ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
HÀ NỘI – 2009

HÀ NỘI – 2009

LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian qua, để tìm hiểu và hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này tôi đã
nhận được nhiều sự giúp đỡ từ gia đình, thầy cô và bạn bè.
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến các thầy cô giáo trường Đại
Học Công Nghệ đã dậy dỗ tôi trong suốt bốn năm học vừa qua. Đặc biệt, tôi xin
được gửi lời cảm ơn chân thành đến TS. Nguyễn Hải Châu, người đã giúp tôi lựa
chọn
đề tài, hướng dẫn tìm tài liệu, đưa ra những nhận xét quan trọng và sửa chữa sai
sót giúp tôi trong quá trình tôi thực hiện đề tài.
Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn đến những người bạn đã luôn quan tâm giúp
đỡ tôi, chia sẻ nhiều kinh nghiệm hay với tôi trong quá trình học tập và làm việc.
Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình tôi, những người đã
luôn bên cạnh cổ vũ, động viên tôi, tạ
o mọi điều kiện tốt nhất giúp tôi hoàn thành tốt
khóa luận này.

dụng của nó, khóa luận này hướng đến việc xây dựng một hệ thống nhận dạng nhạc
rất tiện ích với người dùng cho phép trả về thông tin chính xác của một bản nhạc
được chơi qua một thiết bị di động chỉ với vài giây âm thanh. Khóa luận tốt nghiệp
này được thực hiện trong khuôn khổ đề tài nghiên cứu mang mã số QC.08.01 Đại
học Quốc gia Hà Nội.
MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 1
CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ CHUỖI ĐẶC TRƯNG ÂM THANH VÀ CÁC
ỨNG DỤNG 3
1.1 Giới thiệu 3
1.2 Các khái niệm chuỗi đặc trưng âm thanh 3
1.2.1 . Định nghĩa chuỗi đặc trưng âm thanh 3
1.2.2 . Các tham số của hệ thống chuỗi đặc trưng âm thanh 5
1.3 Các ứng dụng 6

Mô tả âm thanh và trích rút chuỗi đặc trưng
28
3.2.2.

Tìm kiếm chuỗi đặc trưng phù hợp
29
3.3.

Thực thi chương trình
31
3.4.

Đánh giá hiệu quả của ứng dụng thử nghiệm
32
3.4.1.

Cài đặt thử nghiệm
32
3.4.2.

Hiệu quả của hệ thống
33
KẾT LUẬN 36
TÀI LIỆU THAM KHẢO 371
LỜI MỞ ĐẦU

Trong thực tế có khi chúng ta sẽ gặp phải một tình huống thế này: bạn đang

Trình bày hai phương phát trích rút và tìm kiếm chuỗi đặc trưng âm thanh phổ biến
hi
ện nay trong các ứng dụng nhận dạng nhạc là phương pháp xây dựng chuôi đặc
trưng mạnh và phương pháp xây dựng chuỗi đặc trưng dựa trên wavelet

2
Chương 3: Ứng dụng thử nghiệm. Chương này trình bày một ứng dụng cụ thể
của chuỗi đặc trưng âm thanh trong một lĩnh vực đang rất được quan tâm hiện nay đó
là nhận dạng nhạc số. Trong này sẽ mô tả khái quát về chương trình thử nghiệm của
ứng dụng nhận dạng nhạc và những kết quả đạt được
kiếm hiệu quả những chuỗi đặc trưng phù hợp trong cơ sở dữ liệu chuỗi đặc trưng.

1.2 Các khái niệm chuỗi đặc trưng âm thanh
1.2.1 . Định nghĩa chuỗi đặc trưng âm thanh
Độ hồi tưởng (recall) một chuỗi đặc trưng âm thanh có thể được xem như một
tóm tắt ngắn của một đối tượng âm thanh. Vì thế một hàm chuỗi đặ
c trưng F ánh xạ
(map) một đối tượng âm thanh X – bao gồm một số lượng lớn các bit – đến chuỗi
đặc trưng chỉ gồm một số lượng bit giới hạn.
Ở đây chúng ta có thể thấy sự tương tự với các hàm băm đã được biết đến trong
công nghệ mã hóa. Một hàm băm mật mã H rút ra từ một đối tượng X (thường là

