Huongdanvn.com –Có hơn 1000 sáng kiến kinh nghiệm hay
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12

MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ
TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong chương trình Hình học giải tích lớp 12, bên cạnh các dạng toán
quen thuộc như: viết phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng,….
Ta còn gặp các bài toán tìm vị trí của điểm, đường thẳng hay mặt phẳng liên
quan đến một điều kiện cực trị. Đây là dạng Toán khó, chỉ có trong chương
trình nâng cao và đề tuyển sinh Đại học cao đẳng.
Trong quá trình trực tiếp giảng dạy và nghiên cứu tôi thấy đây là dạng
toán không chỉ khó mà còn khá hay, lôi cuốn được các em học sinh khá giỏi.
Nếu ta biết sử dụng linh hoạt và khéo léo kiến thức của hình học thuần túy,
véctơ, phương pháp tọa độ, giải tích thì có thể đưa bài toán trên về một bài
toán quen thuộc.
Đứng trước thực trạng trên, với tinh thần yêu thích bộ môn, nhằm giúp
các em hứng thú hơn, tạo cho các em niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở
ra một cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo
nền tảng cho các học sinh tự học, tự nghiên cứu. Được sự động viên, giúp đỡ
của các thầy trong hội đồng bộ môn Toán của sở GD, Ban Giám hiệu, đồng
nghiệp trong tổ Toán – Tin học trường THPT Trần Phú. Tôi đã mạnh dạn viết
chuyên đề “ Một số bài toán cực trị trong hình học giải tích lớp 12”.
II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA
ĐỀ TÀI
1. Thuận lợi.
- Kiến thức đã được học, các bài tập đã được luyện tập nhiều
- Học sinh hứng thú trong tiết học, phát huy được khả năng sáng tạo,
tự học và yêu thích môn học.
- Có sự khích lệ từ kết quả học tập của học sinh khi thực hiện chuyên
đề.

66,7

20
22,2

Nhận biết và
biết vận
dụng ,chưa giải
được hoàn
chỉnh
9
9,9

Nhận biết và
biết vận dụng
, giải được
bài hoàn
chỉnh
1
1.1

III. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ
1. Cơ sở lý luận.
Cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả phương pháp suy
luận, khả năng tư duy. Từ những kiến thức cơ bản phải dẫn dắt hoc sinh có
được những kiến thức nâng cao một cách tự nhiên (chứ không áp đặt ngay
kiến thức nâng cao).
Trong chuyên đề chủ yếu dùng phương pháp tọa độ trong không gian
để giải các bài toán được đặt ra.


uuur
uuuur
uuuur
k
MA
+
k
MA
+
...
+
k
MA
1
hay mặt phẳng (α) sao cho 1
2
2
n
n có giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
uur

uuur

uuur r

− Tìm điểm I thỏa k1 IA1 + k 2 IA 2 +...+ k n IA n = 0
− Biến đổi
uuuur
uuuuur

uuur
MI
<=>
nhỏ nhất <=> M là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d.

x = 4 + t

r

Đường thẳng d có vtcp u = (1; 1; 1) , phương trình tham số d: y = -1 + t

z = t

uuur
Tọa độ M(t + 4; -1 + t; t), IM = ( t+4; t-3 ; t - 4) khi M là hình chiếu vuông góc
uuur r
của I lên đường thẳng d thì IM.u = 0 hay 3t – 3 = 0 <=> t = 1
Vậy M( 5; 0; 1).
uur

uur

r

2) Gọi điểm J(x; y; z) thỏa JA - 4JB = 0

Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh

Trang 3/32


=
3
MJ
Khi đó
có giá trị nhỏ nhất

khi M là hình chiếu vuông góc của J lên đường thẳng d.
uuur

18
17
;t) khi M là hình chiếu vuông
5
5
uuur r
góc của J lên đường thẳng d thì JM.u = 0 hay 3t – 3 = 0 <=> t = 1
uuuur uuur
Vậy M( 5; 0; 1) thì MA - 4MB có giá trị nhỏ nhất.

