Trờng đại học hà tĩnh
khoa s phạm tự nhiên
nguyễn đình nam
về môđun baer và môđun baer đối ngẫu
khóa luận tốt nghiệp đại học
Ngời hớng dẫn khoa học:
TS. lê văn an
Hà tĩnh - 2013
Trờng đại học hà tĩnh
khoa s phạm tự nhiên
nguyễn đình nam
về môđun baer và môđun baer đối ngẫu
khóa luận tốt nghiệp đại học
Chuyờn ngnh: S ph
m Toỏn
L
p: K2
- Toỏn Khúa: 2009 - 2013
Ng
i hng dn khoa hc:
TS. Lờ Vn An
H T
nh
- 2013
L
ỜI CẢM
ƠN
Khóa lu
ận được hoàn thành tại Đại học Hà Tĩnh, dưới sự hướng dẫn tận
tình, nghiêm kh
ắc của TS. Lê Văn An. Qua khóa luận này

ịu trách nhiệm trước nhà trường về sự cam đoan này.
Hà T
ĩnh, ngày 25 tháng 05 năm 2013
Tác gi
ả
Nguy
ễn Đình Nam
M
ỤC LỤC
Trang
M
Ở ĐẦU
1
1. Lý do ch
ọn đề tài
1
2. M
ục đích nghi
ên c
ứu
1
3. Phương pháp nghiên c
ứu
1
4. L
ịch sử
v
ấn đề
1
5. Đ

1.11. Tâm c
ủa vành
8
Chương 2. MÔĐUN BAER - MÔĐUN BAER Đ
ỐI NGẪU
9
§ 1. Môđun Baer và môđun Baer đ
ối ngẫu
9
1.1. Môđun Baer 9
1.2. Môđun Baer đ
ối ngẫu
17
§ 2. Vành t
ự đồng cấu của môđun Baer và môđun Baer đối
ng
ẫu.
21
2.1. Góc c
ủa vành các tự đồng cấu
21
2.2. Tâm c
ủa vành các tự đồng cấu
23
TÀI LI
ỆU THAM KHẢO
27
CÁC KÝ HI
ỆU DÙNG TRONG ĐỀ TÀI
MN ⊂

: N bé trong M.
NM ≠
: M khác N.
∀
: M
ọi.
∃
: T
ồn tại.
⇒
: Suy ra.
⇔
: Khi và ch
ỉ khi, nếu và chỉ nếu, tương đương.
1
M
Ở ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Sự xuất hiện của khái niệm môđun Baer và Baer đối ngẫu trong những
năm g
ần đây đã đặt nền móng cho việc chuyển hướng nghiên cứu từ cấu trúc
vành sang c
ấu trúc môđun. Nhờ đó, các tác giả đã đạt đ
ư
ợc nhiều kết quả hấp
dẫn về hai lớp môđun này và tạo ra những hướng tiếp cận khác có hiệ u quả
trên vành trong bài toán “đ
ặc trưng vành”. Khi tiếp xúc và nghiên cứu về lớp
môđun Baer và Baer đ
ối ngẫu, chúng tôi

vành t
ự
đ
ồng cấu của
môđun Baer và môđun Bear đ
ối ngẫu
.
3. Phương pháp nghiên c
ứu
(i). Phương pháp nghiên c
ứu lý thuyết:
⊕
Thu thập các bài báo khoa học, các tài liệu của những tác giả nghiên
c
ứu li
ên quan đ
ến
môđun Baer và môđun Baer đ
ối ngẫu.
⊕
Tham gia các bu
ổi seminar để tra
o đ
ổi các kết quả đang nghi
ên
c
ứu.
(ii). Phương pháp phân tích t
ổng hợp, dựa vào các kết quả đã biết để
nghiên cứu và chứng minh kết quả mới.

