1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một môn khoa học cơ bản, là tổng hòa của nhiều mối quan hệ
với các môn khoa học khác. Toán học ngày càng đi tới những tầm cao mới, đem
lại những ứng dụng thực tế phục vụ cho không chỉ hoạt động sống của con
người mà còn là nền tảng để cùng các môn khoa học khác khám phá sâu hơn thế
giới tự nhiên.
Tập Cantor được giới thiệu đầu tiên bởi nhà toán học người Đức Georg
Cantor vào năm 1883. Nó là một tập hợp điểm nằm trên một đoạn thẳng được
xây dựng bằng thuật toán hết sức đơn giản nhưng có cấu trúc phức tạp tinh tế, có
nhiều tính chất đặc biệt, thú vị. Thông qua xem xét nó, Cantor và nhiều nhà toán
học khác đã đặt nền móng nghiên cứu cấu trúc của nhiều đối tượng.
Vào đầu những năm 70 của thế kỉ 20, một hướng nghiên cứu mới mẻ và
hấp dẫn của toán học hiện đại ra đời đó hình học Fractal. Với những đóng góp
lớn của các nhà Toán học B.N.Mardelbrot, Hutchinson, K.J.Falconer…đã khắc
phục được những hạn chế bị đánh giá là “ khô cứng” và “lạnh lẽo” của hình học
Euclide. Mặt khác, nó có nhiều điểm hấp dẫn và có rất nhiều ứng dụng phong
phú trong nhiều lĩnh vực của cuộc sống. Công cụ để nghiên cứu hình học fractal
là chiều và độ đo. Trong đó tập Cantor là ví dụ điển hình được dùng để minh
họa cho các phương pháp tính chiều fractal. Với những lý do trên, chúng tôi
chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn của mình là "Về chiều fractal của tập
Cantor" để tiến hành nghiên cứu.
2. Mục đích nghiên cứu
Giới thiệu về hình học Fractal, tìm hiểu, trình bày một cách hệ thống và
chứng minh chi tiết một số tính chất của tập Cantor và độ đo Hausdorff.
Thông qua việc nghiên cứu các tính chất của tập Cantor và độ đo Hausdorff
để tìm hiểu cách tính chiều fractal dựa vào độ đo Hausdorff.
3. Đối tượng nghiên cứu
Độ đo Hausdorff và tính chiều fractal của tập Cantor dựa vào độ đo

3
Chương 1. HÌNH HỌC FRACTAL
Trong chương này tôi trình bày lại một số kiến thức cơ sở về độ đo, ánh xạ
co, ánh xạ đồng dạng, tập tự đồng dạng, tập compact, tập liên thông. Giới thiệu
về sự ra đời và phát triển lý thuyết, ý nghĩa, một số hình ảnh và ứng dụng của
hình học Fractal. Trình bày cách xây dựng một số tập fractal.
1.1. Một số kiến thức cơ sở
1.1.1. Định nghĩa:
Cho
X
 
và  là một

- đại số các tập con của X. Hàm tập
:




được gọi là một độ đo trên  nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
i)
0
)
(

i
i
A





thì
1
1
( ) ( ).
i i
i
i
A A
 







Độ đo

trên

- đại số L các tập con của X được gọi là độ đo đủ nếu
0


là

- dưới cộng tính, tức là nếu
i
A

 ,
i j
A A
  

( )
i j

,
1
i
i
A





 thì






,
B A

và
( )
B

 
, thì


| ( ) ( )
A B A B
  
  ( tính chất
trừ được)
iii) Tính đơn điệu
,
A B



,
B A

thì
)
(
)



thì
1
( ) ( )
k
k
A A
 





Đặc biệt, nếu thêm điều kiện
( ) 0
k
A


,
1,2,
k
 
thì
( ) 0
A




k
k
A A
 





1.1.3. Định nghĩa.
i) Một điểm x được gọi là điểm tụ của một tập F khi mọi lân cận của x đều
chứa vô số điểm của F.
ii) Cho một tập F trong không gian mêtric X. Một điểm
x F

không phải
là điểm tụ của F được gọi là điểm cô lập của F.
1.1.4. Nhận xét.
i) Một điểm x là điểm tụ của tập F khi và chỉ khi mỗi lân cận của x có chứa
ít nhất một điểm của F khác với x.
ii) Điểm
F
x

là điểm cô lập của F khi và chỉ khi có một lân cận của x
không chứa điểm nào của tập


