3
SKKN : Bồi dưỡng HVG giải toán nhanh bằng máy tính cầm tay(2013-2014) Trang 1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị: Trung tâm GDTX Long Khánh
Mã số:

VÀI KINH NGHIỆM
BỒI DƯỠNG HỌC VIÊN GIỎI
MÁY TÍNH CẦM TAY
Người thực hiện: HỒ SĨ MINH
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục 
- Phương pháp dạy học bộ môn: Môn Toán 
- Lĩnh vực khác: 

Có đính kèm: Các sản phẩm không thề hiện trong bản in SKKN
 Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác
Năm học: 2013 - 2014
BM 01-Bia SKKN
BM02- LLKHSKKN
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I. THÔNG TIN VỀ CÁ NHÂN:
1) Họ và tên: HỒ SĨ MINH
2) Ngày tháng năm sinh: 08 / 12 / 1956.
3) Nam, Nữ : Nam.
4) Nơi thường trú: Số 56, Đường Hai Bà Trưng, Khu phố 4, phường Xuân
Hòa, thị xã Long Khánh, Tỉnh Đồng Nai.
5) Điện thoại : 0613646996 (CQ), 0613876050 (NR),ĐTDĐ: 0982876050.
6) Fax: E- mail: [email protected]
7) Chức vụ: Giám đốc trung tâm.
8) Đơn vị công tác: Trung tâm GDTX thị xã Long Khánh.

nhanh bằng máy tính cầm tay”, giúp giáo viên có tài liệu tham khảo bồi dưỡng học
viên giỏi, giúp học viên giỏi có tài liệu học tập tốt môn này để ôn tập và dự thi có kết
quả tốt hơn.
Nội dung tài liệu giúp học viên:
- Nắm được tính năng của một số loại máy tính thông dụng trong việc giải toán.
- Ôn lại các kiến thức về lý thuyết và các kiến thức liên quan ở lớp dưới.
- Hệ thống các kiến thức cơ bản và các dạng toán cơ bản, phương pháp giải từng
dạng, các hướng biến đổi, cách sử dụng linh hoạt các công thức.
- Giúp cho học viên nắm vững các dạng bài tập và cách giải từng dạng.
- Giúp cho học viên có kỹ năng nhận dạng các loại toán và áp dụng đúng công
thức, cách làm cho từng dạng. Đồng thời tạo hứng thú khi học tập và giúp cho học
viên đào sâu, rèn kỹ năng sử dụng máy tính câm tay, nhớ lâu các dạng bài tập và cách
giải các dạng bài tập đó nhằm đạt kết quả cao trong học tập, nhằm nâng cao chất
lượng học tập bộ môn toán, đạt các giải cao trong các kỳ thi học viên giỏi giải toán
bằng máy tính câm tay.
II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI:
SKKN : Bồi dưỡng HVG giải toán nhanh bằng máy tính cầm tay(2013-2014) Trang 3
1. Cơ sở lý luận
Trên cơ sở áp dụng chuyên đề “ Ôn giảng luyện”, kết hợp phương pháp phân tích,
hệ thống lại kiến thức lý thuyết, phân loại làm cho bài tập đơn giản hơn, dễ hiểu hơn,
nhờ đó mà học viên có thể làm được một số bài tập cơ bản, có hứng thú học tập hơn,
phù hợp với hoàn cảnh học viên ít có thời gian làm bài tập ở nhà. Tạo sự chủ động
trong học tập cho học viên bằng cách phân loại bài tập, hướng dẫn việc ứng dụng của
máy tính cầm tay trong việc giải các dạng bài tập, luyện tập kỹ năng tính toán bằng hệ
thống bài tập từ đơn giản đến phức tạp. Có phần ôn tập lý thuyết trước khi làm bài
tập.Tăng cường các bài tập về nhà vì thời gian luyện tập ở lớp còn hạn chế. Trong năm
học 2013-2014 tôi tiếp tục giảm bớt một số bài tập khó để học viên đỡ mất thời gian
khi phải làm những bài tập này.
2. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài
Nội dung đề tài gồm ba phần:

Các phím chữ vàng : ấn sau khi ấn SHIFT
Các phím chữ đỏ : ấn sau khi ấn ALPHA
2. CÁC LOẠI PHÍM TRÊN MÁY:
Phím Chức năng
ON Mở máy hoặc xóa bộ nhớ màn hình
(SHIFT) OFF Tắt máy
SHIFT Chuyển sang kênh chữ vàng
ALPHA Chuyển sng kênh chữ đỏ
MODE Thiết lặp chế độ cài đặt máy( kiểu, trạng thái, loại đơn vị đo…) hoặc vào
các chức năng tính toán
(SHIFT)CLR Xóa bộ nhớ/các cài đặt/ trả lại trạng thái mặc định.
AC Xóa màn hình để thực hiện các phép tính khác.( không xóa bộ nhớ màn
hình)
DEL Xóa kí tự truớc con trỏ hoặc ngay con trỏ nhấp nháy.
(SHIFT) INS Cho phép chèn kí tự tại vị trí con trỏ nhấp nháy hoặc bỏ chế độ ghi chèn.
REPLAY Cho phép di chuyển con trỏ đến ký tự cần sửa.