,=
R
l I Re
v
ới
2
= ∈e e R
(trong đó,
( )
{ }
0= ∈ =
R
l I R I
 
là
2
linh hóa t
ử trái của vành
R
). Năm 1967, J. Clack đ
ã mở rộng khái niệm vành
Baer và đưa ra khái ni
ệm vành tựa Baer. Một vành
R
đư
ợc gọi là
t
ựa Baer
n
ếu với mỗi iđêan

T. Rizvi và C. S. Roman đ
ã chuyể
n khái
ni
ệm vành sang môđun, đưa ra khái niệm môđu
n Baer và môđun t
ựa Baer
(xem [10], [11]). Môđun
M
được gọi là Baer (tựa Baer) nếu với mỗi môđun
con
N
c
ủa
M
(tương
ứng,
N
là hoàn toàn b
ất biến trong
M
) t
ồn tại lũy
đ
ẳng
e
c
ủa
S
sao cho

( )
{ }
Im= ∈ ⊆D N S N
 
c
ủa vành
S
(trong đó,
N
là môđun con c
ủa
môđun
M
). T
ừ đ
ó, hai tác gi
ả đã đưa ra khái n
i
ệm môđun Baer đối ngẫu
(xem [11]), môđun
M
được gọi là Baer đối ngẫu nếu với mỗi môđun con
N
của
M
tồn tại lũy đẳng
e
của
S
sao cho

ng
ẫu. Đồng thời nghi
ên c
ứu
vành các t
ự đồng c
ấu của môđun
Baer và môđun Baer đ
ối ngẫu và một số lớp môđun có tính chất liên quan
.
(ii). Ph
ạm vi nghi
ên cứu: Lý thuyết Vành và Môđun.
3
6. Đóng góp c
ủa
khóa lu
ận
⊕
Khóa lu
ận đ
ược thực hiện dựa trên việc hệ thống, tổng hợp và làm
rõ m
ột số kết quả của các sách v
à bài báo có liên quan.
⊕
Khóa lu
ận là một tài liệu tham khảo cho các độc giả n
ghiên c
ứu về

làm hai ti
ết:
§ 1. Môđun Baer và môđun Baer đ
ối ngẫu
§ 2. Vành các t
ự đồng cấu của
môđun Baer và môđun Baer đ
ối ngẫu
4
Chương 1
KI
ẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Môđun không phân tích được, môđun cốt yếu và môđun hoàn
toàn b
ất biến
(a). Môđun M ≠ 0 đ
ược gọi là
không phân tích đư
ợc
n
ếu 0 và M là
nh
ững hạng tử trực tiếp duy nhất trong M.
(b). Môđun
MN ⊂≠0
g
ọi là
c
ốt yếu
trong M n

ất kỳ:
(a). V
ới
RA ⊆
thì
( ) { }
AabaRbAl
R
∈∀=∈= ,0|
đư
ợc gọi là
linh hoá
t
ử trái
c
ủa A tr
ên vành R,
( ) { }
AaabRbAr
R
∈∀=∈= ,0|
đư
ợc gọi l
à linh hoá
t
ử phải của A trên vành R.
(b). V
ới M
là R - môđun ph
ải thì

ải
thì
( ) { }
IrmrMmIl
M
∈∀=∈= ,0|
v
ới
RI ⊆
g
ọi là
linh hoá t
ử trái
c
ủa môđun M trên I
.
(e). Với M là R - môđun trái thì
( ) { }
IrrmMmIr
M
∈∀=∈= ,0|
v
ới
RI ⊆
g
ọi là
linh hoá t
ử phải
c
ủa môđun M trên I.

MrS
e
N
⊂=∈

ker,
suy ra
0=

.
1.4. Môđun con bé, hollow, lifting và T - non - cosingular
(a). Môđun con
N
c
ủa môđun
M
là môđun con bé, kí hi
ệu
N M<<
n
ếu với mọi môđun con
B
c
ủa
M
mà
N B M+ =
thì suy ra
B M=
.

ực tiếp
K
c
ủa
M
sao cho
K
là môđun con c
ủa
N
và
/ / .N K M K
(d). Môđun
M
được gọi là T - non - cosingular nếu với mọi đồng cấu
:f M M→
và
0f ≠
ta đ
ều có
Im f
không bé trong
.M
1.5. K
−môđun
( )
D N
là m
ột iđêan phải của vành
S

6
(b). Môđun M đư
ợc gọi là có
GSIP n
ế
u giao c
ủa một họ những hạng tử
tr
ực tiếp của M là một hạng tử trực tiếp của M.
1.7. SSP và SSSP
(a). Môđun M đư
ợc gọi là có
SSP n
ếu tổng của hai hạng tử trực tiếp của
M là m
ột hạng tử trực tiếp của M.
(b). Môđun M đư
ợc gọi là có
SSSP n
ếu tổng của một họ
nh
ững hạng tử
tr
ực tiếp của M là một hạng tử trực tiếp của M.
1.8. Ph
ần tử lũy đẳng
Cho R là một vành. Phần tử e gọi là phần tử lũy đẳng của R nếu
Ree ∈=
2
.

