1
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong những năm gần đây nhu cầu học hỏi của sinh viên khoa Toán, các
thầy cô giáo dạy Toán và nhiều người khác quan tâm đến Toán học ngày càng
gia tăng.
Không gian tôpô là những cấu trúc cho phép người ta hình thức hóa các
khái niệm như sự hội tụ, tính liên thông và tính liên tục. Chúng xuất hiện hầu
như trong tất cả mọi ngành của toán học hiện đại và là một khái niệm thống nhất
có tính trọng tâm.
Trong không gian tôpô, các tập
p

- mở,
p

- đóng,
p

- bao đóng, lân cận
p

-
mở, lân cận
p

- đóng, không gian
p

- chính quy, lân cận

Nghiên cứu các tính chất và phép toán trong không gian tôpô
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trong đề tài này, tôi tập trung tìm hiểu các định nghĩa, làm rõ các định lí,
tính chất liên quan đến lân cận
p

- mở, phép toán bao đóng, lân cận
p

- đóng
suy rộng, lân cận
p

- T
i
không gian…
6. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu.
Tương tự hóa các ý tưởng và kĩ thuật của một số bài báo đã nghiên cứu
trước đó như [2], [3], [4]. Từ đó phân tích, tổng hợp, trao đổi thông tin với giáo
viên hướng dẫn trong lĩnh vực nghiên cứu…

2
7. Đóng góp mới của đề tài
Đề tài cập nhật các kết quả liên quan trong thời gian gần đây để những
người quan tâm có thể tham khảo, cho một vài kết quả mới.
Đề tài có khả năng áp dụng trong lý thuyết độ đo, tích phân, xác suất.
Đề tài còn là tài liệu cho sinh viên, học viên cao học, giảng viên trong dạy
học và nghiên cứu giải tích toán học hiện đại.
8. Cấu trúc của đề tài

Cho
X
 
,

là một họ các tập con nào đó của X (
P(X)
 
) thỏa mãn
các điều kiện sau:
i)
,X
 

ii) Hợp của một họ tùy ý các phần tử của

là phần tử của


Tức là: Nếu A
i

,
i I
 
thì
i
i I
A



- mở.
Cặp (X,

) được gọi là một không gian tôpô
Định nghĩa 1.1.2
Cho (X,

) là không gian tôpô,
A X


Tập U được gọi là một lân cận của A nếu U chứa một tập mở chứa A.
Tập
A X

được gọi là tập đóng nếu X\A
 
( tức X\A – mở)
Định nghĩa 1.1.3
Cho (X,

) là không gian tôpô,
A X


+)
x X

được gọi là điểm trong của A nếu U là lân cận của X sao cho

x
y U

hoặc tồn tại lân cận U
y
của y sao
cho
y
x U

.
+) Không gian tôpô (X,

) được gọi là T
1
– không gian nếu
x,y X
 
,
x y

tồn tại lân cận U
x
của x sao cho
x
y U

và tồn tại lân cận U
y
của y sao

1.2. Một số loại tập suy rộng trong không gian tôpô
( X,

) – Không gian tôpô. Giả sử A là tập con bất kì của không gian tôpô
( X,

),
A X

.
Khi đó, Cl(A) – bao đóng của A, Int(A) – phần trong của A
Cho
: P(X)
  
xác định phép toán trên

.
Tập con A của không gian tôpô X được gọi là tập

- mở nếu với mỗi
x A

, tồn tại tập mở U chứa x sao cho
U A



Tập hợp tất cả các tập

- mở trong không gian tôpô ( X,

hiệu: pInt(A)

5
Định nghĩa 1.2.1
Cho
p
:PO(X, ) P(X)
  
là ánh xạ từ PO(X,

) đến P(X) thỏa mãn tính
chất
p
V (V)
 
,
V PO(X, )
  
