Trường THCS Phước Sơn

Sáng kiến kinh nghiệm

PHỊNG GIÁO DỤC TUY PHƯỚC
TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ PHƯỚC SƠN
-----------------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài: NÂNG CAO TƯ DUY VÀ SÁNG TẠO
CỦA HỌC SINH THƠNG QUA HỆ THỐNG
BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH
NGHIỆM NGUN.

Người viết: TRẦN THIỆN TÀI
Tổ: TOÁN – LÍ – CÔNG NGHỆ

Năm học 2006 2007

GV: Trần Thiện Tài

Trang 1


Trường THCS Phước Sơn

Sáng kiến kinh nghiệm

I. MỞ ĐẦU:
Toán học là môn học đòi hỏi ở người học rất nhiều yếu tố. Một trong những yếu tố giúp
cho học sinh học tốt môn Toán là khả năng tư duy và sáng tạo. Điều này không những giúp giáo

- Được sự lãnh đạo sáng suốt, sự quan tâm của chi bộ Đảng, ban giám hiệu nhà trường, tạo
mọi điều kiện để bồi dưỡng cho học sinh kiến thức, kĩ năng, tư duy và sáng tạo trong giải toán.
- Đội ngũ giáo viên giảng dạy được đào tạo chuẩn hoá, bên cạnh các giáo viên có bề dày
kinh nghiệm, lớp giáo viên mới có tinh thần trách nhiệm, sức trẻ và lòng nhiệt tình.
- Phụ huynh học sinh cũng có quan tâm đến học tập môn Toán của học sinh.
- Học sinh hầu hết là con em nông dân, có ý thức, xác định đúng động cơ và thái độ học tập,
nhất là các môn thi tuyển vào 10, trong đó có môn Toán.
- Trong lực lượng HS giỏi khả năng tư duy và sáng tạo vẫn còn những hạn chế nhất định.
b)Khó khăn:
- Đa phần học sinh là con em nông dân, đời sống còn khó khăn, điều kiện để học sinh học tập
chưa thật tốt.
- Trường ở địa bàn rộng, học sinh ở xa trường rất khó khăn trong việc đi lại vào mùa lũ. Học
sinh thường nghỉ lụt kéo dài, phải dạy bù phần nào ảnh hưởng đến chất lượng của học sinh.
GV: Trần Thiện Tài

Trang 2


Trng THCS Phc Sn

Sỏng kin kinh nghim

- S phỏt trin ca trng lp quỏ nhanh, c s vt cht cha ỏp ng kp thi. S hc sinh trờn
mt lp cũn ụng, khú khn cho vic t chc dy v hc.
- Mt b phn hc sinh li bing, ham chi, xỏc nh ng c v thỏi hc tp khụng
ỳng, mt kin thc cn bn t lp di, mt s nh hng cỏc tro lu xu ca xó hi.
T nhng thun li v khú khn trờn, nhng nm gn õy t l hc sinh gii tt cỏc bi toỏn
nõng cao trong cỏc thi tt nghip, thi tuyn sinh vo 10 ca Nh trng l cha cao:
Nm 2003 2004: 5 %
Nm 2004 2005: 6 %

y 1 = 1 y = 0
V ậy ph ơng trì
nh có 2 nghiệm ( 2;2) và ( 0;0) .

b) ( 1) xy p( x + y) = 0 xy p( x + y) + p2 = p2 ( x p) ( y p) = p2

Vìp là số nguyên tố, nên chỉcó thểphâ
n tích p2thành tích hai số nguyên
d ớ i dạng: 1.p2;p.p;p2.1;( 1) .( p2 ) ;( p) .( p) ;( p2 ) .( 1) .
do đó ta có các tr ờng hợ p sau:
x - p =1
x p = p x = 2p
x = p + 1
1)

2)


2
y p = p y = 2p
y - p =p
y = p( p+ 1)
x p = 1

x = p 1
x p = p x = 0

5)

2



Trường THCS Phước Sơn

Bµi 2: Gi¶i c¸c ph ¬ng tr×
nh sau trªn tËp sè nguyªn:

Sáng kiến kinh nghiệm

a)2x2 + xy − y2 − 9 = 0.( 2)
b)x2 + x − y2 = 0.( 3)

c)x2 − y2 = 91.( 4)

Gi¶i:

a) ( 2) ⇔ ( x + y) ( 2x − y) = 9 = 1.9 = 3.3= ( −1) .( −9) = ( −3) .( −3) .
x + y = 1

TH1: 

hÖkh«ng cã nghiÖm nguyªn.