( )
eRIr
R
=
v
ới e l
à phần tử
l
ũy đẳng của v
ành R
.
Nh
ận xét:
Như v
ậy đối với vành Baer điều kiện trái và phải tương
đương nhau.
1.10. M
ột số bổ đề
B
ổ đề 1
.
SLRJMPSKRIMN
SR
 ,,,,, ⊂⊂⊂
thì
i)
( )( )( ) ( )
IlIlrl
MMRM
=

viii)
( )
MLr
M

Ch
ứng minh:
i) Ta có
( ) { }
IrmrMmIl
M
∈∀=∈= 0|
.
7
Suy ra
( )( ) ( ){ }
IlmrmRrIlr
MMR
∈∀=∈= '0''|'
. V
ậy ta có
( )
Ilm
M
∈∀
,
Ir ∈∀
( )( )
IlrImr
MR

IimiIlm
M
∈∀=⇒∈ 0
.
Do
( ) ( )( )
IlrrIlm
MRM
∈∀∈ ,
thì
( )( )
Ilrrmr
MR
∈∀= 0
. Suy ra m là
ph
ần tử của
( )( )( )
Ilrl
MRM
hay
( ) ( )( )( )
IlrlIl
MRMM
⊂
.
V
ậy
( )( )( ) ( )
IlIlrl

MN
⊕
⊂
n
ếu v
à
ch
ỉ nếu
( )
MEndSee =∈=∃
2
sao cho
( )
NMe =
.
Chứng minh:
Điều kiện cần: Giả sử
'NNMMN ⊕=⇒⊂
⊕
.
Như v
ậy mỗi
Mm∈
thì m phân tích
được duy nhất
( )
'',' NnNnnnm ∈∈+=
. Xét hai đ
ồng cấu
sau:

ều kiện đủ: Ta chứng minh
MN
⊕
⊂
.
8
Th
ật vậy:
Ta có
( ) ( )( )( ) ( )
MMMeeee ==−+⇒−+= 1111
mà
( )
01 =−∩ ee
nên
( ) ( )( )
MeMeM −⊕= 1
, suy ra
( )
MMe
⊕
⊂
hay
MN
⊕
⊂
.
1.11. Tâm c
ủa vành
Cho R là m

ịnh nghĩa
.
M
ột R
- môđun ph
ải M
đư
ợc gọi l
à
Baer n
ếu với mỗi môđun con N của
M thì
( )
SNl
S
S
⊕
⊂
(tương đương v
ới
t
ồn tại lũy đẳng e của S sao cho
( )
SeNl
S
=
).
Theo Bổ đề 1 ta có th
ể chứng minh đ
ược mệnh đề sau:

( )( )
SIrl
S
MS
⊕
⊂
hay
( )( )
SeeSeIrl
MS
∈==
2
,
. Theo Bổ
đ
ề 1 ta có
( ) ( )( )( ) ( )
SerIrlrIr
MMSMM
==
D
ễ dàng chứng minh được
( ) ( )
MeSer
M
−= 1
.
Ta có
( )
Mem −∈ 1

2
=−⇒== mememe
, nên
( )
mmem =−
hay
( )( )
mem −= 1
( )( )
Me−∈ 1
. Suy ra:
( ) ( )
MeSer
M
−⊂ 1
10
V
ậy
( ) ( )
MeSer
M
−= 1
. Nên ta có
( ) ( ) ( )( )
MeSerIr
MM
−== 1
, v
ới
See ∈=

thì theo Bổ đề 1 suy ra
( ) ( )( )( )
NlrlNl
SMSS
=
.
Do
( ) ( )
MeIrSI
Ms
=⊂∀ ,
và
( )
SNl
sS
⊂
suy ra
( )( ) ( )
MeNlr
SM
=
hay
( ) ( )
eMlNl
SS
=
.
D
ễ dàng chứng minh được
:

