PHẦN I: MỞ ĐẦU
I. Lí do chọn đề tài
Học sinh trên địa bàn XXX đa phần là con em nông thôn, cha mẹ không có
điều kiện chăm lo cho con cái học hành. Ngoài giờ đến lớp các em còn phải giúp
đỡ bố mẹ các công việc gia đình và đồng áng, không có nhiều thơì gian để học,
dẫn đến việc chất lượng học tập của học sinh còn yếu, kiến thức bị “hổng”
nhiều, nên hầu hết các em sợ học môn Toán. Là giáo viên dạy toán, đã có 20
năm gắn bó với nghề, tôi rất thông cảm với các em và trăn trở trước thực tế đó.
Bởi vậy trong quá trình giảng dạy tôi luôn học hỏi đồng nghiệp và tìm tòi những
phương pháp thích hợp để giúp các em học sinh yêu thích và học tốt môn toán
hơn, vững bước vào các kỳ thi tốt nghiệp và Đại học.
Trong đề thi tốt nghiệp THPT, Đại học, Cao đẳng, THCN của các năm bài
toán tích phân hầu như không thể thiếu, nhưng đối với học sinh bài toán này lại
là một trong những bài toán tương đối khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt
của định nghĩa, các tính chất, các phương pháp tính của tích phân. Trong thực tế
đa số học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đó là: tìm một nguyên
hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định nghĩa của tích phân hoặc
phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân từng phần mà rất ít học
sinh để ý đến nguyên hàm của hàm số tìm được có phải là nguyên hàm của hàm
số đó trên đoạn lấy tích phân hay không? phép đặt biến mới trong phương pháp
đổi biến số có nghĩa không? Phép biến đổi hàm số có tương đương không? vì thế
trong quá trình tính tích phân học sinh thường mắc phải những sai lầm dẫn đến
lời giải sai, qua thực tế giảng dạy nhiều năm tôi nhận thấy rất rõ yếu điểm này
của học sinh lớp 12 trường THPT XXX.
2
Để nâng cao hiệu quả của việc rèn luyện kỹ năng giải toán tích phân cho
học sinh tôi chọn đề tài “Tổng hợp một số sai lầm và hướng dẫn biện pháp
khắc phục những sai lầm đó, nhằm giúp học sinh lớp 12A trường THPT XXX
tránh sai sót khi tính tích phân”
II. Mục tiêu nghiên cứu
Nhằm giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm nêu trên từ đó đạt

Lựa chọn các ví dụ các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm của
học sinh vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của
học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán.
4
PHẦN II: NỘI DUNG
I. Những quan niệm chung
Dựa trên nguyên tắc quá trình nhận thức của con người đi từ: “ cái sai đến
cái gần đúng rồi mới đến khái niệm đúng”, các nguyên tắc dạy học và đặc điểm
quá trình nhận thức của học sinh.
II. Biện pháp, giải pháp thay thế .
Bài tập minh hoạ:
Bài 1: Tính tích phân: I =
∫
−
+
2
2
2
)1(x
dx
* Sai lầm thường gặp: I =
∫
−
+
2
2
2
)1(x
dx
=

[ ]
2;2−∈
suy ra hàm số không liên
tục trên
[ ]
2;2−
nên không sử dụng được công thức newtơn – leibnitz như cách
giải trên.
* Lời giải đúng
Hàm số y =
2
)1(
1
+x
không xác định tại x= -1
[ ]
2;2−∈
suy ra hàm số không liên
tục trên
[ ]
2;2−
do đó tích phân trên không tồn tại.
* Chú ý đối với học sinh: Khi tính
dxxf
b
a
)(
∫
cần chú ý xem hàm số y=f(x) có
liên tục trên

2
0
4
cos
1
π
4/
dx
x
xex
x
∫
−
+−
1
1
3
23
.
Bài 2 :Tính tích phân: I =
∫
+
π
0
sin1 x
dx
* Sai lầm thường gặp: Đặt t = tan
2
x
thì dx =

t
dt
=
∫
−
+
2
)1(2 t
d(t+1) =
1
2
+t
+ c
⇒
I =
∫
+
π
0
sin1 x
dx
=
2
tan 1
2
x
−
+
π
0

∫
+
π
0
sin1 x
dx
=
0
2
0 0
2 4
tan
2 4
1 cos cos
2 2 4
x
d
dx x
x
x
π π
π
π
π
π π
 
−
 ÷
 
 

sin x
dx
6
2/
∫
+
π
0
cos1 x
dx
Bài 3: Tính I =
∫
+−
4
0
2
96xx
dx
* Sai lầm thường gặp:
I =
∫
+−
4
0
2
96xx
dx =
( ) ( ) ( )
( )
4

là không tương đương.
* Lời giải đúng:
I =
∫
+−
4
0
2
96xx
dx
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
∫ ∫∫∫
−−+−−−=−−=−
3
0
4
3
4
0
4
0
2
3333333 xdxxdxxdxdxx
= -
( ) ( )
5
2
1
2

b
a
n
n
xf
2
2
( )
dxxf
b
a
∫
ta phải xét dấu hàm số f(x) trên
[ ]
ba;
rồi dùng tính chất
tích phân tách I thành tổng các phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Một số bài tập tương tự:
1/ I =
∫
−
π
0
2sin1 x
dx;
2/ I =
∫
+−
3
0

+ −
∫
dx
Bài 4: Tính I =
∫
−
++
0
1
2
22xx
dx
* Sai lầm thường gặp:
I =
( )
( )
( )
0
0
1
2
1
1
arctan 1 arctan1 arctan 0
4
1 1
d x
x
x
π

π
π
+
= = =
+
∫ ∫
* Chú ý đối với học sinh:
Các khái niệm arcsinx , arctanx không trình bày trong sách giáo khoa hiện thời.
Học sinh có thể đọc thấy một số bài tập áp dụng khái niệm này trong một sách
tham khảo, vì các sách này viết theo sách giáo khoa cũ (trước năm 2000). Từ
năm 2000 đến nay do các khái niệm này không có trong sách giáo khoa nên học
sinh không được áp dụng phương pháp này nữa. Vì vậy khi gặp tích phân dạng
∫
+
b
a
dx
x
2
1
1
ta dùng phương pháp đổi biến số đặt t = tanx hoặc t = cotx ;
8

∫
−
b
a
dx
x

−
3
1
0
8
3
1 x
dxx
Bài 5:
Tính :I =
∫
−
4
1
0
2
3
1
dx
x
x
*Suy luận sai lầm: Đặt x= sint , dx = costdt
∫ ∫
=
−
dt
t
t
dx
x

x
=⇒
−
2
1
Đổi cận: với x = 0 thì t = 1; với x =
4
1
thì t =
4
15
9
I =
∫
−
4
1
0
2
3
1
dx
x
x
=
( )
( )
∫ ∫
−=−


3
2
192
1533
3
2
192
1515
4
15
3
1
1 t
tdtt
t
tdtt
* Chú ý đối với học sinh: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa
2
1 x−
thì
thường đặt x = sint hoặc gặp tích phân của hàm số có chứa 1+x
2
thì đặt x = tant
nhưng cần chú ý đến cận của tích phân đó nếu cận là giá trị lượng giác của góc
đặc biệt thì mới làm được theo phương pháp này còn nếu không thì phải nghĩ
đến phương pháp khác.
*Một số bài tập tương tự:
1/ Tính I =
dx
x

* Sai lầm thường mắc: I =
∫ ∫
− −
−






+






−
=
+
−
1
1
1
1
2
2
2
2
2

Đổi cận với x = -1 thì t = -2 ; với x=1 thì t=2;
I =
∫
−
−
2
2
2
2t
dt
=
dt
tt
)
2
1
2
1
(
2
2
−
−
+
∫
−
=(ln
2+t
-ln
2−t

+
10
* Nguyên nhân sai lầm:
2
2
2
4
2
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
+
−
=
+
−
là sai vì trong
[ ]
1;1−
chứa x = 0 nên
không thể chia cả tử cả mẫu cho x = 0 được
* Lời giải đúng:
xét hàm số F(x) =

′
++
+−
x
x
xx
xx
Do đó I =
∫
−
+
−
1
1
4
2
1
1
dx
x
x
=
12
12
ln
22
1
2
2
++

2. Kết quả thực nghiệm:
Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2011-2012.
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm nghiệm tính
khả thi và hiệu quả của các biện pháp rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải quyết
các vấn đề liên quan đến tính tích phân; kiểm nghiệm tính đúng đắn của Giả
thuyết khoa học.
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại trường THPT XXX.
+ Lớp 12B ( 33 học sinh) không áp dụng sáng kiến.
+ Lớp 12A ( 34 học sinh) áp dụng sáng kiến.
Thực nghiệm được tiến hành trong bài phụ đạo, ôn tập về tích phân. Sau
khi dạy thực nghiệm, chúng tôi cho học sinh làm bài kiểm tra. Sau đây là nội
dung đề kiểm tra:
Đề kiểm tra khảo sát 45 phút
Tính các tích phân sau
1/
∫
−
5
0
4
)4(x
dx
. 2/
dxxx
2
1
3
2
2
)1( −

12A 5% 24% 65% 6%
12B 0% 13% 47% 40%
Việc ra đề như trên hàm chứa những dụng ý sư phạm, tất nhiên Đề kiểm
tra này dành cho học sinh có học lực khá trở lên ở hai lớp thực nghiệm và đối
12
chứng. Xin được phân tích rõ hơn về điều này và đồng thời đánh giá sơ bộ về
chất lượng làm bài của học sinh.
Đề kiểm tra như trên là không quá khó và cũng không quá dễ so với trình
độ học sinh. Có thể nói với mức độ đề như trên thì sẽ phân hóa được trình độ của
học sinh, đồng thời cũng đưa ra cho giáo viên sự đánh giá chính xác về mức độ
nắm kiến thức của học sinh. Cả bốn ý trong đề kiểm tra đều không nặng về tính
toán, mà chủ yếu là kiểm tra khả năng suy luận, vận dụng kiến thức đã được học
về tích phân.
13
PHẦN III : KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ
1. KẾT LUẬN
Sáng kiến kinh nghiệm đã thu được một số kết quả sau đây:
1. Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải được khái niệm kĩ năng và sự hình
thành kĩ năng.
2. Thống kê được một số dạng toán điển hình liên quan đến tích phân.
3. Chỉ ra một số sai lầm thường gặp của học sinh trong quá trình giải quyết
các vấn đề liên quan đến tính tích phân
4. Xây dựng một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải quyết các
vấn đề liên quan đến Tích phân.
5. Thiết kế các thức dạy học một số ví dụ, hoạt động theo hướng dạy học
tích cực.
6. Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh học tính khả thi và hiệu quả
của những biện pháp sư phạm được đề xuất.
Như vậy có thể khẳng định rằng: mục đích nghiên cứu đã được thực hiện,
nhiệm vụ nghiên cứu đã được hoàn thành và giả thuyết khoa học là chấp nhận