A. Tóm tắt lý thuyết cần nhớ
1. Các giới hạn đặc biệt
Với
k
+
∀ ∈Z
ta có
lim
k
x
x
→+∞
= +∞
Nếu
k
chẵn:
lim
k
x
x
→−∞
= +∞
Nếu
k
lẻ:
lim
k
x
x
→−∞
= −∞

x x
−
→
,
x
→ ±∞
0
0
lim
k k
x x
x x
→
=
2. Định lý về giới hạn hữu hạn
Định lý 1: Giả sử
( )
0
lim
x x
f x L
→
=
và
( )
0
lim
x x
g x M
→

c f x c L
→
= 
 
)
c. Nếu
0M ≠
thì
( )
( )
0
lim
x x
f x
L
g x M
→
=
Định lý 2: Giả sử
0
lim
x x
L
→
=
. Khi đó
a.
( )
0
lim

0
lim
x x
f x L
→
=
Định lý 1, 2 vẫn đúng khi thay
0
x x→
bởi
x → ±∞
,
0
x x
+
→
,
0
x x
−
→
1
3 Quy tắc tìm giới hạn vô cực
Quy tắc 1: Nếu
( )
0
lim
x x
f x c
→

→
= ≠
thì
( ) ( )
lim f x g x 
 
được cho trong
bảng sau:
Quy tắc 3: Nếu
( ) ( )
0 0
lim , lim 0
x x x x
f x L g x
→ →
= =
và
( )
0g x >
hoặc
( )
0g x <
với
{ }
0
\x K x∀ ∈
,
trong đó
K
là một khoảng chứa

0
lim .
x x
f x g x
→
 
 
+∞
+∞
−∞
−∞
+
-
+
-

+∞

−∞

−∞

+∞

Dấu của
L
Dấu của
( )
g x


f x
g x
với
( ) ( )
0, 0f x g x→ →
hoặc
( ) ( )
,f x g x→ ±∞ → ±∞
. Ta gọi là dạng vô
định
0
0
hoặc
∞
∞
.
b)
( ) ( )
lim f x g x − 
 
với
( ) ( )
,f x g x→ +∞ → +∞
hoặc
( ) ( )
,f x g x→ −∞ → −∞
. Ta gọi
là dạng vô định
∞ − ∞
.

g x
→
có dạng
0
0
ta thường phân tích
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
0
.
x
x
A
x x
f x
g x x x B
−
=
−
rồi rút gọn.
Khi đó: Tìm
( )
( )
( )
( )

2
2 2 2
2 2
4 2
lim lim lim 4.
5 6 2 3 3
x x x
x x
x x
x x x x x
→ → →
− +
− +
= = = −
− + − − −
Ví dụ 2. Tính
3 2
2
1
3 2
lim
6 5
x
x x
x x
→
− +
− +
Lời giải
Ta có

Tính giới hạn
1)
3
2
1
3 2
lim
1
x
x x
x
→
− +
−
2)
3
2
2
3 2
lim
3 2
x
x x
x x
→
− +
− +
3)
5
2

x
x x
x
→
− +
−
I.2 Giới hạn
0
0
trong đó có chứa hàm vô tỉ.
Tất nhiên nhiệm vụ của chúng ta vẫn là làm sao để khử được nhân tử “gây ra” phép
toán vô định này đó là (x – x
0
). Tuy nhiên, đối với hàm vô tỉ thì không thể phân tích thành
nhân tử ngay được mà trước tiên ta phải “trục căn thức” rồi mới phân tích thành nhân tử (x –
x
0
) và rút gọn như trên được.
Ở mục này ta luôn phải sử dụng một số hằng đẳng thức quen thuộc sau:
1)
2 2
a b
a b
a b
−
− =
+
2)
3 3
2 2

2 7 3
lim .
1
x
x
x
→
+ −
−
Đặt vấn đề: Ở bài toán trên, ta chưa thể làm xuất hiện nhân tử (x - 1) ở tử số ngay được. Vì
vậy cần khử căn thức trên tử. với căn bậc hai thì sử dụng hằng đẳng thức nào?
Trả lời: Sử dụng 1)
Lời giải
Ta có
( )
( )
2 2
1 1
2 7 3 ( 2 7) 3
lim lim
1
1 2 7 3
x x
x x
x
x x
→ →
+ − + −
=
−

x x
x
→
+ − −
−
Câu hỏi: Với căn bậc ba thì sử dụng hằng đẳng thức nào?
Trả lời: Sử dụng 2)
Lời giải
Ta có
3 3
2
2 2
3
3 3
6 10 ( 6) (10 )
lim lim
2
( 2)[ ( 6) ( 6)(10 ) (10 )]
x x
x x x x
x
x x x x x
→ →
+ − − + − −
=
−
− + + + − + −

