Đ Ạ I H Ọ C Q U Ố C G I A H À N Ộ I
T R Ư Ò N G Đ Ạ I H Ọ C K H O A H Ọ C T ự N H I Ê N
T Ê N D Ề TÀ I
B À I T O Á N D Ạ N G C A U C H Y
K O V A L E P S K A Y A V À M Ộ T s ố Ứ N G D Ụ N G
M Ã S Ố Q G . 1 1 . 0 1
CHỦ TRÌ ĐỀ TÀI:
PGS.TS. NGUYỄN THÀ NH VĂN
CÁC CÁN B ộ THAM GIA
PGS.TS. ĐẶNG ĐÌNH CHÂU
THS. PHẠM VIỆT HẢI
THS. LÊ MẠNH THỰC
THS. LỀ CƯỜNG
H à N ộ i - 2 0 1 3
B Á O C Á O T Ó M T Ă T D Ê TÀ I
Tên đề tài : Hài toán dạng Cauchy-Kovalcpskaya vù một số ứng dụng
I. M ục tiê u và nội d un g ng h iên cứu
Nghiên cứu một cách có hệ thống lý thuyết phương pháp toán tử vi
phân tuyến tính và một số dạng đơn giản của PTĐHR cấp một .
Nghiên cứu lý thuyết cặp toán tử liên kết và áp dụng vào việc giải bài
toán giá trị ban đầu dạng Cauchy - Kovalevskaya.
II. C ác k ết qu ả đ ạ t được
2.1. K ế t q u ả k h o a học
Trong khi thực hiện đồ tài này chúng tôi đả nhận được một số kết quả
sau:
a) Nghiên cứu lý thuvết toán tử vi phân liên kết , xây dựng phương
pháp giải một lớp phương trình đạo hàm riêng tuyến tính . Cụ thể hơn
chúng tõi dã nghiên cứu bài toán giá trị ban đầu dạng :
ớ đây t là biến thời gian. X = ( j ' l , X
2
, X\i) € G c M:ỉ. L là toán tử tuyến

Analysis 20 13,V .6 ,N .3
4. Dang Dinh Chau . On sufficient conditions of the asymptotic equivalence
of strongly continuous evolution processes. Acta M athem atica Vietnam ica
(submitted)
0 2 báo cáo ớ các hội nghĩ khoa học trong nước
1.Dang Dinh Chau and Nguyen Canh Duy. On the stability of the Voltera
integral equations and the a sym p totic behavior of the age-dependent pop
ulatio n . Dại hội toán học Việt Nam lần thứ 8 10-14/10/2013
2. Le M anh Thuc . Traveling wave dispersal in partially sedentary age-
structured populations. Dại hội toán học Việt Nam lần thứ 8 10 -1 lị/10/2013
tcxtbf2.3. Kết quả đào tạo.
3
Đ ã hướng dẫn thành công 02 luận văn thạc sĩ:
1 . Nguyễn Công Hùng. Dáng điệu tiệm cận của họ các toán tử tiến hóa có
nhiẻu và một vài ứng dụng (20 12).
2. Nguyên Thị Mơ. Sử dụng phương pháp Lyapunov đổ nghiên cứu tính ổn
địn h của các phương trình v i phân và m ột số mô h ìn h ứng dụng (2012 ).
Dã hướng dẫn thành còng 02 khóa luận tốt nghiệp.
1 . Phạm Tuấn Anh. Ưng dụng phương pháp Lyapunov để nghiên cứu tính
ổn định nghiệm trong các mô hình quần thể (20 13 ).
2. Nguyễn Cảnh Duy. Mô hình ứng dụng của lý thuyết nửa nhóm liên tục
mạnh và các toán tử tiến hóa trong bài toán Cauchy trừu tượng (2013).
III. T ìn h h ìn h kin h p h í c ủ a đề tà i (hoặc d ự án):
Tông kinh phí đề tài 160 triệu dồng, đã chi theo dự toán được phê duyệt.
K H O A Q U Ả N LÝ C H Ủ T R Ì Đ Ề TÀ I
PGS.TS. Nguyễn Thành Vãn
T R Ư Ờ N G Đ A I H O C K H O A H O C T Ư N H IÊ N
4
S U M M A R Y
a .P r o je c t tile :

