1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
TẠ XUÂN HÒA

PHÁT TRIỂN KỸ NĂNG NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
CHO HỌC SINH NĂNG KHIẾU TOÁN Ở BẬC TRUNG HỌC
PHỔ THÔNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN
CỰC TRỊ

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC
PHÁT TRIỂN KỸ NĂNG NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
CHO HỌC SINH NĂNG KHIẾU TOÁN Ở BẬC TRUNG HỌC
PHỔ THÔNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN
CỰC TRỊ

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2009
Mã số: 60 14 10
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Vũ Lƣơng
HÀ NỘI – 2009

1
MỤC LỤC
Lời cảm ơn

Mở đầu
1
1. Lý do chọn đề tài
1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2
3. Nội dung nghiên cứu

Chƣơng 2. HƢỚNG DẪN HỌC SINH TỰ NGHIÊN CỨU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
VÀ CỰC TRỊ
15
2.1. Các bất đẳng thức đại số cơ bản
15
2.1.1. Bất đẳng thức AM-GM
15
2.1.2. Bất đẳng thức BCS
18
2.1.3. Bất đẳng thức Jensen
23
2.1.4. Bất đẳng thức Chebyshev
26
2.2. Các đẳng thức, bất đẳng thức trong tam giác
28
2.2.1. Đẳng thức
28
2.2.2. Bất đẳng thức
30
2.3. Một số định lý khác
31

2
2.3.1. Định lý Lagrange
31
2.3.2. Định lý về dấu của tam thức bậc hai
34
2.3.3. Định lý về hàm tuyến tính
36
2.4. Ứng dụng quan hệ của đƣờng thẳng với đƣờng conic vào bài toán tìm

3.1.3. Tổ chức thực nghiệm
82
3.2. Một số kết quả nghiên cứu của học sinh
86
3.2.1. Tam giác đều
86
3.2.2. Tam giác cân
87
3.2.3. Tam giác vuông
88
3.2.4. Sử dụng các bƣớc đầu cơ sở
88
3.2.5. Đƣa về vectơ và tích vô hƣớng
93
3.2.6. Kết hợp các bất đẳng thức cổ điển
95
3.2.7. Tận dụng tính đơn điệu của hàm số
101
3.3. Một số nhận xét sau thực nghiệm
103
Kết luận
106
Tài liệu tham khảo

3

MỞ ĐẦU

bậc trung học phổ thông về bất đẳng thức và các bài toán cực trị”.

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu.
Mục đích nghiên cứu: Nâng cao kỹ năng nghiên cứu khoa học cho học sinh
thông qua dạy học phần bất đẳng thức và các bài toán cực trị.
Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Nghiên cứu phƣơng pháp nhằm phát triển kỹ năng nghiên cứu khoa học cho
học sinh.
- Xây dựng hệ thống các modun kiến thức trong dạy học nội dung bất đẳng
thức và cực trị cho học sinh khá giỏi.
- Thực nghiệm sƣ phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài.

3. Nội dung nghiên cứu.
- Nghiên cứu các phƣơng pháp dạy học nhằm phát triển kỹ năng nghiên cứu
khoa học cho học sinh.
- Nghiên cứu về bất đẳng thức và cực trị.
- Nhìn nhận đẳng thức, bất đẳng thức theo nhiều phƣơng diện khác nhau dựa
vào mối liên hệ tƣơng ứng giữa các số với các đại lƣợng hình học và lƣợng
giác.
- Sáng tạo bất đẳng thức bằng cách nhìn bất đẳng thức đã có theo những
phƣơng diện mới.
- Đề xuất giải pháp sƣ phạm.

4. Phƣơng pháp nghiên cứu.
4.1. Nghiên cứu lý luận.
Tìm hiểu, nghiên cứu những vấn đề liên quan đến đề tài định hƣớng cho việc
nghiên cứu; phân tích và tổng hợp những quan điểm dựa trên các tài liệu về

