Toán 12 – Hình học không gian Trần Gia Huy
1
CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC
1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0; 0; 0), B(1; 0; 0),
D(0; 1; 0), A’(0; 0; 1). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD,
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN.
b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc a biết
1
cos
6
a =
(Đại học khối A – 2006)
Giải
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN
Chọn hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ thì tọa độ các điểm là:
A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0), A’(0; 0; 1); B’(1;
0; 1), C’(1; 1; 1), D’(0; 1; 1), M(
1
2
; 0; 0), N(
1
2
; 1; 0)
Ta có
( ) ( )
1
A'C 1;1; 1 ,MN 0;1;0 ,A'M ;0; 1
2
ỉ ư
= - = = -
ç ÷

6
a a =
A'C có qua A'(0;0;1) VTCP là A'C (1;1; 1)
x-y 0
x y z 1
nên pt chính tắc A'C là pt tổng quát A'C là
y z 1 0
1 1 1
Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm. Vì mp (P) chứa A'C nên pt mp (P) dạng
= -
=
ì
-
= = Þ
í
+ - =
-
ỵ
uuuur
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
Oxy
2
2 2
2 2 2 2 2

B(1; 0; 0)
C
D(0; 1; 0)
A’(0; 0; 1)
B’
C’
D’
y
x
M
N
Toán 12 – Hình học không gian Trần Gia Huy
2
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1 2
x 1 2t
x y 1 z 2
d : và d : y 1 t
2 1 1
z 3
= - +
ì
- +
ï
= = = +
í
-
ï
=
ỵ

r r r r r
uuur r r uuur r
1 2
, AB không đồng phẳng (2)
Từ (1) & (2) d và d chéo nhau Þ
r uuur
b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) : 7x + y - 4z = 0 và cắt hai đường
thẳng d
1
và d
2
.
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
1 2
1 2
1
2 2
x 2y 2 0 x 2y 3 0
Ta có PTTQ của d : ,d :
y z 1 0 z 3 0
chứa d chứa d

Chọn A 1 B 3: pt : x 5y 3z 1 0
Viết pt mp : chứa d nên pt mp dạng :
M x 2y 3 N z 3 0 M N 0 Mx 2My Nz 3M 3N 0
Ycbt n .n 0 7M 2M 4N 0 5M 4N 0
Chọn
a
b
Þ = Û + + - = Û - = Û =
= Þ = a + + + =
- b b b
- + + - = + ¹ Û - + + - =
Þ = Û - - = Û - =
uur uur
uur uur
( )
( ) ( )
1 2
M 4 N 5: pt : 4x 8y 5z 3 0
x 5y 3z 1 0
Vậy ptđt d:
4x 8y 5z 3 0
Ro õ ràng : d cắt d tại M 2;0; 1 ,cắt d tại N 5; 1;3 nên ta nhận pt đt d trên
= Þ = b - + - =
+ + + =
ì
í
- + - =
ỵ
- - -
3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng:

( )
( )
A A ' H
A A ' H
A A' H
ua A(1;2;3) nên 2 2 3 m 0 m 3
2x y z 3 0
Vậy pt mp (P) là : 2x y z 3 0 H thỏa H 0; 1;2
x 2 y 2 z 3
2 1 1
x x 2x
H là trung điểm của AA' nên y y 2y A' 1; 4;1
z z 2z
- + + = Û = -
- + - =
ì
ï
- + - = Þ Û -
í - + -
= =
ï
ỵ -
+ =
ì
ï
+ = Û - -
í
ï
+ =
ỵ

ì
í
+ =
ỵ
+ - + + = + ¹
Û + + + - =
( )
2
3) nên 2A B 2A 3B 3A 0 A 4B 0
Chọn B 1,A 4, ta được pt mp (Q) : 7x 4y z 12 0
2x y z 3 0
Vậy pt đt :
7x 4y z 12 0
Ro õ ràng cắt d tại M 2; 1; 2 nên nhận pt đt trên
+ + + - = Û + =
= - = + - - =
- + - =
ì
D
í
+ - - =
ỵ
D - - D
4) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
. Biết A(a;0;0), B(-a;0;0),

