Chun đề phương pháp toạ độ trong khơng gian


1
1
CÁC BÀI TẬP HÌNH HỌC KHƠNG GIAN TỔNG HỢP
GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ
PHẦN II: HÌNH CHĨP

Vũ Ngọc Vinh - THPT A Nghĩa Hưng - Nam Định PHƯƠNG PHÁP CHUNG GIẢI TỐN
Để giải được các bài tốn hình khơng gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ
thích hợp. Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình.
Bài tốn đơn giản hay khơng một phần phụ thuộc vào cách chọn hệ trục toạ độ vng góc và đơn vị
trên các trục.
Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp, chú ý đến vò trí của gốc O ( Đỉnh của góc vng, tâm
mặt cầu ….)
Bước 2: Dựa vào điều kiện của bài tốn để xác định toạ độ của điểm, phương trình của đường và mặt
cần thiết trong hệ trục toạ độ ấy.
(có thể xác đònh toạ độ tất cả các điểm hoặc một số điểm cần thiết)
Khi xác đònh tọa độ các điểm ta có thể dựa vào :
+)Ý nghóa hình học của tọa độ điểm (khi các điểm nằm trên các trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ).
+) Dựa vào các quan hệ hình học như bằng nhau, vuông góc, song song ,cùng phương , thẳng hàng,
điểm chia đọan thẳng để tìm tọa độ
+) Xem điểm cần tìm là giao điểm của đường thẳng, mặt phẳng.
+) Dưạ vào các quan hệ về góc của đường thẳng, mặt phẳng.
Bước 3: Chuyển các tính chất hình học trong giả thiết hoặc kết luận của bài tốn sang tính chất đại số
và giải tích, đưa bài tốn về bài tốn đại số, giải tích. Sử dụng các kiến thức về toạ độ để giải quyết
bài toán .

khác với S
Ta luôn có:
Chun đề phương pháp toạ độ trong khơng gian


2
2

SC
SC
SB
SB
SA
SA
V
V
ABCS
CBAS
'''
.
'''
.


Chú ý.
a) Hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy và đáy là hình vng (hoặc hình chữ nhật). Ta chọn
hệ trục tọa độ như dạng tam diện vng.
b) Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng (hoặc hình thoi) tâm O đường cao SO vng góc với đáy.
Ta chọn hệ trục tọa độ tia OA, OB, OS lần lượt là Ox, Oy, Oz. Giả sử SO = h, OA = a, OB = b ta có
O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(–a; 0; 0), D(0;–b; 0), S(0; 0; h).

đáy.
Ví dụ 1.
Tø diƯn ABCD: AB, AC, AD ®«i mét vu«ng gãc víi nhau;
AB = 3; AC = AD= 4
TÝnh kho¶ng c¸ch tõ A tíi mỈt ph¼ng (BCD)
( KD: 2002)
Giảii
+ Chän hƯ trơc Oxyz sao cho A  O
D Ox; C  Oy và B  Oz
 A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0)
 Phương tr×nh ®o¹n ch¾n cđa (BCD) lµ:
1
4 4 3
  
x y z
 3x + 3y + 4z - 12 = 0
Kho¶ng c¸ch tõ A tíi mỈt ph¼ng (BCD) lµ:
d(A; mp’(BCD)) =
6 34
17Ví dụ 2.
Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại A,
AD = a, AC = b, AB = c.Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c và chứng minh rằng :

 
2S abc a b c  

(DB – ĐH. K. D – 2003)

2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
BC c;b;0 ,BD c;0;a , BC,BD ab;ac;bc
1 1
S BC,BD a b a c b c đpcm
2 2
a b a c b c abc(a b c)
a b a c b c abc(a b c)
Theo BĐT Cauchy ta được :
a b +b c 2ab c
b c +c a


     


 

2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2bc a Cộng vế : a b a c b c abc(a b c)
c a a b 2ca b

Ví dụ 3.
Cho hình chóp S.ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD),
SA a 2.

Mặt phẳng () qua A

 
:
( ): x y 2z 0.   

Phương trình đường thẳng SC qua C(a; a; 0) với vectơ chỉ phương
1
u

:

x a t
(SC): y a t
z 2t
 


 


 


N SC N(a t; a t; 2t)
    

a a a a 2
N ( ) a t a t 2( 2t) 0 t N ; ;
2 2 2 2
 
            

M
B
C
a
O
z
a 2

a
x
D
y
z
y
x
A
B
C
D
Chun đề phương pháp toạ độ trong khơng gian


4
4
a a a 2 2a 2a 2a 2
AN ; ; ; AN a; MP ; ; 0 ; MP .
2 2 2 3 3 3
 
 
    

2

và đường cao AB = a. M là điểm trên cạnh SA, đặt AM = x (
0 x a)
 
. Tính độ
dài đường cao DE của BMD. Đònh x để DE đạt giá trò nhỏ nhất.
Giải
Dựng hệ trục Axyz với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc, A(0; 0; 0),
B(a; 0; 0), C(a; 2a; 0),
a
D 0; ; 0 , S(0; 0; a), M(0; 0; x)
2
 
 
 
.
BM ( a; 0; x).
 


