1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
PHẠM THỊ THẢO
PHÁT HIỆN VÀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH NĂNG KHIẾU
QUA VIỆC GIẢNG DẠY “PHƯƠNG TRÌNH HÀM”

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học
(Bộ môn Toán học)
Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC


Trung học phổ thông
4. PTH :
Phương trình hàm

3
MỤC LỤC Trang
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
1
2. Mục đích nghiên cứu của đề tài
1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
1
4. Phạm vi nghiên cứu
2
5. Phương pháp nghiên cứu
2
6. Cấu trúc luận văn
2
Chƣơng 1 : CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
3
1.1. Mục tiêu giáo dục và nhiệm vụ dạy học môn toán
3
1.2. Phát triển tư duy sáng tạo của học sinh ở trường phổ thông
3
1.3. Phát hiện và bồi dưỡng học sinh năng khiếu ở trường phổ thông

69
3.2. Hoạt động của học sinh sau khi học chuyên đề phương trình hàm
73
3.3. Một số nhận xét sau thực nghiệm
76
KẾT LUẬN
79
TÀI LIỆU THAM KHẢO
80 1
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Trong các kỳ thi Học sinh giỏi Quốc gia, Quốc tế thường xuất hiện các
bài toán về phương trình hàm, đó là những dạng bài tập khá mới mẻ đối với
học sinh THPT. Phần lớn học sinh THPT chưa được làm quen nhiều với
dạng bài toán này và đặc biệt là những cuốn sách tham khảo về phương trình
hàm chưa được phong phú.
Nguồn gốc của mỗi bài toán phương trình hàm thường rất đa dạng, nội

5.2 Thực nghiệm sư phạm
Đối tượng thực nghiệm : học sinh lớp 12A1, 12A5 trường THPT Ngô
Quyền - Hải Phòng.
Xử lý kết quả thực nghiệm bằng một số phương pháp thống kê toán
học.
6. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung chính của
luận văn được trình bày trong 3 chương:
Chương 1. Cơ sở lý luận
Chương 2. Một số phương pháp giải phương trình hàm thường dùng
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm

3

CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.1. Mục tiêu giáo dục và nhiệm vụ dạy học môn toán
Mục tiêu của Giáo dục & Đào tạo là đào tạo những con người lao
động tự chủ, tích cực, có năng lực giải quyết vấn đề, góp phần thực hiện mục
tiêu lớn của đất nước là "Dân giàu, nước mạnh, xã hội công bằng, dân chủ,
văn minh "
(Trích Nghị quyết Trung ương Đảng khóa VIII)
Nhiệm vụ dạy học toán ở trường phổ thông cụ thể là:

duy chính xác, hợp logic, phương pháp khoa học trong suy nghĩ, lập luận,
trong học tập và giải quyết các vấn đề : Biết quan sát, thí nghiệm, mò mẫm,
dự đoán, dùng tương tự, quy nạp, chứng minh, và qua đó có tác dụng lớn
rèn luyện cho học sinh trí thông minh sáng tạo. Phát triển tư duy sáng tạo
toán học nằm trong việc phát triển năng lực trí tuệ chung, một nội dung quan
trọng của mục đích dạy học môn toán. Mục đích đó cần được thực hiện có ý
thức, có hệ thống, có kế hoạch chứ không phải tự phát. Về phía giáo viên,
trong hoạt động dạy học toán cần vạch ra những biện pháp cụ thể và thực
hiện đầy đủ một số mặt sau đây :
- Rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác.
- Phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng.
- Rèn luyện các hoạt động trí tuệ cơ bản, các thao tác tư duy như : Phân tích,
tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, trừu tượng hoá.
- Hình thành, rèn luyện những phẩm chất trí tuệ như : Tính linh hoạt, tính
độc lập, tính sáng tạo trong tư duy.
5
1.3. Phát hiện và bồi dƣỡng học sinh năng khiếu ở trƣờng phổ thông
Cố thủ tướng Phạm Văn Đồng từng nhắc nhở những người làm công
tác giáo dục: "Phải có ý thức phát hiện và bồi dưỡng các em có năng khiếu
về toán và các môn khác, đừng bỏ sót em nào, bỏ sót sẽ rất uổng". Vậy
năng khiếu là gì mà có vai trò quan trọng như vậy ?
1.3.1. Năng khiếu và năng khiếu toán học
* Năng khiếu là gì ?
Theo từ điển Tâm lý học (Vũ Dũng chủ biên): năng khiếu là tập hợp
những tư chất bẩm sinh, nét đặc trưng và tính chất đặc thù làm tiền đề bẩm
sinh cho năng lực.
Theo "Khơi dậy tiềm năng sáng tạo" (tác giả Nguyễn Cảnh Toàn) thì