Sau mỗi lần tính toán , máy lưu biểu thức và kết quả vào bộ nhớ màn
hình. Các phím bên cho phép tím lại các biểu thức đó để sử dụng lại
hoặc sửa chữa truớc khi dùng lại.
RCL Gọi lại dữ liệu trong ô nhớ.
(SHIFT) STO
(kí tự)
Gán- ghi dứ liệu vào ô nhớ( A, B, C, D, E, F, X, Y, M).
M+ Cộng dồn kết quả vào ô nhớ độc lập (M).
(SHIFT) M- Trừ bớt (kết quả) vào ô nhớ độc lập .
Ans Mỗi khi ấn phím = hoặc SHIFT % , M+, SHIFT M-, SHIFT STO, kết
quả sẽ đuợc tự động gán vào phím Ans.Có thể dùng Ans như một biến
trong biểu thức ngay sau.

k
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử.
3. CÁC THAO TÁC SỬ DỤNG MÁY TÍNH:
3.1 Chọn Mode:
MODE Chức năng
MODE 1(COMP) Máy ở trạng thái tính toán cơ bản.
MODE 2(CMPLX) Máy ở trạng thái tính toán với cả số phức.
MODE MODE 1
(SD)
Viết tắt: MODE
2
 1
Máy ở trạng thái giải bài toán thống kê 1 biến.
MODE
3
 1(EQN) Máy ở trạng thái giải phương trình
• Phương trình bậc hai( ba) một ẩn: ấn  2(3).
• Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn: ấn 2.
• Hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn: ấn 3.
MODE
3
2 (MAT) Máy ở trạng thái giải toán ma trận.
MODE
3
 (VCT) Máy ở trạng thái giải toán vectơ.
MODE
4
1(Deg) Máy ở trạng thái dùng đơn vị đo góc là độ phút giây.
MODE
4

c
b
)
- các phép toán: + ( cộng), - (trừ), x (nhân), ÷ ( chia), x  phép toán  y
- nâng lũy thừa : a x
2
(=> a
2
), a shift x
2
( => a
3
), a ^  n (=> a
n
).
- Khai căn :  a( => căn bậc hai của a) shift
;3
 a( => căn bậc ba của a), n
shift ^  a (=> căn bậc n của a).Nếu a là biểu thức thì phải ghi a trong ngoặc.
-Các hàm log, ln, e
x
, 10
x
, sin, cos, tan, sin
-1
, cos
-1
, tan
-1
, (-) số âm,…: ấn phím hàm

Ví dụ 3: Tính (
8
5
+
15
4
.(6 - 4
107
4
( 5 a
b/c
8 + 4 a
b/c
) x (6-4 a
b/c
2 a
b/c
107=  1
30
23
Chú ý: nếu muốn đổi hỗn số trên thành phân số chỉ cần ấn tiếp SHIFT a
b/c
(d/c). nếu
muốn đổi thành số thập phân ấn a
b/c
.
Ví dụ 4: Tính 3,6 : 0,4 -0,125.(40,6-8,6)  3.6 ÷ .4 - .125 x (40 . 6 - 8.6) =  5
Chú ý : dấu phân cách giữa phần nguyên và phần thập phân là dấu “.”
Nếu phần nguyên bằng 0 , ta có thể bỏ qua ký số 0.
Ví dụ 5: Tính

Ví dụ 1: Tính 12% của 1500  1500 x 12 SHIFT =  180
Ví dụ 2: tính tỷ số phần trăm của 660 so với 880  660 ÷ 880 SHIFT %  75%
Ví dụ 3: Tính 2500 + 15% của 2500 ( tăng 15%)  2500 x 15 SHIFT % + 
2,875.
Ví dụ 4: Tính 3500 - 25% của 3500 ( giảm 25%)  3500 x 25 SHIFT = -  2,625
Ví dụ 5: Nếu thêm 300 cho số 500 thì số phần trăm đạt (300 + 500) : 500 = 160%
300 + 500 SHIFT =  160(%)
Ví dụ 6: kế hoạch 500 , thực hiện 800 thì vượt (800-500) : 500 = 60%
800 - 500 SHIFT =  60 (%)
4.3 Sử dụng phím nhớ :
Trong máy , phép toán có nhớ thực hiện được ở chế độ COMP (MODE  1 ). Máy
có 4 trạng thái liên quan đến việc nhớ là:
1/ Nhớ kết quả: máy tự động gán cho phím Ans lưu kết quả tính toán của biểu thức
hay giá trị số vừa nhập mỗi khi ta ấn phím “ = ” hoặc “SHIFT % ” hoặc “ M+” hoặc
“SHIFT M-” hoặc “ SHIFT STO A/B/C/D/E/F/X/Y/M ”.
SKKN : Bồi dưỡng HVG giải toán nhanh bằng máy tính cầm tay(2013-2014) Trang 7
Ví dụ
222
2
432
5
++
có thể được gõ: 2 x
2
+3 x
2
+ 4 x
2
= 5 x
2