Phương trình đường thẳng BM qua B với , vectơ chỉ phương:
x a at
(BM) : y 0
z xt
 





ax a a x
DE ; ;
2
x a x a
 
 
 
 
 



       
   
         
2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
a x a a x a a x (x a a 4x
DE 1
4 4 2
(x a ) (x a ) (x a ) x a
a a
DE minDE x 0 x 0 M A.
2 2Ví dụ 5.
Cho hình chóp SABCD, ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD), SA = 2a. Mặt phẳng ()
qua BC hợp với AC một góc 30

 a.n 

, với
n (h; 0; a)



n (h; 0; a)
 

là pháp vectơ của mặt phẳng ().
Đường thẳng AC có vectơ chỉ phương
1
u (a; a; 0) a(1;1; 0) a.u ,  
 
với
1
u (1;1; 0)

.
() hợp với AC một góc 30
o
.
 
  
   
 

là hình thang vuông tại B và M.

ABM vuông cân đỉnh A 
BM a 2.
MN là đường trung bình của

SAD
a
MN .
2
 
Diện
tích hình thang vuông BCNM:
2
1 3a 2
S .BM(MN BC)
2 4
  
.

Ví dụ 6.
Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đơi một vng góc. Điểm M cố định thuộc tam
giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) là 1, 2, 3. Tính a, b, c để
thể tích O.ABC nhỏ nhất.
Giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có:
O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c).
d[M, (OAB)] = 3

z

1
abc 27
6
 
.
C
y
2a
S
N
D
y
a
x
a
B
H
A
M

Chun đề phương pháp toạ độ trong khơng gian


6
6
(2)
min
1 2 3 1
V 27
a b c 3

[H, SB, C] =
 
IH, IK
 
(1).
SB ( 1; 3; 4)  

,
SC (0; 3; 4) 

suy ra:
ptts SB:
x 1 t
y 3 3t
z 4t


 




 








cos[H, SB, C]
12645

 

Ví dụ 8.
Cho hình chóp S. ABCD có SA  (ABCD) và SA =
a 6
, đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp
trong đường tròn đường kính AD = 2a.
Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC).
Giải.
Dựng
/ /
BB AD, CC AD 
và I là trung điểm AD
/ / / /
a 3 a 3a
BB CC ; AB ; AC
2 2 2
    

Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông
   
   
   
a 3 a a 3 3a
góc A(0; 0; 0), B ; ; 0 , C ; ; 0 ,
2 2 2 2
D(0; 2a; 0), S(0; 0; a 6).

(SBC): 2 2x z a 6 0
  

Vì:
AD// BC AD//(SBC) d(AD; (SBC)) d(SBC))  
z
S
a 6

x
A
B
B
/

C
C
/

I
D
2a
y

Chuyên đề phương pháp toạ độ trong không gian



1
,
MM
1
vuông góc với mặt phẳng (ABC) về cùng một phía, lấy tương ứng các điểm N, I sao cho 2MI =
NA = a. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống NB. Chứng minh rằng: AH

NI.
Bài 3.
Trên ba tia Ox, oy, oz vuông góc với từng đôi một lấy lần lượt các điểm A, B, C. Giả sử A cố định còn
B, C thay đổi sao cho OA = OB + OC. Hãy xác định vị trí của B, C sao cho thể tích của tứ diện OABC
là lớn nhất.
Bài 4.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA =
3a
và vuông với đáy.
1) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
2) Tính khoảng cách từ tâm O của hình vuông đến mặt phẳng (SBC).
3) Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC).
Bài 5.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a, SA = a và vuông góc với
đáy. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và AC.
1) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBC).
2) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SEF) và mặt phẳng (SBC).
Bài 6.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = 2a và vuông góc với đáy.
1) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC), từ C đến mặt phẳng (SBD).
2) MN lần lượt là trung điểm của AB, AD. CMR: MN // (SBD) và tính khoảng cách từ MN đến
mặt phẳng (SBD).
Bài 7.

là :

2
3 ( )a x y xy a  
.
Bài 10.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a,
SA =
6a
và vuông góc với đáy.
1) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (SBC); Tính góc giữa hai mặt phẳng
(SCD) và mặt phẳng (SBC).
2) Tính khoảng cách từ A , D đến mặt phẳng (SBC) và từ đường thẳng AB đến mặt phẳng
(SCD).
3) Tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD tạo bởi mặt phẳng
( )

song song với mặt
phẳng (SAB) và cách mặt phẳng (SAB) một khoảng bằng
3
4
a
.
Bài 11.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB = a,
2SA a
và vuông góc với
đáy. Gọi M là trung điểm của AB. Tính độ dài đường vuông chung của SM và BC.
Bài 12.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông đường cao AB = a, BC = 2a, SA = a

Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy. Gọi E là
trung điểm CD.
1) Tính diện tích

SBE.
2) Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBE).
3) (SBE) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần đó.
Chun đề phương pháp toạ độ trong khơng gian


9
9
Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a. Cạnh bên SA vng góc với đáy và
SA a 3

.
1) Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBD).
2) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC.
3) Tính góc phẳng nhị diện [B, SC, D].
Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 3cm. Cạnh bên SA vng góc với đáy và
SA 3 2

cm. Mp
( )

đi qua A và vng góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại H, M, K.
1) Chứng minh AH vng góc với SB, AK vng góc với SD.
2) Chứng minh BD song song với
( )



, gọi K là giao điểm của BM và AD. Tính góc phẳng nhị diện [A, SK, B].
Bài 21: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a tâm I . Trên hai tia Ax, By cùng chiều và cùng vuông
góc với mặt phẳng (ABCD) lần lượt lấy hai điểm M,N . Đặt AM=x, CN=y
1) Tính thể tích hình chóp ABCMN.
2) CMR điều kiện cần và đủ để góc MIN=90
0
là 2xy=a
2
.
Bài 22: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân ABC với cạnh huyền AB = 4
2
.
Cạnh bên
SC (ABC)
và SC = 2 .Gọi M là trung điểm của AC, N là trung điểm AB
1) Tính góc của hai đường thẳng SM và CN
2) Tính độ dài đọan vuông góc chung của SM và CN.

SH (ABCD) 

Chọn hệ trục Hxyz, với Hx, Hy, Hz
a
đôi một vuông góc, H(0; 0; 0), A ; 0; 0 ,
2
a a a
B ; 0; 0 , C ; a; 0 , D ; a; 0 ,
2 2 2
a 3 a
S 0; 0; , M ; a x; 0 , 0 x a; a 0
2 2
 

 
 
     

     
     
 
 
   
   
   

x
2 2
a a 3
SD ; a; , DM (a; x; 0), DM a x

2 2
[SD; DM]
a 4x 4ax 7a
d(S; DM)
2
x a
DM
 
 

 

.
Xét hàm số:
2 2
2 2
4x 4ax 7a
f(x) ,
x a
 


với
0 x a (a 0)  2 2
/
2 2 2
2a(2x 3ax 2a )

x
H
y
Chun đề phương pháp toạ độ trong khơng gian


11
11
Bảng biến thiên:
x

a
2


0 a
2a

f
/
(x)
+
0
-
-
-
0
+
f(x)


qua H và vng góc với SC tại I. Chứng tỏ
( )

cắt các cạnh SB, SD.
3) Tính góc phẳng nhị diện [B, SC, D].
Bài 2: Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh bằng a và AC=a, Từ trung điểm H của cạnh AB dựng
SH

(ABCD) với SH=a
1) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD).
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Bài 3. Cho hình vng ABCD cạnh bằng a. Từ trung điểm H của cạnh AB dựng SH vng góc với
mặt phẳng (ABCD) sao cho nhị diện cạnh AD của hình chóp S.ABCD có số đo bằng 60
0
.
1) Tính SH và khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD).
2) Gọi K là trung điểm cạnh AD. Chứng minh CK

SD và tính số đo nhị diện (A, SD, C)
3) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng ( SCK).
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a. Mặt bên
SAD
là tam giác đều và vng
góc với (ABCD). Gọi H là trung điểm của AB.
1) Tính góc giữa DB và mặt phẳng (SAD).
2) Tính góc giữa DS và mặt phẳng (SCH).


ta cú:
3 a 3
AI BC
2 2a 3 a 3
OA , OI
3 6


Trong mp(ABC), ta v tia Oy vuụng gúc vi OA.
t SO = h, chn h trc ta nh hỡnh v ta
c:
O(0; 0; 0), S(0; 0; h),
a 3
A ; 0; 0
3






a 3
I ; 0; 0
6






,
a 3 a h
M ; ;
12 4 2







v
a 3 a h
N ; ;
12 4 2



















2 2
2
(AMN) (SBC)
AMN
5a 1 a 10
(AMN) (SBC) n .n 0 h S AM, AN
12 2 16




.
Vớ d 2.