B C a;1;b ,AC a;1; b , B C,AC 2b;0;
=
- = - =
ì ì
ï ï
Û - = - Û = Þ
í í
ï ï
- = - =
ỵ ỵ
é ù
= = - =
ë û
uuuur uuuur
uuuur uuuur uuuur uuuur
( ) ( )
( )
1 1
1 1
2 2 2 2
1 1
2a ,AC a;1;0
B C,AC .AC
2ab
ab
d B C,AC
4a 4b a b
B C,AC
= -
é ù

2y z 5 0
- + - =
ì
í
+ + =
ỵ
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là I, cắt đường thẳng d theo 1 dây cung AB có độ dài bằng 16
Giải
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
2
2 2 2 2
pt mặt cầu (S) tâm I, bán kính R là : x 1 y 1 z 1 R
AB
Gọi H là trung điểm của AB thì IH AB. Vậy R IA IH HA với HA 8;IH d I,d
2
x z 9 x 14
Trong đt d cho y 0, ta được M 14
z 5 z 5
- + - + - =
^ = = + = = =
+ = =
ì ì
= Û Þ
í í
= - = -
ỵ ỵ
( ) ( )
( )

uuur
uur
uur uur uur uur
uur
uur uuur uur uuur
uur u
( ) ( ) ( )
2
d
2 2 2
357
17 R 17 64 81
21
a
Vậy pt mc (S) là x 1 y 1 z 1 81
é ù
ë û
= = Þ = + =
- + - + - =
uur
uur
6) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1;1;1), mặt phẳng (P) : x + 2y + 3z – 6 = 0 và mặt cầu
(S) : x
2
+ y
2
+ z
2
= 100. Viết phương trình đường thẳng d qua M, nằm trong mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu (S)
theo dây AB thỏa MA = MB.

- +
D = =
-
a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng
OAB.
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng D sao cho MA
2
+ MB
2
nhỏ nhất.
(Đại học khối D – 2007)
Giải
Toán 12 – Hình học không gian Trần Gia Huy
5
a) Viết phương trình đường thẳng d qua G, vuông góc mp(OAB)
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
O A B
G
O A B
G
O A B
G
d
x x x
x 0
3
y y y
G là trọng tâm OAB nên G thỏa y 2 G 0;2;2

-
b) Tìm MỴD để MA
2
+ MB
2
nhỏ nhất
( )
2
2 2 2
2 2
P
AB
Gọi E là trung điểm của AB thì MA MB 2ME
2
Vậy MA MB min ME min M H hình chiếu của E lên đt
E là trung điểm AB nên E 0;3;3 ;Gọi (P) là mp qua E và vuông góc đt thì n a
D
+ = +
+ Û Û º - D
D = =
uur uur
( )
( )
1;1;2
pt mp (P) : x y 2z m 0.(P) qua E nên 3 6 m 0 m 9 pt mp (P) : x y 2z 9 0
x 1
x y 2z 9 0
Vậy H thỏa y 0 M 1;0;4
x 1 y 2 z
z 4

ỵ
ï
= +
ỵ
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng D
1
và song song với đường thẳng D
2
.
b) Cho điểm M(2;1;4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng D
2
sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ
nhất. (Đại học khối A – 2002)
Giải
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng D
1
và song song với đường thẳng D
2
.
( )
( )
( )
( )
( )
1
1 1 1 1 2
2
1 1
1 1
n 1; 2;1

( )
1 2
2 2
ø 1 VTCP của (P)
(P) có VTPT là n a ,a 2;0; 1
mp (P) // nên a = 1;1;2 là 1 VTCP của (P)
pt mp (P) dạng : 2x z m 0. (P) qua A 0; 2;0 nên m 0.
Vậy pt mp (P) là : 2x z 0
ü
ï
é ù
Þ = = -
ý
ë û
D
ï
þ
Þ - + = - =
- =
r uur uur
uur
b) Tìm H Ỵ D
2
để MH nhỏ nhất.
Toán 12 – Hình học không gian Trần Gia Huy
6
( )
2 2
2 Q 2
Kẻ ME . Ta có ME MH. Vậy MH min MH ME H E hình chiếu của M xuống