nghiệp của nhà toán học": Để nắm vững toán học một cách có kết quả ở mức
độ cao thì đòi hỏi cần có những năng lực toán học được phát triển, năng lực
này mang ý nghĩa sáng tạo khoa học. Theo ông, thành phần cơ bản của năng
lực toán gồm có :
- Năng lực biến đổi khéo léo những biểu thức phức tạp, năng lực tìm ra con
đường giải phương trình không theo quy tắc chuẩn, năng lực tính toán.
- Trí tưởng tượng hình học hay là trực giác hình học.
- Nghệ thuật suy luận logic theo các bước đã được phân chia một cách đúng
đắn kế tiếp nhau, nguyên tắc quy nạp toán học là tiêu chuẩn tốt cho sự
trưởng thành logic hoàn toàn cần thiết đối với nhà toán học.
Theo quan điểm tâm lý học, trong mỗi con người đều tiềm tàng một
năng khiếu, một tài năng, tất nhiên ở mức độ khác nhau. Đó là một kết
luận quan trọng. Trong quá trình dạy học toán, người thầy cần có những

7
biện pháp phát hiện những năng khiếu toán ở học trò, từ đó có thể tạo ra
môi trường và tổ chức các hoạt động thích hợp giúp các em phát triển
năng lực đó.
1.3.2. Công tác tổ chức giảng dạy nhằm phát hiện và bồi dưỡng học sinh
năng khiếu ở trường phổ thông
Trên thế giới, việc phát hiện và bồi dưỡng học sinh năng khiếu đã có
từ rất lâu. Ở Trung Quốc, từ đời Đường những trẻ em có tài đặc biệt được
mời ra sân Rồng để học tập và được giáo dục bằng những hình thức đặc biệt.
Từ năm 2001, chính quyền NewZeland đã phê chuẩn kế hoạch phát
triển chiến lược HSG. Cộng hoà Liên bang Đức có hiệp hội dành cho HSG
và tài năng Đức,
Giáo dục phổ thông Hàn Quốc có một chương trình đặc biệt dành cho
HSG nhằm giúp chính quyền phát hiện học sinh tài năng từ rất sớm. Từ năm
1985, Trung Quốc thừa nhận phải có một chương trình giáo dục đặc biệt
dành cho hai loại đối tượng học sinh yếu kém và học sinh giỏi, trong đó cho

viết chuyên đề theo nhóm, tham gia viết bài trên báo hay tạp chí chuyên
ngành.
Giai đoạn 6: Tham dự các kỳ thi học sinh giỏi các cấp.
Việc phát hiện và bồi dưỡng học sinh năng khiếu là một công việc hết
sức quan trọng của người thầy. Năng khiếu và tri thức văn hoá nói chung
phải được bồi đắp theo năm tháng, gắn liền với sự nhạy bén của tố chất cá
nhân. Người thầy phải là "chất xúc tác" trong quá trình biến đổi chất, là
người định hướng cho những năng khiếu đó được bộc lộ mạnh mẽ nhất.
Để hoàn thành được sứ mệnh này, thầy cô giáo phải tham khảo nhiều
tài liệu một cách thường xuyên để cập nhật, bổ sung và phát triển chuyên đề
mình phụ trách, phải chủ động đi trước học sinh một bước, hướng dẫn và
cùng tham gia giải bài tập với học sinh.

9
Trong quá trình giảng dạy, người thầy phải dạy cho học sinh tiếp cận
kiến thức một cách tự nhiên, chủ động và sáng tạo, cụ thể là dạy cho các em
cách tìm đến kiến thức và nghiên cứu nó, cách làm bài tập, cách đọc sách và
tìm tài liệu, cách mở rộng và khai thác kiến thức, cách chế tác và tổng quát
hoá một bài tập,
Người thầy phải luôn thắp sáng ngọn lửa say mê môn học mà học sinh
đang theo đuổi, phải dạy cho các em niềm tin có thể biến ước mơ thành hiện
thực, biết chấp nhận khó khăn để cố gắng vượt qua, biết rút kinh nghiệm sau
những lần thất bại hay thành công trong từng giai đoạn mà mình phấn đấu.
1.4. Thực trạng giảng dạy phƣơng trình hàm ở trƣờng phổ thông
Hiện nay, ở các trường THPT , phương trình hàm vẫn chưa được đề
cập nhiều. Phần lớn những học sinh tiếp cận phương trình hàm là những học
sinh lớp chuyên Toán, còn đối với học sinh đại trà thì vẫn là một lĩnh vực xa
lạ, khó tiếp cận, rất lúng túng trong quá trình phân tích để tìm ra bản chất và
vận dụng kiến thức về phương trình hàm một cách thích hợp.
Đa số học sinh khi tìm hiểu về phương trình hàm đều cảm thấy khó