5
tâm lý học, giáo dục học, phƣơng pháp dạy học môn toán và các tài liệu về


6
2.3.1. Định lý Lagrange
2.3.2. Định lý về dấu của tam thức bậc hai
2.3.3. Định lý về hàm tuyến tính
2.5. Ứng dụng quan hệ của đƣờng thẳng với đƣờng conic vào bài toán tìm
cực trị của một biểu thức đại số
2.5. Phƣơng pháp xây dựng bất đẳng thức
2.5.1. Phƣơng pháp xây dựng bất đẳng thức dạng phân thức
2.5.2. Đƣa thêm tham số
2.5.3. Đổi bộ biến số
2.5.4. Ƣớc lƣợng một biểu thức đối xứng
2.6. Dạng hệ quả của bất đẳng thức Bunhiacopxki và áp dụng
2.7. Đẳng thức, Bất đẳng thức xây dựng từ những bài toán trong tam giác
2.7.1. Một số kết quả cơ bản
2.7.2. Xây dựng bài toán mới và phƣơng pháp giải
2.8. Một số phƣơng pháp đặt ẩn phụ trong chứng minh bất đẳng thức
Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM
3.1. Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm
3.1.1. Mục đích thực nghiệm
3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm
3.1.3. Tổ chức thực nghiệm
3.2. Một số kết quả nghiên cứu của học sinh
3.2.1. Tam giác đều
3.2.2. Tam giác cân
3.2.3. Tam giác vuông
3.2.4. Sử dụng các bƣớc đầu cơ sở
3.2.5. Đƣa về vectơ và tích vô hƣớng
3.2.6. Kết hợp các bất đẳng thức cổ điển
3.2.7. Tận dụng tính đơn điệu của hàm số

một bài học sẽ bắt đầu từ việc ngƣời dạy cùng với ngƣời học phát hiện/đặt ra
vấn đề cần giải quyết (vấn đề lý luận hay thực tiễn) trong khuôn khổ môn học
và liên môn. Giai đoạn tiếp theo sẽ là giải quyết vấn đề đặt ra thông qua các
Phát hiện vấn đề
(đặt câu hỏi nghiên cứu)
Đặt giả thuyết
(tìm câu trả lời sơ bộ)
Lập phƣơng án thu thập
thông tin (luận chứng)
Luận cứ lý thuyết
(xây dựng cơ sở lý luận)
Luận cứ thực tiễn
(quan sát, thực nghiệm)
Phân tích và bàn luận
kết quả xử lý thông tin
Tổng hợp kết quả/ kết
luận/ khuyến nghị 8
nghiên cứu lý thuyết và thực tiễn do ngƣời học tiến hành. Ở đây công việc của
ngƣời dạy là hƣớng dẫn và trợ giúp, công việc của ngƣời học là thực hiện việc
giải quyết vấn đề. Giai đoạn cuối sẽ là đánh giá việc đặt và giải quyết vấn đề,
và trên cơ sở đó đặt ra những vấn đề mới để giải quyết. Cứ nhƣ vậy toàn bộ
quá trình dạy học sẽ là một chu trình liên tục đặt và giải quyết các vấn đề. Có
thể hình dung quá trình dạy học nhƣ một chuỗi hoạt động liên tục nhƣ sau:


Tổng hợp kết quả/ Kết luận/
Đặt ra vấn đề nghiên cứu mới

9
vào vị trí chủ động nhất: tìm tòi, phát hiện và độc lập giải quyết (thông qua
các nghiên cứu lý luận và thực tiễn do chính mình thực hiện) các vấn đề lý
luận và thực tiễn của từng bộ môn, từng lĩnh vực tri thức.
Hình thành phương pháp làm việc khoa học. Ở đây ngƣời học đƣợc tập
luyện tối đa phƣơng pháp làm việc theo đúng quy trình nghiên cứu khoa học.
Điều này tạo cơ sở vững chắc cho việc hình thành ở ngƣời học các phẩm chất
và năng lực, kỹ năng và kinh nghiệm nghiên cứu khoa học – yêu cầu bắt buộc
đối với ngƣời trí thức thời đại kinh tế tri thức và xã hội học tập.
Phát triển hứng thú nhận thức, thỏa mãn nhu cầu tìm tòi, khám phá của
ngƣời học. Trong hƣớng dạy học này ngƣời học không chỉ tự mình tìm cách
giải quyết các vấn đề đặt ra mà còn tự phát hiện ra các vấn đề mới cần giải
quyết. Điều này thỏa mãn nhu cầu đặc trƣng của con ngƣời – nhu cầu tìm tòi
khám phá. Những cảm xúc có đƣợc thông qua sự tìm tòi khám phá, cảm xúc
thành công và cảm xúc về sự hoàn thành trọn vẹn một công việc là những
củng cố tích cực cho việc hình thành và phát triển nhu cầu và hứng thú nhận
thức của ngƣời học.
Bảo đảm tốt nhất yêu cầu cá biệt hóa dạy học, phù hợp với tốc độ, nhịp
độ học tập của từng ngƣời học. Mỗi ngƣời học đặt ra và giải quyết các vấn đề
trong khả năng của mình, với tốc độ và nhịp độ phù hợp nhất với mình. Điều
này cho phép hiện thực hóa tối đa yêu cầu cá biệt hóa dạy học, đồng thời cũng
bảo đảm một sự đánh giá khách quan nhất những tiến bộ của ngƣời học.
Phù hợp đặc điểm tâm lý-nhận thức, nhân cách của người học trưởng
thành. G.A.Kelly, nhà tâm lý học xuất sắc thế kỷ XX, nhìn nhận mỗi con
ngƣời là một nhà khoa học, nó cố gắng hiểu, lý giải, dự đoán, kiểm soát thế
giới các sự kiện để có thể tác động qua lại có hiệu quả với chúng. Cách thức
nhận thức thế giới của con ngƣời giống hệt nhƣ cách thức nhận thức của nhà