2x − y = 9
x + y = 3
x = 2
TH2: 
⇔
2x − y = 3  y = 1
x + y = −1

⇔

.

2x − 2y + 1= 1 y = 0
2x + 2y + 1= −1 x = −1
TH2: 
⇔
.
2x − 2y + 1= −1  y = 0
x = −1 x = 0
;
.
y = 0 y = 0

VËy ph ¬ng tr×
nh cã hai nghiÖm nguyªn 

c) ( 4) ⇔ ( x − y) ( x + y) = 91. V ×91 lµ sè nguyªn tè nªn ta cã c¸c tr êng hî p sau:
x − y = 1

x = 46
⇔
.
x + y = 91  y = 45

TH1: 

x − y = −1


−
45.
y
=
45.



y = −45.

VËy ph ¬ng tr×
nh cã nghiÖm lµ 

GV: Trần Thiện Tài

Trang 4


Trng THCS Phc Sn

Sỏng kin kinh nghim

Bài 3: Tì
m hì
nh chữnhật có các cạnh nguyên sao cho số đo diện tích bằng số đo chu vi.
Giải: Gọi x, y là hai kích th ớ c của hì
nh chữnhật. ( x, y: nguyên d ơng)
Theo đ
ềbài, hì
nh chữnhật có số đ

nh đã cho t ơng đơng vớ i ph ơng trì
nh
28( x +2y) = 5( x + 2y) + 15x2 ( 1) .
2

Vìx 0 nên x2 > 0, dođó từ ( 1) suy ra 2 + 2y > 0( 2) .
28
( vìtheo ( 2) ) .
5
Vìx +2y nguyên nên x +2y 5. Mặ
t khác do ( 1) tacó ( x +2y) M5 ( x + 2y) = 5.
Từ ( 1) ta suy ra 5( x + 2y) < 28( x + 2y) x + 2y
y) .
Giải: Ph ơng trì
nh ( x - y) ( x2 + xy + y2 7) = 0.
Vìx >y nên x2 + xy + y2 = 7.

Giả sử y 2, khi đó x 3( vìx >y) x2 + xy + y2 9+ 6+ 4 > 7.
Đ iều này chứng tỏ vớ i y 2 thìph ơng trì
nh vô nghiệm.

Sỏng kin kinh nghim

Bài 4: Giải ph ơng trì
nh sau trên tập số nguyên: 5x 4xy + y = 169
2

2

Giải: pt ( 2x y) + x2 = 169 2x y + x = 169( 2x y Ơ ; x Ơ ) .
2

2

2

Mà 169 =132 + 02 = 122 + 52.
Do đó ta có các khả năng sau:
2x y = 13

TH1:

x = 0



x =0

hoặ
c


=
5



y = 2

2x y = 5 x = 12 x = 12 x = 12 x = 12
TH4:

;
;
;
y = 19 y = 29 y = 19 y = 29
x = 12

Bài 5: 3( x2 + xy + y2 ) = x + 8y 6x2 + 6xy + 6y2 2x 16y = 0


Giải: pt ( x2 + y2 + 1+ 2xy 2x 2y) + ( 2x2 + 4xy + 2y2 ) + 2y2 14y +


49 2 2 51
+ 3x + y ữ = 0
2ữ
2


2



Giả sử x 0 và y 0: ph ơng trì
nh 3( x2 + 2xy + y2 ) + 9x2 = 28( x + y)
3( x + y) + 9x2 = 28( x + y) ( 1)
2

Vìx 0 nên 9x2 > 0 và 3( x+y) 0, suy ra 28( x + y) > 0 x + y > 0( 2) .
2

Mặ
t khác từ ( 1) 28( x + y) > 3( x + y) 28 > 3( x + y) ( vìtheo ( 2) ) .
2

28
. V ìx +y  nên x +y 9.
3
Từ ( 1) , suy ra ( x + y) M
3. Do vậy x +y { 3;6;9} .