(4)
associate operators and then extended the results to sonic genreral classes
of pairs of associate differential operators L and /.
b) We study the theories of differential operator and linear partial dif
ferential equations. We have applied the semi-group theory to study prop
erties of the solutions of a class of the first order linear partial differential
equations and show a probability to apply for investigating the model of
biologic population with perturbation.
1. P ub licatio ns.
03 international paper, 01 Vietnamica paper
] Le Cuong. Le Hung Son, Nguyen T hanh Van.The IVP for potential vec
tor field depending on tim e with more generalized governing rules. South
Asian Journal of Mathematics 2012, Vol. 2 (2): 82 ~ 87
2 .Le Cuong . Initial value problem in generalized potential vector field.
South Asian Journal of M athematics 2012, Vol. 2 (2 ): 279 ~ 284
3.Dang Dinh Chau and Nguven M anh Cuong . Asymptotic Equivalence
of Abstract Evolution Equations. International Journal of Mathematical
Analysis 2013,V.6,N.3
4. Dang Dinh Chau . On sufficient conditions of the asymptotic equivalence
of strongly continuous evolution processes. Acta Mathernatica Vietnamica
(submitted)
02 lecture at conference in Vietnam
1. Dang Dinh Chau- Nguyen Canh Duv. On the stability of the solutions of
the voltera integral equations and the asymptotic behavior of the model of
age-dependent population. The 8th Vietnamese Mathematical Conference
10 -14 / 8 /2 0 IS
2. Lc Manh Thuc . Traveling wave dispersal in partially sedentary age-
structured populatio ns. The 8 th Vietnamese Mathematical Conference 8
10-14/10/2013
2. E d uca tio n a n d train in g :

2 .2 .1 C á c phương trìn h so sánh tích phân được và kh ái
niệm tương đương tiệm cận của chúng

34
2.2.2 Về tính song ổn định của nửa nhóm liên tục mạnh
và các điều kiện đủ của sự tương đương tiệm cận . . 36
2.2.3 Về tính chất nghiệm của bài toán dân số phụ thuộc
vào tuổi 37
K ế t lu ậ n 41
9
M ở đ ầ u
Các mô hình ứng dụng trong thực tế thường gắn liền với các phương
trình toán tử trong các không gian Banach. Tuy nhiên mỗi một lớp các
toán tử được nghiên cứu đều có những đặc trưng riêng biệt m à từ đó các
nhà khoa học đã tìm cách liên kết với các bài toán ứng dụng . Lý thuyết
toán tử vi phân là một lĩnh vực quan trọng trong toán học. Điều thú vị
nhất khi chúng ta nghiên cứu các tính chất của chúng là khả năng ứng
dụng của nó trong khoa hoc và kỹ thuật . Với mục tiêu đó chúng tôi đã
tập trung cố gắng nghiên cứu lý thuyết toán tử vi phân , toán tử tuyến
tính và đăc biệt là toán tử vi phân liên kết , sau đó là bước đầu tìm hiểu
một số ứng dụng của chúng trong các bài toán với giá trị ban đầu.
Trong khi thực hiện đề tài này chúng tôi đã nhận được một số kết quả
sau:
a) Nghiên cứu lý thuyết toán tử vi phân liên kết bằng cách sử dụng
lý thuyết của giải tích phức, xây dựng phương pháp giải một lớp phương
trình đạo hàm riêng và chỉ ra khả năng ứng dụng của nó . Cụ thể hơn
chúng tôi đã nghiên cứu bài toán giá trị ban đầu dạng :
ơ đây t là biến thời gian. X = (.7'1 . X‘
2
, .ĩ'3 ) G 6 ' c ]R:\ L là toán tử tuyến