.
Ta gọi ánh xạ
p

là một phép toán trên PO(X,

).
p
p

  
,
V
 

Hạn chế
p
| : P(X)
   
là một phép toán trên

.
Tập hợp A được gọi là tập
p
|
 
- mở của ( X,

) nếu
x A
 
, tồn tại tập
mở U chứa x sao cho
p
|
U A
 

.
Tập hợp A được gọi là tập

|
{V X,V
 
  
là tập
p
|
 
- mở}
Chú ý:
p p
|
U U , U
  
  

Định nghĩa 1.2.3
Cho ( X,

) là không gian tôpô và
p
:PO(X, ) P(X)
  
là 1 phép toán
trên PO(X,

).
Tập con A của không gian tôpô X được gọi là tập
p





Định nghĩa 1.2.4
Cho phép toán
p
:PO(X, ) P(X)
  
,
A X


i) Điểm
x X

gọi là nằm trong
p

- bao đóng của tập A nếu
p
U A

  

với mọi tập con mở của U chứa x.

6
Ta kí hiệu
p
Cl (A)

Cl (A) Cl (A)
  

,
A X
 

p
|
Cl (A) {x X |
 
 

p
|
U A
 
  
,

tập mở của U chứa x}
Mệnh đề 1.2.6
Cho ( X,

) là không gian tôpô và
p
:PO(X, ) P(X)
  
là 1 phép toán
trên PO(X,

|
 
- đóng (
A =
p
|
Cl (A)
 
).
iii) Các tính chất sau đây là tương đương:
(1) A là
p
|
 
- mở trong ( X,

)
(2) X\A là
p
|
 
- đóng (
p
|
Cl (X\ A) X\ A
 

)
(3)
p


  
)
vi) Hợp tùy ý các tập
p

- mở là tập
p

- mở.
Chứng minh:
i) Điều kiện cần
Gọi
x A

. A là tập
p

- mở trong ( X,

) nếu tồn tại tập mở U chứa x sao
cho
p
U A


.
Theo chú ý 1.2.2:
p p
|

sao cho
p
|
U A
 

.
Theo chú ý 1.2.2:
p p
|
U U , U
  
  

Suy ra
p
U A


. Vậy A là tập
p

- mở .
Vậy: A là tập
p

- mở trong ( X,

) khi và chỉ khi A là tập
p


 

p
U A

  
,

tập mở của U chứa x}
p
|
Cl (A) {x X|
 
 

p
|
U A
 
  
,

tập mở của U chứa x}
Theo chú ý 1.2.5:
p p
|
Cl (A) Cl (A)
  


) khi và chỉ khi A là tập
p
|
 
-
đóng ( A =
p
|
Cl (A)
 
).
Mặt khác, A là tập
p
|
 
- đóng trên ( X,

) nếu X\A là tập
p
|
 
- mở trên
( X,

).
Theo (i), X\A là tập
p

- mở trong ( X,


p

- đóng
Vậy: A là tập
p

- đóng ( A =
p
Cl (A)

) khi và chỉ khi X\A là
p

- mở

8
v) Gọi A
p


. Khi đó,
x A
 
, tồn tại tập mở U(x) chứa x sao cho




p
A U(x) | x A U(x) |x A

) khi và chỉ khi A là tập
p
|
 
- mở
Vậy: Hợp tùy ý các tập
p

- mở là tập
p

- mở.
9
Chương 2. CÁC PHÉP TOÁN – TẬP LÂN CẬN MỞ TRONG
KHÔNG GIAN TÔPÔ

2.1. Lân cận
p

- mở và phép toán – bao đóng
Định nghĩa 2.1.1
Cho ( X,

) là không gian tôpô và
p
:PO(X, ) P(X)
  

p
PO(X, )



Ví dụ 2.1.2
(i) Tập con A được gọi là lân cận “id” – mở của (X,

) khi và chỉ khi A là
lân cận mở trong (X,

)
Phép toán “id”:
PO(X, ) P(X)
 
được định nghĩa là V
“id”
=V với
V PO(X, )
 

Phép toán này được gọi là phép toán đồng nhất thức trên PO(X,

).
Tập con A là “id” – mở của (X,

) khi và chỉ khi A – mở trong (X,

)
Do đó ta có:


và
"Cl"
U A



Với mọi x

X\A, tồn tại tập con V


PO(X, )

sao cho
x V

và
"Cl"
V (X \ A)
  