11
Phù hợp với điều kiện không gian và thời gian của việc đào tạo trong xã
hội hiện đại. Mạng thông tin toàn cầu đƣợc khai thác tối đa bởi học sinh để
phục vụ việc tìm kiếm và giải quyết các vấn đề bởi lẽ ngƣời học phải tự đặt ra
và giải quyết các vấn đề mà không thể trông chờ ở sự cung cấp của giáo viên.
Dạy học theo phƣơng pháp nghiên cứu khoa học cũng cho phép sử dụng tối
ƣu quỹ thời gian của ngƣời học. Điều này phù hợp với xu thế chung của các
chƣơng trình giáo dục trên thế giới.
Nói tóm lại, dạy học theo phƣơng pháp nghiên cứu khoa học bảo đảm
tốt nhất mục tiêu giáo dục trong khung cảnh thời đại mới nhƣ yêu cầu của
Luật giáo dục: “phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tƣ duy sáng tạo của
ngƣời học; bồi dƣỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vƣơn
lên”, và yêu cầu của Chiến lƣợc phát triển giáo dục Việt Nam 2001-2010:
“dạy ngƣời học phƣơng pháp tự học, tự thu nhận thông tin một cách có hệ
thống và có tƣ duy phân tích, tổng hợp, tăng cƣờng tính chủ động, tính tự chủ
của học sinh trong học tập”. Sự định hƣớng vào phƣơng pháp dạy học này
hoàn toàn phù hợp với định hƣớng của Nghị quyết 02-NQ/HNTW BCH TW
Đảng khóa VIII: “Đổi mới mạnh mẽ phƣơng pháp giáo dục đào tạo, khắc
phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện nếp tƣ duy sáng tạo của ngƣời học.
Từng bƣớc áp dụng các phƣơng pháp tiên tiến và các phƣơng tiện hiện đại
vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu
cho học sinh, nhất là sinh viên đại học”.
1.1.3. Những yêu cầu của dạy học theo phương pháp nghiên cứu khoa
học
Dạy học theo phƣơng pháp nghiên cứu khoa học đòi hỏi, trƣớc hết, ngƣời
giáo viên phải là một nhà nghiên cứu khoa học, biết cách tìm tòi và giải quyết
các vấn đề lý luận và thực tiễn nảy sinh. Chỉ trong trƣờng hợp này ngƣời dạy
mới có thể hƣớng dẫn ngƣời học học - nghiên cứu đƣợc.

12

trƣờng chuyên. Mục tiêu của những lớp này là phát hiện những học sinh có
năng lực toán học, bồi dƣỡng các em phát triển tốt về mặt này trên cơ sở giáo
dục toàn diện, góp phần đào tạo đội ngũ cán bộ khoa học kỹ thuật giỏi, trong
số đó một số có thể trở thành nhân tài của đất nƣớc.