( ) ( )
eSeMl
S
−⊂ 1
.
Ngư
ợc lại
: L
ấy
( )
eSs −∈ 1
v
ậy s có dạn
g
( )
ess −= 1'
.
Ta có
( ) ( )( ) ( )
Mmsemesems ∈∀==−= 00'1'
nên
( )
eMls
S
∈
hay
( ) ( )
eSeMl
S
−⊃ 1

.
Chứng minh:
Đi
ều kiện cần:
Gi
ả sử M là K
- nonsingular. L
ấy
SI
s
⊂
sao cho
( )
MIr
e
M
⊂
. Xét
I∈

thì
( )


kerker ⊂∩=
∈I
M
Ir
, suy ra
M


ker∈m
suy ra
( )
0=m

, d
ẫn đến
( )
Ssms ∈∀= 0

hay
( )

Srm
M
∈
nên
( )

Sr
M
⊂ker
(1)
.
Ta c
ũng có
( ) ( )
SsmsSrm
M

( )
MSr
e
M
⊂

suy ra
0=

s
, suy ra
0=

.
V
ậy M là K
- nonsingular.
1.1.4. M
ệnh đề
. Xét M là m
ột R
- môđun
i) M là K - nonsingular n
ếu và chỉ nếu
m
ọi
( )
eMIrSI
e
MS

SI
S
⊂
sao cho
( )
eMIr
e
M
⊂
.
Ta có
( ) ( ){ }
SeImMmSeIr
M
∩∈∀=∈=∩

,0|
và
( ) ( )
MeIr
M
−+ 1
( ) ( ){ }
SsmsmemmMm ∈∀=−+=∈= 0',''1'|
.
Suy ra
( ) ( )
=−⊕ MeIr
M
1

.
Nếu
( )
MeX −⊂ 1
thì
( )
01 ≠−∩ MeX
. Vậy
( )
MSeIr
e
M
⊂∩
. Kết
hợp M là K - nonsingular suy ra
0=∩ SeI
.
Ngư
ợc lại,
SI
S
⊂
sao cho
( )
eMIr
e
M
⊂
. T
ừ giả thiết, chọn

==
. Ta có
( )
eSs −∈ 1
suy ra
( )
Ssess ∈−= ',1'
. Suy ra
( ) ( ) ( )
01' =−= meesmse
hay
( )
eMls
S
∈
.
Vậy
( ) ( )
eMleS
S
⊂−1
.
L
ại có
( ) ( )
0=⇒∈ MseeMls
S
hay
( ) ( ) ( )
01' =−= MeesMse

( )( )
01 =−⊕ MeNl
S
. M
ặt khác M là
K - nonsingular, suy ra
( )
MMeN
e
⊂−⊕ 1
nên
( ) ( )( )
NlrMeN
SM
e
=⊂
.
Ngược lại,
MN ⊂
với
( )
0=Nl
S
, suy ra
( )( )
MNlr
SM
=
. Kết hợp
( )( )

ker
.
Khi
0≠

thì t
ồn tại

ker/0 Mm∈≠
. Xét t
ập
{ }

ker| ∈∈= mrRrI
là iđêan phải của R. Do
IrRI
e
∉⊂ ,
suy ra

ker∉mr
nên tồn tại r’ sao cho

ker'0 ∈≠ mrr
.
D
ẫn đến
Irr ∈≠ '0
. Nhưng
( ) ( )

Ch
ứng minh:
Đ
ặt
MN ⊂
sao cho
( )
SN ∈≠∀≠

0,0
.N
ếu
MN
e
⊄
. B
ởi tính CS
môđun nên
MN ⊂
. Suy ra
MN
⊕
⊂∃ '
đ
ể
'NN
e
⊂
hay
( )

- nonsingular và CS môđun.
Xét
MN ⊂
. Do tính CS môđun nên
See ∈=∃
2
sao cho
( )
MeN
e
⊂
.
Suy ra,
( ) ( ) ( )
eSeMlNl
SS
−=⊃ 1
.
Gi
ả sử mọi điều giả thiết là con thực sự thì tồn tại
( ) ( )
eSNl
S
−∈ 1\