"Cl"
pCl (X \ A) (X\ A)
 

Với


"Cl"

sao cho
x U Cl(U) A
  

Đặt O = Int(Cl(U))
Suy ra,
x U O
  
và
Cl(U) Cl(Int(Cl(U))) Cl(O) Cl(U)
  

Do đó, với mỗi x

A, tồn tại O


sao cho
x O Cl(O) A
  

Vậy, A là

- mở trong (X,

)
Ngược lại, A là

- mở trong (X,


Bao đóng pCl


(B) của tập con B được định nghĩa:


{y X |pCl(pCl B
V) B ,

    
với mọi lân cận mở V chứa y}
Tập con B được gọi là lân cận

- đóng trong (X,

) nếu B = pCl


(B)
Tập con A được gọi là lân cận

- mở trong (X,

) nếu X\A = pCl

(X\A)
Rõ ràng, A
A pCl (A),(A X)

 



pCl (X \ A) X \ A

 
và A là

- mở trong (X,

)
(ii-3)
Ví dụ sau cho thấy rằng phép toán “pCl” và “ Cl” khác nhau trên PO(X,

)
Cho X = { a, b, c} và

= {

, {a, b}, X} 11
Trong không gian tôpô (X,

):
PO(X,

) = {

, {a}, {b}, {a, b}, {b, c}, {a, c}, X}

Chứng minh (**):
Giả sử tập con A là lân cận “ Int o Cl” – mở trong (X,

)
Với mọi x

A, tồn tại tập con U

PO(X, )

sao cho
x U

và Int(Cl(U))

A


x G
G :
Int(Cl(G)) A


 




Hay A là “ Int o Cl” – mở trong (X,



) đến P(X) định nghĩa như sau:
Phép toán: “ Cl

”, “Cl

”, “pCl

”, “

Cl”, “sCl”, “

-Cl”:
PO(X, ) P(X)
 

"Cl "
"Cl "
"pCl "
" Cl"
"sCl"
" sCl"
V Cl (V)
V Cl (V)
V pCl (V)
V Cl(V)
V sCl(V)
V sCl(V)
V PO(X, )


B

    
với mọi tập mở U chứa y}
(


{y X | Cl(U)Cl
,
B B

    
với mọi tập mở U chứa y})
Trong tập con B của (X,

),

- bao đóng

Cl(B) của tập B là giao của tất cả tập

- đóng chứa B

Cl(B) là

- đóng trong (X,

)
Trong phép toán trên ta có các tính chất sau:
Cl Cl Cl Cl: PO(X, ) P(X)

Khi đó: “Cl”|

= “pCl”|

= “

Cl”|

:
P(X)
 

(vi)
Giả sử X = { a, b, c} và

= {

, {a}, {a, b}, X}
Khi đó, PO(X,

) = {

, {a}, {a, b}, {a, c}, X}
Ta định nghĩa phép toán
p
:PO(X, ) P(X)
  
sao cho:
p
(A) A


- mở của (X,

) là một lân cận mở trong (X,

), nghĩa
là:
p
PO(X, ) PO(X, )

  

(ii) Mỗi tập
p

- mở của (X,

) là một lân cận
p

- mở trong (X,

), nghĩa
là:
p p
PO(X, )
 
  

(iii) Nếu

13
Suy ra, tồn tại lân cận mở U sao cho:
p
x U U A

  

Vì U là lân cận mở nên
x U Int(Cl(U)) Int(Cl(A))
  

p
A Int(Cl(A))
A PO(X)
PO(X, ) PO(X, )

 
 
   

Cách chứng minh khác:
Giả sử
p
A PO(X)


. Cho

- mở trong (X,

) và
x A


Suy ra, tồn tại tập mở U sao cho:
p
x U U A

  

Từ đó, mỗi tập mở là một lân cận mở

A là lân cận
p

- mở trong (X,

)
p
p
PO(X, )
 
   