0
30’25’’
Đổi từ độ ra radian: ấn MODE
4
 2 ( chọn chế độ sử dụng đơn vị radian ) số đo
góc tính bằng độ  SHIFT Ans  1  =
Ví dụ: đổi 243
0
30’25’’ ra đơn vị radian : MODE
4
2 243˜
0
’’’ 30˜
0
’’’ 25.4
0
˜’’’
SHIFT Ans 1 =
5. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Thực hiện ở MODE EQN
5.1 Phương trình bậc hai và phương trình bậc ba:
Vào MODE EQN  dùng phím    2 (  phương trình bậc hai) hoặc 3(PT bậc
3)  nhập hệ số ( a = b = c = /d = )  ấn tiếp phím = để xem các nghiệm tiếp theo.
Chú ý : * Nếu nghiệm số là số phức thì phần thực của nghiệm số được hiện trước.
Dấu hiệu “ R
⇔
I ” được hiện kèm theo ở góc phải phía trên. Ấn SHIFT Re-im (phía trên
phím = ) để xem phần ảo. Trong chương trình THPT hiện nay, số phức không được học nên
cần loại nghiệm phức khỏi tập hợp nghiệm .
* Muốn kiểm tra việc nhập hệ số hoặc muốn giải tiếp phương trình khác , ta ấn

x +b
2
y = c
2
hoặc :
a
1
x + b
1
y + c
1
z = d
1
a
2
x + b
2
y + c
2
z = d
2
a
3
x + b
3
y + c
3
z = d
3
Vào MODE EQN  ấn phím  2 ( chọn hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ) hoặc 3 (chọn

2
– ALPHA A x
2
) ÷ 2 ALPHA
B ALPHA C
Để tính góc A với a = 8, b = 7, c = 5:
ấn CALC
B? ấn 7=
C? ấn 5=
A? ấn 8=
( hiển thị góc) ấn SHIFT ˜’’’ kết quả: 81
0
47’ 12.44’’
Chú ý: * Nếu muốn dùng công thức lần nữa ta tiếp tục ấn phím = để khai báo số liệu
khác .
* Muốn máy hỏi đúng thứ tự A? B? C? ta ghi thêm ở đầu dòng biểu thức 0ABC:
( ấn 0 ALPHA A ALPHA B ALPHA C ALPHA:).
SKKN : Bồi dưỡng HVG giải toán nhanh bằng máy tính cầm tay(2013-2014) Trang 9
* Ấn phím AC không làm mất công thức ( có thể gọi lại bằng phím ). Đổi
MODE hoặc ấn phím ON thì công thức sẽ bị xóa.
7. GIẢI HÀM:
Thực hiện trong MODE COMP –không thực hiện được trong máy fx 95MS
Ví dụ: trong vật lý , độ cao của một vật rơi tự do được biểu thị bởi công thức tính:
h = v
0
t –
2
1
gt
2

B? ấn 16.8=
C? ấn 2=
D? ấn 9.8 =
Bước 3: giải hàm
Ấn phím trên phím COPY để tìm lại A ? rồi ấn phím SHIFT SOLVE
kết quả A = 14m/s.
Chú ý: phép giải hàm gần giống giải phương trình với 1 ẩn là một trong các biến và các
biến còn lại là các tham số nhận các giá trị cụ thể . Do đó ta có thể vận dụng để giải các
phương trình dạng đặc biệt .
Ví dụ: Giải phương trình x – cosx = 0.
MODE
4
 2 ( vì phương trình siêu việt trên có ẩn x được tính bằng radian)
ALPHA X – COS ALPHA X ALPHA = 0 ( nhập phương trình X- CosX = 0)
SHIFT SOLVE = SHIFT SOLVE
Kết quả : x ≈ 0.739085133
Tuy nhiên không phải khi nào ta cũng có thể ứng dụng phương pháp này để giải phương
trình bởi vì nó đòi hỏi một số điều kiện nghiêm ngặt khác ( xem thêm phần giải phương
trình bằng phương pháp lặp ).
9. THỐNG KÊ 1 BIẾN (SD), THỐNG KÊ 2 BIẾN (REG)
9.1 Thống kê 1 biến Thực hiện trong MODE SD
Bước 1: Dùng phím MODE để vào MODE SD
Bước 2: Xóa nhớ thống kê: ấn SHIFT CLR 1 =
Bước 3: nhập dữ liệu: ấn < dữ liệu x > DT ( phím DT xanh là phím M+ trắng)
Nếu có 2 dữ liệu bằng nhau : ấn < dữ liệu x > DT DT
Nếu có n dữ liệu bằng nhau: ấn < dữ liệu x >  SHIFT  ;  n  DT
(phím ; nằm phái trên phím , )
Bước 4: Nhập dữ liệu xong thì gọi kết quả như sau:
SKKN : Bồi dưỡng HVG giải toán nhanh bằng máy tính cầm tay(2013-2014) Trang 10
Giá trị ấn

