly chúng phản xạ xuống Trái Đất rồi lại phản xạ ngược lên nhiều
lần mới đến được máy thu, vì vậy tín hiệu ở máy thu thường rất yếu và
không ổn định. Đặc điểm của sóng AM là dễ bị can nhiễu, dải tần âm
thanh bị cắt xén do đặc điểm của mạch tách sóng điều biên, do đó chất
lượng âm thanh bị hạn chế.
1.3.2 Nguyên lý phát và thu sóng FM
• Mạch điều chế FM.
FM là chữ viết tắt của Frequency Modulation ( điều chế tần số, hay
biến điệu tần số). Điều chế tần số là phương thức làm thay đổi tần số của
tín hiệu cao tần theo biên độ của tín hiệu âm tần, khoảng tần số biến đổi
là 150KHz. Sóng FM là sóng cực ngắn đối với tín hiệu Radio và thường
được phát ở dải tần từ 76MHz đến 108MHz.
Với mạch điều chế tần số, thì sóng mang có biên độ không đổi, nhưng
có tần số thay đổi theo biên độ của tín hiệu âm tần. Khi biên độ của tín
hiệu âm tần tăng thì tần số cao tần tăng, khi biên độ âm tần giảm thì tần
số của tín hiệu cao tần giảm. Như vậy sóng mang FM có tần số tăng, giảm
theo tín hiệu âm tần và giới hạn tăng giảm thường vào khoảng 300KHz.
Thí dụ, Đài Tiếng nói Việt Nam phát trên sóng FM 100MHz thì nó
truyền đi một dải tần từ 99,85 MHz đến 100, 15 MHz.
• Quá trình phát sóng FM.
Quá trình phát sóng FM tương tự như quá trình phát sóng AM, sóng
mang sau khi điều chế cũng được khuếch đại rồi đưa ra Anten để phát xạ
truyền đi xa.
• Đặc điểm của sóng FM.
Sóng FM có nhiều ưu điểm về mặt tần số, dải tần âm thanh sau khi
tách sóng điều tần có chất lượng tốt, cho âm thanh trung thực và có thể
truyền âm thanh theo Stereo. Sóng FM ít bị can nhiễu hơn so với sóng
AM.
Nhược điểm của sóng FM là cự ly truyền sóng ngắn, chỉ vào khoảng vài
10

11
do nhân tạo. Nguồn phát ra hạ âm tự nhiên là do mưa to gió lớn, tiếng
sấm sét, ánh chớp, mưa thiên thạch, núi lửa v.v Tần số của những sóng
hạ âm này thường dưới 0,1 Hz.
Sóng hạ âm do con người gây ra là máy bay bay qua, xe chạy với tốc
độ cao, phóng tên lửa, thử bom nguyên tử, v.v Tần số của những sóng
hạ âm này vào khoảng 1-5 Hz.
Bản thân con người cũng sinh ra sóng hạ âm, chẳng hạn như tiếng hít
thở gây ra sóng hạ âm có tần số khoản 0.25-0,30 Hz, nhịp tim đập gây ra
sóng hạ âm với tần số khoảng 1,2 Hz.
•Đặc điểm của sóng hạ âm .
Một đặc điểm quan trọng của sóng hạ âm là trong quá trình lan
truyền chúng ít bị suy giảm, khó bị không khí và nước hấp thụ. Sóng hạ
âm có bước sóng dài hàng trăm, thậm chí hàng nghìn mét. Theo nguyên
lý nhiễu xạ sóng, các sóng hạ âm rất dễ chạy vòng qua các vật cản. Sóng
hạ âm thâm nhập vào tất cả các công trình kiến trúc, tàu ngầm v.v
•Ảnh hưởng của sóng hạ âm tới sức khỏe con người.
Sóng hạ âm là một loại sóng âm, so với âm thanh bình thường nó rung
động chậm hơn khá nhiều, mỗi giây rung chưa đến 20 lần. Do nó rung động
quá chậm nên tai người không nghe thấy. Tuy không nghe thấy nhưng đối
với cơ thể con người sóng hạ âm rất có hại vì tổ chức và lục phủ ngũ tạng
trong thân thể người vô cùng nhạy bén với sóng hạ âm, hấp thụ rất dễ
dàng năng lượng chấn động của sóng hạ âm để rồi rung động mãnh liệt
lên.
Năm 1948 một tàu chở hàng của Hà Lan khi đi vào eo biển Malaca của
Malaysia, toàn thể thủy thủ đoàn khỏe mạnh và một con chó ở trên tàu
đã đột ngột chết. Vụ án li kỳ này đã làm xôn xao dư luận thời bấy giờ.
Mấy chục năm đã trôi qua, công tác điều tra về vụ án trên không có một
chút tiến triển nào. Mãi đến gần đây vụ án này mới có một số manh mối,
hung thủ tìm thấy được chính là sóng hạ âm.