(iii) Cho


i

A |i J

 là lân cận
p

- mở trong (X,

).
Nhận xét 2.1.4
(i) Cho X = { a, b, c, d} và

= {

, {a},{b}, {a, b}}
Khi đó, PO(X,

) = {

, {a}, {b}, {a, b}, {a, b, c}, {a, b, d}}
Phép toán
p
:PO(X, ) P(X)
  
cho bởi công thức:
p
(A) A
 
nếu
a A



- mở
Cho X = { a, b, c} và

= {

, {a},{a, b}, X}
Khi đó, PO(X,

) = {

, {a}, {a, b}, {a, c}, X}
Định nghĩa phép toán
p
:PO(X, ) P(X)
  
:
p
(A) A
 
nếu


A a




p
(A) a,b

U V



Định lí 2.1.6
Cho ( X,

) là không gian tôpô và
p
:PO(X, ) P(X)
  
là 1 phép toán
trên PO(X,

)
(i) Các tính chất sau là tương đương:
(1)
p
PO(X, ) PO(X, )

  

(2) (X,

) là không gian lân cận
p

- chính quy
(3) Với mỗi
x X


  

(2) (X,

) là không gian
p

- chính quy
(3) Với mỗi
x X

và với mỗi tập mở U của (X,

) chứa x, tồn tại tập
p

-
mở W của (X,

) sao cho x

W và
W U


Chứng minh:
(i) (1)

(2):


(3):
Lấy x

X bất kì và U là lân cận mở chứa x
Khi đó, theo (2), tồn tại lân cận mở W chứa x sao cho:
p
W W U

 


W là lân cận
p

- mở
Vậy, W là lân cận
p

- mở chứa x sao cho
W U

.
(3)

(1):
Theo định lí 2.1.3(i), mỗi lân cận
p

- mở là lân cận mở trong (X,

  

Suy ra, (X,

) là không gian
p

- chính quy khi và chỉ khi (X,

) là không
gian
p

|

- chính quy.
(iii) (1)

(2):
Theo (1) và mệnh đề 1.2.6(i),
p p
|
  
    

Ta có (X,

) là không gian
p


Vậy, W là tập
p

- mở chứa x sao cho
W U

.
(3)

(1):

16
Từ mệnh đề 1.2.6, mỗi tập
p

- mở là một tập mở
p

   
(1)
Ngược lại, giả sử U là tập mở ( U

)
Khi đó, với mỗi
x U

, từ (iii), tồn tại tập
p

- mở

p
:PO(X, ) P(X)
  
được gọi là lân cận chính quy nếu với mỗi
x X

và mỗi cặp lân cận mở U, V của
x X

, tồn tại lân cận mở W chứa x sao
cho
p p p
W U V
  
 
.
Định lí 2.1.8
(i) Cho
p
:PO(X, ) P(X)
  
là phép toán lân cận chính quy trên
PO(X, )

.
Nếu A và B là lân cận
p

- mở trong (X,


- mở trong (X,

) thì
A B

cũng là tập
p

- mở trong
(X,

).
(iv) Nếu
p
:PO(X, ) P(X)
  
là phép toán lân cận chính quy thì
p
PO(X, )


là một tôpô của X.
Chứng minh:
(i) Cho
x A B
 
. A và B là lân cận
p

- mở trong (X,

).
(ii) Theo chú ý 1.2.2:
p p
|
U U , U
  
  

Suy ra,
p

là chính quy khi và chỉ khi
p

|

là chính quy.
(iii) Cho
x A B
 
. A và B là tập
p

- mở trong (X,

)

Tồn tại tập mở U, V sao cho
x U,x V
 


- mở của (X,

)
+)
p
,X PO(X, )

  

+) Theo (i):
p
A,B PO(X, )

 
thì
p
A B PO(X, )

  

+) Theo định lí 2.1.3(iii):




p p
i i
A |i J PO(X, ) A |i J PO(X, )
 

- đóng trong (X,

) nếu X\A là lân
cận
p

- mở.
(iii)
p
Cl(A)

  