tìm hiểu và xây dựng nên những bài toán mới.

11
CHƢƠNG 2
MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP
GIẢI PHƢƠNG TRÌNH HÀM THƢỜNG DÙNG

2.1. Những khái niệm cơ bản
2.1.1. Nguyên lý Archimede

, 0 *:x k N k x

      

Hệ quả :
! : 1x R k Z k x k      

Số k như thế gọi là phần nguyên của x, kí hiệu :
 
x

Vậy,
   
1x x x  

Hàm số f(x) được gọi là cộng tính trên tập xác định D nếu với mọi x, y

D thì x + y

D và f(x+y) = f(x) + f(y).

12
Hàm số f(x) được gọi là nhân tính trên tập xác định D nếu với mọi x, y

D thì x.y

D và f(xy) = f(x).f(y)
Nếu với mọi x, y

D mà x+y

D, x - y

D và f(x-y) = f(x) - f(y) thì
f(x) cũng gọi là một hàm cộng tính trên D.
Hàm f(x) =
( 0)x



là hàm nhân tính.
2.1.5. Hàm đơn điệu
Hàm số f(x) gọi là tăng trên (a,b) nếu :
Với mọi
1 2 1 2 1 2


0)
Đặc trưng hàm : f(x+y) = f(x) + f(y),

x,y (Phương trình Cauchy)
3) Hàm mũ : f(x) = a
x
; ( a> 0, a

1)
Đặc trưng hàm : f(x + y) = f(x).f(y);

x, y ( Phương trình Cauchy)
4) Hàm logarit :
log ;( 0, 1)
a
x a a

Đặc trưng hàm : f(xy) = f(x) + f(y),
*
,x y R
( Phương trình Cauchy)
5) Hàm sin : f(x) = sinx.

13
Đặc trưng hàm : f(3x) = 3f(x) - 4f
3
(x);
x


      


9) Hàm luỹ thừa : f(x) =
x

;
xR



Đặc trưng hàm : f(xy) = f(x)f(y);
,xy

Phƣơng pháp 1. Sử dụng các giá trị đặc biệt để đoán nhận nghiệm của
phƣơng trình hàm.
Cũng giống như cách giải phương trình thông thường. Khi giải
phương trình hàm, ta cũng có thể đoán nhận các nghiệm của phương trình
hàm và chứng minh rằng ngoài các nghiệm đó ra PTH không có nghiệm nào
khác. Thông thường, ta hay thử các hàm số đặc biệt như hàm hằng, hàm
đồng nhất, hàm tuyến tính, để xem chúng có phải là các nghiệm của
phương trình hàm hay không ?
Ví dụ 1. Tìm tất cả các hàm số f : [1,+

)

[1,+

) ,sao cho : f(xf(y)) =
yf(x) , với mọi x,y thuộc [1,+

x
y
y) = f(
x
y
f(f(y)) = f(y)f(
x
y
) , (2)
Do x > y

x
y
>1

f(
x
y
)>1
(2)

f(x) > f(y) suy ra f(x) đồng biến trên [1,+

).
Giả sử

x
0
; f(x
0

)) < f(x
0
)

x
0
< f(x
0
) vô lý .
Vậy f(x) = x ,

x

R.
Ví dụ 2. Tìm hàm số f(x) thoả mãn đồng thời các điều kiện :

2
( ) ( ) ( ), ,
1 ( )
0, ( )
(1) 1
f x y f x f y x y R
fx
xf
x
x
f

    


(1) ( )
(1 )
f f x
x


=
2
1 ( )
(1 )
fx
x


,
1x
(1)
Mặt khác : f(
1
1 x
) = f( 1 +
1
x
x
) = f(1) + f(
1
x
x
) = 1 + f(
1

(f(
1
x
) – f(1)) =
= 1 +
2
2
(1 )
x
x
(
2
()fx
x
- 1) = 1 +
2
()
(1 )
fx
x
-
2
2
(1 )
x
x
(2)
Từ (1) và (2) có
2
1 ( )