6
I

Ta cú:
(0;1;0)

BC
;
3 1 6
( ; ; )
6 2 6


IC
;
6 3
, ( ;0; )
6 6

BC ICz
x
y

I

SA
SA SA u

Phư¬ng tr×nh ®ưêng th¼ng SA:
3
;
3
 x t
0; 2  y z t
.
+ Täa ®é ®iĨm M lµ nghiƯm cđa hƯ:
3
(1)
3
0 (2)
2 (3)
6
2 0(4)
6

 






 



 
SBCM
SABC
V
V
.
2.
Do G lµ träng t©m cđa ASC

 SG ®i qua trung ®iĨm N cđa AC  GI  (SNB)  GI vµ SB ®ång
ph¼ng (1). Ta l¹i cã täa ®é:
G
3 1 6
( ; ; )
18 6 9
3 1 6
( ; ; )
18 6 18
   

GI
3 1 6
( ; ; )
18 6 18
   

GI
. 0 (2)   
 
GI SB GI SB

2 2 2 2 3 3
   
   
 
 
a 3 a 3
M 0; ; 0 , H 0; ; 0 .
2 3
a 3 a 6
BC ( a; 0; 0), SA 0; ;
3 3
 
  
 
 
 
. Ta có:
a 3 a 6
SA.BC 0.( a) .0 .0 0 SA BC
3 3
      
   
. Vậy,
SA BC. Chun đề phương pháp toạ độ trong khơng gian


14

     
     
     
     
  
. Ta có:
2 2
a a 3 a 3 a 6 a 6 a a
OA.OB 0. . . 0 OA OB.
2 3 6 6 6 6 6
       
 

Chứng minh tương tự ta cũng có:
OB OC, OC OA. 

Vậy, OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau. BÀI TẬP
Bài 1.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi I là trung điểm của đường cao SO với O là tâm của ABCD.
Biết khoảng cách từ I đến cạnh bên và mặt bên của hình chóp theo thứ tự bằng p, q, Tính thể tích của
hình chóp.
Bài 2.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng tâm O cạnh a, SO vng góc với đáy. Gọi M, N
theo thứ tự là trung điểm của SA và BC. Biết rằng góc giữa MN và mặt phẳng (ABCD) bằng 60
0
.
1) Tính MN và SO.

y
I
O
B
A
C
S
z
x
y
I
O
B
A
C
S
z
x
y
I
O
B
A
C
S
z
x
y
I
O

1
, d
2
, d
3
, d
4
theo thứ tự là khoảng cách từ
điểm M bất kì thuộc đáy ABCD tới các mặt bên.
CMR: Tổng d
1
+ d
2
+ d
3
+ d
4
không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
Bài 4.
Cho hình chóp đều S.ABC, gọi O là trọng tâm tam giác ABC và I là trung điểm SO. Chứng minh rằng
IA, IB, Ic đôi một vuoâng goùc vôùi nhau.
Bài 5.
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đường cao SO = 1 và đáy Abc có cạnh bằng
6a
. Gọi M, N
theo thứ tự là trung điểm AB, AC. Tính thể tích hình chóp S.AMN và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp.
Bài 6. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a, đường cao SH = h. Mặt phẳng
( )

Chun đề phương pháp toạ độ trong khơng gian


16
16
Phần II. 4 .
HÌNH CHĨP CĨ CÁC CẠNH BÊN BẰNG NHAU
( Hay hình chóp có các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau)
* Lưu ý: Chân đường cao của hình chóp trùng với tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
Ví dụ .
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = SB = SC, khoảng cách từ S đến mặt
phẳng (ABC) bằng h. Tìm điều kiện của a và h để hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với nhau.
BÀI TẬP
Cho tứ diện OABC (vuông tại O), biết rằng OA,OB,OC lần lượt hợp với mặt phẳng (ABC) các
góc
 ,,
. Chứng minh rằng:
1)
2 2 2

, các
mặt bên của hình chóp tạo với đáy góc

. Tính thể tích của hình chóp.

Phần II. 6 .
CÁC LOẠI HÌNH CHĨP KHÁC
Ví dụ 1.
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi ABCD có tâm O, SO là đường cao của hình chóp. M là trung
điểm cạnh SC. SO =
2a
, AC = 4, BD = 2.
1) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM.
2) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại N. Tính thể tích của khối chóp S.ABMN.
3) Chứng minh rằng mọi điểm thuộc đường cao của hình chóp cách đều bốn mặt bên của hình
chóp.
BÀI TẬP.
Cho hình chữ nhật ABCD. Trên các nửa đường thẳng At, Ct’ vng góc với mặt phẳng (ABCD) và
nằm cùng phía đối với mặt phẳng (ABCD) lần lượt lấy các điểm M, N tương ứng. Đặt AM = m,
CN = n, AB = a, BC = b.
1) Tìm điều kiện của a, b, m, n đẻ mặt phẳng (MBD) vng góc với mặt phẳng (NBD).
2) Trong trường hợp mặt phẳng (MBD) vng góc với mặt phẳng (NBD). Hãy tìm giá trị nhỏ
nhất của tứ diện ACMN theo a, b, m, n.