{F| F là tập
p

- đóng: A

F}
p
PO(X) Cl(A)

 

{F| F là lân cận
p

- đóng: A

F}

p
p
pCl (A) {x X |U A


    
với mọi lân cận mở U chứa x} 18
Định lí 2.1.11
Cho A là tập con bất kì trong không gian tôpô (X,

)
Ta có tính chất trên
p
PO(X, )


- bao đóng và
p


- bao đóng
(i)
p p
PO(X) Cl(A) {y X | V A , V PO(X, ) : y V}
 
         


p

- đóng và
A X \ V


Mặt khác, theo định nghĩa 2.1.9:
p
PO(X) Cl(A)

 

{F| F là lân cận
p

- đóng: A

F}
p
PO(X) Cl(A) X\ V

  

p
x PO(X) Cl(A)

  

p
PO(X) Cl(A) E

  

x E
 

p
E PO(X) Cl(A)

  
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
p
PO(X) Cl(A) E

 

Vậy:
p p
PO(X) Cl(A) {y X | V A , V PO(X, ) : y V}
 
         

(ii)
p
Cl(A)

  

{F| F là tập
p

  
  
  
       
       



Định lí 2.1.12
Cho
p
:PO(X, ) P(X)
  
là phép toán trên
PO(X, )

và A, B là các tập
con của không gian tôpô (X,

).
Khi đó, ta có các tính chất trên
p
pCl (A)

và
p
pCl (B)


(i) Tập

) khi và chỉ
khi
p
pCl (A) A



(iv) Nếu
A B

thì
p p
pCl (A) pCl (B)
 


(v)
p p p
pCl (A) pCl (B) pCl (A B)
  
  

(vi) Nếu
p
:PO(X, ) P(X)
  
là lân cận chính quy thì
p p p
pCl (A) pCl (B) pCl (A B)
  

Theo định nghĩa, tồn tại lân cận mở U(x) chứa x sao cho
p
U(x) A

  

Đặt


p
V U(x)| x X \ pCl (A)

 
Khi đó, ta cần chứng minh
p
V X \ pCl (A)



Thật vậy,
y V
 
, tồn tại tập con
U(x) PO(X, )
 
sao cho

20
p
y U(x)

sao cho
p
y U(x) V
U(y) A

 



  



p
X \ pCl (A) V

 
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
p
V X \ pCl (A)



Vậy, tập
p
pCl (A)

là lân cận đóng trong (X,


p
pCl (X) X

 

(iii) Điều kiện cần:
Giả sử X\A là lân cận
p

-mở trong (X,

)
Theo(i):
p
A pCl (A)


(1)
Ta cần chứng minh:
p
pCl (A) A



Giả sử
x A

, tồn tại lân cận mở U chứa x sao cho
p
U X \ A

x X \ A


p
x pCl (A)

 

Tồn tại lân cận mở U chứa x sao cho
p
U A

  
nghĩa là
p
U X \ A



Suy ra, X\A là lân cận
p

-mở trong (X,

) hay A là lân cận
p

- đóng.

21

p
pCl (A) {x X | U A


    
với mọi lân cận mở U chứa x}

p
p
pCl (B) {x X | U B


    
với mọi lân cận mở U chứa x}
Ta có:
p p p
(U A) (U B) U (A B)
  
       

Suy ra,
p p p
pCl (A) pCl (B) pCl (A B)
  
  

(vi) Giả sử
p p
x pCl (A) pCl (B)
 

W (A B) (U V ) (A B) (U ) (V B)
    
           

Nghĩa là:
p
W (A B)

   

p
x pCl (A B)

  

p p p
pCl (A B) pCl (A) pCl (B)
  
   
(1)
Theo(v):
p p p
pCl (A) pCl (B) pCl (A B)
  
  
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
p p p
pCl (A) pCl (B) pCl (A B)
  
22
Định lí 2.1.13
Cho
p
:PO(X, ) P(X)
  
là phép toán trên
PO(X, )

và A, B là các tập
con của không gian tôpô (X,

).
Khi đó, ta có các tính chất trên
p
PO(X) Cl(A)


và
p
PO(X) Cl(B)