.
M
ặt khác,
( )
eSSeS −⊕= 1

ả sử
Se∈

thì ta
được
( )
0=N

và
( )
01 =− Me

. Suy ra
( )( )
01 =−⊕ MeN

,
nhưng
eMN
e
⊂
nên
( ) ( )
MMeeMMeN
e
=−⊕⊂−⊕ 11
.
14
V
ậy kết hợp với tính K

đ
ồng cấu
b
ất kỳ của M với
M
e
⊂

ker
. Do M là môđun Baer suy ra
( )
fMSr
M
==

ker
v
ới
Sff ∈=
2
.
Ta có
MKer
e
⊂

nên
MX ⊂≠0
thì
0ker ≠∩

V
ậy M là K
- nonsingular.
1.1.10. B
ổ đề
. Môđun M v
ừa là
K - cononsingular v
ừa là môđun Baer
thì M là CS - môđun.
Chứng minh:
Gi
ả sử môđun M là
K - cononsingular và là môđun Baer. Ta c
ần chứng
minh M là CS - môđun. Xét
MN ⊂
, thì
( )
SfNl
S
=
, v
ới
Sff ∈=
2
. Suy ra
( )( ) ( ) ( )
MfSfrNlrN
MSM

ẫn đến
( )
0=Ps
và
( )
0=⊕ PNs
nhưng
MNP
e
⊂⊕
suy ra. Do K - cononsingular,
0=S
mâu thu
ẫn,
v
ậy M là CS
-
môđun.
15
1.1.11. Đ
ịnh lý.
M là m
ột môđun B
aer,
MN
⊕
⊂
thì N là môđun Baer.
Ch
ứng minh:

0'| ⊕==

, I
không nh
ất thiết là iđêan
trái c
ủa S
. Xét
SII =
là iđêan trái sinh b
ởi tập I.
Chúng ta luôn có r
ằng
( )
0, =∈∀ PI

, khi
( )
∑
∈
⊕=
Ji
Pi
S
|
0'

và
( )
( ) ( )

M
=⊕
. C
ũng do
( )
IrP
M
⊆
nên t
ồn tại
( )
IrL
M
⊆
sao cho
( )
PLIr
M
⊕=
suy ra
ML
⊕
⊂
.
Vì v
ậy chúng ta có
( )
QPLQIrM
M
⊕⊕=⊕=


⊕=
.
Chúng ta sẽ th
ấy rằng
( )
( )
LIr
NN

=
l
ấy
'' I∈

thì
I
P
∈⊕
|
0'

và n
ếu
( )
( )
00'
|
=⊕⊕ LP
P

0'⊕

chúng ta nh
ận được
( )
( )( )
00'
|
=⊕ l
NP

, suy ra
( )
( )( )
00'
|
=⊕ L
NP

.
Suy ra
( )( )
0' =L
N

và n
ếu khi
'' I∈

(ch

∈≠
2
0
. Do
NQN ⊕|

là đ
ồng cấu
nên t
ồn tại
Q∈
2

sao cho
( )
22
nn
N
=

.
16
Ta có
( )
0=∩ IrQ
M
suy ra t
ồn tại
( )
0,

2|
≠⊕ n
Pio

. Phân tích
2
n
trong
( ) ( )
22
nn
PN

⊕
chúng ta có
( )( )
0'
2
0
≠n
Ni

(vì
( )
2
n
P

là ánh x
ạ 0), suy ra


,ker
.
Chứng minh:
Đ
ối với
hai h
ạng tử thì điều này là hiể
n nhiên.
Ta ch
ứng minh cho một họ hạng tử.
L
ấy
JiSee
ii
∈∈= ,
2
và xét
( )
∑
∈
−=
Ji
i
eSI 1
thì
( )( ) ( )
JiIreKer
Mi
∈∀⊇− ,1

Nes 01
và
ta đư
ợc
( )
NIr
M
=
.
Do M là môđun Baer nên suy ra
( ) ( )
MIrNe
Mi
Ji
⊕
∈
⊂==−∩ 1ker
.
V
ậy M có GSIP.
Ngư
ợc lại, lấy
SI
s
⊂∈

