Giáo trình Giải tích 12 - Trang 1 - Soạn cho lớp LTĐH
I. ĐẠO HÀM
1) Dùng đònh nghóa tính đạo hàm của các hàm số:
a) y = f(x) = cosx b) y = f(x) =
1x
|x|
+
tại x
0
= 0.
2) Cho hàm số y = f(x) = x
3
−3x
2
+1, có đồ thò (C).
a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) ≤ 0.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 3.
3) Cho (C) : y = f(x) = x
4
− 2x
2
.
a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :
1. Tại điểm có hoành độ bằng
2
.
2. Tại điểm có tung độ bằng 3.
3. Biết tiếp tuyến song song với d
1
: y = 24x+2007

– 3x + 2 ) ( x
4
+ x
2
– 1 ) b) y =
1xx
x2x
2
3
++
−
c) y =
qpx
cbxax
2
+
++
9) Tìm đạo hàm các hàm số :
a) y = ( 5x
3
+ x
2
– 4 )
5
b) y = sin
2
(cos 3x)
c) y = ln
3
x d) y = e

2
+ x – 2 ) h) y = cotg
2
x + cotg2x

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 2 - Soạn cho lớp LTĐH
11) Tính đạo hàm của hàm số
f(x) =



≥
<
0x nếu x
0x nếu x
2
3
tại điểm x
0
= 0
12) Tìm đạo hàm cấp n ( n nguyên dương) của các hàm số sau :
a) y = lnx b) y = e
Kx
c) y = sin x
d) y = cos x e) y = ln (x
2
+ x – 2 )
13) Chứng minh rằng :
a) Với y= 3 +

4x
+2e
−
x
. Chứng minh rằng : y’’’−13y’−12y = 0
d) Cho y =
4x
3x
+
−
. Chứng minh rằng : 2(y’)
2
= (y−1)y’’
e) Cho y =
73xgxcotxgcot
3
1
3
++++−
. Chứng minh rằng: y’ = cotg
4
x
15) Cho f(x) =
xsin1
xcos
2
2
+
. Chứng minh rằng :
3)

c)

f(x) = sinx.e
x
d) f(x) =
xxcosxsin3
+−
18) Giải bất phương trình f
/
(x) < 0 với f(x) =
3
1
x
3
−2x
2
+ π .
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 3 - Soạn cho lớp LTĐH
19) Cho các hàm số f(x) = sin
4
x + cos
4
x; g(x) =
x4cos
4
1
Chứng minh rằng : f ’(x) = g’(x), ∀x∈R
20) Tìm vi phân của mỗi hàm số sau tại điểm đã chỉ ra:
a) f(x) = ln (sinx) tại x

2
+1. b) y = f(x) = 2x
2
−x
4
.
c) y = f(x) =
2x
3x
+
−
. d) y = f(x) =
x1
4x4x
2
−
+−
.
e) y = f(x) = x+2sinx trên ( −π ; π). f) y = f(x) = xlnx.
g) y = f(x) =
)5x(x
3
2
−
. h) y= f(x) = x
3
−3x
2
.
i)

−
đồng biến trên các khoảng xác đònh
của nó. Kq: m = 0
27) Đònh m để hàm số y = f(x) =
2x
2x6mx
2
+
−+
nghòch biến trên nửa khoảng
[1;+∞). Kq: m ≤
5
14
−
28) Chứng minh rằng :
x1e
x
+>
, ∀x > 0.