1.2.2. Năng khiếu toán học
Năng khiếu, theo định nghĩa của từ điển tiếng Việt là năng lực trội,
năng lực đặc biệt của con ngƣời xuất hiện từ khi còn nhỏ. Nhƣ vậy năng khiếu
toán học có thể coi nhƣ một tổ hợp những năng lực toán học, mà ở lứa tuổi
học sinh thể hiện rõ nhất ở năng lực học toán.
Nhà tâm lý học V.A.Kơrutecxki cho rằng: " Năng lực học tập toán học
là những đặc điểm tâm lý cá nhân (trƣớc hết là các đặc điểm hoạt động trí
tuệ), đáp ứng yêu cầu hoạt động học toán và giúp cho việc nắm giáo trình
toán một cách tƣơng đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng và kỹ
xảo toán học" [51,tr13]
Viện sĩ toán học A.N.Kônmôgôrôp viết trong cuốn sách "Về nghề
nghiệp của nhà toán học": Để nắm vững toán học một cách có kết quả ở mức
độ cao thì đòi hỏi cần có những năng lực toán học đƣợc phát triển, năng lực
này mang ý nghĩa sáng tạo khoa học. Theo ông, thành phần cơ bản của năng
lực toán học gồm có:
- Năng lực biến đổi khéo léo những biểu thức chữ phức tạp, năng lực tìm ra con
đƣờng giải phƣơng trình không theo quy tắc chuẩn, năng lực tính toán.
- Trí tƣởng tƣợng hình học hay là trực giác hình học.
- Nghệ thuật suy luận lôgic theo các bƣớc đã đƣợc phân chia một cách đúng
đắn kế tiếp nhau, nguyên tắc quy nạp toán học là tiêu chuẩn tốt cho sự trƣởng
thành lôgic hoàn toàn cần thiết đối với nhà toán học.

14
Theo quan điểm tâm lý học, trong mỗi con ngƣời đều tiềm tàng một
năng khiếu, một tài năng, tất nhiên ở mức độ khác nhau. Đó là một kết luận

- Rèn luyện tƣ duy lôgic và ngôn ngữ chính xác.
- Phát triển khả năng suy đoán và tƣởng tƣợng.
- Rèn luyện các hoạt động trí tuệ cơ bản, các thao tác tƣ duy nhƣ: Phân
tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, trừu tƣợng hoá.
- Hình thành, rèn luyện những phẩm chất trí tuệ nhƣ: Tính linh hoạt,
tính độc lập, tính sáng tạo trong tƣ duy.

1.3. Xác định Đề tài nghiên cứu và định hƣớng nghiên cứu

Tính mới: Không trùng lặp hoàn toàn với các công trình khoa học trƣớc đó.
Tính thời sự: Xã hội hiện nay đang quan tâm, thể hiện trên TV, mạng, báo
chí,…
Tính thực tiễn: Nhằm giải quyết các hiện tƣợng xã hội đang diễn ra, hoặc sắp
diến ra trong tƣơng lai gần đối với đất nƣớc hoặc 1 địa phƣơng.
Tính khả thi: Có thể đƣợc ứng dụng ngay để giải quyết các vấn đề đang đặt ra,
phù hợp với hoàn cảnh thực tiễn, không bị lệ thuộc vào quá nhiều điều kiện
khách quan, …
Tính hợp lý: Phải chứng minh đƣợc bằng những lý thuyết, những lập luận
logic, những thông tin và số liệu thống kê, điều tra, …
Tính ứng dụng: Có thể ứng dụng đƣợc các kiến thức đƣợc cung cấp trong quá
trình học để giải quyết vấn đề.
Tính kế thừa: Cố gắng không bắt đầu từ đầu, phải tận dụng đƣợc những kết
quả có sẵn của các công trình nghiên cứu trƣớc đó, từ đó thể hiện rằng công
trình của mình là một bƣớc tiến mới so với các công trình trƣớc đó.
Tính hấp dẫn và hữu ích đối với bản thân: Đề tài đó làm mình thấy lôi cuốn,
phù hợp với sở thích riêng, phù hợp với công việc của mình trong tƣơng lai. 16
1.4. Các bƣớc trong quá trình nghiên cứu

17
Chƣơng 2
HƢỚNG DẪN HỌC SINH TỰ NGHIÊN CỨU
VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ
Để bắt đầu một cuộc hành trình, ta không thể không chuẩn bị hành trang để
lên đƣờng. Toán học cũng vậy. Muốn khám phá đƣợc cái hay và cái đẹp của
bất đẳng thức, ta cần có những “vật dụng” chắc chắn và hữu dụng.