Suy ra x + y

14
14
14
( x + y) 2. ( x + y) + ữ + 3x2 = ữ
3
3
3
2



x+ y


2

14
196
196
196
+ 3x2 =
3x2
x2
.
ữ
3
9
9
27



Bài 3: 2x + 2y + 2z = 2336( x < y < z)

GV: Trn Thin Ti

Trang 7


Trng THCS Phc Sn

2 ( 1+ 2
x

yx

zx

+2

Sỏng kin kinh nghim

) = 2 .73
5

Do ( 1+ 2yx + 2zx ) lẻ nên 2x = 25 x = 5.
và 2yx + 2zx = 72 = 239 = 2yx ( 1+ 2zy )
2yx = 23 y x = 3 y = x + 3= 8
và 2z-y = 8 z = 11.Vậy nghiệm của ph ơng trì
nh
là:x =5, y =8, z =11.

Vậy ph ơng trì
nh đã cho không có nghiệm nguyên.

Bài 2: Giải ph ơng trì
nh trên tập số nguyên: x2 + 2x + 4y2 = 37.
Giải: Ph ơng trì
nh ( x +1) + ( 2y) = 38M
19 ( đâ
y là số nguyên tố dạng 4k +1) .
2

2

Suy ra ( x + 1) M
19 và 2yM
19 ( x +1) + ( 2y) M
192 ( vô lí) .
2

2

Vậy ph ơng trì
nh không có nghiệm nguyên.

Bài 3: Giải ph ơng trình nghiệm nguyên: 19x2 + 28y2 = 729
Giải: pt ( 18x2 + 27y2 ) + ( x2 + y2 ) = 729
Mà18x2 + 27y2 M
3;729M
3nên x2 + y2M
3 xM

Đặ
t x =13m ( m  ) .Mặ
t khác 1820M7và 7x M7,líluận t ơng tự ta có thểđặ
t
2

y =7n( n  ) .Thayx = 13m,y = 7nvào ph ơng trì
nh đã cho và giản ớ c ta đợ c:

( 1)
( )

13m2 + 7n2 = 20
m 1, n 2

Vớ i m, n thoả mã n ( ) ta chỉchọn đợ c m = 1, n = 1thoả
mã n ( 1) . Vậy ph ơng trì
nh ( 1) có 4 nghiệm:
m =1 m =1 m =-1 m =-1
;
;
;

n =1 n =-1 n =1 n =-1

T ơng ứng vớ i 4 nghiệm của ph ơng trì
nh ( 1) ta đợ c 4 nghiệm của
x =13 x =13 x =-13 x =-13
;
;

nh ( 1) có 6 nghiệm là các hoán vịcủa ( 1,2,3)

Cách 2:

Đặ
t z =1 +n, y =1 +m, x =1 +l ( n m l 0)
Ph ơng trì
nh đã cho trở thành:

3 +m +n +l = ( 1+ m) ( 1+ n) ( 1+ l ) = 1+ l + m+ n + mn + nl + ml + mnl
suy ra mn + nl + ml + mnl = 2 ( )

Nếu l 1 thìmn+nl+ml+mnl 4 ( mâ
u thuẫn vớ i ( ) )

Vậy l =0, thay vào ( ) ta suy ra:m n = 2.
Vìn m 0 nên n =2, m =1.
Vậy ta đợ c ( x =1, y =2, z =3) là nghiệm. Vìvai trò x, y, z

là bì
nh đẳ
ng nên các bộ 3 số là hoán vịcủa ( x =1, y =2, z =3) cũng là nghiệm của ph ơng trì
nh.

GV: Trn Thin Ti

Trang 9


Trng THCS Phc Sn


Y n = ( X + i)

( vớ i i =0, 1, ..., a)
n
Và X n Y n ( X + 1) thìkhông tồn tại số nguyên Y .
n

Bài 1: Giải ph ơng trì
nh nghiệm nguyên sau: x2 = y( y + 1) ( y + 2) ( y + 3)
Giải: Đ ặta =y2 + 3y
Ta có x2 = y( y + 3) ( y + 1) ( y + 2) = a( a+ 2) < ( a+ 1)

