0
QUY ƯỚC
VỀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT SỬ DỤNG TRONG KHÓA LUẬN

Viết tắt
GV :

HS :
HĐKT
:
Viết đầy đủ
Giáo viên
Học sinh
Huy động kiến thức
Nxb

:

Nhà xu
ất bả
n

SGK : Sách giáo khoa
THPT :

Trung học phổ thông
PPDH : Phương pháp dạy học
HĐ : Hoạt động
[1] : Tài liệu 1


thành cho họ tính tư duy độc lập, óc phán đoán, tính sáng tạo cao. Tuy nhiên,
trong dạy học còn tồn tại nhiều hạn chế đó là trình độ học sinh không đồng đều,
khối lượng kiến thức tương đối lớn, do năng lực sư phạm và điều kiện cơ sở vật
chất kĩ thuật… Do vậy dạy học chưa đáp ứng được yêu cầu đổi mới hiện nay.
Dạy toán là dạy kiến thức, cách suy nghĩ, kĩ năng, tư duy và tính cách cho
học sinh. Việc hình thành và rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh là một
trong những yêu cầu cơ bản và cần thiết của hoạt động dạy học toán, giúp học
sinh hiểu được bản chất của toán học phổ thông, đồng thời rèn luyện cho học
sinh các thao tác tư duy, các hoạt động trí tuệ. Từ đó bồi dưỡng các phẩm chất
trí tuệ, phát triển năng lực giải toán cho học sinh.
Ở trường THPT dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh có
thể việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Bài tập toán là
phương tiện cốt yếu trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức phát triển tư duy

2
và khả năng vận dụng Toán học vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập toán là
điều kiện tốt nhất để thực hiện các mục đích dạy học toán ở trường phổ thông.
Với số lượng bài tập toán rất lớn, đặc biệt là các bài toán về hàm số - một
chủ đề xuyên suốt trong chương trình môn toán ở trường phổ thông. Vậy giáo
viên phải có định hướng như thế nào? Học sinh phải thực hiện những hoạt động
gì để hiểu rõ bài toán?. Vấn đề đặt ra: “Làm thế nào để hiểu sâu sắc tìm được
mối liên hệ giữa bài toán đã cho và các kiến thức, kĩ năng đã học để tìm ra
phương pháp giải quyết vấn đề đúng đắn”. Nghiên cứu tư tưởng sư phạm của
G.Polya sẽ giúp chúng ta giải quyết cơ bản vấn đề được nêu ở trên. Với những lí
do đó, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là: “Vận dụng tư tưởng sư phạm của
G.Polya trong dạy học giải bài tập về hàm số ở trường trung học phổ thông”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu quan điểm sư phạm của G.Polya trong dạy học giải bài tập
toán và đề xuất hướng vận dụng quan điểm đó vào dạy học nội dung giải bài tập
hàm số góp phần đổi mới phương pháp dạy học và nâng cao chất lượng dạy học

- Phương pháp thống kê toán học.
8. Đóng góp mới của khóa luận.
Đề xuất được một số phương thức sư phạm góp phần nâng cao chất lượng
dạy học giải bài tập hàm số cho học sinh trung học phổ thông trong mối liên hệ
với tư tưởng sư phạm của G.Polya.
9. Cấu trúc của khóa luận
Ngoài phần mở đầu và danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận còn có:
Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2. Một số phương thức sư phạm góp phần nâng cao chất lượng
dạy học giải bài tập hàm số cho học sinh THPT
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm
4
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một số định hướng đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở
trường THPT hiện nay
Mục tiêu của nhà trường phổ thông Việt Nam là hình thành những cơ sở
ban đầu và trọng yếu của con người mới phát triển toàn diện phù hợp với yêu
cầu, điều kiện, hoàn cảnh của đất nước Việt Nam.
Luật giáo dục nước ta quy định: “Mục tiêu giáo dục là đào tạo con người
Việt Nam phát triển toàn diện, có đạo đức, tri thức, sức khỏe, thẩm mĩ và nghề
nghiệp, trung thành với lí tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội; hình thành
và bồi dưỡng nhân cách, phẩm chất và năng lực của công dân, đáp ứng yêu cầu
xây dựng và bảo vệ Tổ Quốc” (Luật giáo dục 1998, Chương I, điều 2)
Trong xã hội công nghiệp hóa, hiện đại hóa mâu thuẫn giữa đào tạo con