2.1. Các bất đẳng thức đại số cơ bản :

2.1.1. Bất đẳng thức AM - GM :

Với mọi số thực không âm
n
aaa , ,,
21
ta luôn có
n
n
n
aaa
n
aaa


aa
(đúng!)
Giả sử bất đẳng thức đúng đến
kn 
tức là :

k
k
k
aaa
k
aaa21
21



Ta sẽ chứng minh nó đúng với
kn 2
. Thật vậy ta có :
   
  
  
k
kkk
k
kkk
k

Tiếp theo ta sẽ chứng minh với
1 kn
. Khi đó :

18
 
1
121121
1
121
1
121121
1
121121
1 










k
kk


n
n
Aaaa 
21
(*)
Rõ ràng nếu
Aaaa
n

21
thì (*) có dấu đẳng thức. Giả sử chúng không
bằng nhau. Nhƣ vậy phải có ít nhất một số, giả sử là
Aa 
1
và một số khác,
giả sử là
Aa 
2
tức là
21
aAa 
.
Trong tích
n
aaaP
21

ta hãy thay
1


Trong tích
n
aaaaP '''
321

có thêm thừa số bằng
A
. Nếu trong
'P
còn thừa
số khác
A
thì ta tiếp tục biến đổi để có thêm một thừa số nữa bằng
A
. Tiếp
tục nhƣ vậy tối đa
1n
lần biến đổi ta đã thay mọi thừa số
P
bằng
A
và đƣợc
tích
n
A
. Vì trong quá trình biến đổi tích các thừa số tăng dần
n
AP 


   
33tantantan
tantantan27tantantan
tantantan3tantantan3tantantan
2
33



CBA
CBACBA
CBACBACBA

Đẳng thức xảy ra
 CBA


ABC đều.

Ví dụ 2.1.1.2. Cho

ABC nhọn. CMR :
3cotcotcot  CBA

Lời giải :

Ta luôn có :
 
CBA cotcot 


Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

ABC đều.

Ví dụ 2.1.1.3. CMR với mọi

ABC nhọn và
*Nn
ta luôn có :

2
1
3
tantantan
tantantan




n
nnn
CBA
CBA

Lời giải :
Theo AM - GM ta có :

   
 
 


đpcm.

Ví dụ 2.1.1.4. Cho a,b là hai số thực thỏa :
0coscoscoscos  baba

CMR :
0coscos  ba

Lời giải :
Ta có :

  
1cos1cos1
0coscoscoscos


ba
baba

Theo AM - GM thì :

   
  
0coscos
1cos1cos1
2
cos1cos1



cos
coscos
2
cos
2
cos
coscos
2
cos
2
cos
coscos








ACCBBA
AC
AC
CB
CB
BA
BA

Lời giải :
Ta có

cos
2
cos4
coscos
4
3
2
cot
2
sin
2
cos2
cos

Theo AM - GM thì :
















cotcot
4
3
2
sin
2
sin
2
cos
2
cos4
coscos
4
3
2

Tƣơng tự ta có :














sin
3
2
2
cos
2
cos
coscos

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta đƣợc :
 
ACCBBA
ACCBBA
AC
AC
CB
CB
BA
BA
cotcotcotcotcotcot
2
3
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin


2
3
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
3
2








ACCBBA

đpcm.
bbbaaabababa Chứng minh :
Cách 1 :

Xét tam thức :

     
22
22
2
11
)(
nn
bxabxabxaxf 

Sau khi khai triển ta có :

 
 
 
22
2
2
12211
2
22
2
2

b
a
b
a

2
2
1
1
(quy ƣớc nếu
0
i
b
thì
0
i
a
)

Cách 2 :

Sử dụng bất đẳng thức AM - GM ta có :

  
22
2
2
1
22
2




Cho i chạy từ 1 đến n rồi cộng vế cả n bất đẳng thức lại ta có đpcm.

Ví dụ 2.1.2.1.
CMR với mọi

,,ba
ta có :
  
2
2
1cossincossin








ba
ba


Lời giải :

Ta có :
    

Theo BCS ta có :

 
2cossin
22
BAxBxA 

áp dụng
 
2
ta có :

       
  
 
31112cos12sin
22
22
 baabbaabba


Thay
 
3
vào
 
1
ta đƣợc :

22






ba
baab

Thật vậy :

 
  
  
2
2
11
24
111
2
1
22
1
5
22
22
22
22




 
1
và
 
5
suy ra với mọi

,,ba
ta có :

  
2
2
1cossincossin








ba
ba


Đẳng thức xảy ra khi xảy ra đồng thời dấu bằng ở
 
1
và







Zkk
ab
ba
arctg
ba
ab
ba
tg
ba
abba
ba
212
1
1
2cos
1
2sin
22




33
222
ba
c
b
y
a
x
ba
c
bab
y
a
x








Theo BCS thì :

 
  
2
2
2
1