=
ỵ
ï
+ + - =
ỵ
9) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A
trùng với gốc của hệ tọa độ, B(a;0;0), D(0;a;0); A’(0;0;b) (a>0, b>0). Gọi M là trung điểm cạnh CC’.
a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b.
b) Xác đònh tỉ số
a
b
để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau.
(Đại học khối A – 2003)
Giải
a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M
Tọa độ của các điểm là :
A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0)
A’(0;0;b), B’(a;0;b), C’(a;a;b), D’(0;a;b), M(a;a;
b
2
)
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2 2
BDA'M
b
Ta có : BD a;a;0 ,BA' a;0;b ,BM 0;a;
2

(A'BD) có VTPT n A'B,A'D ab;ab;a a b;b;a
1
b
(MBD) có cặp VTCP MB 0; a; ; BD a;a;0
2
(MBD) có VTPT n MB
- = - = -
é ù
Þ = = =
ë û
-
ỉ ư
- = - = -
ç ÷
è ø
Þ =
uuuur uuuur
uur uuuur uuuur
uuur uuur
uur uuur
ab ab b b
2
,BD ; ; a a ; ; a
2 2 2 2
2 2
b a
b b a
2 2 2
Để 2 mp trên vuông góc thì n .n 0 a 0 b a 0 1
1 2

M
z
Toán 12 – Hình học không gian Trần Gia Huy
7
10) Tìm m để hai mặt phẳng sau song song :
mp (P) : 2x + my + 3z + 6 –m = 0 và mp (Q) : (m+3)x + 2y + (5m+1)z – 10 = 0
Giải
( ) ( )
( )
( )
P Q
2 2
P Q P Q
2
2
Ta có : n 2;m;3 và n m 3;2;5m 1
Để mp(P) // mp (Q) thì n // n n ,n 0 5m m 6; 7m 7;4 m 3m 0;0;0
5m m 6 0
7m 7 0 m 1
4 m 3m 0
Với m 1:mp(P): 2x y 3z 5 0,mp(Q) :4x 2y 6z
= = + +
é ù
Û = Û + - - + - - =
ë û
ì
+ - =
ï
Û - + = Û =
í

đpcm a b a c b c abc(a b c)
a b a c b c abc(a b c)
Theo BĐT Cauchy ta được :
a b +b c 2ab c
b c +c a
é ù
= - = - =
ë û
é ù
= = + +
ë û
Û + + ³ + +
Û + + ³ + +
³
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2bc a Cộng vế : a b a c b c abc(a b c)(đpcm)
c a a b 2ca b
ü
ï
³ + + ³ + +
ý
ï
+ ³
þ
12) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) : x
2
+ y

B
C
D
Toán 12 – Hình học không gian Trần Gia Huy
8
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mp (P) là max
( ) ( ) ( )
( )
( )
Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với mp (P). d cắt m.c tại A và B.
Nếu d A,mp(P) d B,mp(P) thì d M,mp(P) max khi M A
x 1 y 2 z 1
d có VTCP là a 2; 1;2 ,qua I nên ptđt d là
2 1 2
Gọi l
> º
- + +
= - = =
-
a
r
( )
( ) ( )
( )
1
à tiếp diện của m.c (S) và // mp (P) thì pt dạng: 2x y 2z m 0
m 2 9 m 7
2 2 2 m
Để tiếp xúc m.c (S) đk là d I,mp( ) R 3 m 2 9
m 2 9 m 11

ï
a Þ - - -
í - + +
= =
ï
- ỵ
- + - =
ì
ï
= - a - + - = a Þ -
í
- + +
= =
ï
- ỵ
- + - -
= =
+ +
( )
( ) ( )
6 3 2 14
d B,mp(P) 1.
4 1 4
Vậy d M,mp(P) max khi M A 1; 1; 3
+ + -
= =
+ +
º - - -
13) Tìm a, b để 3 mặt phẳng sau cùng chứa một đường thẳng :
Mp (P) : 5x + ay + 4z + b = 0 , mp (Q) : 3x – 2y + z – 3 = 0 , mp (R) : x – 2y – 2z + 5 =0

ì
+ + =
ï
= -
ì
ï
Ỵ Þ Û
í í
= -
ỵ
ï
+ + + =
ï
ỵ
14) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng :
1 2
x 1 t x 2 t
: y t và : y 4 2t
z 4t z 1
= - = -
ì ì
ï ï
= = +
í í
ï ï
= =
ỵ ỵ
d d
Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) : y + 2z = 0 và cắt cả hai đường thẳng d
1

15) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thoi có tâm O,
A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0;
2 2
). Gọi M là trung điểm của cạnh bên SA.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và DM.
b) Mặt phẳng (CDM) cắt SB tại N. Tính thể tích khối tứ diện SCMN.
(Đại học Sài Gòn – Khối A – 2007)
Giải
a) Khoảng cách giữa SC và DM
Ta có tọa độ các điểm S(0;0;2 2 ), A(2;0;0), B(0;1;0), C(-2;0;0), D(0;-1;0), M(1;0; 2 )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
SC 2;0; 2 2 ,DM 1;1; 2 ,SD 0; 1; 2 2 , SC,DM 2 2;0; 2
SC,DM .SD
4 2
4 2 2 6
Vậy d SC,DM
3
12 2 3
SC,DM
é ù
= - - = = - - = -
ë û
é ù
ë û
= = = =
é ù
ë û
uuur uuuur uuur uuur uuuur
uuur uuuur uuur

1
SC 2;0; 2 2 ,SM 1;0; 2 ,SN 0; ; 2 , SC,SM 0;4 2;0 , SC,SM .SN 2 2
2
1
V SC,SM .
6
ì
=
ï
ỉ ư
= + =
í
ç ÷
è ø
ï
= -
ỵ
ỉ ư
é ù é ù
= - - = - = - = =
ç ÷
ë û ë û
è ø
é ù
=
ë û
I
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
1 2

qua A 2;1; 3 nên pt đt : A P nên //(P)
3 4 1
D
D ^ D =
D D = -
é ù
Þ D = = -
ë û
- - +
D - D = = Ï D
-
uur
uur
uur uur uur
b) Tìm tọa độ M thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến (P) bằng 3
( )
( )
( ) ( )
1 2
x 3 2t
Ta có pt đt d y 1 t .Vì M d nên M 3 2t;1 t;5 2t
z 5 2t
t 2 3 t 5
3 2t 1 t 5 2t 1
d M,mp(P) 3 t 2 3
t 2 3 t 1
1 1 1
Vậy M 13;6;15 ,M 1;0;3
= +
ì

x y z 3 0
H là
+ + +
= =
-
+ + +
ì
= =
ï
Þ - - -
-
í
ï
- + + =
ỵ
( )
A A' H
A A' H
A A' H
x x 2x
trung điểm AA' nên y y 2y A' 3; 1; 4
z z 2z
+ =
ì
ï
+ = Þ - - -
í
ï
+ =
ỵ

A’
M
B
P
Toán 12 – Hình học không gian Trần Gia Huy
11
18) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A(-1;2;3), B(0;3;1), C(2;2;-1) và D(4;-2;1)
Tìm MỴAB, NỴCD sao cho độ dài đoạn MN nhỏ nhất.
Giải
( ) ( )
( ) ( )
( )
x 1 t
AB 1;1; 2 ,pt đt AB: y 2 t ,M AB M 1 t;2 t;3 2t
z 3 2t
x 2 t '
CD 2; 4;2 ,pt đt CD : y 2 2t',N CD N 2 t';2 2t'; 1 t'
z 1 t'
MN t ' t 3; 2t ' t;t' 2t 4
MN min chỉ khi MN là đường vuông
= - +
ì
ï
= - = + Ỵ Þ - + + -
í
ï
= -
ỵ
= +
ì

ỵ
ì -
ỉ ư
= -
ì
- + - - - - + = - - = -
ì ì
ç ÷ ï ï
Û Û Û Þ
è ø
í í í í
- + + + + + - = + =
=
ỵ ỵ
ï ï
-
ỵ
ỵ
uuuur uuur
uuuur uuur
19) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz, cho đường
( )
( )
3x ky k 0
d : k 0
1 k x kz 0
+ - =
ì
ï
¹