2 2
2

7 2 ( 7) 8
lim lim
1
( 1)[ ( 7) 2 ( 7) 4]
x x
x x
x
x x x
→ →
+ − + −
=
−
− + + + +
=
2
1
3
3
1 1
lim
12
( 7) 2 ( 7) 4
x
x x
→
=
+ + + +
.
Ví dụ 4. Tính giới hạn sau
4

3 2
0
4 4
4
1 1
lim
4
( 1) + ( 1) ( 1) 1
x
x x x
→
=
+ + + + +
.
Ví dụ 5. Tính giới hạn sau
0
1 1
lim .
n
x
x
x
→
+ −
Câu hỏi: Với căn bậc n thì ta phải dung hằng đẳng thức nào?
Trả lời: Sử dụng 3)
Lời giải
Ta có
5
1 2

=
+ + + +
.
Nhận xét: Trên thực tế, ngoài việc lũy thừa để khử căn, người ta còn có thể sử dụng phương
pháp đặt ẩn phụ để giải quyết những bài toán trên.
Ví dụ 1. Tính giới hạn sau
L =
3
1
7 1
lim .
1
x
x
x
→
+ −
−
Lời giải 2 (Lời giải 1 đã có ở ví dụ 3)
Đặt
3
7x t+ =
⇔ x = t
3
- 7
Khi x dần tới 1 thì t dần tới 2
Vậy L =
3 2 2
2 2 2
2 2 1 1

2 2 2
1 1 1 1
lim lim lim .
1 ( 2)( 1) 1
n n n n n
t t t
t t
t t t t t t n
− − − −
→ → →
− −
= = =
− − + + + + + +
I.2.1 Các hàm chứa nhiều loại căn
I.2.1.1. Chứa hai loại căn
a) Phương pháp 1. Nếu chứa căn bậc n và căn bậc m, ta có thể nâng lên lũy thừa bậc
[m,n] – bội số chung nhỏ nhất của m và n.
Ví dụ 1. Tìm
3
0
1 1
lim
x
x x
x
→
+ − +
.
Câu hỏi: Biểu thức trên chứa những loại căn nào?
Ta nên nâng lên lũy thừa bậc mấy?

(1 ) (1 )
lim
[ (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ]
x
x x
x x x x x
→
+ − +
+ + + + + + +
6
=
2
5 4 5
0
3
3
(1 ) 1
lim
6
[ (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ]
x
x
x x x x
→
+
=
+ + + + + + +
Ví dụ 2. Tìm
3
2

x x x x x
→ →
+ − +
+ − +
=
+ + + + + + +
=
3 2
2 5 4 5
0
3
3
(1 2 ) (1 3 )
lim
[ (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) ]
x
x x
x x x x x
→
+ − +
+ + + + + + +
=
5 4 5
0
3
3
3 8 1
lim
2
[ (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) ]

1 2 1
lim lim
[ (1 2 ) (1 2 ) (1 ) (1 2 ) (1 ) (1 ) ]
x x
x x
x x
x
x x x x x x x
→ →
+ − +
+ − +
=
+ + + + + + + + +
=
2
3 2 2 3
0
4 4
4
(1 2 ) (1 )
lim
[ (1 2 ) (1 2 ) (1 ) (1 2 ) (1 ) (1 ) ]
x
x x
x x x x x x x
→
+ − +
+ + + + + + + + +
=
3 2 2 3

3
1 x t+ =
⇔ x = t
3
– 1
Khi x dần tới 0 thì t dần tới 1
Khi đó
7
3
3
3 2
0 1 1
1 1 ( 1)
lim lim lim
1 ( 1)( 1)
x t t
x x t t t t
x t t t t
→ → →
+ − + − −
= =
− − + +
=
2
1
1
lim
6
( 1)( 1)
t

x x
x
→
+ − +
=
4
4
4 4
1 1
1 2( 1)
2 1
lim lim
1 1
t t
t t
t t
t t
→ →
+ − −
− −
=
− −
=
4 2 2
2 2 4 2 4
1 1
2 1 2 1 3
lim lim
4
( 1)( 1)( 2 1 ) ( 1)( 2 1 )

x
→
+ − +
.
Câu hỏi : Thêm số nào ?
Trả lời : Thay x = 0 vào biểu thức
1 x+
được số 1, vậy số cần thêm là số 1.
Lời giải
Ta có:

( )
( )
( )
3 3
2
3
3
1 1 1 1 1 1
1 1
1 1 1
x x x x x x
x x x
x x
x x x
+ − + + − − +
= + = −
+ +
+ + + +
8

1 1
1 1
1 1 (1 )
x
x x
−
+ +
+ + + +
) =
1
6
.
Ví dụ 2. Tính giới hạn
3
2
0
1 2 1 3
lim
x
x x
x
→
+ − +
.
Sai lầm thường gặp
=
3
2 2
0 0
1 2 1 1 1 3

Hay (2 – 2a)x – a
2
x
2
phải có nhân tử x
2
hay a = 1.
Ta có
3
2
0
1 2 1 3
lim
x
x x
x
→
+ − +
=
3
2
0
1 2 (1 ) (1 ) 1 3
lim
x
x x x x
x
→
+ − + + + − +
=

phương pháp này sẽ đem lại hiệu quả hơn cả!
Ví dụ 3. Tính giới hạn sau
3
4
0
4 1 2 1
lim
x
x x x
x
→
+ − + − +
Lời giải
Tách
3 3
4 4
4 1 2 1 4 2 1 1 2 1 1x x x x x x
x x x x
+ − + − + + − − + − +
= + +
Công việc còn lại xin nhường cho bạn đọc.
Ví dụ 4. Tính giới hạn sau
3
0
1 . 1 2 1
lim
x
x x
x
→

3
0
4 2 1 2
lim
x
x x
x
→
+ − +
2)
3
1
4 3 2 1
lim
1
x
x x
x
→
− − −
−
3)
3
0
4 1 2 1
lim
x
x x
x
→

x x x
x
→
+ − − − +
7)
3
0
1 . 8 2
lim
x
x x
x
→
+ + −
8)
0
9 2 3
lim
x
x
x
→
+ −
9)
3
2
4 2 2
lim
2
x

3
1
4 3 2 1
lim
1
x
x x
x
→
− − −
−
13)
2
3
0
4 2 1 1
lim
x
x x x
x
→
+ − + − +
14)
3
1
4 3 2 1 1
lim
1
x
x x

3
3
4 . 5 2
lim
3
x
x x
x
→
− + −
−
18)
5
2 1 3
lim
5
x
x
x
→
− −
−
19)
3
2
3 2 2
lim
2
x
x

Ví dụ 1. Tìm
3 5
lim
2 7
x
x
x
→+∞
−
−
Lời giải
5
3
3 5 3
lim lim
2
2 7 7
7
x x
x
x
x
x
→+∞ →+∞
−
−
= =
− −
− +
Ví dụ 2: Tìm

= =
− + +
− + +
Ví dụ 3: Tìm
3
2 3 1
lim
5
x
x x
x
→+∞
+ +
− +
Lời giải
3
3
2 3
3 1
2
2 3 1
lim lim
5
5
1
x x
x
x x
x x
x

 ÷
 ÷
− +
 
Ví dụ 4: Tìm
2
2
2 3
lim
4 1 1
x
x x x
x x
→−∞
+ + +
+ − +
Lời giải
Ta có
2
2
1 2
2 1x x x
x x
+ + = + +
2
2
1
4 1 4x x
x
+ = +

lim ( 2 1 )
x
x x x
→−∞
+ − −
Lời giải
Ta có
2
2
2 1
lim ( 2 1 ) lim [ ( 1 1)]
x x
x x x x
x x
→−∞ →−∞
+ − − = − + − + = +∞
Ví dụ 2. Tính giới hạn sau
2
lim ( 2 1 )
x
x x x
→+∞
+ − −
Lời giải
Ta có
2
2
2
2 2
2 1

lim ( )
x
x x x x
→+∞
+ − +
=
6 6
3
3
5 4 5
3 3
1 1
(1 ) (1 )
1 1
lim ( 1 1 ) lim
1 1 1 1
[ (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ]
x x
x x
x x
x x
x x x x
→+∞ →+∞
+ − +
+ − + =
+ + + + + + +
12
=
3 2
5 4 5