Với X G Ma ta kỷ hiệu < X > bởi:
< X > : = (1 + I.rị2 )2.
Ta định nghĩa không gian Schwartz s trên đó là tập của / € c 30 sao
cho
\Daỉ(x)\ < c„,s < X > - 3
đối với mọi X E 1R'S. Cabeta < 3C, tất cả đa chỉ số Q và mọi Ị3 > 0.
Rõ ràng s chứa tập C'f := C'^C’( R A' ) của các hàm trơn trón R A và chúng
sẽ triệ t tiêu nếu U i là đủ lớn
12
Theo định nghĩa một toán tử vi phân tuyến tính trong R A là một toán
tứ có dạng
1.1.2 T o á n tử v i p hâ n
0 đây ta giả sứ rằng tống được nói trong định nghĩa là hữu hạn và miền
xác định của L là s. . Chúng ta nói rằng toán tử như vậy là bất biến dịch
chuyển nếu TUL — LTU đối với u G RjV, trong đó
Giả sử p là lớp các hàm khả vi liên tục cấp vô hạn / trong IRA thỏa
mãn điều kiện:
Bổ đề 1 . Nếu các hệ số aa(x) nằm trong lớp p thì toán tử vi phân được
đinh nghĩa bởi (1.1) là ánh xạ s lên s. Toán tứ này là bất biến dịch chuyển
nếu và chỉ nếu các hệ số là hằng số.
1.1.3 Phư ơng trình chuyển dịch
Một phương trình đạo hàm riêng (ĐHR) phi tuyến cấp một tổng quát
thường có dạng
ở đ â y , II € Ư , F : ư X R X IRn -4 R là hàm đã biết và u : ư —> M là nghiệm
cần tìm u — n(x). Trong đó ư là một tập mở trong R"
Xét phương trình dạo hàm riêng (ĐHR) :
trong đó b là một véc tơ thuộc Mn. uịt, x) là hàm cần tìm, X — (x i, x n) E
R" là biến không gian, t > 0 là biến thời gian. Đây là một trong các dạng
13
(1.1)

trên đường thẳng đó và u(x — tb, 0 ) = g(x — tb), ta có
u(x, t) = g(x - tb) (x e Mrt. t > 0) (./: e R n. t > 0). (1.4)
14
Do dó. (1.3) có nghiệm, thì nghiệm dó phải được tính bằng công thức (1.4).
Ngược lạ i. bằng cách tín h trực tiếp ta dễ dàng thấy rằng nếu (J là C'1 thì
II được tính theo (1.4) đúng là nghiệm của (1.3).
Chú ý 1. Nếu (J là hàm không thuộc c thì rõ ràng là phương trình (1.3)
không có nghiệm c 1. Nhưng ngay cả trong trường hợp này, công thức (1.4)
củng cho ta một "nghiệm" của (1.3) theo một nghĩa nào đó. Ta có thê gọt
n(.T.t) = g{x — tb) là nghiệm yếu cua (1.3), m ặc dù g không phải là c 1, vì
công thức (1.4) vẫn có nghĩa thậm chí khi g là hàm số gián đoạn. Những
khải niệm về nghiệm yếu như vậy chúng ta sẽ đề cập đến ở những phần
sau.
1.1.5 Bài toán không th uần nhất
T a xót bài toán không thuần nhất, tức là vế p hải khác khõng
Cũng giống như mục trước, với (x, t) € Rn + 1 ta đặt s(,s) := u(x + bs, t + s)
với > G R. Khi đó
z(s) = Duịx + sb, t + s).b + Uị(x + sò, t + s) — f(x + bs, t + s).
Suv ra
ut + b.Du — f t r o n g IRn X (0 , 3 0 )
u = g tr ê n ]Rn X { t. = 0 }
( 1 .5 )
•u{x, t) - g{x
tb) = 2 (0 ) - z(-t.) = í z(s)d,
s
0
f( x 4 - sò, t + s)d.s
t
\'à như vậv
v(x. t) = g(x - tb)