vai trò mới của mình và đảm bảo yếu tố tích cực, chủ động, sáng tạo cho người
học thì người thầy cần đạt được những yêu cầu sau:
* Cần tạo niềm vui và hứng thú trong học tập cho học sinh
Nhà toán học G.Polya đã khẳng định sự cần thiết của hoạt động của người
thầy rằng: “…Nếu người thầy khêu gợi được tính tò mò của học sinh bằng cách
đưa ra cho học sinh những bài tập hợp trình độ, giúp họ giải các bài toán bằng
cách đặt ra câu hỏi gợi ý, thì người thầy có thể mang lại cho họ các hứng thú
của sự suy nghĩ độc lập và những phương tiện để đạt được kết quả” [2;4].
* Cần dạy học thông qua tổ chức các hoạt động học tập.
Tác giả Nguyễn Bá Kim cho rằng: “Mỗi một nội dung dạy học đều liên hệ
mật thiết với những hoạt động nhất định. Đó là những hoạt động được tiến hành
trong quá trình hình thành và vận dụng nội dung đó, phát hiện được những hoạt
động tiềm tàng trong một nội dung là vạch ra được con đường để người học
chiếm lĩnh nội dung đó và đạt được các mục đích khác và cũng đồng thời là cụ
thể hoá được mục đích dạy học có đạt được hay không và đạt đến mức độ
nào?”[12].
* Cần chú trọng phát triển trí tuệ, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức
vào thực tiễn cho học sinh.
Theo Nguyễn Bá Kim, để phát triển trí tuệ cho HS, thầy giáo cần chú ý:
- Rèn luyện tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác thông qua môn toán theo
các hướng sau:

6
1. Làm cho học sinh nắm vững, hiểu đúng và sử dụng đúng những liên kết
lôgic: và, hoặc, nếu thì, phủ định, những lượng từ tồn tại và khái quát,…
2. Phát triển khả năng định nghĩa và làm việc với những định nghĩa.
3. Phát triển khả năng hiểu chứng minh, trình bày lại chứng minh và độc
lập tiến hành chứng minh.
- Phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng: làm cho HS có ý thức sử
dụng các nguyên tắc suy đoán như tương tự hóa, khái quát hóa… và trí tưởng tượng.

Việc đánh giá kết quả học tập của học sinh cần phải đảm bảo những
nguyên tắc sau:
1. Đảm bảo tính khách quan.
2. Đảm bảo tính công bằng.
3. Đảm bảo tính toàn diện.
4. Đảm bảo tính hệ thống.
5. Đảm bảo tính công khai.
6. Đảm bảo tính giáo dục.
7. Đảm bảo tính phát triển.
Để xây dựng được đội ngũ tri thức, lao động có chất lượng, có trình độ
cao, luôn tự chủ, năng động, sáng tạo… nhằm đáp ứng nhu cầu phát triển xã hội
- hội nhập toàn cầu chúng ta cần có một hệ thống giáo dục thống nhất, phù hợp
với quốc tế và điều kiện cụ thể của Việt Nam.
1.2. Bài tập toán và chức năng của bài tập toán
1.2.1. Bài toán
Theo G.Polya: Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách có ý thức
phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ ràng nhưng không thể
đạt được ngay. Giải toán tức là tìm ra phương tiện đó.
1.1.2. Chức năng của bài tập toán
Dạy học giải bài tập toán có vai trò quan trọng đặc biệt bởi nó là phương
tiện có hiệu quả trong việc giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình
thành kỹ năng, kỹ xảo và ứng dụng toán học vào thực tiễn. Bài tập toán có
những chức năng cơ bản sau:

8
- Chức năng dạy học: Khi giải bài bài tập toán, HS được rèn luyện kỹ
năng, kỹ xảo, củng cố những vấn đề lý thuyết đã học. Có những bài tập toán là
nội dung của một định lý hay mệnh đề nào đó, mà nó không có điều kiện trình
bày ở phần lý thuyết. Khi được HS tiếp cận, sẽ trở thành phương tiện để giải một
số hệ thống bài tập toán khác, giúp HS dễ dàng hơn trong việc liên hệ giữa kiến

Trong dạy học giải bài tập toán GV cần hình thành cho HS một số kỹ
năng nhất định, dạy cho họ đến một mức độ nào đó nắm vững được môn học.
GV phải bắt đầu từ hệ thống câu hỏi thích hợp, dẫn dắt HS từ khâu tìm hiểu bài
toán cho đến khi xây dựng được một chương trình giải và thực hiện lời giải đó.
Ngoài ra khi giải được rồi cần nhìn lại lời giải, tìm lời giải khác, xem xét mối
liên hệ với bài toán khác để xâu chuỗi được các bài toán có liên quan, hoặc các
hoạt động khác như khái quát hóa, tổng quát hóa Để giúp HS đỡ bối rối khi
tiếp xúc một bài toán và đi tìm lời giải thì GV quan tâm đúng mực đến việc giúp
HS phân loại bài toán. Một sự phân loại tốt phải chia các bài toán thành những
kiểu sao cho mỗi kiểu bài toán quy định trước một phương pháp giải.
1.3.1. Những bài toán mà quy tắc, phương pháp giải có tính chất thuật toán.
Theo Nguyễn Bá Kim thì: “Thuật toán theo nghĩa trực giác được hiểu như
một dãy hữu hạn những chỉ dẫn được thực hiện một cách đơn trị, kết thúc sau
một số hữu hạn bước và đem lại kết quả là biến đổi thông tin vào của một lớp
bài toán thành thông tin ra mô tả lời giải của lớp bài toán đó” [12; 379].
Khi một thuật toán đã hình thành thì ta không xét đến việc chứng minh
thuật toán đó mà chỉ chú trọng đến việc áp dụng các bước theo sự hướng dẫn sẽ
có kết quả đúng.
Ví dụ 1: Xét bài toán: Cho hàm số:
   
3 2
1
6 2 1
3
y x mx m x m
     
.
Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
Đối với bài toán này, GV có thể hướng dẫn HS giải thông qua một số hoạt
động sau:


10




0
f x


có 2 nghiệm phân biệt


2
3 0
b ac

   

Hđ2: Hãy áp dụng thuật toán trên vào bài toán?
Tìm m để hàm số:
   
3 2
1
6 2 1
3
y x mx m x m
     
có cực đại và cực tiểu.
Kết quả mong đợi: Hàm số đạt cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi

hoặc
3
m

thì hàm số đã cho đạt cực đại và cực tiểu.
Phát triển tư duy thuật toán trong nhà trường phổ thông là cần thiết vì
những lí do sau đây:
Thứ nhất, tư duy thuật toán giúp HS hình dung được việc tự động hóa
trong những lĩnh vực khác nhau của con người, góp phần khắc phục sự ngăn
cách giữa nhà trường và xã hội tự động hóa.
Thứ hai, tư duy thuật toán giúp HS làm quen với cách làm việc khi giải
bài toán bằng máy tính điện tử.
Thứ ba, tư duy thuật toán giúp HS học tập tốt những môn học ở nhà trường
phổ thông nhằm tạo điều kiện thuận lợi cho HS lĩnh hội kiến thức và rèn luyện kỹ
năng, kĩ xảo khi thực hiện giải toán có tính chất định lượng.
Thứ tư, tư duy thuật toán cũng góp phần phát triển những năng lực trí tuệ
chung như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa… và hình thành những
phẩm chất của người lao động như tính ngăn nắp, kỷ luật, tính phê phán và thói
quen tự kiểm tra…
1.3.2. Những bài toán mà quy tắc, phương pháp giải có tính chất tựa
thuật toán
Tựa thuật toán có các đặc điểm gần giống với thuật toán nhưng mỗi bước
có thể là một thao tác sơ cấp, có thể chỉ gợi ý định hướng suy nghĩ hoặc hướng
dẫn thực hiện thao tác được lựa chọn trong một số ít trường hợp và có hiệu quả
trong nhiều trường hợp. Cụ thể quy tắc tựa thuật toán phân biệt với quy tắc thuật
toán như sau:

11

- Mỗi chỉ dẫn trong quy tắc có thể chưa mô tả hành động một cách xác định.

12

toán. Muốn vậy, cần phải phân tích giả thiết và kết luận của bài toán: Đâu là ẩn,
đâu là dữ kiện? Đâu là điều kiện? Có thể thỏa mãn được điều kiện hay không?
Điều kiện có đủ để xác định được ẩn hay không? Hay chưa đủ? Hay thừa? Hay
có mâu thuẫn? Với việc trả lời hay làm rõ những câu hỏi đó chính là bước định
hướng lời giải bài toán và đồng thời thể hiện hoạt động huy động kiến thức liên
quan đến bài toán đó.
2) Xây dựng chương trình giải:
Ở bước này, thao tác tư duy thể hịên qua việc phân tích bài toán đã cho
thành nhiều bài toán đơn giản hơn, biến đổi bài toán đã cho, mò mẫm và dự
đoán thông qua việc xét các trường hợp riêng lẻ, xét các bài toán tương tự hay
khái quát hơn bằng cách đặt hệ thống câu hỏi:
- Em đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay đã gặp bài toán này ở dạng khác?
- Em có biết một bài toán nào liên quan không? Một định lý có thể dùng
được không?
- Xét kĩ cái chưa biết (ẩn) và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng
ẩn hay có ẩn số tương tự?
- Đây là một bài toán nào đó có liên quan mà em đã có lần giải rồi. Có
thể sử dụng kết quả của nó không? Có cần phải đưa thêm một số yếu tố phụ thì
mới sử dụng được nó không?
- Có thể phát biểu bài toán một cách khác nữa không?
- Nếu bạn chưa giải được bài toán đã đề ra, thì hãy thử giải một bài toán
có liên quan. Em có thể nghĩ ra một bài toán liên quan mà dễ giải hơn không?
Một bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp riêng? Một bài toán tương tự? Em
có thể giải một phần của bài toán không?
- Em đã sử dụng mọi dữ kiện chưa? Đã sử dụng hết điều kiện chưa? Đã
để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?
Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia, khi đó ẩn được xác định
đến chừng mực nào và biến đổi thế nào? Em có thể từ các dữ kiện rút ra một

a

,
3
b
 
,
2
c


GV: Yêu cầu của bài toán là gì?
Kết quả mong đợi: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị.
Bước 2: Xây dựng chương trình giải.
GV: Để giải bài toán trên ta làm như thế nào?
Kết quả mong đợi: Ta phải làm 2 bài toán nhỏ:
1) Lập bảng biến thiên.
2) Vẽ đồ thị.
GV: Vậy để lập bảng biến thiên ta làm như thế nào?
Kết quả mong đợi:
- Xác định a, xác định tọa độ đỉnh ;
2 4
b
I
a a
 
 

 
 

Giải:
Ta có
1 0
a
 
tọa độ đỉnh
3 1
( ; )
2 4
I

 .
Bảng biến thiên:
x



3
2



y





 
 