M
là bán kính véc tơ của điểm M(x, y, z) trong R
n
:
r = ix ∈ R, r = ix + jy ∈ R
2
, r = ix + jy + kz ∈ R
3
,
trong đó i, j, k là véc tơ đơn vị của các trục tọa độ
u = (u
1
, u
2
, u
3
) = (u, v, w) là véc tơ hàm.
Gradient của một hàm khả vi (vô hướng):
∇ =

∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z

, ∇φ = gradφ =

2
∂y
2
+
∂
2
∂z
2
,
∆φ = ∇
2
φ = div(gradφ) =
∂
2
φ
∂x
2
+
∂
2
φ
∂y
2
+
∂
2
φ
∂z
2
.

M
, t) là ứng suất, áp suất (trong chất lưu)tại điểm M của
R
n
ở thời điểm t. Đơn vị của ứng suất là N/m
2
, hay P a (Paxcan). Xét
điểm M(x, y, z) ∈ R
3
thuộc đối tượng nghiên cứu ở thời điểm t. Dưới sự
tác dụng của các lực, ở trạng thái cân bằng điểm M sẽ dịch chuyển (rất
nhỏ) đến điểm M

(x

, y

, z

). Véc tơ
−→
u
M
=
−−−→
MM

được gọi là véc tơ chuyển
vị của điểm M : u
M

∂
2
u
∂t
2
là
véc tơ gia tốc hạt vật chất (particle acceleration vector).
2.2 Phương trình sóng âm (Acoustic Wave Equation)
Sử dụng các định luật Hooke và Newton nêu trên, ta có phương trình
sau đây, gọi là phương trình sóng áp suất âm:
∆P − c
−2
∂
2
P
∂t
2
= F, (2.4)
trong đó
c =

γ(x, y, z)
ρ(x, y, z)
là vận tốc truyền sóng của môi trường,
F = −
∂
2
S(x,y,z;t)
∂t
2

2
)A
o
e
i(kx−ωt)
= 0,
từ đây suy ra : k
2
=

ω
c

2
, k = ±
ω
c
.
Dễ thấy rằng : k =
2π
λ
, trong đó λ là bước sóng.
Chú ý rằng
ω =
2π
T
, c =

γ
ρ

−

ω
c

2
= 0. (2.8)
Ta vẫn có
λ =
2π
k
, k =

k
2
x
+ k
2
z
.
Các số sóng có thể là
k
x
=
αω
c
, k
z
=
βω

−

ω
c

2
= 0. (2.10)
Ta vẫn có
λ =
2π
k
, k =

k
2
x
+ k
2
y
+ k
2
z
.
Các số sóng có thể là
k
x
=
αω
c
, k

o
e
i(k.x−ωt)
thì có hệ thức
c =
ω
k
, k =

k
2
x
+ k
2
y
+ k
2
z
,
trong đó k được gọi là số sóng.Công thức trên đây chính là công thức của
vận tốc pha sau đây
v
p
=
ω
k
, ω = v
p
k (2.11)
được trực tiếp suy ra từ công thức pha của sóng phẳng trong không gian

v =

E
ρ
,
trong đó E là suất Young, liên quan đến ứng suất pháp σ =
F
S
theo công
thức
σ = E
∆l
l
.
- Vận tốc sóng ngang trên sợi dây căng mảnh có mật độ ρ, sức căng F và
tiết diện S
v =