dịU — —dxu
u(0. x) = —
X
Hàm giá trị ban đầu có một kì dị tại điểm X — 0 là một điểm biên của
Q. Nghiệm của bài toán giá trị ban đầu là u(t,x) — chỉ ta rằng điểm
kì dị tại điểm biên có thể dịch vào bên trong miền Q. theo sự thay đổi
của thời gian. Nó dẫn đến việc hạn chế khoảng thời gian m à trên đó tồn
tại nghiệm. Điểm X càng gần biên thì khoảng thời gian có thể được càng
nhỏ. Nói chung, nghiệm của bài toán giá trị ban đầu (1.7) và (1.8)(nghĩa
là điểm bất động của toán tử (
1 .1 1 )) tồn tại trên một miền trên Để
xây dựng m iền nón nàv, chúng ta p hả i đó khoảng cách từ một điếm X €
tới biên. Với mục đích này, xét một phép vét cạn trên Í7 bằng một họ các
m iền con Qs, 0 < s < So, thỏa m ãn các điều kiện sau:
i) Nếu s' < s ” thì Qg' là một tập compact của
ii) Với m ỗi điểm Xo G xác địn h cho trước, m ỗi điểm X 6 r ỉ thuộc vào
biên của một miền các định duy nhất Í2 s(i) của họ;
iii) Tồn tại một hằng số dương C\ sao cho với mỗi s', s" thỏa m ãn s' < s",
khoảng cách từ Qs> đốn d ũ S' có thể ước lượng bởi công thức:
dist(Q,s',d ũ s") > Cị(s" — s')
Đ ặt s(xo) = 0, xét M là tập sau:
M = {(t. x) : X e n , 0 < t < T){so - Sj)}
Miền M có chiều cao là Ĩ]S(). Do đó:
dịt., r) = s0 - s(x) - - ( 1 .1 1 )
n
Q Ả c (-■ 3ế'
1 .2 .2 K h ô n g g ia n B an a ch có trọ n g và ứ ng d ụ n g
17
là m ột hàm trọng số nhận g iá trị dương trong M và triệt tiêu trên mặt
hen của M. Sử dụng hàm trọng số này. chúng ta có thế xem xét hàm

được cho bởi cõng thức ( 1.1 2 );
iii) Chuẩn
IM I* = sup ||u ( f ,.) ||a(x)d(f,.r) (1-13 )
(t.x)eM
là hữu hạn.
Định nghĩa (1.13) về chuẩn ||.||, dẫn đến ước lượng sau:
! M f , . ) I U x , < | Ệ y (1-14)
với mỗi điểm t, X trong M .
M ệnh đề 1 . B*(M) là một không gian ỉìanach.
C h ứ n g m in h . Chú ý rằng bất đẳng thức d(t, x) > ổ > 0 xác định một
tập con đóng Mị của miền nón M . Mỗi điểm của M được chứa trong một
tập con Mỹ với ỏ được chọn thích hợp. Với các điểm (f,.r)trong Ms, định
nghĩa (1.13) cho chúng ta ước lượng:
l|u(í,.)IU *) < ^IM I*
X é t m ột dãy C auchy U\, ?í‘2 , với chuẩn ||.||*. với V và Ị.L đủ lớn, chúng ta
| K - u J | . < ể (1.15)
Do đó:
\\uv{t, .) - vv {t, .)ll,(x) < (1-16)
với các điểm trong Ms. Từ đó suy ra:
. 1
\Uy Wmií| ^ *”2Tf
ò
với các điểm trong Mỹ. Khi đó {un} là một dãy Cauchy hội tụ đều trong
mỗi Mộ. nghĩa là Uy 1 4 lu(t.x) trong M. Tương tự. ước lượng (1.16) chi
19
ra rằng vơi I — t và s(x) < 5, hàm giới hạn thuộc vào /?.s(:r) do tính dầy
rĩii của không gian hàm JÌ(Q). Trong bất dẳng thức (1.15), cho // — > DC,
chúng ta được \\uv — IU II* < e và do đó IIỉ/, 11» là hữu hạn.
1.2.3 Đ ánh giá các toán tử vi-tích phân
Toán tử (1.9) được xác định chỉ với các u = u(t,x) có các đạo hàm

£ _
C\ d 2{t, X )
li .
( 1 . 1 9 )
Tóm lại, kí hiệu vế phải L(t,x, u,dx u) trong (1.21)bởi Lu, nghĩa là chúng
ta có trong trường hợp đặc biệt Lỡ — L(t, X, 0, 0). Tiếp đó, chúng ta phải
ước lượng chuẩn của Lu. Để làm được điều đó, chúng ta giả sử rằng Lu
thỏa mãn các điều kiện sau:
i) Lỡ liên tục:
ii) Chuẩn ||LỠ||s là giới nội và do đó ||LỠ||* là hữu hạn;
iii) Lu thỏa mãn điều kiện Lipschitz:
IILu - Lvịịs < A0\\u - v\\a + ^A j\\d Xiu - dXjv\\s
j
Sử dụng (1.28) và (1.33), điều kiện Lipschitz áp dụng cho V — 0 suy ra:
II M U * ) II ^ \\L0\\sM + ^olMls(x) + r . Aj\\dxjU\\s(x)
j
- ị m - d ĩ b > + A o M U d ( h ) + 7 T £ AjịU
1
"<P(t,x)
J
d {t, x) Cị ^ đ {t, X)
(1.20)
do So > d(t,x). Định nghĩa (1.10) của hàm trọng số d(t,x) dẫn đến
/■ ' « , -
J0 (pự.x) d(t, x)
v à d o đ ó :
L uxÌt
<
s(x)
<l(t. x)