- - + =
ï
ï
ỵ
ï
ỵ
- - =
ỵ
Þ
b) CMR : d luôn nằm trong 1 mp cố đònh
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
2 2
Gọi (P) là mặt phẳng cố đònh chứa đường d thì pt mp (P) dạng :
a 3x ky k b 1 k x kz 0 a b 0
3a b kb x kay kbz ka 0 k ay bz a bx 3a b x 0
Chọn 3a b 0.a 1,b 3 pt mp (P) là 3x y 3z 1 0
Đây là mp cố
+ - + - - = + ¹
Û + - + - - = Û - - - + + =
+ = = = - Þ + + - =
đònh chứa đường d
20) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(2;3;-1), đường thẳng
x 5 y z 25
d :
1 1 1
- +
= =

-
í
ï
+ - - =
ỵ
^ = - - - Þ - - - + =
- - - + + + = Û = -
Þ + + +
uuur
0 =
21) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho tọa độ các điểm B(1;1;0), D(0;0;m). Gọi H là
hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng BD. Tìm m để diện tích tam giác OBH đạt giá trò lớn nhất.
Giải
( )
( ) ( )
2 2 2 2
o
2
2
2 2
1 a b 1 HO HB
S HO.HB. Áp dụng BĐT Cauchy:a.b S
2 2 2 2
BO.BD
2
Vậy Smax khi HO HB BO,BD 45
2
BO BD
1 1
2

Vì OP OC OP OC P 0;0;2
OC 3 3 3
3 3
mp (MNPQ) có cặp VTCP là MP 1;0;2 ,MN 1; ;
2 2
ỉ ư
ç ÷
è ø
= Û = Þ = Þ
ỉ ư
= - = -
ç
è
uuur uuur
uuur uuuur
( )
1 3 1
(MNPQ) có VTPT n MP,MN 3; ; 6;1;3 (MNPQ) dạng : 6x y 3z m 0
2 2 2
(MNPQ) qua M nên m 6 pt mp (MNPQ) : 6x y 3z 6 0
÷
ø
ỉ ư
é ù
Þ = = - - - = - Þ + + + =
ç ÷
ë û
è ø
= - Þ + + - =
r uuur uuuur

= + = = - + = Þ =
ç ÷
è ø
uuur
23) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng :
1 2
x y z 2 0
x 1 y 2 z 1
d : và d :
x 3y 12 0
3 1 2
+ - - =
ì
- + +
= =
í
+ - =
-
ỵ
a) Chứng minh rằng d
1
và d
2
song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thẳng
d
1
và d
2
.
b) Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt hai đường thẳng d

Vì mp (P) chứa d nên
- - = -
ì
= -
ï
é ù
Þ = = -
í
ë û
=
ï
ỵ
= Ỵ Ï Þ
uur
uur
uur uur uur
uur
uur uur
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2
1
pt mp (P) dạng : A x y z 2 B x 3y 12 0
A B x A 3B y Az 2A 12B 0. A B 0
Vì mp (P) chứa d nên (P) phải qua M A B 2A 6B A 2A 12B 0 2A 17B 0
Chọn A 17,B 2 pt mp (P) : 15x 11y 17z 10 0
+ - - + + - =
Û + + + - - - = + ¹
Þ + - - + - - = Û - - =

ỵ
ỵ
é ù
= - - = = -
ë û
=
uuur uuur uuur uuur
uuur
1
OB .10 5(đvdt)
2
é ù
= =
ë û
uuur
Toán 12 – Hình học không gian Trần Gia Huy
14
24) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng :
1 2
x y 2 z 4 x 8 y 6 z 10
d : ,d :
1 1 2 2 1 1
- + + - -
= = = =
- -
a) Cho A Ỵ d
1
, B Ỵ d
2
. AB vuông góc với d

^ =
ì
ï
Þ
í í
^
= = - = -
ỵ
ï
ỵ
- - - - - - - + =
-
uuur
uuur uur
uuur uur uur uur
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
t' 6t 16 t ' 4
2t 16 t ' t 4 t ' 2t 14 0 6t ' t 26 t 2
A 2;0;0 ,B 0;10;6 . Mặt cầu đường kính AB có tâm I là trung điểm AB I 1;5;3
AB 4 100 36
R 35 pt.mc(S): x 1 y 5 z 3 35
2 2
- - = - =
ì ì ì
Û Û
í í í
- + + + + + - = + = =
ỵ ỵ ỵ