xF \ .
1.1.5. Định nghĩa

n
D D  

. Ánh xạ
:
f D D

được gọi là ánh xạ co trên D nếu
tồn tại hằng số


1;0

c sao cho ( ) ( )
f x f y c x y
  
,
,
x y D
 
và c được gọi
là tỷ số co của f.
ii) Nếu dấu " = " trong bất đẳng thức trên xảy ra với
,
x y D
 
thì f được
gọi là ánh xạ đồng dạng trên D và c được gọi là tỷ số đồng dạng của ánh xạ f.
iii) Một họ hữu hạn gồm m ánh xạ co


i
E f E f E



(1.2)
thì
max
( ( ), ( )) ( , )
H H
d f A f B c d A B

, trong đó


ax
1
ax
m i
i m
c m c
 

với c
i
là tỷ số
co của f
i
,




1,2, ,
i m
 
thì
1
( )
k
k
F f E




với
k
f
là sự lặp lại k lần ánh xạ f.

1.1.10. Định nghĩa.
Tập F được xác định trong Định lý 1.1.9 được gọi là tập bất biến của hệ
hàm lặp.

6
Nếu f
i
,
1
i m

A.Douady và J.Hubbard đã đặt nền móng và phát triển lý thuyết cho hình học

7
fractal. Các kết quả đạt được chủ yếu tập trung ở các tính chất của các cấu trúc
fractal cơ sở như tập Maldenbrot và tập Julia. Ngoài ra các nghiên cứu khác
cũng cố gắng tìm kiếm mối quan hệ giữa các cấu trúc này, ví dụ như mối quan
hệ giữa Maldenbrot và Julia.
Dựa trên các công trình của Maldenbrot ( trong những năm 1976, 1979,
1982) và Hutchinson(1981), vào các năm 1986, 1988 Michael F.Barnsley và
M.Begger đã phát triển lý thuyết biểu diễn các đối tượng tự nhiên dựa trên cơ sở
lý thuyết về các hệ hàm lặp IFS. Các hệ hàm lặp này bao gồm một bộ hữu hạn
các phép biến đổi affine cho phép với sự giúp đỡ của máy tính tạo nên hình ảnh
của các đối tượng trong tự nhiên. Theo lý thuyết này hình học Euclide cổ điển
rất có hiệu lực trong việc biểu diễn các đối tượng nhân tạo như một tòa nhà, một
cổ máy nhưng lại hoàn toàn không thích hợp cho việc biểu diễn các đối tượng
của thế giới thực vì đòi hỏi một lượng quá lớn các đặc tả cần có. Nếu như trong
hình học Euclide các yếu tố cơ sở là đường thẳng, đường tròn, hình vuông… thì
lý thuyết IFS mở rộng hình học cổ điển với các yếu tố cơ sở mới là vô số thuật
toán để vẽ nên các fractal của tự nhiên.
Ngoài các công trình có tính chất lý thuyết , hình học fractal còn được bổ
sung bởi nhiều nghiên cứu ứng dụng lý thuyết vào khoa học máy tính và các
khoa học chính xác khác, ví dụ như dựa trên lý thuyết IFS, Barnsley đã phát
triển lý thuyết biến đổi fractal áp dụng vào công nghệ nén ảnh tự động trên máy
tính, là một lĩnh vực đòi hỏi những kỷ thuật tiên tiến nhất của tin học hiện đại.
Hiện nay nhiều vấn đề về lý thuyết fractal vẫn đang được tiếp tục nghiên
cứu. Một trong những vấn đề lớn đang được quan tâm là bài toán về các độ đo
đa fractal (multifractal measurement) có liên quan đến sự mở rộng các khái niệm
số chiều fractal với đối tượng fractal trong tự nhiên, đồng thời cũng liên quan
đến việc áp dụng các độ đo fractal trong các ngành khoa học tự nhiên.
1.3. Ý nghĩa của hình học Fractal


1.4 Một số hình ảnh về tập fractal.

9

Hình bông tuyết Von Koch
Lá Dương Xỉ
10Đệm Sierspinski Hòn đảo Minkowski
11

1.5. Ứng dụng của hình học Fractal
Có 3 hướng ứng dụng lớn của lý thuyết hình học fractal, đó là:
+) Ứng dụng trong vấn đề tạo ảnh trên máy tính.
+) Ứng dụng trong công nghệ nén ảnh.
+) Ứng dụng trong nghiên cứu khoa học cơ bản.
a) Ứng dụng trong vấn đề tạo ảnh bằng máy tính
Cùng với sự phát triển vượt bậc của máy tính cá nhân trong những năm gần
đây, công nghệ giải trí trên máy tính bao gồm các lĩnh vực như trò chơi,
anmation video… nhanh chóng đạt đỉnh cao của nó. Công nghệ này đòi hỏi sự
mô tả các hình ảnh của thế giới thực trên máy PC với sự phong phú về chi tiết và
màu sắc với sự tốn kém rất lớn về thời gian và công sức. Gánh nặng đó hiện nay