6 4
5 1
4 2
Vào MODE SD
Xóa nhớ
Nhập : 10 ; 25 DT 9 ; 42 DT 8 ; 14 DT 7 ; 12 DT 6 ; 4 DT 5
DT 4 DT DT
Tổng số điểm ∑x : ấn SHIFT S.SUM 2 = kết quả: 861
Số lần bắn ∑ n: ấn SHIFT S.SUM 3 = kết quả: 100
Điểm trung bình:
X
ấn SHIFT S.VAR 1 = kết quả : 8.61
Đô lệch chuẩn ó
n
:

ấn SHIFT S.VAR 2 = kết quả : 1.318
Phương sai ó
n
: ấn x
2
= kết quả: 1.7379
Chú ý khi nhập dữ liệu:
• Không cần nhập đúng thứ tự số liệu.
• Bất kỳ lúc nào cũng có thể xem lại dữ liệu nhập bằng phím  theo thứ tự nhập
.Nếu dùng SHIFT ; khi nhập dữ liệu thì khi xem lại: dữ liệu hiện một lần kèm số thứ
tự , số dữ liệu của thứ tự này đọc được ở tần số (Freq).
• Ta có thể chỉnh sữa dữ liệu hay tần số bằng cách gọi dữ liệu ( hay tần số) đó lên nhập
dữ liệu mới và ấn phím =, giá trị mới sẽ thay thế giá trị cũ.
• Nếu ta ấn DT thay vì = thì số liệu trên màn hình sẽ nhập vào như một dữ liệu mới

Bước 4: Gọi các kết quả bằng các phím SHIFT S.SUM, SHIFT S.VAR. Các giá trị trên
có thể dùng như các biến trong các biểu thức .
Ví dụ: áp suất theo nhiệt độ trong bảng sau:
Nhiệt độ 10
0
C 15
0
C 20
0
C 25
0
C 30
0
C
Áp suất 1003hPa 1005hPa 1010hPa 1011hPa 1014hPa
Hãy dùng hồi quy tuyến tính y= A +Bx để tính A, B và hệ số tương quan r, , áp suất ở nhiệt
độ 18
0
C. Tìm nhiệt độ khi áp suất 100hPa, hệ số tới hạn r
2
và số hiệp biến (
1−
−
∑
n
nxyxy
)
Vào MODE REG
ấn 1 (chọn Lin)
ấn SHIFT CLR 1 ( xóa nhớ)

thể bỏ qua )
Ví dụ : tính ( 2x
2
+ 3x + 8) dx
∫ dx 2 ALPHA X x
2
+ 3 ALPHA X + 8, 1, 5 = kết quả : 150.6666667
SKKN : Bồi dưỡng HVG giải toán nhanh bằng máy tính cầm tay(2013-2014) Trang 12
Ví dụ 2: Tính A= cos
4
x dx
MODE
4
2 ( chọn đơn vị tính là radian)
∫ dx ( cos ALPHA X ) ^ 4 , 0 , SHIFT EXP ÷ 2 = KQ : 0.589048622
12. HỆ ĐẾM CƠ SỐ N
Thực hiện trong cơ chế BASE
Ngoài hệ đếm cơ số 10 (DEC) , ta còn có thể thực hiện các phép tính trên các hệ đếm nhị
phân (BIN) , hệ bát phân ( OCT), hệ thập lục phân (HEX).
Trong chế độ này, ta không thể dùng các hàm khoa học, không thể dùng phần lẻ thập phân
( máy tự động cắt bỏ) , có thể thực hiện các phép toán logic như And, Or, Xnor, Xor, Not và
Neg.
• Chọn hệ đếm của số hiển thị trên màn hình: ấn phím màu xanh ( DEX, HEX, BIN, OCT)
• Nhập số theo hệ đếm đã chọn : ấn LOGIC LOGIC LOGIC và chọn 1 (d) / 2(h) / 3(b) / 4
(o) sau đó nhập số.
Ví dụ 1: Tính 10111
2
+