+ + + + + + +
Ví dụ 4. Tính giới hạn sau
3 2 2 33 3
lim ( 8 8 ).
x
x x x x
→+∞
+ − −
Lời giải
Ta có
3 2 3 23 3
3 3
8 8
lim ( 8 8 ) lim ( 1 1 )
x x
x x x x x
x x
→+∞ →+∞
+ − − = + − −
=
2 2
3 3 3
8 8
(1 1)
lim
8 8 8 8
(1 ) (1 )(1 ) (1 )
x
x
x x

4
1
lim ( ) lim ( 1 1)
x x
x x x x
x
→+∞ →+∞
+ − = + −
=
3 2
4 4 4
1
(1 1)
lim
1 1 1
(1 ) + (1 ) (1 ) 1
x
x
x
x x x
→+∞
+ −
+ + + + +
=
3 2
4 4 4
1 1
lim
4
1 1 1

x
x x
x
x x
x x x x
→+∞ →+∞
+ − +
+ − + =
+ + + + + + +
=
2 3 2
5 4 5
3 3
2 3
[(1 ) (1 ) ]
lim
2 2 3 3
[ (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ]
x
x
x x
x x x x
→+∞
+ − +
+ + + + + + +
=
5 4 5
3 3
8
3

Lời giải
Đặt
1
t
x
=
, t dần tới 0
+
0 0
3
5
3 5 3 5 3
lim lim lim
7
2 7 7 2 7
2
x
x x
x x
x
x x
x
+ +
→+∞
→ →
−
− −
= = = −
− − +
− +

1
x
t t
x x t t
t t
x x t t
t t
− −
→−∞
→ →
+
+ +
= = =
− + + − + +
− + +
Ví dụ 3. Tính giới hạn sau
2
lim ( 2 1 )
x
x x x
→−∞
+ − −
Lời giải
14
Đặt
1
t
x
=
, khi x dần tới âm vô cực thì t dần tới 0

t
x
=
, khi x dần tới dương vô cực thì t dần tới 0
+
Ta có
2 33
lim ( )
x
x x x x
→+∞
+ − +
=
6 6
3
3
5 4 5
0
0
3
3
(1 ) (1 )
1 1
lim lim
[ (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ]
x
t
t t
t t
t

(1 ) 1
lim
6
[ (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ]
x
x
x x x x
+
→
+
=
+ + + + + + +
Ví dụ 5. Tính giới hạn sau
3 2 2 33 3
lim ( 8 8 ).
x
x x x x
→+∞
+ − −
Lời giải
Đặt
1
t
x
=
, khi x dần tới dương vô cực thì t dần tới 0
+
Ta có
3 3
3 2 3 23 3

3 3
3
16 16
lim
3
(1 8 ) (1 8 )(1 8 ) (1 8 )
t
t t t t
+
→
= =
+ + + − + −
.
II.3 Bài tập tương tự
Tính các giới hạn sau:
1)
1 3
lim
1 2
x
x
x
→±∞
−
−
2)
2
3 2
2 3
lim

− −
− +
5)
2 3
2
1 3
lim
1 2
x
x x
x
→±∞
− +
−
6)
2 2
lim ( 2 )
x
x x x x
→+∞
+ − −
7)
2 2
lim ( 4 2 4 1)
x
x x x x
→+∞
+ − − +
8)
2 2

x x x x
→+∞
+ − +
13)
2 2
lim ( 1 )
x
x x x x
→+∞
+ + − −
14)
32 3 2
lim ( 3 1 5 )
x
x x x x
→+∞
+ + − +
15)
32 3 2
lim ( 3 2 )
x
x x x x
→+∞
+ − +
16)
32 3 2
lim ( 1 3 )
x
x x x x
→+∞

2
2
x 0
x
2sin
2
lim
x
→
=
1
2
2
x 0
x
sin
2
lim
x
2
→
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
=
1
2
Do

0
Khi đó
sin3x sin3x sin3x sin3t
1 t t
1 2cosx
2 cosx 2 cos cosx 4sin sin
2 3 3 2 2
= = =
π π
−      
− − − −
 ÷  ÷  ÷
     
16
x 0
( 1) sin3t 1 6
I lim . .
t
4 3t
sin
sin t
2
3
t
2
→
−
⇒ =
π
 

3
x 0
tanx sinx
lim
x
→
−
7)
( )
x 0
lim 1 cos2x t anx
→
+
3)
2
x 0
1 cos x
lim
tan x
→
−
8)
x
4
1 tanx
lim
1 cot x
π
→
−

1 sin 2x 1 sin 2x
lim
x
→
+ + −
.
17