tiến vượt bậc cả về phần cứng lẫn phần mềm. Tất cả các cải tiến đó dựa trên ý
tưởng nén thông tin hình ảnh trùng lặp. Phương pháp nén ảnh fractal được phát
triển gần đây bởi Iterated System đáp ứng được yêu cầu này.
Như đã biết, với một ánh xạ co trên một không gian metric đầy đủ, luôn tồn
tại một điểm bất động x
r
sao cho:
( )
r r
x f x

.
Micheal F.Barnsley đã mở rộng kết quả này cho một họ các ánh xạ co
F.Barnsley đã chứng minh được với một họ ánh xạ như vậy vẫn tồn tại một “
điểm” bất động x
r
. Để ý rằng với một ánh xạ co, ta luôn tìm được điểm bất động
của nó bằng cách lấy một giá trị khởi đầu rồi lặp lại nhiều lần ánh xạ đó trên các
kết quả thu được ở mỗi lần lặp. Số lần lặp càng nhiều thì giá trị tìm được càng
xấp xỉ chính xác giá trị của điểm bất động. Dựa vào nhận xét này, người ta đề
nghị xem ảnh cần nén là “ điểm bất động” của một họ ánh xạ co. Khi đó đối với
mỗi ảnh chỉ cần lưu thông tin về họ ánh xạ thích hợp, điều này làm giảm đi rất
nhiều dung lượng cần có để lưu trữ thông tin ảnh.
Việc tìm ra các ánh xạ co thích hợp đã được thực hiện tự động hóa nhờ quá
trình fractal một ảnh số hóa do công ty Iteratad System đưa ra với sự tối ưu về
thời gian thực hiện. Kết quả nén cho bởi quá trình này rất cao, có thể đạt đến tỉ
lệ 10000:1 hoặc cao hơn. Một ứng dụng thương mại cụ thể của kĩ thuật nén
fractal là bộ bách khoa toàn thư multimmedia với tên gọi “Microsoft Encarta”
được đưa ra vào 12 – 1992. Bộ bách khoa này bao gồm hơn 7 giờ âm thanh, 100
hoạt cảnh, 800 bản đồ cùng màu với 7000 ảnh chụp cây cối, hoa quả, con người,

nhau. Hình học fractal đã được áp dụng vào nghiên cứu lý thuyết từ tính, lý
thuyết các phức chất trong hóa học, lý thuyết tái định chuẩn và phương trình
Yang & Lee của vật lý, các nghiệm của các hệ phương trình phi tuyến được giải
14

dựa trên phương pháp xấp xỉ liên tiếp của Newton trong giải tích số,… các kết
quả thu được giữ một vai trò rất quan trọng trong các lĩnh vực tương ứng.
1.6. Cách xây dựng một số tập Fractal
1.6.1. Cách xây dựng tập Cantor cổ điển và tập kiểu Cantor
1.6.1.1. Tập Cantor cổ điển
Tập cantor C
3
được xây dựng bằng cách lấy đoạn thẳng [0, 1], chia làm ba
phần bằng nhau, bỏ đi khoảng mở
)
3
2
,
3
1
(
1
I
ở giữa và giữ lại hai đoạn ở hai
đầu nghĩa là giữ lại tập
 









2222
2
3
8
;
3
7
3
2
;
3
1
I
và giữ lại tập:
 
.1;
3
8
3
7
;
3
6
3
3
;





 IIF
Lặp lại cách làm y như vậy đối với mỗi đoạn còn lại và cứ tiếp tục mãi. Tập
còn lại trong cả quá trình đó là tập Cantor C
3
, còn khoảng mở đã bỏ đi trong
đoạn [0;1] ở bước thứ k để tạo ra tập Cantor gọi là khoảng bù cấp k của tập
Cantor C
3
.
Khoảng






3
2
;
3
1
gọi là khoảng bù cấp 1, các khoảng





i
i
CFFF
và tập Cantor
 




1
3
\1;0
n
n
IC
Xây dựng tập Cantor C
31


Gọi
, )3,2,1,0(

kE
k
là bước thứ
k
của quá trình lặp.