2

Nếu a >0 thìa2 < x2 < ( a+ 1) không tồn tại x Â.
2

Nếu a 0 y2 + 3y 0 3 y 0.
Từ đó tì
m đợ c các nghiệm của ph ơng trì
nh là:
x=0 x = 0 x = 0 x = 0
;
;
;

y=0 y = 1 y = 2 y = 3

Bài 2: Giải ph ơng trình nghiệm nguyên:

b) Ta có ( x+2) x4 = y3 8x3 + 24x2 + 32x + 16 = y3 ( * ) . Do đó y M2. Đ ặ
t y =2.y1 ( y1 Â ) ,
4

ta suy ra: ( * ) x3 + 3x2 + 4x + 2 = y13

1) Nếu x 0 thì( x+1) < y13 < ( x + 2) ,điều này không xảy ra.
3

3

2) Nếu x -2 thìx3 < x3 + 3x2 + 4x + 2 = y13 < ( x + 1) , điều này không xảy ra.
3

x = 1

3) Nếu x=-1thì( * )

y = 0
x = 1

Vậy ph ơng trì
nh có nghiệm duy nhất

y = 0

c) Ta thấy rằng x =0, y = 1 và x =-1, y = 1 nghiệm đ
úng ph ơng trì
nh.
Ta chứng minh ngoài các nghiệm trên, ph ơng trì


Thay vào ph ơng trì
nh ta đợ c 4k2 + 4k + 1+ 2r2 = 1987 4( k2 + k + r2 ) = 1986 1986M4( vô lí) .
Vậy ph ơng trì
nh không có nghiệm nguyên.
Bài 2: Chứng minh rằng ph ơng trì
nh sau đ
â
y không có nghiệm nguyên d ơng: 8x4 + 4y4 + 2z4 = t4.
Giải: Giả sử ph ơng trì
nh có nghiệm và theo tiên đ
ềthứ tự trong tập số tự nhiên thìcó một nghiệm
( x0;y0;z0;t0 ) vớ i x0 nhỏ nhất.
Từ ph ơng trì
nh đ
ã cho ta thấy: t0 là số chẵ
n t0 = 2t1. Thay vào ph ơng trì
nh và giản ớ c cho 2,
ta đợ c: 4x04 + 2y04 + z04 = 8t14.
Ta lại thấy z0 là số chẵ
n, đặ
t z0 = 2z1, suy ra 2x04 + y04 + 8z14 = 4t14.

Hoàn toàn t ơng tự, ta có y0 = 2y1, suy ra x04 + 8y14 + 4z14 = 2t14.

GV: Trn Thin Ti

Trang 11




( a12 + a22 + ... + an2 ) .( b12 + b22 + ... + bn2 )

Dấu bằng xảy ra ai = kbi vớ i i =1, 2, ..., n. (k Ă )

Bài 1: Tì
m nghiệm nguyên d ơng của ph ơng trì
nh

xy yz zx
+ + = 3( 1)
z x y

Giải: Cách 1: ( 1) 3xyz = x2y2 + y2z2 + z2x2 33 x4y4z4 = 3xyz3 xyz
xyz 1. vìx, y, z nguyên d ơng nên x =y =z =1.

Vậy ph ơng trì
nh ( 1) có nghiệm nguyên d ơng là ( 1;1;1) .

Cách 2: Vìx, y, z là các số nguyên d ơng nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho
ba số d ơng, ta có:

xy yz zx
+ +
33 xyz 3.
z x y

Dấu bằng xảy ra x =y =z =1.

Vậy ph ơng trì


1) Nếu a, b nguyên tố cù ng nhau thìph ơng trì
nh ( 1) bao giờ cũng có nghiệm nguyên.

2) Nếu a, b có một ớ c số chung không phải là ớ c số của c thìph ơng trì
nh ( 1) không
có nghiệm nguyên.

Một vài ph ơng pháp đểtì
m nghiệm nguyên của ph ơng trì
nh bậc nhất:

GV: Trn Thin Ti

Trang 12


Trng THCS Phc Sn

Sỏng kin kinh nghim

1) Muốn tì
m các nghiệm nguyên của ( 1) , ta phải tách đợ c phần nguyên
ra khi biểu diễn x theo y hoặ
c y theo x.
Bài 1: Tì
m nghiệm nguyên và nghiệm nguyên d ơng của ph ơng trì
nh:
a) 3x +4y =29.
b) 7x + 23y = 120.


y =2 - 3t >0
Ngiệm nguyên d ơng của ph ơng trì
nh

x =7 +4t >0

t

ểtì
m nghiệm.
Bài 1: Chứng minh ph ơng trì
nh sau không có nghiệm nguyên: 2x +14y =73.
Giải: Ta có 2x +14y =2( x +7y) M
2 còn 73 không chia hết cho 2, do vậy ph ơng trì
nh đã cho không
có nghiệm nguyên.