(i) Tập
p
PO(X) Cl(A)


-mở) trong (X,

)
khi và chỉ khi
p
PO(X) Cl(A) A

 

(iv) Nếu
A B

thì
p p
PO(X) Cl(A) PO(X) Cl(B)
 
  

(v)




p p p
PO(X) Cl(A) PO(X) Cl(B) PO(X) Cl(A B)
  
     
(vi) Nếu
p
:PO(X, ) P(X)

  
là phép toán trên
PO(X, )

và A, B là các tập
con trong không gian tôpô (X,

).
Khi đó, ta có các tính chất trên
p
Cl (A)

và
p
Cl (B)


(i) Tập
p
Cl (A)

là tập đóng trong (X,

) và
p
A Cl (A)



(ii)



)
(iv) Nếu
A B

thì
p p
Cl (A) Cl (B)
 


(v)
p p p
Cl (A) Cl (B) Cl (A B)
  
  

(vi) Nếu
p
:PO(X, ) P(X)
  
là phép toán chính quy thì
p p p
Cl (A) Cl (B) Cl (A B)
  
  23

p
Cl(A)

 
là tập
p

- đóng của (X,

) và
p
A Cl(A)

  

(ii)
p
Cl( )

    
và
p
Cl(X) X

  

(iii) Tập con A là
p

- đóng ( X\A là tập

p
:PO(X, ) P(X)
  
là phép toán chính quy thì




p p p
Cl(A) Cl(B) Cl(A B)
  
        

(vii)




p p p
Cl(A B) Cl(A) Cl(B)
  
        
(viii)
p p p
Cl( Cl(A)) Cl(A)
  
      

Định lí 2.1.16
Cho

và A là tập con bất
kì trong không gian tôpô (X,

).
(i) Các mệnh đề sau đây là tương đương:
(1) Tập con A là lân cận
p

- mở trong (X,

).
(2)
p
pCl (X\ A) X\ A



(3)
p
PO(X) Cl(X\ A) X\ A

 24
(4) X\A là lân cận
p

- đóng trong (X,


- đóng trong (X,

).
Hệ quả 2.1.18
Cho
p
:PO(X, ) P(X)
  
là phép toán trên
PO(X, )

và A là tập con bất
kì trong không gian tôpô (X,

)
(i) Nếu (X,

) là không gian lân cận
p

- chính quy thì
p p
pCl(A) pCl (A) PO(X) Cl(A)
 
  

(ii) Nếu (X,

) là không gian
p

  
là phép toán trên
PO(X, )

và A là tập con bất
kì trong không gian tôpô (X,

)
(i) Nếu
p
:PO(X, ) P(X)
  
là phép toán lân cận mở thì
p p
pCl (A) PO(X) Cl(A)
 
 

p p p
pCl (pCl (A)) pCl (A)
  


p
pCl (A)

là lân cận
p

- đóng trong (X,


là
p

- đóng trong (X,

)
Chứng minh:
(i) Từ định lý 2.1.16(i) ta có:
p p
pCl (A) PO(X) Cl(A)
 
 

Giả sử
p
x pCl (A)



Suy ra, tồn tại lân cận mở U chứa x sao cho
p
U A

  

Từ
p

là lân cận mở, theo định nghĩa 2.1.19, tồn tại lân cận

     
  
     
 
và
p
pCl (A)

là lân cận
p

- đóng trong (X,

).
(ii) Phép toán
p
:PO(X, ) P(X)
  
là mở khi và chỉ khi với mỗi
x X

,
mỗi tập mở U chứa x, tồn tại tập
p

- mở V sao cho
x V

và
p

   
là mở .
(iii) Từ định lý 2.1.16(ii) ta có:
p p
Cl (A) Cl(A)
 
  

Giả sử
p
x Cl (A)



Suy ra, tồn tại tập mở U chứa x sao cho
p
U A

  

Từ
p

là phép toán mở, theo định nghĩa 2.1.19, tồn tại tập
p

- mở V sao
cho
p
x V U