0
0
: 0;1
n
E C  ;
1
1
1 1
: 0; ;1
n
n
E C
n n

   

   
   





Khi đó,
n
C
được gọi là tập tựa Cantor, nó là tập fractal bất biến qua hệ hàm
lặp


2
1i
i
f
với :
i
f

 
,
2
,
1

i
xác định bởi:
x
n
xf
1
)(

đồng dạng sinh bởi hệ hàm lặp


4
1i
i
f
trên
2

xác định bởi

4
,
4
1
4
),(
1







yx
yxf ,






yx
yxf ,
2
1
4
,
4
),(
4







yx
yxf
16

1.6.1.4. Tập Cantor đều
Cho đoạn


1;0

I

i
i
IF
1
1


. Tiếp tục cách làm như thế cho mỗi đoạn I
1
, I
2
, , I
m
ta có tập F
2
. Lặp
lại cách làm y như vậy đối với mỗi đoạn con của F
2
và tiếp tục mãi. Khi đó,




0k
k
FF
được gọi là tập Cantor đều
1.6.2. Cách xây dựng đường cong Von koch
Fractal tự đồng dạng mà chúng ta sẽ dựng là “ Đường cong bông tuyết
Koch”, được đặt để vinh danh Helge Von Koch (1870 – 1924), nhà toán học

việc thay thế các đoạn thẳng bằng các bản sao của mẫu lặp trở lại với chính nó
một cách vô hạn.
Tại điểm mà chúng ta ngừng quá trình thay thế, đường cong này có 16 đoạn
thẳng nhỏ, mỗi một đoạn thẳng có độ dài bằng
1
9
đoạn thẳng ban đầu
AB
. Thay
thế mỗi một trong các đoạn thẳng này với tỉ lệ
1
27
bản sao của mẫu chúng ta, ta
nhận được một đường cong mới với 64 đoạn thẳng, mỗi một đoạn thẳng có độ
dài bằng
1
27
đoạn thẳng ban đầu. Đường cong mới được biểu diễn trong hình vẽ
nơi mà ta đã ẩn tất cả các điểm trừ A và B để cho rõ ràng.

Đường cong Koch là đường cong mà các kết quả từ việc áp dụng quá trình
thay thế mẫu này một số vô hạn lần. Đường cong là tự đồng dạng có nghĩa là
18

nếu bạn lấy một mẫu của đường cong và phóng đại nó với hệ số 3, bạn sẽ thấy
đường cong tương tự một lần nữa.
1.6.3. Cách xây dựng đường cong Minkowski
Ta có hình ban đầu M
0
là đoạn thẳng nằm ngang AB

. Sau n bước lặp ta được hình M
n
. Khi
n
 
ta được một đường cong gọi là đường cong Minkowski.
19

Nhận xét:
Dễ thấy rằng đường cong Von Koch cũng như đường cong Minkowski là
những đường cong có hai đầu mút, nhưng có chiều dài vô hạn.
Thật vậy, tập sinh của đường cong Minkowski gồm tám đoạn thẳng, mỗi
đoạn thẳng bằng
1
4
đoạn thẳng ban đầu, tức là tập sinh dài gấp đôi (
1
8 2
4
 
)
đoạn thẳng ban đầu. Sau bước 1, hình có chiều dài bằng 2 (giả sử AB = 1 đơn
vị dài). Sau bước 2, hình có chiều dài
2
2 2 2
 
. Sau bước n thì hình có chiều
dài 2
n
. Khi

1
3

nên
4
3
n
 
 
 
 
, nghĩa là đường cong Von Koch dài vô hạn.
20

Chương 2. CHIỀU FRACTAL CỦA TẬP CANTOR
Trong chương này tôi trình bày chứng minh chi tiết một số các tính chất cơ
bản của tập Cantor cổ điển C
3

 

2.1.2. Mệnh đề.
Tập Cantor C
3
có độ đo Lebesgue bằng 0.
Chứng minh.
Ta có độ đo Lebesgue của đoạn


1,0
là





.1011;0 
L


Sau bước thứ k của quá trình xây dựng tập Cantor C
3
có 2
k-1
khoảng bị bỏ đi
khoảng đoạn


1;0

.
3
1
3
2
3
1
3
1
.2
k
k
k
k
k
.
Do đó, phần bù
c
C
3
của tập Cantor C
3
trên đoạn