,
, ta có
M
⊕

ệ quả
. Môđun đơn M là Baer đ
ối ngẫu.
Ch
ứng minh:
M là môđun đơn nên 0 và M là hai môđun con duy nh
ất của M
. Khi đó
ta có
( )
SD 000 ==
và
( )
SiSMD
d
==
v
ới 0 và
d
i
là lu
ỹ đ
ẳng của S. Vậy M
là baer đ
ối ngẫu.
1.2.3. Đ
ịnh lý
. Đ
ối với môđun
M

Im ( )
f I
f e M
∈
=
∑
v
ới
2
;e e S= ∈
(iv)
M
có SSSP và v
ới mỗi
,S

∈
Im

là h
ạng tử trực tiếp của
.M
Chứng minh:
(i) (ii).⇒
Xét
A
là tập con của
S
. Đặt
Im ,

N
là môđun c
ủa
.M
Vì
M
là môđun Baer đ
ối ngẫu nên tồn tại lũy đẳng
e S∈
sao cho
( ) .D N eS=
Do
eSe∈
nên suy ra
( ),e D N∈
hay
( )e M
là môđun con c
ủa
.N
V
ới mỗi
f A∈
ta có
( )
eSNDf =∈
(do cách đ
ặt
Im
f A

V
ậy
( )N e M=
v
ới
2
e e S= ∈
. Hay
Im ( ).
f A
f e M
∈
=
∑
(ii) (iv).⇒
Với mỗi
S

∈
thì ta có
Im ( )e M

=
(với
2
e e S= ∈
) (theo
(ii)). Suy ra,
Im


ật vậy,
i
M
là h
ạng tử trực tiếp của
M
nên theo B
ổ đề
2, t
ồn tại lũy
đ
ẳng
i
e S∈
sao cho
( ) ( ).
i i
e M M i I= ∈
Do
( )
i
e S i I∈ ∀ ∈
nên
Im ( )
i i
i I i I
M e e M
∈ ∈
= =
∑ ∑

2
.e e S= ∈
Th
ật vậy, với mỗi
f I S∈ ⊆
nên theo (iv),
Im f
là h
ạng tử trực
ti
ếp của
.M
Suy ra
Im
f I
N f
∈
=
∑
c
ũng là hạng tử trực tiếp của
M
(do
M
có
SSSP). T
ừ
N
là h
ạng tử trực tiếp của

( ) ,D N eS=
v
ới
2
.e e S= ∈
Do
{ }
( ) ImI D N S N
 
= = ∈ ⊆
là m
ột iđêan của
S
nên
theo giả thiết, ta có
Im ( )
f I
f e M
∈
=
∑
với
2
.e e S= ∈
Với mọi
,f I∈
Im f
là
môđun con c
ủa

Im f
là môđun con của
( ).e M
Hơn nữa
19
eS (1 )S e S= ⊕ −
nên v
ới mỗi
f I∈
, ta có
1 2 1 2
es (1 ) (s , ).f e s s S= + − ∈
Suy
ra
1 2
( ) es ( ) (1 ) ( ) ( ).f M M e s M e M= + − ⊆
M
ặt khác ta có:
1 1 2
2
( ) (1 )( ) 0
es ( ) ( ) es ( ) (1-e)s ( ) 0.
(1-e)s ( ) (1 )( )
∩ − =



⊆ ⇒ ∩ =



.e e S= ∈
Như
v
ậy
M
là môđun Baer đ
ối ngẫu.
1.2.4. H
ệ qu
ả. (i) M
ỗi môđun Baer đối ngẫu là tổng trực tiếp của
nh
ững môđun không phân tích được.
(ii) M
ỗi môđun Baer đối ngẫu lifting là tổng trực tiếp của những
môđun hollow.
Chứng minh:
(i). Gi
ả sử
M
là môđun Baer đ
ối ngẫu ta chứng minh
i
i I
M M
∈
= ⊕
v
ới
i


∈Ω
Vì
M
có SSSP nên
N
là h
ạng tử trực tiếp c
ủa
M
.
Theo [9, Theorem 2.17],
i
i I
M M
∈
= ⊕
v
ới
i
M
là nh
ững môđun không phân
tích đư
ợc.
(ii). Theo (i), ta có
i
i I
M M
∈

sao cho
K
là môđun con c
ủa
N
và
/ / .
i
N K M K
Vì
i
M