11010

• Thực hiện được các phép + , - , x , nghịch đảo, bình phương , Det( tính định
thức),Trn( chuyển đổi dòng - cột), A
-1
x B.
• Vào MODE ma trận và chọn chức năng : MODE
3
2 SHIFT 4 ( tức là chọn
MAT)
1: Dim khai báo kích thước: số dòng, số cột, và nhập số liệu
2: Edit chỉnh sữa
3: Mat Gọi tên các ma trận để tính toán
1 (Det) Tính định thức
2 (Trn) Chuyển đổi dòng- cột
Ví dụ: nhập ma trận :

A =
rồi chuyển thành: A’ =
SKKN : Bồi dưỡng HVG giải toán nhanh bằng máy tính cầm tay(2013-2014) Trang 13
1 2
3 4
5 6
1 3 5
2 4 6
Và tính 3A
Nhập: SHIFT 4 1 1 3 (hàng) = 2(cột)= 1(a
11
)= 2(a
12
)=
Chuyển đổi : SHIFT 4  2

2
= Dùng các phím tam giác để xem kết quả.
14.Toán về Vectơ
Thực hiện trong MODE VEC – chỉ dùng trong máy fx- 570MS và fx-991MS
• Vectơ trong mặt phẳng và trong không gian
• Số vectơ : toán tử 3 + kết quả 1
• Thực hiện được các phép toán : +, - , mV, tích vô hướng, tích có hướng, tích hỗn tạp.
• Vào MODE vectơ và chọn chức năng : MODE
3
3 SHIFT 5 ( tức chọn VEC)
1 ( Dim) chọn số chiều.
2 ( Edit) chỉnh sửa tọa độ.
3 ( Vct) gọi tên vectơ để tính toán.
1 (Dot) Tính tích vô hướng.
Tính tích có hướng: Vct A x Vct B
Tính tích hỗn tạp: (VctA x VctB). VctC = ( dấu . là SHIFT 5  1)
Muốn tính độ dài Vectơ A ấn SHIFT) ( tức là Abs)  Vct A  = )
Ví dụ : cho vectơ A = (1; 2; 3) vectơ B ( 2; 5; 8).
Tính A + B, 3A , A.B , [ A ; B] , | A |
15. THÔNG TIN KỸ THUẬT
1/ khi có vấn đề :
Nếu kết quả phép tính bất thường hoặc có thông báo lỗi , hãy thực hiện các bước sau :
1. Ấn SHIFT : CLR 2
2. Kiểm tra lại các công thức đang dùng.
3. Nhập Mode đúng và thực hiện lại phép tính
Nếu các bước trên không chỉnh đúng bài toán thì ấn ON . Máy tự kiểm tra thao tác và xóa đi
tất cả dữ liệu bất thường trong bộ nhớ. Nên luôn ghi các dữ liệu quan trọng để giữ lại.
2/. Thông báo lỗi:
Máy bị đứng khi có thông báo lỗi hiện lên . Ấn AC và các phím tam giác để chỉnh lỗi
Hãy xem các chi tiết của vùng lỗi.

bảng . Chỉ tính với x > 0 rồi suy ra trường hợp x< 0.
2/ TÌM SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA ĐA THỨC P(x) CHO ( x-a)
Cơ sở lý luận : P(x) = Q(x) .(x-a) + r
Khi x = a thì r = P(a)
Ví dụ : tìm số dư của phép chia : ( 3x
3
- 2,5x
2
+ 4,5x -15) : (x-1,5)
1.5 = 3 Ans ^ 3 - 2.5 Ans x 2 + 4.5 Ans -15 = kết quả :- 3,75
Ghi chú: có thể dùng quy tắc horner và dùng quy trình ấn phím :
1.5 M+ 3 X RCL M+ - 2.5 = X RCL M+ + 4.5 =
X RCL M+ - 15 =
Mở rộng: Muốn tìm số dư trong phép chia P(x) cho ax + b, ta tính giá trị của P(x) tại
x= -
a
b
Ví dụ : Tìm số dư trong phép chia ( 3x
3
– 7x
2
+ 5x - 20 ) : ( 4x- 5) kết quả: -18,828125
Ghi chú : điều kiện để P(x) + m chia hết cho (ax- b) là m = -P(b/a)
Ví dụ 1 : tìm điều kiện của m để cho đa thức P(x)= 3x
3
– 4x
2
+ 5 + m chia hết cho ( x-2)
Kết quả : m = -19
3/ BÀI TOÁN VỀ GỬI TIỀN TIẾT KIỆM