F
ρS
.
• Vận tốc pha có thể vượt quá vận tôc ánh sáng trong chân không
- Vận tốc pha trong nhiều trường hợp có thể vượt quá vận tốc ánh sáng
trong chân không. Điều này không hề trái với định luật về sự giới hạn của
vận tốc ánh sáng. Bản chất của vấn đề ở chỗ định luật tương đối chỉ ra giới
hạn vận tốc lan truyền của các vật có khả năng truyền đi thông tin. Vận
tốc pha không phải là vận tốc của các vật có khả năng truyền đi thông tin
như vậy. Sóng đơn sắc tuyệt đối truyền đi với vận tốc vô hạn theo không
gian, thời gian và không thể truyền thômg tin.
- Dễ thấy rằng vận tốc sóng De Broglie luôn lớn hơn vận tốc ánh sáng

dk
, dω = v
p
dk. (2.12)
• Nếu tần số góc là tuyến tính đối với số sóng, thì vận tốc pha và vận tốc
nhóm trùng nhau. Hàm ω(k) biểu thị sự biến đổi của tần số góc theo số
sóng k được gọi là mối quan hệ của sự tán sắc ánh sáng. Sự tán sắc ánh
sáng được biểu thị bởi sự phụ thuộc của vận tốc nhóm vào bước sóng.
2.5 Năng lượng của quá trình truyền sóng âm
2.5.1 Mật độ năng lượng của sóng đàn hồi
Mật độ năng lượng sóng (gọi tắt là năng lượng sóng)là tổng năng lượng
của các phần tử vật chất trong một đơn vị thể tích của môi trường có sóng
truyền qua. Năng lượng của dao động do sóng tạo nên bao gồm động năng
chuyển động của các hạt và thế năng biến dạng của chúng. Với sóng áp
suất P (r, t), chuyển vị u, thì mật độ năng lượng sóng sẽ là
w =
1
2
ρ|˙u|
2
+
1
2
P
2
c
2
. (2.13)
Số hạng thứ nhất trong (2.13) biểu thị động năng của các hạt dao động,
còn số hạng thứ hai thì biểu thị thế năng tương tác đàn hồi giữa chúng (w có

U.ds. (2.16)
2.6 Truyền sóng phẳng trong hai nửa không gian
2.6.1 Sóng tới thẳng góc với bề mặt phân cách
Xét sóng phẳng điều hoà được truyền trong hai nửa không gian: z
+
(z >
0), z
−
(z < 0), là hai môi trường đồng nhất khác nhau, phân cách nhau bởi
mặt phẳng z = 0. Sóng tới (Incident wave) được truyền theo phương của
trục Oz thẳng góc với bề mặt phân cách, tạo nên sóng phản xạ (Reflected
wave) và sóng khúc xạ (Transmited wave). Trong các nửa không gian z
±
tương ứng có các sóng
P
+
(z) = e
ikz
+ R
p
e
−ikz
, tổng hợp của sóng tới và sóng phản xạ,
(2.17)
P
−
(z) = T
p
e
ikz

p
= T
p
. (2.20)
• Định luật về tính liên tục của vận tốc hạt vật chất của môi trường:
[1/ρ∂P
+
/∂z]
z=0
= [1/ρ

∂P
−
/∂z]
z=0
: (2.21)
⇒
k
ρ
(1 −R
p
) =
k

ρ

T
p
, (2.22)
21