M ệnh dề 3. Ta có ước lượng sau
\\Ư -V \l< Vc,\\u-v\U
1.2.4 Á p (lụng nguyên lý ánh xạ co giải bài toán giá trị ban đầu
Mệnh đề J và 2 ch) đúng trong trường hợp giả thiệt Ii(t. x) £ B*i-\ỉ) và
(’(/ r) e thỏa mãn đánh giá trong cấp một.
Dó không phải là trường hợp cho một phần từ bất kì của /?,(.)/). Đổ áp
dụng các ước lượng này. chúng ta phải tìm một tạp con đóng của
mà trcn đó giả thiết này là đúng. Một tập con như vậy có thể xác định
như một tập tất cả các nghiệm của phương trình eliptic ỉu — 0. Kí hiệu:
B[{M) — {u(t, x) G B*{M) : luịt,.) = 0 với mỗi t}
Chú ý rằng / phải là một toán tử eliptic với các hệ số phụ thuộc và t. Điều
kiện (1.17) có thể được kiểm tra bằng việc sử dụng một đánh giá trong các
nghiệm củ a phương trìn h vi phân elip tic, với
B[{M ) là đóng trong định
lý W eierrstrass về sự hội tụ đối với nghiệm của phương trình eliptic. Để
áp dụng nguyên lý ánh xạ co, toán tử (1 .1 0 ) phải là ánh xạ chuyển không
gian B[(M) vào chính nó.
Định nqhĩa 2. Xét L là một toán tử khả vi cấp một theo t, X, u — u(t, x)
và các đạo hàm cấp một dịU, với ỉ là một toán tử vi phân chỉ phụ thuộc vào
cấc biến không gian Xj với các hệ số không phụ thuộc vào thời gian t. Khi
đó L và I dược qọi là cặp toán tử liên kết nếu L ánh xạ không gian nghiệm
của phương trình lu = 0 vào chính nó với mỗi t xác định cho trước, nghĩa
là ỉu = 0 kéo theo l(Lv) = 0.
Chú ý 3. Chú ý rằng I không nhất thiết phái là toán tử vi phân cấp I.
Định nghĩa 3. Không gian nghiệm của phương trình lu = 0 được gọi là
không gian hên kết (associated space).
Theo M ệnh đề 2. toán tử tích phân tương ứng (1.9) là co nếu chiều cao
ìỊSo của miền M đủ nhỏ, do đó định lý sau dược chứng minh.
Định lý 1 . Giá sử rằng LẠ là một cặp toán tứ liên kết. Hơn nữa, giá sử
rằng các nghiệm của ỉu — 0 thỏa mãn điều kiện đánh giá trong cấp một.

C á c k ế t q u ả c h í n h
2.1 V éc tơ th ế và b à i to á n giá trị b a n đ ầ u
Véc tơ thế u = {u 1 , Ĩi2 , U3 ) trong R 3 được coi là nghiệm Riezs
divu — 0, rotu — 0
(2.1)
nghĩa là các thành phần u 1 , U2 , 'U3 thỏa mãn hệ
0, 1 < i < 3 < 3
véc tơ thế có nhiều tính chất tương tự như hàm chỉnh hình. Trong [15],
W .Tutschke đã mở rộng định lý Cauchy-Kovalevskaya cho véc tơ thế. Bài
toán đặt ra là tìm véc tơ thế u — u(x,t) phụ thuộc vào t và thỏa mãn
phương trình
và thỏa mãn điều kiện ban đầu
ớ đây ọ là véc tơ thế đã cho. còn L là toán tử vi phân bậc nhất tác
động lên véc tơ mà ánh xạ tất cả véc tơ thế vào chính nó. Nghiệm của bài
tcán được xây dựng bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp. Dãy các nghiệm
xấp xỉ liên tiếp hội tụ đều trong K X io. X], ớ đây K là một tập compact
u{x, 0) =
25