4
lớn) thành giá trị băm (thường là nhỏ). Một hàm băm mật mã cho phép so sánh hai
đối tượng X và Y bằng cách so sánh các giá trị băm tương ứng là H(X) và H(Y). Sự
bằng nhau chính xác về mặt toán học của cặp H(X), H(Y) đưa đến sự bằng nhau của
cặp X và Y với xác xuất xẩy ra lỗi rất thấp. Đối với hàm băm mật mã được xây dựng
hợp lệ thì xác xuất này là 2
-n
, trong đó n bằng số bit của giá trị băm. Sử dụng các
hàm băm mật mã là một phương pháp hiệu quả hiện có để kiểm tra các dữ liệu cụ thể
của mục X có chứa trong tập dữ liệu lớn được đưa ra là }{
i
Y
Y
=
hay không. Thay
vì lưu trữ và so sánh với tất cả dữ liệu trong Y thì chỉ cần lưu trữ thành tập các giá trị
băm {
)(


5
1.2.2 . Các tham số của hệ thống chuỗi đặc trưng âm thanh
Bên trên ta đã có một định nghĩa thích hợp của chuỗi đặc trưng âm thanh, phần
này trình bày về các tham số khác nhau của một hệ thống chuỗi đặc trưng âm thanh.
Các tham số chính là:
• Độ mạnh (Robustness): Liệu một đoạn âm thanh vẫn có thể được xác định
sau khi tín hiệu bị suy biến mạnh không? Để đạt được độ mạ
nh cao chuỗi
đặc trưng nên dựa trên cơ sở những đặc điểm thuộc tri giác không đổi (ít
nhất là đến một mức độ nào đó) với sự suy biến của tín hiệu. Tốt nhất là âm
thanh bị suy biến vẫn đưa đến những chuỗi đặc trưng rất giống nhau. Tỷ lệ
phủ định sai (false negative rate) nói chung được dùng để diễn đạt độ mạnh.
• Độ
tin cậy (Reliability): Bao lâu một lần thì một bài hát bị nhận dạng sai?
Ví dụ “Rolling Stones – Angie” bị nhận dạng là “Beatles – Yesterday”. Tỷ
lệ mà tại đó tham số này được chỉ ra thường được tham chiếu đến như là tỷ
lệ khẳng định sai.
• Cỡ chuỗi đặc trưng (Fingerprint size): một chuỗi đặc trưng cần dung
lượng lưu trữ là bao nhiêu? Để có thể tìm kiếm nhanh, các chuỗi đặc trưng
th
ường được lưu trong bộ nhớ RAM. Vì thế cỡ của chuỗi đặc trưng, thường
được biểu diễn bằng bit/giây hoặc bit/bài hát, xác định độ lớn của tài nguyên
bộ nhớ cần cho server cơ sở dữ liệu chuỗi đặc trưng.
• Granularity: Cần bao nhiêu giây âm thanh để nhận ra một đoạn âm thanh?
Granularity là một tham số có thể phụ thuộc vào từng ứng dụng cụ thể.
Trong m
ột vài ứng dụng thì toàn bộ bài hát có thể được dùng để nhận dạng,
trong những ứng dụng khác thì chỉ một đoạn trích ngắn của âm thanh được
dùng để xác định.

cung cấp những danh sách (playlist) và các bản báo cáo cùng các chỉ dẫn kỹ thuật
phù hợp.
Mộ
t hệ thống BM quy mô lớn trên nền tảng chuỗi đặc trưng bao gồm vài site
giám sát (monitoring ) và một site trung tâm ở nơi mà server chuỗi đặc trưng được
đặt. Ở các site monitoring các chuỗi đặc trưng được rút ra từ tất cả các kênh truyền
thanh truyền hình (cục bộ). Site trung tâm thu thập các chuỗi đặc trưng đó từ các site
monitoring. Rồi sau đó, server chuỗi đặc trưng – chứa một cơ sở dữ li
ệu chuỗi đặc
trưng khổng lồ - cung cấp các playlist cho tất cả các kênh truyền thanh và truyền
hình đó.