1;0
có độ đo Lebesgue là




21

Chứng minh.
Giả sử tập Cantor C
3
chứa một khoảng


ba; là khoảng con mở thực sự nào
của đoạn


1;0 . Khi đó ta có độ đo Lebesgue 0)),(()(
3
 abbaC
LL

.
Trái với kết quả của mệnh đề 2.1.2.
2.1.4. Mệnh đề.
Tập Cantor C
3
là tập compact.
Chứng minh.
Theo cách xây dựng tập Cantor C
3
ta có






















 1;
3
8
3
7
;
3
6
3
3
;
3

là không đâu trù mật.
Chứng minh.
Để chứng minh tập Cantor C
3
không đâu trù mật ta chứng minh
3
intC
 

Thật vậy, theo mệnh đề 2.1.4 ta có tập Cantor C
3
là tập đóng. Do đó,
33
CC  . Vì vậy,
33
intint CC 
Giả sử
3
intC
 
. Khi đó, tồn tại điểm
3
Ct

và tập mở


baU ;

là lân

khác t.
Thật vậy, giả sử t là điểm bất kì của tập Cantor C
3
, với mỗi
0


bé tùy ý
tồn tại
N
n

sao cho



n
3
. Mặt khác, do t là một điểm thuộc tập Cantor C
3

22

nên t là điểm mút của tập I
n
, trong đó I
n
là tập bị loại bỏ từ tập F
n-1
của quá trình






.\;
3
tCttx







2.1.7. Mệnh đề.
Tập Cantor C
3
là tập hoàn toàn không liên thông.
Chứng minh.
Để chứng minh C
3
là hoàn toàn không liên thông ta chứng minh thành
phần liên thông của tập Cantor C
3
chỉ gồm một điểm.
Thật vậy, với hai điểm
3
, Cyx






vudxuxvxuvfufvfufd
xxxx
,, 

Mặt khác, theo mệnh đề 2.1.3 tập Cantor C
3
không chứa một khoảng mở
nào dẫn đến f
x
(C
3
) không chứa một khoảng mở nào. Từ đó, tồn tại một số
)(
3
Cfr
x

sao cho


yxdr ,0


. Nếu
3
Ct




rxtdCtrxtdCtC






),(:),(:
333
.
Mặt khác:


rxtdCtx



),(:
3
.


rxtdCty



),(:

x
 

 
 


 
3
2
3
1;
3
2
1;0:
2








x
x
f


Ta có

FfFfF



với i = 0,1,2,
Ta chứng minh )()(
32313
CfCfC



Trước hết ta chứng minh )()(
32313
CfCfC



Thật vậy, với




0
3
i
i
FCx
thì
1
Fx


 1;
3
2
x . Khi đó NiFfFfFx
iii






)()(
211

Vì
 







3
1
;0)1;0()(
11
fFf
i

Khi đó,




0
3
23
i
i
CFx
dẫn đến tồn tại
31
Cx

sao cho
1
23 xx


hay
)()(
3
2
3212
1
Cfxf
x
x 


ta có )(
31
Cfx

hoặc )(
32
Cfx

. Ta xét
trường hợp )(
32
Cfx

. Khi đó, tồn tại
32
Cx

sao cho
3
2
)(
2
22


x
xfx hay
32
23 Cxx




hay
1232
3
)()(
3
2




ii
FFfxf
x
x . Trường
hợp
)(
31
Cfx

được chứng minh tương tự. Do đó,
 






0 0



UyxyxU  ,:sup .
ii) Cho


i
U
là một họ đếm được các tập con trong
n

và
n
F


.
Nếu
1
i
i
F U




thì


i






1
:inf{)(
i
i
s
i
s
UUFH

là một

- phủ của F}
2.2.2. Định nghĩa.
Với mỗi
0


cho trước, độ đo sinh bởi độ đo ngoài
s
H
được gọi là độ đo
Hausdorff trên
n

.

)(
i i
s
i
i
s
FHFH

nếu {F
i
} là một họ đếm được của những tập
Borel rời nhau
+) Nếu F là một tập Borel của
n

, thì ta có
)()( FLFHc
nn
n

Trong đó L
n
(F) là độ đo Lebesgue của F trong
n

, c
n
là thể tích của quả
cầu đơn vị trong
n


- phủ của F thì


i
U

là

- phủ của F

. Do đó






11
)(
i
s
i
s
i
s
i
s
UUFH


F

và làm tương tự như trên ta được
)()( FHFH
sss


Kết hợp hai bất đẳng thức trên ta được đpcm.
2.2.5. Định lý.
Cho
n
F


và :
m
f F 

thỏa mãn:
( ) ( )
f x f y c x y

  



Fyx ,

Với c > 0 và 0