Trục đối xứng là:
3
2
x


Giao điểm với trục Oy là


0;2
A

15

Điểm đối xứng với


0;2
A qua đường thẳng
3
2
x

là


3;2

* Như vậy thông qua hoạt động trên GV đã rèn luyện cho HS phát triển
bài toán thông qua hoạt động tương tự hóa. Giúp HS dễ dàng giải những bài
toán tương tự.
1.4.2. Tư tưởng của G.Polya được thể hiện qua các bước giải toán
1.4.2.1. Các quan điểm sư phạm của G.Polya qua bước hiểu rõ bài toán
Tư tưởng sư phạm của G.Polya thể hiện trong bước hiểu rõ bài toán là:
“Dạy học toán là dạy cách suy nghĩ tìm tòi lời giải cho các bài toán”. Theo ông,
cách thức cần dạy cho HS để tìm lời giải là tập dượt cho họ những hoạt động
biến đổi quy lạ về quen. Tức là biến đổi bài toán về bài toán quen thuộc mà

16

nhiều khi cần phải biến đổi bài toán đã cho về dạng quen thuộc hơn, đã từng biết
cách giải.
Ví dụ 1: Tìm m để hàm số
4 4
sin os 2 sin cos
y x c x m x x
  
xác định với
mọi x
GV yêu cầu học sinh biến đổi bài toán về dạng quen thuộc bằng cách sử
dụng các công thức lượng giác đã học.
Giải:
GV: Bài toán đã cho biết cái gì?
HS: Cho hàm số
4 4
sin os 2 sin cos
y x c x m x x
  

,
sin 2 2sin cos
x x x


GV: Từ đây HS sẽ xây dựng được chương trình giải.

Ta có:
4 4
sin os 2 sin cos
x c x m x x
 


2
2 2 2 2
sin os 2sin 2 sin cos
x c x xcox x m x x
   

17

2
1
1 sin 2 sin2
2
x m x
  
Đặt




1
2
m


Với
1
t

thì (1) trở thành
1
2 1 0
2
m m
   

Vậy với
1 1
2 2
m

 
thì hàm số đã cho luôn xác định.
Vi dụ 2: Tìm tập xác định của hàm số:
2
2 1
arcsin
1


  
 

2
2 1
1
1
x
x x


 2
2 1 1
x x x
    
2
2
2 1 1
x x x
    2 2
4 4 1 1
x x x x
     

x x a
y
x

 

 

 
với
0
a


Giải:
Đặt
2
12 ( )
36
x x a
z
x

 

 

 
thì
3






Để
0
z

thuộc tập giá trị của hàm số thì phương trình (*) phải có nghiệm.
Nếu
12
z

thì



trở thành:
36 0
ax
 

36
x
a


Nếu
12

Vậy tập giá trị của hàm số đã cho là
 
3
4
2
0; 6 36T a
 
  
 
 

*Tư tưởng sư phạm thứ hai trong bước tìm tòi lời giải là: “ Chú trọng
khảo sát toán, xem xét các trường hợp riêng, trường hợp đặc biệt để khái quát
hóa để đi đến cách giải bài toán cần giải”.
Vi dụ 4: Tìm m để hàm số sau xác định với mọi giá trị của x
1
ln 4 .2
x x
y m m

  
 
 

Giải:
Đặt
2 0
x
t
 

  
thì có
0

 
nên


0,
f t t R
  
(thỏa mãn)
Trường hợp 2: Nếu
1
m

thì




2
1 0
f t t
  
tại
1 0
t
 
(loại).