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 4 - Soạn cho lớp LTĐH
29) Chứng minh rằng : hàm số luôn luôn tăng trên khoảng xác đònh (trên từng
khoảng xác đònh) của nó :
a) y = x
3
−3x
2
+3x+2. b)
1x

y
2
−
++−
=
luôn đồng biến trên từng khoảng xác
đònh của nó.
32) Tìm m để hàm số :
mx
1mx)m1(x2
y
2
−
++−+
=
luôn đồng biến trên khoảng
(1;+∞). Kq:
223m
−≤
33) Tìm m để hàm số y = x
2
.(m −x) −m đồng biến trên khoảng (1;2). Kq: m≥3
34) Chứng minh rằng :
a) ln(x+1) < x , ∀ x > 0. b) cosx >1 −
2
x
2
, với x > 0 .
II. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU
35) Tìm các điểm cực trò của hàm số bằng đạo hàm cấp 1:

−
2005) Kết quả : m=11
38) Đònh m để hàm số y = f(x) = x
3
−3x
2
+3mx+3m+4
a.Không có cực trò. Kết quả : m ≥1
b.Có cực đại và cực tiểu. Kết quả : m <1
c. Có đồ thò (C
m
) nhận A(0; 4) làm một điểm cực trò (đạt cực trò 4 khi x = 0).
Hd: M(a;b) là điểm cực trò của (C): y =f(x) khi và chỉ khi:

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 5 - Soạn cho lớp LTĐH





=
≠
=
b)a(f
0)a(''f
0)a('f
Kết quả : m=0
d.Có cực đại và cực tiểu và đường thẳng d qua cực đại và cực tiểu đi qua O.
Kq : d:y = 2(m−1)x+4m+4 và m= −1

x
3
−mx
2
+(m+2)x−1. Xác đònh m để hàm số:
a) Có cực trò. Kết quả: m <−1 V m > 2
b) Có hai cực trò trong khoảng (0;+∞). Kết quả: m > 2
c) Có cực trò trong khoảng (0;+∞). Kết quả: m <−2 V m > 2
43) Biện luận theo m số cực trò của hàm số y = f(x) = −x
4
+2mx
2
−2m+1.
Hd và kq : y’=−4x(x
2
−m)
 m ≤ 0: 1 cực đại x = 0
 m > 0: 2 cực đại x=
m
±
và 1 cực tiểu x = 0
44) Đònh m để đồ thò (C) của hàm số y = f(x) =
1x
mxx
2
+
+−
có hai điểm cực trò nằm
khác phía so với Ox. Kết quả : m >
4

+=
. b)
6x2
4
x
y
2
4
++−=
. c) y =
21x
3
+−

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 6 - Soạn cho lớp LTĐH
48) Đònh m để hàm số có cực trò :
a)
2mxx3xy
23
−+−=
. Kết quả: m<3
b)
1x
2mmxx
y
22
−
−++−
=

III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
52) Tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số y=f(x)=x
2
−2x+3. Kq:
R
Min
f(x) = f(1) = 2
53) Tìm giá trò lớùn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x
2
−2x+3 trên [0;3].
Kq:
]3;0[
Min
f(x)=f(1)=2 và
]3;0[
Max
f(x)=f(3)=6.
54) Tìm giá trò lớùn nhất của hàm số y = f(x) =
1x
4x4x
2
−
+−
với x<1.
Kết quả :
)1;(
Max
−∞
f(x) = f(0) = −4
55) Muốn xây hồ nước có thể tích V = 36 m

3x
2
−
−
điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai
trục tọa độ là nhỏ nhất. Kết quả :M(0;
2
3
)

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 7 - Soạn cho lớp LTĐH
59) Tìm giá trò nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y = 3 sinx – 4 cosx.
60) Tìm GTLN: y=−x
2
+2x+3. Kết quả:
R
Max
y=f(1)= 4
61) Tìm GTNN y = x – 5 +
x
1
với x > 0. Kết quả:
);0(
Min
±∞
y=f(1)= −3
62) Tìm GTLN, GTNN y = x – 5 +
2
x4

2
1
[
==
−
;
1)0(fyMin
]1;
2
1
[
−==
−
64) Tìm GTLN, GTNN của:
a) y = x
4
-2x
2
+3. Kết quả:
R
Min
y=f(±1)=2; Không có
R
Max
y
b) y = x
4
+4x
2
+5. Kết quả:

++
++
=
. Kết quả:
R
Min
y=
3
1
;
R
Max
y=3
65) Cho hàm số
2xx
1x3
y
2
++
+
=
. Chứng minh rằng :
1y
7
9
≤≤−