2
+ f(y)) = y + f
2
(x) .
Lời giải:
Dễ thấy f(x) = x là một nghiệm của phương trình . Ta sẽ chứng minh
f(x) = x là nghiệm duy nhất của phương trình .
Trước tiên ta chứng minh f(0) = 0 . Cho x = y = 0 , đặt t = f(0) , ta có f(t) = t
2
Ta lại có
f(x
2
+ t) = f
2
(x) , f(f(x)) = x + t
2
(1)
Ta tính f(t
2
+ f
2
(1)) theo hai cách :
f(t
2
+ f
2
(1)) = f(f(t)) + f
2
(1) = t + (1 + t
2

4
(3)
Từ (2) và (3) suy ra 1 + t + t
4
= 1 + t + 2t
2
+ t
4
. Vậy 2t
2
= 0 tức là t = 0 hay
f(0) = 0.
Đến đây ta suy ra f(f(x)) = x và f(x
2
) = f
2
(x)
Gọi y là một số thực bất kỳ , ta đặt z = f(y) , suy ra y = f(z) và
f(x
2
+ y) = z + f
2
(x) = f(y) + f
2
(x) .
Cho x > 0 tuỳ ý , chọn z sao cho x = z
2
, khi đó :
f(x + y) = f(z
2



    


Lời giải:
Cho
0
0
x
y





suy ra
(0) 0
(0) 0.
(0) 2 (0)
f
f
ff








( ) ( ( )) ( ) 0 ( )
4 2 2
f x f x f x f x

      


.
Thử lại thấy đúng.
Ví dụ 6. Tìm
,:f g R R
thoả mãn :
( ) ( ) os( ) ( ) ,f x f y c x y g x y x y R     
(1)
Lời giải
Ta thấy f(x) = cosx là một hàm số thỏa mãn.
Cho x= y = 0
 
(0) 0
(0) 2 (0)
(0) 1
f
ff
f


  
















Nếu
0
2
f





thì : Cho
;
2
x y R


thế vào (1) suy ra :
sin 0 ( ) cos ,
2

1 ( )
0
f x f x x R
f x f x x R
fx
fx
xx


    


    




  




(1)
Lời giải :
Ta có :
2
1 1 1 ( )
1 1 1 0
x f x
f f f x

       
   
        
     
   

     
   
   
   

   

(2) + (3)
( ) , 0; 1f x x x x    
.
Với x = 0; (2)
(0) 0f
thoả mãn f(x) = x
Với x= 1; (2)
( 1) (1)ff  
.
Cho x = 0, (3)
(1) 1 ( 1) 1ff     
thoả mãn f(x) = x.
Vậy f(x) = x
xR
. Thử lại thấy đúng.

Ví dụ 8. (VMO. 1995)

20
Nếu f(0) = 0, cho
0y
xR





ta được :
22
( ) ( ) 0f x x f t t t    
.
Cho x = 0,
yR
ta được :
   
22
2
(0) 2 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) .f x xf x f x f x x f x x       

Thử lại thấy đúng.
Nếu f(0) = 1, cho
0x
xR






sao cho :
00
( ) 1f y y
. Chọn x = y = y
0
ta được :
 
2
00
2
0 0 0 0
00
( ) 1
1 2 ( ) ( )
( ) 1
f y y
y y f y f y
f y y


   




Nếu
0 0 0 0 0
( ) 1 1 1 0f y y y y y        
và
(0) 1f 

xy
R
   
22
2 2 2
( ) ( ) ( )f x x f a f x x a     
(1)

21
   
22
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
f x f x
f x f x
f x f x


   

  


Nếu
*
0
xR
sao cho
00

trái với giả thiết
*
0
xR
.
Vậy
( ) ( )f x f x x R    
. Ta thấy (4) không phụ thuộc vào x
0
nên ta có :
( ( ) ( )) ( ( ) ( )) 2 0.a f x f x f x f x a      
Thay
( ) ( )f x f x  
suy ra :
a(f(x)+1) = 0
0
( ) 1
a
fx







+ Nếu a = 0
 
(1)
2


Vậy
()f x x x R   
. Thử lại thấy đúng.
+ Nếu
( ) 1f x x R   
. Thử lại ta được (*)
2,xy x y R   
. Vô lí.
Vậy hàm cần tìm là :
( ) .f x x