Bài tập t ơng tự: Chứng minh các ph ơng trì
nh sau vô nghiệm:
a) 3x +15y =52.
b) 21x +12y =16.
GV: Trn Thin Ti

Trang 13


Trng THCS Phc Sn

Ph ơng pháp tì
m nghiệm nguyên d ơng của ph ơng trì
nh:

Sỏng kin kinh nghim

a( x1+x2+...+xn ) +b =cx1.x2...xn vớ i a,b,c Ơ ; n 2.

Vìx1,x2,...,xn có vai trò nh nhau nên giả sử 1 x1 x2 ... xn
1 n

( 1) c = x + y + xy x 1 x c

Vídụ: Tì
m nghiệm nguyên d ơng của ph ơng trì
nh sau:
2( x +y) + 16 = 3xy 3xy 2x 2y = 16 y( 3x 2)
( 3x 2) ( 3y 2) = 52

2
4
3x 2) = 16+
(
3
3

Giả sử x y khi đó 1 3x - 2 3y - 2 và 52 =1.52 =2.26 =4.13
Ta đợ c 3 hệph ơng trì
nh sau:
3x - 2 =1 3x - 2 =2 3x - 2 =4
;
;

3y
2
=
52
3y
2
=
26

c t =2
5 5 5 15 30
Vớ i t =1 thìptrì
nh 2 = + + +

z2 15
xy yz zx xyz z2
x1 n1

GV: Trn Thin Ti

Trang 14


Trng THCS Phc Sn

Sỏng kin kinh nghim

z = 1;2;3

x = 35

V ớ i z =1, ta có 5( x +y) + 20 = 2xy ( 2x 5) ( 2y 5) = 65

y = 3

x =9

hoặ
c

a) 2( x +y +z) + 9 = 3xyz.

b) 5( x + y + z + t) + 7 = xyzt.

Bài 3: Giải ph ơng trì
nh trên tập số nguyên:
a) x2 6xy + 13y2 = 100

HD: Dù ng ph ơng pháp bịchặn biến đổi ph ơng trì
nh vềdạng: ( x-3y) = 4( 25 y) 0
2

2

y 5 và 25 - y2 là một số chính ph ơng.
Xét các tr ờng hợ p của y, ta có đợ c nghiệm của ph ơng trì
nh.
b) 6x2 + 5y2 = 74

HD: pt 6( x2 4) = 5( 10 y2 ) x2 4 = 5u;10 y2 = 6v u = v
Dù ng điều kiện bịchặ
n của u và u, ta suy ra:

-4
5
u u = v = 0 hoặ
c u =v =1.
5
3


hơn.

3. KẾT QUẢ:
Với những phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên mà cá nhân đã tìm tòi và trình
bày ở trên, mặc dù đã vận dụng vào giảng dạy từ năm 2004 đến nay, tuy nhiên quá trình giảng
dạy không liên tục, chất lượng học sinh trong các lớp học bồi dưỡng, lớp học tự chọn chưa đều
và các đề thi tốt nghiệp THCS hay tuyển sinh vào lớp 10 có đề cập đến loại toán này ở câu hỏi
nâng cao nhưng chưa thường xuyên. Vì vậy việc đánh giá, kiểm định tính hiệu quả của sáng
kiến kinh nghiệm này chưa đạt độ chính xác cao. Năm học 2004 – 2005, trong kì thi tốt nghiệp
THCS tỉ lệ học sinh của nhà trường giải đúng bài toán phương trình nghiệm nguyên chỉ đạt 6 %.
Đây là con số khá khiêm tốn so với số lượng học sinh của nhà trường
Như vậy để nâng cao khả năng tư duy và sáng tạo của học sinh trong bộ môn Toán, người
giáo viên phải rèn học sinh kĩ năng để giải toán thông qua các bài tập cụ thể, đầy đủ các dạng
loại, hướng học sinh tìm tòi nét đặc trưng của từng dạng loại để giải bài toán dễ dàng hơn. Có
như vậy mới từng bước nâng cao hơn nữa chất lượng bộ môn Toán, giúp học sinh ham thích học
toán và tạo điều kiện phát huy năng lực của học sinh trong nghiên cứu khoa học. Đồng thời giúp
bồi dưỡng đội học sinh thi học sinh giỏi cấp huyện của Nhà trường có hiệu quả hơn so với các
năm trước.



GV: Trần Thiện Tài

Trang 16


Trường THCS Phước Sơn

Sáng kiến kinh nghiệm