66) Cho hàm số
( )
π∈α

y=g(t)=t+
2t
1
+
xác đònh trên [0; +∞), dùng đạo hàm đưa đến y’=0
⇔ t=−3 ∉[0; +∞ ) V t=−1 ∉[0; +∞ ) ⇒ hàm số y=g(t) đồng biến trên
[0;+∞ ) ⇒
);0[
Min
+∞
g(t) = g(0) =
2
1
⇒
);0(
Min
+∞
f(x) = f(1) =
2
1

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 8 - Soạn cho lớp LTĐH
68) Tìm giá trò LN và giá trò NN của hàm số y=2sinx−
xsin
3
4
3
trên đoạn [0;π]
(Đề thi TNTH PT 2003

2
+m
2
x−3 nhận I(1;−1) làm điểm uốn.
Kết quả: m = 2 .
71) Đònh m để đồ thò (C
m
):y = f(x) = x
4
−6mx
2
+ 3
a) Có hai điểm uốn. Kết quả: m > 0
b) Không có điểm uốn. Kết quả: m ≤ 0
72) Chứng minh rằng đồ thò (C):
1xx
1x2
y
2
++
+
=
có 3 điểm uốn thẳng hàng. Viết
phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm uốn này.
Hướng dẫn và kết quả:
(C) có 3 điểm uốn A(−2;−1), B(−
2
1
;0), C(1;1).
→−→−

x +
3
1
.
73) Tìm điểm uốn và xét tính lồi, lõm của (C):y = f(x) = x
2
−3x+2
Kết quả: Lõm trên các khoảng (−∞;1) và (2; +∞). Lồi trên khoảng (1;2).
Điểm uốn : I
1
(1;0) và I
2
(2;0)
74) a) Chứng minh rằng nếu (C): y = f(x) = ax
3
+bx
2
+cx+d (a≠0) cắt Ox tại 3 điểm
cách đều nhau thì điểm uốn của (C) nằm trên Ox.
b) Tìm m để (C
m
):y = x
3
−3mx
2
+2m(m−4)x+9m
2
−m cắt trục hoành tại 3 điểm cách
đều nhau (có hoành độ lập thành một cấp số cộng).
Hướng dẫn và kết quả:

2
=
a3
b
−
. Vậy điểm uốn I(x
2
;0)∈Ox.

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 9 - Soạn cho lớp LTĐH
b) Tìm I(m;m
2
−m).
Điều kiện cần : I∈Ox ⇒ m
2
−m = 0 ⇒ m = 0 V m = 1.
Điều kiện đủ : Chọn m = 1.
75) Tìm khoảng lồi, lõm và điểm uốn của (C) :
a) y=x
3
−3x
2
+2. b)
2x
4xx
y
2
+
+−

c) Biện luận theo m số điểm uốn của (C
m
) :y=x
4
+mx
2
+m−2 .
78) Tìm m để đồ thò (C
m
):y = f(x) = x
3
−3x
2
−9x+m cắt Ox tại 3 điểm theo thứ tự có
hoành độ lập thành cấp số cộng. Kết quả : m = 11.
79) Tìm điều kiện của a và b để đường thẳng (d): y = ax+b cắt đồ thò (C) :
y=x
3
−3x
2
−9x+1 tại ba điểm phân biệt A, B, C và AB = BC.
Hướng dẫn và kết quả :
• Lập phương trình hoành độ giao điểm :
ax+b = x
3
−3x
2
−9x+1⇔ f(x) = x
3
−3x

+
.
Kq:y =
4
3
x
4
1
+
81) Tìm m để (C
m
):y = x
3
−3mx
2
+2m(m−4)x+9m
2
−m có điểm uốn :
a) Nằm trên đường thẳng (d) : y = x. Kết quả : m = 0 V m = 2 .
b) Đối xứng với M(−3;−6) qua gốc tọa độ O. Kết quả : m= 3 .