=
1
1
1
−
−
+
x
x
n
ví dụ: tính giá trị của các biểu thức (chính xác đến 0,01)
A = 1 + x
2
+ x
3
+ x
4
+ x
5
+ x
6
+ x
7
+ x
8
+ x
9
với x = 1,15
B = x
5

2 tiếp tuyến AB và AC ( B, C là các tiếp điểm ) . Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi
2 tiếp tuyến và cung tròn nhỏ BC . Biết AO =a = 7,85 cm
Gọi α là số đo góc BOA, cos α = OB/OA .
S
ABOC
= 2 S
AOB
= aRsin α
S
quạt OBC
= π R
2
α/180
S = S
ABOC
- S
quạt OBC

Kết quả: 11,16 cm
2

Ví dụ 2: Tính diện tích hình có 4 cạnh cong ( phần gạch sọc)
theo kích thước như hình vẽ.
S= Diện tích hình vuông trừ diện tích hình tròn
Kết quả: S ≈ 6,14 cm
2
Ví dụ 3: Tính diện tích phần hình phẳng ( phần gạch sọc ) giới
hạn bởi các cung tròn và các cạnh của hình tam giác đều theo kích
thước như hình vẽ .
HD : yêu cầu chỉ ra cách tính cụ thể , không yêu cầu chứng minh.

Thay x
1vào vế phải của phương trình x = g(x) ta được nghiệm gần đúng thứ hai x
2
= g(x
1
) .
Lặp lại quá trình trên , ta được dãy các nghiệm gần đúng x
1
= g(x
0
) , x
2
= g(x
1
), x
3
= g(x
2
), x
4
=
g(x
3
), , x
n
= g(x
n-1

) - g( X).
Theo định lý Lagrange tồn tại điểm c ∈ ( x
1
; X) sao cho:
x
1
- X= g(x
0
) - g(X)= g’(c)(x
0
- X)
Suy ra: | x
1
- X| = | g’(c)(x
0
- X)| ≤ q| x
0
- X|
| x
1
- X| ≤ q| x
0
- X|
Tuơng tự ta có: | x
2
- X| ≤ q| x
1
- X|
Suy ra: | x
2

-1 = 0
Phương trình đã cho tuơng đương với: x=
3
2
1;3
+
x
.
Do g(x) =
3
2
1;3
+
x
có đạo hàm g’(x) = thỏa mãn điều kiện |g’(x)| ≤
3
2
1
≤ 1
trong khoảng (1;1,5) nên g(x) có duy nhất nghiệm trong khoảng (1;1,5).
Chọn x
0
= 1,1 .
Khai báo hàm g(x) : ấn SHIFT
3
;2
( ANPHA X x
2
+ 1
Bắt đầu tính toán bằng phím CALC ấn CALC

} được xác định bởi hệ thức : u
1
= 1 ; u
n+1
=
2
3
u
u
n
n
+
( n ≥ 2 ) .
SKKN : Bồi dưỡng HVG giải toán nhanh bằng máy tính cầm tay(2013-2014) Trang 17
3
2
13
2
+
x
x
a/ Tính năm số hạng đầu của dãy .
b/ Tính số hạng thứ 100.
Quy trình ấn phím
1 = ( Ans + 3 ÷ Ans ) ÷ 2 = = = =
+ Trường hợp số hạng sau được tính theo nhiều số hạng trước : dùng nhiều ô nhớ và lập
một lần cho vòng lặp .
ví dụ: Tính số FIBONACCI u
1
= u

4
π
cos
9
8
π
C =
0
18sin
1
-
0
54sin
1
+ tan9
o
– tan27
o
– tan63
o
+ tan81
o
.
KQ: A =
4
1
; B = -
8
1
; C = 6

⇔




+−=
+=
−
−
ππ
π
2sin
2sin
1
1
kax
kax
k
∈
Z; (
a
≤
1)
hoặc sinx = a
⇔






⇔
x =
±
0
α
+ k360
o
với k
∈
Z
• tanx = a = tan
α
⇔
x =
α
+ k
π
với k
∈
Z
SKKN : Bồi dưỡng HVG giải toán nhanh bằng máy tính cầm tay(2013-2014) Trang 18
hoặc tanx = a = tan
0
α
⇔
x =
0
α
+ k180
o

a
b
• a tanx + b = 0, ta đưa về giải PTLGCB tanx = -
a
b
• a cotx + b = 0, ta đưa về giải PTLGCB cotx = -
a
b
.
+ Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
• a sin
2
x + b sinx + c = 0, đặt sinx = t,
t
≤
1, ta có pt: at
2
+ bt + c = 0…
• a cos
2
x + b cosx + c = 0, đặt cosx = t,
t
≤
1, ta có pt: at
2
+ bt + c = 0…
• a tan
2
x + b tanx + c = 0, đặt tanx = t, ta có pt: at
2

c
+
( Với cos
α
=
22
ba
a
+
và sin
α
=
22
ba
b
+
) (1)
Điều kiện có nghiệm của phương trình là:
22
ba
c
+
≤
1
⇔
22
2
ba
c
+

kx
kx
2
2
, với k
∈
Z
⇔



+−−=
+−=
παβπ
παβ
kx
kx
2
2
với k
∈
Z.
Sử dụng máy tính tìm nghiệm của phương trình như sau:






+

1
22
1
22
1
với k
∈
Z (nếu đơn vị là Radian);
Hoặc






+
+
−
+
−=
+
+
−
+
=
−−
−−
0
22
1

) = -
2
2
KQ: x
1
=50
o
+k180
o
; x
2
= -75
o
+k180
o
.
Bài 2: Tính nghiệm gần đúng của phương trình sinx =
3
2
.
KQ: x
1

≈
0,7297 + k2
π
; x
2

≈

40
o
23’ 26’’ + k180
o
; x
2

≈
- 66
o
57’20’’ + k180
o
.
Bài 5: Tìm nghiệm gần đúng(độ, phút, giây) của pt: 4sin4x + 5cos4x = 6.
KQ: x
1

≈
4
o
33’ 18’’ + k90
o
; x
2

≈
14
o
46’29’’ + k90
o

; x
2

≈
184
o
23’24’’ + k360
o
.
Bài 8: Tìm nghiệm gần đúng(độ, phút, giây) của pt: 2
sinx
+ 4
sinx
= 3.
KQ: x
1

≈
22
o
25’ 56’’ + k360
o
; x
2

≈
157
o
34’4’’ + k360
o


≈
-24
o
42’ 4’’ + k120
o
.
2) Phương trình bâc nhất, bậc hai, bậc ba, BPT bậc hai:
a) Phương trình bậc hai, pt bậc ba, hệ phương trình bậc hai:
Phải đưa phương trình về các dạng:
ax
2
+ bx + c = 0
ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1/ 2x
2
+ 9x - 45 = 0 KQ: x
1
= 3; x
2
= -7,5.
2/ 2x
2
+ 1,32x -5,641 = 0 KQ: x
1

– 7x
2
– 2x + 4 = 0 KQ: x
1

≈
7,2006; x
2

≈
-0,8523; x
3
≈
0,6571.
2/ x
3
+ x – 1 = 0 KQ: x
≈
0,6823.
3/ 2x
3
+ 5x
2
– 17x + 3 = 0 KQ: x
1

≈
1,7870; x
2


2
1
.
4/
2 4
log log ( 3) 2− − =x x
. ĐS: x = 4, x = 12.
5/
2 2
2 2
log 5 3log
+ ≤
x x
. ĐS:
322
≤≤
x
6/
2
2 3
3 4
4 3
−
 
≤
 ÷
 
x x
. ĐS: x
2

2
– 4x + 3) = 1. ĐS: x =
10
31
10/
0,5
2 1
2
5
log
+
≤
+
x
x
. ĐS: x< -5, x
7
1
≥
11/
2
3 5.3 6 0
− + =
x x
.
HD: Đặt t= 3
x
, t> 0, ta có pt: t
2
-5t + 6 = 0 ĐS: x = 1, x = log

 
≥
 ÷
 
x x
. ĐS:
21
≤≤
x
16/ log
3
( )
2+x
≤
log
9
( )
2+x
. ĐS: -2< x
≤
-1
17/
2 2 3
−
+ =
x x
. ĐS: x=log
2
2
53 +

Hệ phương trình bậc nhất bốn ẩn:





=+++
=+++
=+++
33333
22222
11111
edzcybxa
edzcybxa
etdzcybxa
Bài tập:
Bài 1: Giải hệ phương trình sau:
SKKN : Bồi dưỡng HVG giải toán nhanh bằng máy tính cầm tay(2013-2014) Trang 21



=+−
=+
1543,5
7325
yx
yx
KQ:



5), C(-3; 6).
KQ: a = -
110
31
, b =
110
113
, c =
55
639
.
Bài 5: Tìm a, b, c nếu đường tròn x
2
+ y
2
+ ax + by + c đi qua ba điểm M(1; 2),
N(3; -4) và P(-2; -5).
KQ: a =
8
1
, b =
8
27
, c = -
8
95
.
Bài 6: Tìm a, b, c, d nếu đồ thị hàm số y =
bax
cxx

, d =
14
9
.
Bài 8: Đồ thị hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d đi qua các điểm A(-4; 3), B(7; 5), C(-5; 6)
và D(2; 8). Xác định các hệ số a, b, c, d.
KQ: a = -
1540
87
, b =
4620
703
, c =
385
699
, d =
33
139
.
Bài 9: Đồ thị hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d đi qua các điểm A(1; -3), B(-2; 40),
C(-1; 5) và D(2; 3). Xác định các hệ số a, b, c, d.
KQ: a = -

, d = -
23
88
.
Bài 11: Đa thức P(x) = x
4
+ax
3
+ bx
2
+ cx + d thỏa mãn các điều kiện sau: P(-2) = 4,
P(-1) = -2, P(1) = -11, P(2) = 6. Tính giá trị của a, b, c, d.
KQ: a =
3
5
, b = -
6
7
, c = -
6
37
, d = -
3
19
.
Bài 12: Tính giá trị a, b, c, d nếu mặt cầu x
2
+ y
2
+ z

(C1) và (C2).
Chú ý: Có thể dùng chức năng SOLVE dể giải.
Bài tập:
1/ Tính gần đúng tọa độ các giao điểm của đường thẳng y = 3x – y – 1 = 0 và elip
1
916
22
=+
yx
.
KQ: x
1
≈
1,2807
;
y
1
≈
2,8421; x
2
≈
-0,6532; y
2

≈
-2,9597.
2/ Tính gần đúng tọa độ các giao điểm của hai đường tròn x
2
+ y
2

tròn x
2
+ y
2
- 4x + 5y – 6 = 0.
KQ: A(2,2613; 1,5226) ; B(-1,0613; -5,1226).
5/ Tính gần đúng tọa độ các giao điểm A, B của parabol y
2
= 4x và đường tròn
x
2
+ y
2
+ 2x – 5 = 0.
KQ: A(0,7417; 1,7224) ; B(0,7417; -1,7224).
6/ Tính gần đúng tọa độ các giao điểm của hai đường tròn x
2
+ y
2
= 9 và
x
2
+ y
2
- 2x- 6y- 6 = 0.
KQ: A(2,9602; -0,4867) ; B(-2,6602; 1,3867).
7/ Tính gần đúng hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y =
3
3
x

= 9 và
hypebol
4
2
x
-
3
2
y
=1.
KQ: x
≈
2,6186 ; y
≈
1,4639.
9/ Giải hệ:





=
=−
3
8
22
y
x
yx
.với x > 0, y > 0

2
0
y
x
;



=
=
0
2
y
x
.
11/ Giải hệ:





=+
=+
523
432
x
y
y
x
.

Máy hỏi X? ấn 2 = ( Chọn x ban đầu là 2 chẳng hạn)
Ấn tiếp SHIFT và SOLVE
Kết quả: x
≈
0,739085133
Bài tập: Giải các phương trình:
1/ cosx – x = 0 KQ: x
≈
0,739085133
2/ x
16
+ x – 8 = 0 KQ: x
≈
1,228022103.
3/ x
3
– x
2
– 1 = 0 KQ: x
≈
1,465571232.
4/ e
x
+ x – 3 = 0 KQ: x
≈
0,792059968.
5/ sinx = 2x – 1 trên [0; 2] KQ: x
≈
0,887862211.
6/ cosx = 2x KQ: x

= 4 – x KQ: x
≈
2,571428571;
12/
235
2
+− xx
=1-3x KQ: x = -0,25;
13/
52 −− x
= x
2
+ 4x +1 KQ: x
≈
-4,20101299;
14/ cosx + sinx +
xsin
1
+
xcos
1
=
3
10
; x
∈
(
4
π
;

1
≈
2,189972933; x
2
≈
-2,189972933;
HÀM SỐ:
1) Tính giá trị của hàm số:
1. Cho hàm số f(x)= x
3
– 7x
2
– 2x + 4. Tính giá trị gần đúng của hàm số tại
x = 4,23
f(4,23)
≈
-54,0233.
2. Cho hàm số f(x)= 2x
2
+ 3x -
13 −x
. Tính giá trị gần đúng của hàm số tại
x = 3
f(3)
≈
24,1716.
3. Cho hàm số f(x) = 11x
3
– 101x
2

6
ππ
KQ: f(-2)
≈
0,3228; f(
6
π
)
≈
3,1305; f(1,25)
≈
0,2204; f(
5
3
π
)
≈
-0,0351;
2) Giá trị lớn nhất, GTNN của hàm số:
a) Lý Thuyết:
1. Dựa vào tính chất của các hàm số:
-1
≤
sinx
≤
1 ; -1
≤
cosx
≤
1; A

( Với cos
α
=
22
ba
a
+
và sin
α
=
22
ba
b
+
)
Điều kiện có nghiệm của phương trình là:
22
ba
c
+
≤
1
⇔
22
2
ba
c
+
≤
1