Þ - + + + =
- Ỵ - Ỵ = Þ =
- +
Û =
+ +
uur
r uur uur
uur
m 2 m 68 (vô lý!)
8 30 30 m
m 2 m 68
m 2 m 68 m 33
1 25 9
pt.mp.(P): x 5y 3z 33 0
+ = +
+ + +
é
Û - = + Û
ê
+ = - - Û = -
+ +
ë
Þ - + + - =
25) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(4;2;2), B(0;0;7) và đường thẳng
x 3 y 6 z 1
d :
2 2 1
- - -
= =
-

9t 18t 18 45 9t 18t 27 0
t 3 C 9;0; 2
Ỵ - + + Þ = Û = - - + + + -
= Þ é
Û + + = Û + - = Û
ê
= - Þ -
ê
ë
Toán 12 – Hình học không gian Trần Gia Huy
15
26) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho đường thẳng
2x 2y z 1 0
d :
x 2y 2z 4 0
- - + =
ì
í
+ - - =
ỵ
và mặt cầu (S) : x
2
+ y
2
+ z
2
+ 4x – 6y + m = 0. Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm M, N
sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 9.
(Dự bò 1 – Đại học khối D – 2002)
Giải

= =
ë û
é ù
= Þ = = - Þ - Ỵ Þ = - - = -
ë û
é ù
+ +
ë û
= = = = Û - = + Û = -
+ +
r uur uur
uur r uur
r uur
r
27) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz , cho các điểm A(1;-3;0), B(5;-1;-2) và mặt
phẳng (P) : x + y + z – 1 = 0. Tìm tọa độ MỴ(P) sao cho | MA – MB | đạt giá trò lớn nhất.
Giải
A B
Thế tọa độ A, B vào pt mp (P), ta được 3, 1 A,B ở trái phía với mp (P)
Gọi A' là đối xứng của A qua mp (P) thì MA MA' MA MB MA' MB A'B
MA MB max khi M là giao điểm của A'B và mp (
r = - r = Þ
= Þ - = - £
Þ -
{ } ( ) ( )
P)
Gọi H là hình chiếu của A lên mp (P). Gọi d là đường thẳng qua A, vuông góc mp (P)
x 1 y 3 z
pt d : . H d (P) nên H 2; 2;1 . A' là đối xứng của A qua (P) A' 3; 1;2
1 1 1

{ } ( )
à vuông góc mp (P)
x 5 y 2 z 5
pt d : . E d (P) M E 0; 3;0
1 1 1
- - -
= = = Þ º - I
Toán 12 – Hình học không gian Trần Gia Huy
16
29) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2) và hai đường thẳng :
1 2
x 1 t
x y 1 z 1
d : ,d : y 1 2t
2 1 1
z 2 t
= +
ì
- +
ï
= = = - -
í
-
ï
= +
ỵ
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d
1
và d
2

1 2
M d nên M 2t',1 t', 1 t' ,N d nên N 1 t, 1 2t,2 t
AM 2t',t', 3 t' ,AN 1 t, 2 2t,t
A, M, N thẳng hàng AM,AN 0 Mà AM,AN 2tt' 6t 2t' 6; 3tt' 3t t' 3; 5tt ' 5t'
Vậy 2
Ỵ + - - Ỵ + - - +
= - - = + - -
é ù é ù
Û = = - - - - - - - - - -
ë û ë û
-
uuuur uuur
uuuur uuur r uuuur uuur
( ) ( )
( ) ( )
tt' 6t 2t' 6; 3tt' 3t t' 3; 5tt ' 5t' 0;0;0
2tt ' 6t 2t' 6 0
t' 0
3tt' 3t t' 3 0 M 0;1; 1 ,N 0;1;1
t 1
5tt' 5t' 0
- - - - - - - - - =
- - - - =
ì
=
ì
ï
Þ - - - - = Û Þ -
í í
= -

= = Þ = Þ = - Þ = = =
+
=
uuur uuur
uuur uuur
( )
( )
A
D 0;0;3
3 15
3
6 6
Gọi J là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. AD 2;1;0 AD 5
JB AB 3 3 3 4 5 9 5
JB JD JB JD J ;0;
JD AD
5 5 5 3 5 3 5
ì
ï
ï
ï
Þ
í
ï
+
ï
= =
ï
ỵ
= - Þ =