Tọa độ M(4+ t; -1+ t; t), JM = ( t+ 4; t -

Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (α): 2x – 2y + 3z + 10 = 0 và ba điểm A ( 1;0;1) ,
B ( -2;1;2 ) , C ( 1;-7;0 ) . Tìm điểm M trên mặt phẳng (α) sao cho :
uuuur

uuur uuur

uuuur

uuur

+
GC
3
MG
Ta có
=
=
có giá trị
nhỏ nhất khi
r M là hình chiếu vuông góc của G lên mặt phẳng (α)
MG nhận n = (2; -2; 1) làm vecto chỉ phương
x = 2t

Phương trình tham số MG y = -2-2t
z = 1+3t

Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình:
4t – 2(-2- 2t) + 3(1+3t)+ 10 = 0 ⇔ 17t + 17 = 0 ⇔ t = −1
uuuur uuur uuur
MA
+ MB + MC có giá trị nhỏ nhất.
Vậy với M(-2; 0; -2) thì
uur uur uur r
2) Gọi I(x; y; z) là điểm thỏa IA -2IB + 3IC = 0
Ta có (1- x; -y; 1-z) - 2(-2-x; 1-y; 2-z) + 3(1-x; -7-y; -z) = (0;0;0)
23
3
23 3
⇒ x = 4; y = - ; z = - , vậy I(4; − ; − )
2

23

Phương trình tham số MI: y = − -2t
2

3

z = − 2 +3t
Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình:
73
73
23
3
2(4 + 2t) − 2( − − 2t) + 3( − + 3t) + 10 = 0 ⇔ 17t +
=0⇔ t=−
2
2
2
34
uuuu
r
uuu
r
uuur
5 245 135
;−
) thì MA -2MB + 3MC đạt giá trị nhỏ nhất.
Vậy với M( − ; −
17
34

2) Tìm M trên mặt phẳng (α) sao cho MA 2 - MB2 – MC2 có giá trị lớn
nhất.
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh

Trang 5/32


Huongdanvn.com –Có hơn 1000 sáng kiến kinh nghiệm hay
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12

Giải:
uur uur r
3 3
1) Gọi điểm I(x; y; z) thỏa IA + IB = 0 thì I là trung điểm AB và I(2; ; − )
2 2
uuur uur 2 uuur uur 2
2
2
Ta có: MA + MB = (MI + IA) +(MI + IB)
uuur uur uur
= IA 2 + IB2 +2MI 2 +2MI(IA + IB) = IA 2 + IB2 +2MI 2
Do IA 2 + IB2 không đổi nên MA 2 + MB2 nhỏ nhất khi MI2 có giá trị nhỏ
nhất, hay M là hình chiếu vuông góc củarI lên (α)
Đường thẳng IM qua điểm I và có vtcp n α = (1; 2; 2)

x = 2+t

3

Phương trình tham số MI: y = + 2t

2
2
2
đổi nên MA + MB nhỏ nhất khi MI có giá trị nhỏ nhất, hay M là hình
chiếu vuông góc của I lên (α).
uur uur uur

r

2) Gọi J(x; y; z) là điểm thỏa JA - JB -JB = 0
Hay (1 − x; 2 − y; −1 − z) − (3 − x;1 − y; −2 − z) − (1 − x; −2 − y;1 − z) = (0;0;0)
 −3 + x = 0

⇔ 3 + y = 0 ⇔ J(3; −3;0)
z = 0

uuur uur
uuur uur
uuur uur
Ta có: MA2 - MB2 – MC2 = (MJ + JA) 2 - (MJ + JB) 2 − (MJ + JC) 2

uuur uur
uur uur
= J A 2 − JB2 − JC 2 − MJ 2 + 2MJ(JA − JB − JC)

= JA 2 − JB2 − JC 2 − MJ 2
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh

Trang 6/32


Ví dụ 2: Cho đường thẳng d có phương trình:

x-1 y-2
z-3
=
=
và các điểm
1
2
1

A(0; 1; -2), B( 2; -1; 2), C(4; 3; 3). Hãy tìm điểm M trên d sao cho
1) MA2 - 2MB2 có giá trị lớn nhất
2) MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ nhất.
Giải:
uur

uur

r

1) Gọi điểm I(x; y; z) là điểm thỏa IA -2 IB = 0
Hay: (−x;1 − y; −2 − z) − 2(2 − x; −1 − y; 2 − z) = (0; 0;0)
 −4 + x = 0

⇔ 3 + y = 0 ⇔ I(4; −3;6)
- 6+z = 0

uuur uur
uuur uur

đường
thẳng
d
thì
IM.u = 0
2
1 2 7
⇔ 6t + 4 = 0 ⇔ t = − ⇒ M ( ; ; )
3
3 3 3
1 2 7
Vậy với M ( ; ; ) thì MA2 - 2MB2 có giá trị lớn nhất
3 3 3
Nhận xét:
Ta có thể dùng phương pháp khảo sát hàm số để tìm vị trí của điểm M
Với M ∈ d ⇒ M(1 + t; 2 + 2t; 3 + t)
Và MA2 - 2MB2 = (t + 1)2 + (2t + 1)2 +(t + 5)2 – 2[(t - 1)2 + (2t + 3)2+(t +1)2
= - 6t2 – 8t +5
Xét hàm số f (t ) = − 6t 2 – 8t + 5, t ∈ R
Có đạo hàm f '(t ) = − 12t – 8t , f '(t ) = 0 ⇔ t = −

2
3

Bảng biến thiên
t

−∞

f’(t)

2) Gọi điểm G(x; y; z) là điểm thỏa GA + GB +GC = 0 thì G là trọng tâm
tam giác ABC và G(2; 1; 1). uuuur uuur
uuuur uuur
uuuur uuur
Ta có: MA2 + MB2 + MC2 = (MG + GA) 2 + (MG + GB) 2 +(MG + GC) 2
uuuur uuur
uuur uuur
= GA 2 + GB2 + GC 2 +3MG 2 + 2MG(GA + GB + GC)
= GA 2 + GB2 + GC 2 +3MG 2
Do GA 2 + GB2 + GC 2 không đổi nên MA2 + MB2 + MC2 nhỏ nhất khi MG
nhỏ nhất, hay M là hình chiếu vuông
uuuugó
r c của G lên đường thẳng d.
M ∈ d ⇒ M(1 + t; 2 + 2t; 3 + t) , GM = ( t-1; 2t +1 ; t +2)
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh

Trang 8/32


Huongdanvn.com –Có hơn 1000 sáng kiến kinh nghiệm hay
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12

uuuur r

Khi M là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d thì GM.u = 0

1
1 5
⇔ 6t + 3 = 0 ⇔ t = − ⇒ M ( ;1; )
2


Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: 2 + t – 2(-t)- 2.2 + 4 = 0
⇔ 3t + 2 = 0 ⇔ t = −

2
3

4 2
3 3

Hay M( ; ; 2) là điểm cần tìm.
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh

Trang 9/32


Huongdanvn.com –Có hơn 1000 sáng kiến kinh nghiệm hay
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12

Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (α) có phương trình: x – y + 2z = 0 và ba điểm A(1;
2;-1), B(3; 1; -2), C(1; -2; -2). Hãy tìm điểm M trên d sao cho
1) MA + MB có giá trị nhỏ nhất
2) MA - MC có giá trị lớn nhất.
Giải:
1) Thay tọa độ của A và B vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm về một
phía của (α).
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (α), để MA + MB có giá trị nhỏ nhất khi
M là giao điểm của A’B với (α).
uur
Đường thẳng AA’ đi qua A và vuông góc với (α), AA’ nhận nα = (1; −1;2) làm

2 + t – 1 + 2(1 – 3t) = 0 ⇔ −5t + 3 = 0 ⇔ t =

13
4
3
hay M ( ;1; − )
5
5
5

13
4
;1; − ) thì MA + MB có giá trị nhỏ nhất.
5
5

Vậy với M (

2) Thay tọa độ của A và C vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm về hai
phía của (α).Vậy nên A’ và C nằm cùng một phía đối với (α).
Ta thấy MA - MC = MA' - MC ≤ A'C .
Nên MA - MC đạt giá trị lớn nhất khi M thuộc A’C nhưng ở phía ngoài đoạn
A’C, tức M là giao điểm của A’C và (α).
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh

Trang 10/32


Huongdanvn.com –Có hơn 1000 sáng kiến kinh nghiệm hay
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12

Tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
1. Nếu d và AB vuông góc với nhau
Ta làm như sau:
Viết phương trình mặt phẳng (α) qua AB và vuông góc với d
Tìm giao điểm M của AB và (α)
- Kết luận M là điểm cần tìm.
2. Nếu d và AB không vuông góc với nhau
Ta làm như sau:
- Đưa phương trình của d về dạng tham số, viết tọa độ của M theo tham
số t
- Tính biểu thức MA + MB theo t, xét hàm số f(t) = MA + MB
- Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số f(t), từ đó suy ra t
- Tính tọa độ của M và kết luận.
Ví dụ 1: Cho đường thẳng ( d ) :

x-1 y + 2
z-3
=
=
và hai điểm C(-4; 1; 1),
2
−2
1

D(3; 6; -3). Hãy tìm điểm M trên d sao cho MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
 x = 1 + 2t

Đường thẳng d có phương trình tham số  y = −2 − 2t

i.AB = r−1uuu
≠r0uuu
⇒rOx và AB không vuông góc.
Ta có [i, AB]OA = (0; 2; 1)(3; 0; 2) = 0 + 6 +2 = 8 nên AB và Ox chéo nhau.
x = t

Phương trình tham số của Ox:  y = 0
z = 0

M ∈ Ox ⇒ M (t;0;0)

S = MA + MB = (t -3)2 + 0 + 4 + (t -2)2 + 1 + 0 = (t -3)2 + 4 + (t -2)2 + 1
Ta phải tìm t sao cho S đạt giá trị nhỏ nhất
Trong mặt phẳng tọa độ với hệ Oxy xét các điểm M t(t; 0) ∈ Ox và hai điểm
At(3;2), Bt(2; 1) thì S = MtAt + MtBt
Ta thấy At, Bt nằm cùng phía với Ox nên ta lấy A t’(3; -2) đối xứng với At
qua Ox.
Phương trình đường thẳng At'Bt : 3x + y – 7 = 0
S = MtAt + MtBt nhỏ nhất khi M là giao điểm của Ox và A t'Bt ⇒ 3t - 7 = 0
7
3

7
3

hay t = . Vậy M ( ;0;0) là điểm cần tìm.
Cách khác: Ta có thể tìm điểm M bằng phương pháp khảo sát hàm số.
• Từ biểu thức S = (t -3)2 + 4 + (t -2)2 + 1
Ta xét hàm số f ( t ) = (t -3)2 + 4 + (t -2)2 + 1 ( t ∈ ¡ )



+

+

t−2

( t − 2) 2 + 1
t−2

( t − 2)

(t − 2)

( t − 2) 2 + 1

2

+1

=0

(*)

với điều kiện 2 ≤ t ≤ 3 ta có:
2
2
2
2
(*) ⇔ ( t − 3) [( t − 2 ) + 1] = ( t − 2 ) [( t − 3) + 4]

-

+∞

0

+

+∞

f(t)

+∞
38 + 10
3

7
38 + 10
Từ bảng biến thiên suy ra min f ( t ) = f  ÷=
3
3

Vậy MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất bằng

7
38 + 10
, đạt được tại t = , tức là
3
3


Đường thẳng d có phương trình tham số  y = 2 + 2t
z = 1 + t
 uuur
r
qua điểm N(1; 2; 1), có vtcp u = (2;2;1) và AB = (2;3; −1)
r uuur
Tar có
. CD
= 4 + 6 – 1 = 9 ≠ 0 ⇒ d không vuông góc với AB và
u
uuur uuu
r
[u, AB ]NA = (-5; 4; 2)(-2; -1; 0) = 10 – 4 = 6 ⇒ d và AB chéo nhau

- Chu vi tam giác MAB là 2p = 2(MA + MB + AB), do AB không đổi nên 2p
đạt giá trị nhỏ nhất khi MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Xét điểm M ∈ d ⇒ M (1 + 2t; 2+2t ;1 + t ) , ta phải tìm t để MA + MB đạt giá trị
nhỏ nhất
Xét f ( t ) = MA + MB = (2t + 2) 2 + (2t + 1) 2 + t 2 + (2t ) 2 + (2t − 2) 2 + (t + 1) 2
f ( t ) = 9t 2 + 12t + 5 + 9t 2 − 6t + 5 = (3t + 2) 2 + 1 + (3t − 1) 2 + 4
3t + 2
3t − 1
f
'(
t
)
=
+
Có đạo hàm
(3t + 2)2 + 1

3

⇔ (3t + 2)2 [(3t − 1) 2 + 4] = (3t − 1) 2 [(3t + 2) 2 + 1]
 −5
t = 3
 2(3t + 2) = 3t − 1
1
2
2
⇔ 4(3t + 2) = (3t − 1) ⇔ 
⇔
⇔t=−
3
 2(3t + 2) = −3t + 1 t = − 1

3

Bảng biến thiên của hàm số f(t) :
t

−∞

f’(t)

−

-

1
3

Nhận xét: Trong dạng toán này nếu ta dùng phương pháp khảo sát hàm số
thì việc tìm t sẽ đơn giản hơn.

Bài toán 5: Cho hai đường thẳng d1,d2 chéo nhau. Tìm các điểm M∈ d1,
N∈ d2 là chân đoạn vuông góc chung của hai đường trên.
Lời giải:
- Viết phương trình hai đường thẳng
dạng tham số
- Lấy M ∈ d1 và N ∈ d 2 ( tọa độ theo
tham số).
uuuur r
- Giải hệ phương trình MN.u1 = 0 và

r r
uuuur r
MN.u 2 = 0 ( u1 , u 2 là các véctơ chỉ

phương của d1 và d2 ).
- Tìm tọa độ M, N và kết luận.
Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng
d1 :

x-5 y+1 z -11
x+ 4
y-3 z - 4
=
=
=
=
, d2 :


Trang 15/32


Huongdanvn.com –Có hơn 1000 sáng kiến kinh nghiệm hay
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12

M ∈ d1 nên M(5 + t; -1 + 2t; 11- t), N ∈ d 2 nên N(-4 – 7t’;3 +2t’; 4 + 3t’)

uuuur
MN = ( - 7t’- t – 9; 2t’ – 2t +4; 3t’ + t – 7)
uuuur r

−6t '− 6t + 6 = 0
t = 2
MN.u1 = 0
⇔
⇔
Ta có  uuuur r
62t '+ 6t + 50 = 0
t ' = −1

MN.u 2 = 0

Do đó M(7; 3;9) và N(3; 1; 1)
Vậy với M(7; 3;9) và N(3; 1; 1) thì độ dài MN ngắn nhất bằng 2 21 .
x = 2 + t

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: y = 4 + t và hai điểm A(1;2; 3),B(1; 0; 1). Tìm
z = −2


uuuur r

t '− 2t = 3
t ' = −3
MH.u = 0
⇔
⇔
Ta có  uuuur uur
2t '− t = −3
t = −3

MH.u1 = 0
Vậy M(-1; 1; -2), H(1; -1; 0) khi đó MH = 2 3 , AB = 2 2
1
Diện tích S ∆MAB = AB.MH = 6
2
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh

Trang 16/32


Huongdanvn.com –Có hơn 1000 sáng kiến kinh nghiệm hay
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12

x = 0

Ví dụ 3: Cho đường thẳng d: y = t . Trong các mặt cầu tiếp xúc với
z = 2 − t


t ' = 0
t ' = 0

MN.i = 0
Vậy M(0; 1; 1), N(0; 0; 0) ≡ O
1 1
2 2

MN
=
2
1
1
Phương trình mặt cầu (S): x 2 + ( y − ) 2 + ( z − )2 =
2
2

Mặt cầu (S) có tâm I (0 ; ; ) , bán kính R =

2
2
1
2

Các bài toán cực trị liên quan đến vị trí của đường thẳng, mặt
phẳng.

Bài toán 1: Cho hai điểm phân biệt A,B. Viết
phương trình mặt phẳng (α) đi qua A và cách B
một khoảng lớn nhất.

vớ
uuuri AB
BA = (1; 2; 2) là véctơ pháp tuyến của (α)
Phương trình (α): 1(x -1) + 2(y +1) +2( z – 1) = 0 ⇔ x + 2y + 2z – 1 = 0
1 +1 + 6 −1
=3
R = d(A; (α)) 2
1 + 2 2 + 22
Phương trình mặt cầu (S): (x -2)2 + (y -1)2 + (z – 3)2 = 9.

Bài toán 2: Cho điểm A và đường thẳng ∆ không đi qua A. Viết phương
trình mặt phẳng (α) chứa ∆ sao cho khoảng cách từ A đến (α) lớn nhất
Lời giải:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
mặt phẳng (α), K là hình chiếu vuông góc của A
lên ∆
Ta có d(A; (α)) = AH ≤ AK lớn nhất thì H
≡ K, khi đó (α) là mặt phẳng đi qua ∆ và vuông
góc với AK. Hay (α) qua ∆ và vuông góc với
mp(∆, A).
Ví dụ 1: Cho ba điểm A(2; 1; 3), B(3; 0; 2); C(0; -2; 1). Viết phương
trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và cách C một khoảng lớn
nhất.

Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh

Trang 18/32


Huongdanvn.com –Có hơn 1000 sáng kiến kinh nghiệm hay

1) Chứng minh hai đường thẳng trên song song với nhau.
2) Trong các mặt phẳng chứa d1, hãy viết phương trình mặt phẳng (α)
sao cho khoảng cách giữa d2 và (α) là lớn nhất.
Giải:
uur
1) d1 qua M1(2; 1; -1), có vtcp u1 = (1;2; −2)
uur
d2 qua M2(0; 3; 1), có vtcp u 2 = (−2; −4;4)
uur
uur
Ta thấy u 2 = −2u1 và M1 ∉ d 2 nên hai đường thẳng
song song với nhau.
2) Xét (α1) là mặt phẳng chứa d1 và d2 thì (α1) có
vé
phá
p tuyế
r ctơ uu
r uuuuuu
rn
uur
n1 = [u1 , M1M 2 ] = (8;2;6) = 2(4;1;3) = 2n 2
Khoảng cách giữa d2 và (α) là lớn nhất khi (α) phải
vuông góc với (α1uu
).r uur
Do đó (α) nhận [u1 , n 2 ] = (8; −11; −7) là véctơ pháp
tuyến, qua M1(2; 1; -1).
Phương trình (α): 8(x -2) -11(y -1) -7(z +1) = 0
hay 8x – 11y – 7z – 12 = 0.
Bài toán 3: Cho mặt phẳng (α) và điểm A thuộc (α), lấy B không thuộc (α).
Tìm đường thẳng ∆ nằm trong (α) đi qua A và cách B một khoảng lớn

Phương trình BH: y = 3 − 2t
z = 5 + t


Tọa độ điểm H ứng với t là nghiệm của phương trình:
2(2 + 2t) - 2(3 – 2t) + 5 + t + 15= 0 ⇔ t = −2 hay H(-2; 7;uuu
3)r
Ta thấy d(B; ∆) nhỏ nhất khi ∆ đi qua hai điểm A, H do vậy AH = (1;4;6) là
véc tơ chỉ phương của ∆.
Phương trình của ∆:

x+3 y-3 z +3
=
=
1
4
6

2) Ta thấy d(B; ∆) lớn nhất khi ∆ là đường thẳng nằm trong (α), qua A và
vuông góc với AB.
uur uuur uur
∆ có véctơ chỉ phương u ∆ = [AB, nα ] = (16;11; −10)
Phương trình của ∆:

x+3 y-3 z +3
=
=
16
11 −10


r uu
∆ có véctơ chỉ phương u ∆ = [CD, nα ] = (1; −8;5)
Phương trình ∆:

x-2 y+1 z -3
=
=
1
−8
5

x = 1 + t

Ví dụ 3: Cho hai điểm A(2; 1; -1), B(-1; 2; 0) và đường thẳng d: y = 0
z = −t


1) Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua d và B.
2) Viết phương trình đường thẳng ∆1 đi qua B cắt d sao cho khoảng
cách từ A đến ∆1 lớn nhất.
3) Viết phương trình đường thẳng ∆2 đi qua B cắt d sao cho khoảng
cách từ A đến ∆2 nhỏ nhất.

Giải: r
uuur
1) Đường thẳng d qua điểm M(2; 0; 0) có vtcp u d = (1;0; -1) , MB = (−2;2;0)
uur uuur
uur
[u d , MB] = (2;2;2) = 2(1;1;1) = 2nα
uur

3

không cùng phương nên d và ∆1 cắt nhau (do cùng thuộc

mặt phẳng (α))
Vậy phương trình ∆1:

x+1 y-2 z
=
=
2
−1 −1

Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh

Trang 21/32


Huongdanvn.com –Có hơn 1000 sáng kiến kinh nghiệm hay
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12

3) Gọi K là hình chiếu của A lên ∆ 2 ta có d(A, ∆2 ) = AK ≤ AB, để d(A, ∆ 2 )
lớn nhất uu
khi
Kr≡ B hay ∆2 nằm trong (α)và uu
vuông
góc với AB.
r uuu
r
uur

(−2 − t ) 2 + 22 + (t ) 2

16t 2 − 64t
3t 2 − 10t + 12
∈
Xét hàm số f (t ) = 2
có f '(t ) = 2
2 , với mọi t R
(
t
+
2
t
+
4)
t + 2t + 4
t = 2
f '(t ) = 0 ⇔ 
t = −2

Bảng biến thiên của f (t )
−∞
t
f’(t)

+

-2
0


x = −1

và đường thẳng cần tìm có phương trình là: y = 2 + t
z = −t


• d(A;∆) nhỏ nhất bằng

1
khi t = 2 ⇒ N(3; 0;-2)
3

uuur
NB = (−4;2;2) = −2(2; −1; −1)

và đường thẳng cần tìm có phương trình là :

x+1 y-2 z
=
=
2
−1 −1

Bài toán 4: Cho mặt phẳng (α) và điểm A thuộc (α), đường thẳng d không
song song hoặc nằm trên (α) và không đi
qua A. Tìm đường thẳng ∆ nằm trên (α),
đi qua A sao cho khoảng cách giữa ∆ và d
là lớn nhất.
Lời giải:
Gọi d1 là đường thẳng qua A và song

2+ 2t – 2 – 2t – 3+ t + 4 = 0 ⇔ t = -1 ⇒ B(0; 0; 4)
Xét d1 là đường thẳng qua A và song song với d

Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh

Trang 23/32


Huongdanvn.com –Có hơn 1000 sáng kiến kinh nghiệm hay
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12

x = −1 + t

Phương trình tham số đường thẳng d1: y = 1 + 2t
z = 1 − t


Gọi I là hình chiếu vuônguugó
r c của B lên d1
⇒ I(-1 + t; 1 + 2t; 1 – t), BI = (-1 + t; 1 + 2t;-5– t)
uur r
Ta có BI.u = 0 ⇔ -1 + t + 2(1 + 2t) –(-5– t) = 0 ⇔ t = -1 ⇒ I(-2; -1; 2)
uur uur uur
Đường thẳng ∆ có vtcp u ∆ = [BI, nα ] = (-5; -10; 4)
Phương trình ∆:

x+1 y-1 z -1
=
=
−5 −10


1
1 5
⇒ B(0; ; )
2
2 2

Xét ∆1 là đường thẳng qua A và song song với ∆
x = 1 + 2 t

Phương trình tham số đường thẳng ∆1: y = −1 + t
z = 2 − 3t


uuur

Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên ∆ 1 ⇒ H(1 + 2t; -1 + t; 2 – 3t), BH =
3
2

(1 + 2t; t - ; -3t)

uur r

3

1

Ta có BI.u = 0 ⇔ 2 + 4t + t - + 9t = 0 ⇔ t = −
2

40
29
69

Bài toán 5: Cho hai đường thẳng ∆1 và ∆2 phân biệt và không song song
với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa ∆ 1 và tạo với ∆2 một góc
lớn nhất.
Lời giải:
Vẽ một đường thẳng bất kỳ ∆3 song song với ∆2 và cắt ∆1 tại M. Gọi I là điểm
cố định trên ∆3 và H là hình chiếu vuông góc của I lên mp(α), kẻ IJ ⊥ ∆1
·
Góc giữa (α) và ∆2 là góc IMH
·
Trong tam giác vuông HMJ có cos IMH
=
HM MJ
≥
không đổi
IM IM
·
Suy ra góc IMH
lớn nhất khi MJ = MI hay H ≡
·
J, khi đó IMH
=(∆1,∆2) và (α) là mặt phẳng chứa

∆1 đồng thời vuông
r gócr vớri mặt phẳng (∆1,∆2)
Khi đó (α) nhận [u ∆1 ,[u ∆1 , u ∆2 ]] làm véctơ pháp
tuyến.


Trang 25/32