1.3.2 . Ứng dụng liên thông âm thanh
Ứng dụng liên thông âm thanh là thuật ngữ chung cho những ứng dụng tiêu
dùng mà ở đó âm nhạc được kết nối theo cách này hay cách khác để đưa ra và hỗ trợ
thông tin. Một ví dụ đã được đưa ra trong phần trên là sử dụng một điện thoại di
động để xác
định một bài hát. Trong thực tế công việc này hiện đang được tiếp tục
thực hiện bởi một số công ty như Shazam, Yacast. Tín hiệu âm thanh trong ứng dụng
này bị suy biến trở lên rất xấu bởi vì quá trình xử lý áp dụng đài phát thanh, truyền
trên FM/AM, đường dẫn âm thanh giữa loa phóng thanh và micro của điện thoại di

7
động, mã hóa âm thanh và cuối cùng truyền trên mạng di động. Vì thế nhìn nhận về
mặt công nghệ thì đây là 1 ứng dụng đầy thách thức.
Những ví dụ khác về ứng dụng liên thông âm thanh là radio của ô tô với một
nút để nhận dạng bản nhạc đang nghe hoặc các ứng dụng “nghe” luồng âm thanh vào
hoặc ra trên một máy tính. Bằng cách nhấn vào nút “info” trong ứng dụng chuỗi đặc
trưng, người dùng có thể điều hướng đến m
ột trang trên Internet chứa thông tin về


1.3.4 . Tổ chức thư viện âm nhạc tự động
Ngày nay nhiều người dùng máy tính có một thư viện âm nhạc chứa vài trăm
đôi khi thậm chí là vài nghìn bài hát. Các bản nhạc nói chung được lưu trữ trong định
dạng nén (thường là MP3) trong ổ cứng của họ. Bởi vì những bài hát này thu được từ
nhiều nguồn khác nhau, như xao chép từ đĩa CD hoặc tải về từ các mạng chia sẻ file,
nên những thư viện này th
ường không được tổ chức tốt. Siêu dữ liệu thường không
thống nhất, không đầy đủ và đôi lúc thậm chí còn không đúng. Giả sử cơ sở dữ liệu
chuỗi đặc trưng chứa các siêu dữ liệu đúng, chuỗi đặc trưng âm thanh có thể tạo nên
siêu dữ liệu của các bài hát trong một thư viện đồng nhất, cho phép tổ chức sắp xếp
dễ dàng trên cơ sở đ
ó, ví dụ theo album hay theo nghệ sĩ. Ví dụ, ID3Man – một công
cụ mạnh được phát triển bởi kỹ thuật chuỗi đặc trưng Auditude để tạo nhãn các file
MP3 không gán nhãn hay nhãn sai. Một công cụ tương tự là Moodlogic sẵn có như
một plug-in trong Winamp.
dụ những người có sở thích khác nhau thì có quan điểm khác nhau đối với
việc phân loại. Ngoài ra, trên thực tế ngữ nghĩa có thể thay đổi theo thời
gian. Ví dụ, âm nhạc được phân loại như cách đây 25 năm là hard rock thì
ngày nay được coi là soft listening. Điều này làm cho việc phân tích toán
học trở nên khó khăn.

•

Các thuộc tính ngữ nghĩa nói chúng khó tính toán hơn các thuộc tính phi
ngữ nghĩa.

•

Các thuộc tính ngữ nghĩa không thích hợp với tất cả. Ví dụ, số nhịp trên
phút không thể áp dụng tiêu biểu cho nhạc cổ điển được.

Câu hỏi thứ hai được đưa ra là sự biểu diễn của các chuỗi đặc trưng. Một dạng
điển hình là ta có thể biểu diễn nó như một vectơ các số thực, trong đó mỗi thành

10
phần biểu thị trọng lượng (weight) của thuộc tính thuộc tri giác cơ bản nào đó. Quan
điểm thứ hai là ngăn cản tiến gần hơn đến các hàm băm mã hóa và biểu diễn các
chuỗi đặc trưng số như những xâu bit. Vì lý do giảm độ phức tạp tìm kiếm chúng ta
quyết định làm việc với quan điểm thứ hai. Theo quan điểm đầu tiên thì việc đo độ
giố
ng nhau có dính dáng đến các phép cộng/trừ các số thực thậm chí có thể là các
phép nhân số thực. Các chuỗi đặc trưng dựa trên cơ sở biểu diễn bởi các bit có thể
được so sánh bằng cách đơn giản là đếm các bit. Khi đưa ra viễn cảnh những ứng
dụng được mong đợi, chúng ta không mong muốn robustness cao cho mỗi ứng dụng
và mỗi bit trong chuỗi đặc trưng nhị phân. Vì thế, trái ngược với các hàm băm mật

Kế hoạch trích chọn chuỗi đặc trưng được đề xuất trong phương pháp này dựa
trên cơ sở phương pháp luồng nói chung. Nó rút ra những chuỗi đặc trưng con 32 bit
cho mỗi khoảng thời gian 11.6 mili giây. Một khối chuỗi đặc trưng bao gồm 256
chuỗi con nối tiếp nhau, tương ứng với granularity chỉ 3 giây. Một qui trình tổng
quan được biểu diễn ở hình 2. Tín hiệu âm thanh đầu tiên được chia đoạn vào các
frame chồng nhau (overlapping). Các frame chồng có độ dài 0.37 giây và có trọng
lượng bằng cửa sổ Hamming với một thừa số chồng 31/32. Kết quả của kế hoạch này
trong việc trích rút của một chuỗi đặc trưng con cho mỗi 11.6 mili giây. Trong
trường hợp xấu nhất các ranh giới của frames sử dụng trong việc nhận dạng là 5.8
mili giây với chú ý là các ranh giới được dùng trong cơ sở dữ liệu của các chuỗ
i đặc
trưng đã được tính toán trước. Sự chồng lấp lớn đảm bảo rằng thậm chí trong trường
hợp xấu nhất các chuỗi đặc trưng con của đoạn âm thanh được nhận dạng vẫn giống
các chuỗi đặc trưng con của những đoạn giống thế trong cơ sở dữ liệu. Vì sự chồng
lấp lớn các chuỗi đặc trưng con ti
ếp sau có sự giống nhau nhiều và biến đổi rất chậm
theo thời gian. Hình 3a biểu diễn một ví dụ về khối chuỗi đặc trưng được rút ra và
các đặc trưng biến đổi rất chậm theo thời gian.

Hình 1: Tổng quan về quá trình trích chọn chuỗi đặc trưng.
Các thuộc tính âm thanh thuộc tri giác quan trọng nhất nằm trong miền tần số.
Vì thế một sự biểu diễn quang phổ được tính toán bởi hiệu quả biểu diễn của phép
biến đổi Fourier trên mỗi frame. Vì độ nhạy pha của khai triển Fourier khác ranh giới
của frame và sự kiện mà cơ quan thính giác của con người (Human Auditory System
– HAS) không nhạy vớ
i pha, chỉ có giá trị tuyệt đối của phổ là được giữ lại, ví dụ
năng lượng mật độ phổ.

12
Để mà rút ra giá trị chuỗi con 32 bit cho mỗi frame thì các dải tần không chồng

(c) sự khác nhau giữa (a) và (b) thể hiện ở những bit lỗi màu đen (BER=0.078)
Hình 2 biểu diễn một ví dụ của 256 chuỗi con 32 bit nối tiếp nhau (ví dụ về một
khối chuỗi đặc trưng), trích ra theo cách trên từ một đoạn trích ngắn của bản “O
Fortuna” của Carl Orff. Bit ‘1’ tương ứng với điểm ảnh trắng và bit ‘0’ tương ứng
với điểm ảnh đen. Hình 2a và hình 2b biểu diễn khố
i chuỗi đặc trưng tương ứng từ
một đĩa CD gốc và một bản MP3 nén (32Kbps) của cùng một đoạn trích. Lý tưởng
thì hai hình này sẽ được xác định, nhưng vì việc nén một vài bit được tìm lại không
đúng. Những bít lỗi này được sử dụng như độ đo sự giống nhau cho chuỗi đặc trưng
của chúng ta – được biểu diễn bằng màu đen trong hình 2c.
Những tài nguyên tính toán cần cho thuật toán được
đề xuất là có giới hạn. Bởi
vì thuật toán chỉ được tính toán với âm thanh nhận được có tần số dưới 2kHz được
lấy mẫu lần đầu tiên thấp xuống từ luồng âm thanh đơn sắc (mono) với tốc độ lấy
mẫu 5kHz. Các chuỗi đặc trưng con được xây dựng có khả năng chống lại sự suy
giảm tín hiệu. Hiện tại các bộ lọc 16 nút FIR đ
ang được sử dụng. Thao tác đòi hỏi
tính toán khắt khe nhất là biến đổi Fourier của mỗi frame âm thanh. Trong tín hiệu
âm thanh được lấy mẫu một frame có độ dài 2048 mẫu. Nếu biến đổi Fourier được
thực thi như một điểm cố định FFT giá trị thực thuật toán chuỗi đặc trưng vừa nói
chạy hiệu quả trên các thiết bị cầm tay như PDA hoặc điện tho
ại di động.
b) Phân tích khẳng định sai
Hai tín hiệu âm thanh 3 giây được trình bày giống nhau nếu khoảng cách
Hamming (ví dụ số bit lỗi) giữa hai khối chuỗi đặc trưng được suy ra thấp hơn điểm
bắt đầu T một ít. Giá trị điểm bắt đầu T này xác định trực tiếp tỷ lệ khẳng định sai
f
P ,
ví dụ tỷ lệ của tín hiệu âm thanh không được trình bày trực tiếp bằng: T nhỏ hơn, xác
xuất

được đưa ra bởi:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
==
∫
∞
−
nerfcdxeP
n
x
f
2
)21(
2
1
2
1
)(
)21(
2/1
2
α
π
α
α

2
=
+
(2.4)
Với N lớn, độ lệch chuẩn trung bình
N
Z trên N mẫu liên tiếp của Z có thể được
mô tả xấp xỉ bằng phân phối thông thường với giá trị trung bình 0 và độ lệch chuẩn
bằng:

)1(
1
2
2
aN
a
−
+
(2.5)
Thừa số tương quan a giữa các bit chuỗi đặc trưng nối tiếp bao hàm sự tăng lên
trong độ lệch tiêu chuẩn vì tỉ lệ bit lỗi (BER) bởi thừa số:

2
2
1
1
a
a
−
+

23
)21(
2
1
α
(2.7)
Điểm bắt đầu cho tỷ lệ bit lỗi sử dụng trong các thử nghiệm là
α
= 0.35. Giá trị trung
bình này vượt qua 8192 bits và phải ít hơn 2867 bits lỗi để mà quyết định những khối
chuỗi đặc trưng bắt nguồn từ những bài hát giống nhau. Sử dụng công thức (2.7)
chúng ta đạt tới tỷ lệ khẳng định sai của erfc(6.4)/2=3.6*10
-20
rất thấp. 16
2.2.1.2. Tìm kiếm chuỗi đặc trưng trong cơ sở dữ liệu
Tìm kiếm các chuỗi đặc trưng đã được trích rút trong cơ sở dữ liệu chuỗi đặc
trưng là công việc không đơn giản. Thay vào đó việc tìm kiếm chuỗi đặc trưng dạng
bit dễ dàng hơn, chuỗi đặc trưng gần giống nhất sẽ được tìm ra. Chúng ta trình bày
quá trình tìm kiếm này với các số liệu dựa trên những chu
ỗi đặc trưng được trích rút
như bên trên. Giả sử cơ sở dữ liệu chuỗi đặc trưng có cỡ vừa phải chứa khoảng
10000 bài hát với độ dài trung bình là 5 phút. Điều này tương đương với xấp xỉ 250
triệu chuỗi đặc trưng con. Để xác định một khối chuỗi đặc trưng có nguồn gốc từ
đoạn âm thanh chưa biết chúng ta phải tìm ra khối chuỗi
đặc trưng giống nhất trong
cơ sở dữ liệu. Nói theo cách khác chúng ta phải tìm ra vị trí trong 250 triệu chuỗi đặc
trưng con mà ở đó tỷ lệ bít lỗi là tối thiểu. Đây là quá trình của cách tìm kiếm brute

định để tìm kiếm sử dụng kiến trúc cơ sở dữ liệu trong hình 6. Cơ sở dữ liệu chuỗi
đặc trưng chứa một bảng tra cứu (LUT) với tất cả các chuỗi đặc trưng con 32 bit có
th
ể có như một mục từ (entry). Mỗi mục từ chỉ rõ một danh sách với các con trỏ đến
những vị trí trong danh sách chuỗi đặc trưng thực nơi mà những chuỗi đặc trưng 32
bit tương ứng được định vị. Trong các hệ thống thực tế với bộ nhớ giới hạn một bảng
tra cứu chứa 2
32
mục từ thường không khả thi hoặc không thực tế hoặc là cả hai. Hơn
nữa bảng tra cứu sẽ được làm đầy bởi vì chỉ một số giới hạn các bài hát có thể đặt
trong bộ nhớ. Vì thế trong thực tế một bảng băm được dùng thay cho bảng tra cứu.
Chúng ta thực hiện lại tính toán số các phép so sánh khối chuỗi đặc trưng trung
bình trên định dạng đối với 10000 bài hát trong cơ
sở dữ liệu. Vì cơ sở dữ liệu chứa
xấp xỉ 250 triệu chuỗi đặc trưng con, số vị trí trung bình trong một danh sách sẽ là
0.0058 (=250*10
6
/10
32
). Nếu chúng ta giả thiết rằng tất cả các chuỗi đặc trưng con có
khả năng bằng nhau, số phép so sánh chuỗi đặc trưng trung bình trên định dạng chỉ là
15 (=0.058 * 256). Tuy nhiên chúng ta quan sát trong thực tế, vì sự phân phối không
đồng đều của các chuỗi đặc trưng con, số phép so sánh chuỗi đặc trưng tăng lên xấp

18
xỉ 20. Trong 300 phép so sánh trung bình được yêu cầu, thời gian tìm kiếm trung
bình cho mỗi lần là 1.5 mili giây trên một máy PC hiện đại. Bảng tra cứu có thể được
thực thi theo cách mà nó không ảnh hưởng đến thời gian tìm kiếm. Theo giá của
bảng tra cứu, thuật toán tìm kiếm được đề xuất nhanh hơn xấp xỉ 800000 lần phương
pháp brute force.

khác nhau (xem khối bit gốc trong hình 1). Nếu sự khác nhau về mức năng lượng là
rất gần với điểm bắt đầu, thì có khả năng bit thu nhận được là không đúng (một bit
không tin cậy). Mặt khác, nếu sự khác nhau về mức năng l
ượng là lớn hơn điểm bắt
đầu thì xác xuất của một bit không đúng là nhỏ (bit đáng tin cậy). Xuất phát từ thông
tin đáng tin cậy đối với mỗi bit của chuỗi đặc trưng con, có thể mở rộng một chuỗi
đặc trưng con được đưa ra thành một danh sách các chuỗi đặc trưng con có thể. Bằng
cách giả sử rằng một trong những chuỗi đặc trưng con có thể nhấ
t có vị trí tối ưu
trong cơ sở dữ liệu, khối chuỗi đặc trưng có thể được xác định như trước đó. Các bit
được chỉ định độ tin cậy có thứ hạng từ 1 đến 32, trong đó 1 là kí hiệu cho độ tin cậy
thấp nhất và 32 là cho bit có độ tin cậy cao nhất.
Những kết quả này theo một cách đơn giản sẽ tạo ra một danh sách những chuỗi
đặc trưng con có thể
nhất bằng cách chỉ đảo chiều những bit ít tin cậy nhất. Chính
xác hơn, danh sách bao gồm toàn bộ các chuỗi đặc trưng con có N bit cố định đáng
tin cậy nhất và tất cả các bit có thể thay đổi khác. Nếu thông tin về độ tin cậy là
chính xác, giả sử rằng trong trường hợp một chuỗi đặc trưng con có 3 bit lỗi, những
bit với độ tin cậy 1, 2 và 3 là không chính xác. Nếu đây là trường hợp – các khối
chuỗi đặ
c trưng mà trong đó số bit lỗi trên một chuỗi đặc trưng con tối thiếu là 3 – có
thể được xác định bằng cách tạo ra những vị trí ứng cử với chỉ 8 (=2
3
) chuỗi đặc
trưng con. So sánh với hệ số 5489 đạt được khi sử dụng tất cả các chuỗi đặc trưng
con với một khoảng cách Hamming của 3 để phát ra các vị trí ứng cử, đây là một cải
tiến với hệ số xấp xỉ 686.
Trong thực tế thông tin về độ tin cậy là không chính xác (ví dụ nó xẩy ra khi
một bit với độ tin cậy thấp được thu nhận chính xác và ngược lạ
i) và vì thế sự cải