0
f t

có 2
nghiệm phân biệt
1 2
t t

, lúc đó


0
f t







1 2
; ;t t t
   
=I
Ta có:


0;
I
 


   



1
0
0
0
m
m
m
m
 








 








0 ; ;
n
f x x x x x

  
 Tính giá trị






1 2
, , ,
n
f x f x f x

Bước 2:
 Lập bảng biến thiên của hàm số
 Sắp xếp
1 2
; ;
n
x x x
theo thứ tự tăng dần
 Xét dấu


f x


20

TXĐ:
D R


Đạo hàm:








4 1 2 3
y f x x x x
 
    

1
2
3
x
x
x




- 0 + 0 - 0 +


f x
2


1 1

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy:






D
2 2, 1 1, 3 1
C CT CT
f f f f f f
     

1.4.2.3. Quan điểm sư phạm của G.Polya thể hiện qua bước kiểm tra lời
giải bài toán.
Tư tưởng sư G.Polya thể hiện ở bước này là: “Chú trọng luyện tập cho học


 

 
 

Giải:
Ta có:


19 19 18 18
20cos 20sin 20sin cos sin os
y x x x x x c x

   
0
y



sinx 0
cos 0
sinx cos
x
x







2


y


0 - 0 + 0

y

1 1

9
1
2
 
 
 Nhìn vào bảng biến thiên ta suy ra:
9
1
2
Miny
 

 
 

y n xc n x x x c x
   

  

22

0
y



sinx 0
cos 0
sinx cos
x
x









0
2
4
x

0 - 0 + 0
y

1 1

2
2
2
n


Nhìn vào bảng biến thiên ta suy ra:
2
2
2
n
Miny


,
ax 1
M y


1.5. Nhìn nhận tưởng sư phạm của G.Polya theo quan điểm hoạt động
Con người sống trong hoạt động, học tập diễn ra trong hoạt động. Theo
Nguyễn Bá Kim, quan điểm hoạt động trong PPDH có thể được thể hiện ở các
tư tưởng chủ đạo sau đây:
1.5 Luyện tập cho học sinh những hoạt động và hoạt động thành phần
tương thích với nội dung và mục đích dạy học

Những hoạt động ngôn ngữ được học sinh thực hiện khi họ được yêu cầu
phát biểu, giải thích một định nghĩa, một mệnh đề nào đó, đặc biệt là bằng lời lẽ
của mình, hoặc biến đổi chúng từ dạng này sang dạng khác.
- Những hoạt động trí tuệ chung
Những hoạt động trí tuệ chung phân tích, tổng hợp, so sánh, xét tương tự,
trừu tượng hoá, khái quát hoá cũng được tiến hành thường xuyên khi học sinh
học tập môn Toán.
- Những hoạt động trí tuệ phổ biến
Những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học rất quan trọng trong môn
Toán, nhưng cũng diễn ra ở cả những môn học khác nữa, đó là: lật ngược vấn
đề, xét tính giải được, phân chia trường hợp
b. Phân tích hoạt động thành những thành phần
Phân tách được một hoạt động thành những hoạt động thành phần là biết được
cách tiến hành hoạt động toàn bộ, nhờ đó có thể vừa quan tâm rèn luyện cho học

24

sinh hoạt động toàn bộ, vừa chú ý cho họ tập luyện tách riêng những hoạt động
thành phần khó hoặc quan trọng khi cần thiết.
c. Lựa chọn hoạt động dựa vào mục đích
Mỗi nội dung thường tiềm tàng nhiều hoạt động, cần sàng lọc những hoạt
động đã phát hiện được để tập trung vào những mục đích nào đó căn cứ vào tầm
quan trọng của các mục đích này đối với việc thực hiện những mục đích còn lại.
d. Tập trung vào những hoạt động Toán học
Trong môn Toán, nhiều hoạt động xuất hiện trước hết như phương tiện để
đạt được những yêu cầu Toán học: kiến tạo tri thức, rèn luyện kỹ năng Toán
học. Đối với những hoạt động này ta cần phối hợp chức năng mục đích và chức
năng phương tiện theo công thức: "Thực hiện chức năng mục đích của hoạt
động trong quá trình thực hiện chức năng phương tiện".
1.5.2. Gợi động cơ cho các hoạt động học tập