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 10 - Soạn cho lớp LTĐH
c) Đối xứng với N(5;−20) qua Ox. Kết quả : m= 5 .
d) Đối xứng với P(−7;42) qua Oy. Kết quả : m= 7 .
V. TIỆM CẬN
82)Tìm các đường tiệm cận của đồ thò các hàm số :
a) y =
2x3x
1x2

85) Tìm các tiệm cận của đồ thò các hàm số: y =
3 32
xx3
−
. Kết quả : y = −x+1.
86) Cho (C
m
) :
( )
1x
mmx1mx
y
222
+
++++
=
.
a) Biện luận m số tiệm cận của đồ thò (C
m
).
b) Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thò (C
m
) đi qua I(1;2).
87)Tìm trên đồ thò (C):y =
1x
2x
+
+
điểm M có tổng các khoảng cách từ đó đến hai
tiệm cận là nhỏ nhất.

x
2
x
2
4
+−
f) y = x
4
+x
2
-2.
g) y=2x
2
−x
4
-1 h) y=x
4
-1
i) y =
1x
1x
−
+
j) y =
2x
x2
+

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 11 - Soạn cho lớp LTĐH

+
+−
và d: y = x−m. Hd: Lý luận x=
2
m8
3m2
−≠
−
+
b) (H):
1x
1x
y
−
+
=
và d: y= −2x+m. Hd: x=1 không là nghiệm phương trình hoành
độ giao điểm.
91) A.Vẽ đồ thò (C) hàm số y = x
3
+3x
2
−2
B.Biện luận bằng đồ thò (C) số nghiệm của pt: x
3
+3x
2
−(m−2) = 0
92) Viết phương trình các đường thẳng vuông góc với đường thẳng y=
4

96) Cho hàm số
1x
1x
y
−
+
=
, có đồ thi (H).
a) Khảo sát và vẽ đồ thò (H).
b) Cho đường thẳng d: y= −2x+m. Giả sử d cắt (H) tại hai điểm M và N. Tìm tập
hợp trung điểm I của MN.
97) Chứng minh rằng đồ thò (C) của hàm số y=f(x)=x
3
−3x
2
+1 nhận điểm uốn của nó
làm tâm đối xứng.
98) Cho hàm số y = x
4
−4x
3
−2x
2
+12x−1.

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 12 - Soạn cho lớp LTĐH
a) Chứng minh rằng đồ thò (C) của hàm số có trục đối xứng.
b) Tìm các giao điểm của (C) với trục Ox.
Hướng dẫn và kết quả:

a) (C
1
): y = f
1
(x) =
2x
2x
+
−
b) (C
2
): y = f
2
(x) =
2x
2x
+
−
c) (C
3
): y = f
3
(x) =
2x
2x
+
−
d) (C
4
): |y| = f

3
−3x
2
+2. Từ đó biện luận theo
m số nghiệm của phương trình: | x|
3
−3x
2
+1 − m = 0.
102) Chứng tỏ rằng (C
m
): y=x
2
+(2m+1)x+m
2
−1 (1) luôn tiếp xúc với một đường
thẳng cố đònh. Xác đònh phương trình đường thẳng đó.
Lời giải 1:
1. Dự đoán đường thẳng cố đònh:
Cách 1: Chuyển (1) về phương trình m
2
+2xm+x
2
+x−1−y=0, phương trình này
có ∆= (x)
2
−1.(x
2
+x−1−y)=0 ⇔ −x+1+y=0 ⇔ y= x−1 là đường thẳng cố đònh.
Cách 2: Chuyển (1) về phương trình m

Chú ý: Chỉ có đường thẳng và đường bậc 2,mới có khái niệm “ 2 đường tiếp xúc
nhau
⇔
phương trình hoành độ giao điểm ( bậc 2 ) có nghiệm kép” .
Trong các hàm số khác và hàm bậc nhất ta phải dùng hệ điều kiện tiếp xúc.
Lời giải 2:

Gọi d: y=ax+b là đường thẳng cố đònh. d tiếp xúc (C
m
) khi và chỉ
khi phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép với mọi m:
x
2
+(2m+1)x+m
2
−1= ax+b⇔ x
2
+(2m+1−a) x+m
2
−b−1=0 có nghiệm kép với ∀ m
⇔ ∆ =(2m+1−a)
2
−4.1(m
2
−b−1)=0 với ∀ m⇔−4(a−1)m+(a−1)
2
+4b+4=0 với ∀ m
⇔



2
+(y−1−3x)m+(y−1)x=0 (2), đặt t=y−1 ta có phương trình: m
2
+(t−3x)m+tx=0(3)
Phương trình (3) có ∆=0 ⇔ (t−3x)
2
−4tx=0 ⇔ t
2
−10xt+9x
2
=0⇔ t=9xV t=x.
Thay t=y−1,suy ra hai đường thẳng d
1
:y=9x+1, d
2
:y=x+1 cố đònh tiếp xúc (C
m
)
2. Chứng tỏ (C
m
) tiếp xúc với d
1
, và tiếp xúc d
2
: ( Bắt đầu lời giải)
• d
1
:y=9x+1 tiếp xúc (C
m
) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

) tại điểm có hoành độ x= −
3
m
(m ≠ 0).
• Tương tự : d
2
:y=x+1 tiếp xúc (C
m
) tại điểm có hoành độ x= m (m ≠ 0).
104) Chứng tỏ rằng (C
m
): y=mx
3
−3(m+1)x
2
+x+1 luôn tiếp xúc với một đường thẳng
cố đònh tại một điểm cố đònh.
Hướng dẫn giải: Tìm được (C
m
) đi qua hai điểm cố đònh A(0;1) và B(3;−23) và tiếp
tuyến của (C
m
) tại A có phương trình y=x+1 là tiếp tuyến cố đònh.
105) Chứng tỏ rằng (d
m
): y=(m+1)x+m
2
−m luôn tiếp xúc với một parabol cố đònh.
Hướng dẫn giải: Dùng phương pháp 1, dự đoán (P):y=
4

)1x(
A
23
−
+
−
+
−
. Kq: A= -1; B=3 và C=1
2) Từ đó tính
dx
)1x(
3xx
3
2
∫
−
−+
107) Tính
dx
)2x(
2xx
3
3
∫
−
−+
108) Tính
∫
+−

b) y=2
2
x
sin
2
)1
3
x
(x2
+
+C
x−sinx+C
c) y=
xcos.xsin
1
22
d) y=
xsinxcos
x2cos
+
tgx−cotgx+C
sinx+cosx+C

112) Tìm nguyên hàm F(x) của f(x)= x
3
−x
2
+2x−1 biết rằng F(0) = 4.
Kết quả: F(x) =
3

+−
+
=
Kết quả: A=3; B= −2. F(x) = 3 l nx−2−2 l nx−1+ C= l n
2
3
)1x(
2x
−
−
+C
115) Tính các tích phân:

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 15 - Soạn cho lớp LTĐH
Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả
a)
∫
dx.gxcot
b)
∫
dx.xgcot
2
c)
∫
xdxcos.xsin
2
l nsinx+C
−cotgx−x+C
3

tg
+C
116) Tính các tích phân:
Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả
a)
∫
+
2
1
2
2
dx
x2
2x
b)
∫
+
3
1
2
dx
x
x4x
c)
∫
−
−
2
2
2

−
4
6
2
3
dx
xsin
xsin1
g)
∫
π
2
0
2
xdxcosxsin
3
15311
−
2
223
−+
3
1
117) Tính các tích phân:
Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả
a)
∫
+
1
0

2
0
∫
π
+
h)
∫
π
π
2
6
2
3
dx.
xsin
xcos
3
2
ln2
2
1
ln(
3
+1)
0
d)
∫
π
4
0

3
dx.
xcosxsin
xcosxsin
j)
∫
+−−
1
0
2
dx.1xx)1x2(
k)
∫
e
1
2
dx
x
xln
3
1

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều