LỜI NÓI ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
1.Cơ sở lý luận.
Trong nhà trường phổ thông, nội dung kiến thức Toán học trang bị cho
học sinh không chỉ bao gồm các khái niệm, định lí, qui tắc mà còn cả các kĩ
năng và phương pháp. Vì vậy, hệ thống tri thức đó không chỉ có trong bài giảng
lí thuyết mà còn có trong bài tập tương ứng. Dạy học giải toán có vai trò đặc biệt
trong dạy học toán ở trường phổ thông. Các bài toán là phương tiện có hiệu quả
không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển
tư duy, hình thành kỹ năng và kỹ xảo. Hoạt động giải toán là điều kiện để thực
hiện tốt các mục đích khác của dạy học Toán.
2. Cơ sở thực tại.
Tuy nhiên, thực tiễn dạy học Toán ở trường phổ thông cho thấy năng lực
giải Toán của học sinh còn hạn chế. Nguyên nhân chủ yếu đó là: Phương pháp
dạy học chủ yếu dựa trên quan điểm giáo viên là trung tâm của quá trình dạy
học, trong đó giáo viên truyền thụ kiến thức mang tính áp đặt, việc lĩnh hội tri
thức của học sinh mang tính thụ động cao. Phương pháp thuyết trình của giáo
viên được sử dụng quá nhiều dẫn đến trình trạng hạn chế hoạt động tích cực của
học sinh, việc sử dụng các phương pháp dạy học phát huy tính tích cực, tự lực và
sáng tạo ở mức độ hạn chế, gắn nội dung dạy học với các tình huống thực tiễn
chưa được chú trọng. Những nguyên nhân trên dẫn đến thực trạng là thế hệ trẻ
được đào tạo trong trường phổ thông mang tính thụ động cao, hạn chế khả năng
sáng tạo và năng lực vận dụng tri thức đã học để giải quyết các tình huống thực
tiễn cuộc sống.
Rèn luyện thao tác tư duy cho học sinh trong dạy học giải Toán có vai trò
quan trọng trong việc phát triển khả năng tư duy của học sinh, để từ đó có khả
năng thích ứng khi đứng trước một vấn đề cần giải quyết. Học sinh cũng thấy
được mỗi lời giải bài toán như là một quá trình suy luận, tư duy của học sinh mà
1
phương pháp giải không chỉ phụ thuộc vào đặc điểm của bài Toán mà còn phụ
thuộc tố chất tâm lý của bản thân người giải. Mối liên hệ, dấu hiệu trong bài

lực giải toán cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở
trường phổ thông.
IV. ỨNG DỤNG
Sáng kiến kinh nghiệm có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên trong
việc dạy học.
Mặc dù đã cố gắng rất nhiều, nhưng các vấn đề đưa ra ít nhiều còn thiếu
sót, hạn chế. Mong được sự góp ý của các quý thầy cô và bạn đọc.
Xin trân trọng cảm ơn!
Hoằng Hoá, tháng 05 năm 2013.
Người viết
Nguyễn Ngọc Đô
3
NỘI DUNG
I.CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN.
Thực tiễn sư phạm cho thấy, giáo viên thường chưa chú ý đến phát huy tác
dụng giáo dục của bài toán, mà thường chú trọng cho học sinh làm nhiều bài
toán. Trong quá trình dạy học, việc chú ý đến chức năng của bài tập toán là chưa
đủ mà giáo viên cần quan tâm tới lời giải của bài tập toán. Lời giải của bài tập
toán phải đảm bảo những yêu cầu sau:
- Lời giải không có sai lầm. Học sinh phạm sai lầm trong khi giải bài tập
thường do ba nguyên nhân sau:
+ Sai sót về kiến thức toán học, tức là hiểu sai định nghĩa của khái niệm,
giả thiết hay kết luận của định lý,
+ Sai sót về phương pháp suy luận.
+ Sai sót do tính sai, sử dụng ký hiệu, ngôn ngữ diễn đạt hay do hình vẽ sai.
- Lời giải phải có cơ sở lý luận.
- Lời giải phải đầy đủ.
- Lời giải đơn giản nhất.
Giáo viên dạy học sinh phương pháp giải bài tập toán
- Huy động kiến thức có liên quan:

và kinh nghiệm
giải Toán
Hướng 1
Nhận thức
đề→Phân tích 1→
chọn lựa hoặc bỏ
Hướng 2
Nhận thức
đề→Phân tích 2→
chọn lựa hoặc bỏ
Nhận thức
đề→Phân tích k→
chọn lựa hoặc bỏ
Hướng
thứ k
Chọn lựa được hướng giải thích hợp
Tiến hành phân tích, tổng hợp để đưa
ra lời giải của bài tập
II.GIẢI PHÁP RÈN LUYỆN TƯ DUY QUA GIẢI TOÁN.
1.Phân tích và tổng hợp.
Do vậy việc rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh qua việc giải bài
tập nhất thiết phải được tiến hành thông qua sự phân loại học sinh. Không có
một cách “rèn luyện” nào phù hợp cho mọi đối tượng, thậm chí có những quá
trình phân tích-tổng hợp khi giải một bài tập là rất kết quả đối với học sinh này
nhưng lại “vô nghĩa” với học sinh khác. Vì thế, tìm hiểu kĩ đối tượng, nghiên
cứu kĩ bài tập định truyền đạt, tự thầy giáo phải phân tích kĩ một bài tập trước
khi hướng dẫn cho học sinh quá trình phân tích-tổng hợp khi giải bài tập toán là
rất quan trọng. Dưới đây là một số ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. CMR nếu A, B, C là 3 góc của một tam giác thì:
cosA + cosB + cosC

= sin
2
A
; cosA = cos2
2
A
= 1 - 2sin
2

2
A
.
Hoạt động phân tích này lại dựa trên cơ sở tổng hợp, liên tưởng tới công
thức cos2a = 1- 2sin
2
a.
- Hoạt động tổng hợp, ta có lời giải:
(1)
⇔
1 - 2sin
2

2
A
+ 2cos
2
B C+
cos
2
B C−

2
B C−
≥
0 (2)
Bất đẳng thức (2) luôn đúng, nên (1) đúng.
Ví dụ 2.(Bài tập 4- Trang 79 SGK Đại số 10)
CMR: a
3
+ b
3
> a
2
b +ab
2
với a, b
∈
R
+
và a
≠
b.
6
Nếu chỉ dùng phép tổng hợp để giải, suy nghĩ làm sao để từ a
3
+ b
3
suy ra
nó lớn hơn a
2
b + ab

2
> ab
⇔
(a –b)
2
>0 (a
≠
b)
Trên cơ sở phân tích cùng với phép tổng hợp ta có lời giải:
Vì a, b
∈
R+ và a
≠
b nên a + b >0, (a –b)
2
>0.
a
3
+ b
3
= (a+b)(a
2
- ab +b
2
) = (a+b)[(a - b)
2
+ ab]
= (a+b)(a - b)
2
+ (a+b)ab> (a+b)ab = a

+
+

2
3
≤
” với m, n là các số nguyên dương.
Việc chứng minh hết sức đơn giản, ta đặt
mA nB
m n
+
+
=x,
mB nC
m n
+
+
=y,
mC nA
m n
+
+
=z
Thì x, y, z cũng là 3 góc của tam giác nào đó, suy ra điều phải chứng minh.
7
Khái quát hoá
Khái quát hóa từ cái riêng
lẻ đến cái tổng quát
Khái quát hoá từ cái tổng
quát đến cái tổng quát hơn

a
2
+ b
2
+c
2
≥ ab+ bc+ ca.
Từ đó ta có lời giải như sau:
Áp dụng BĐT côsi cho 2 số ta có:
12 15 12.15
2 2.3 ,
5 4 5.4
15 20 15.20
2 2.5
4 3 4.3
20 12 20.12
2 2.4
3 5 3.5
x x x
x
x x x
x
x x x
x

     

+ ≥ =
 ÷  ÷  ÷


Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
12 15 20
0.
5 4 3
x x x
x
     
= = ⇔ =
 ÷  ÷  ÷
     
Sau khi giải xong bài toán, giáo viên có thể cho học sinh khái quát hoá bài
toán cùng loại:“Cho a, b, c là các số dương tuỳ ý. CMR
x R∀ ∈
, ta có:
x x x
x x x
ab bc ca
a b c
c a b
     
+ + ≥ + +
 ÷  ÷  ÷
     
”
3. Đặc biệt hoá.
Những dạng đặc biệt hoá thường gặp trong môn Toán có thể được xuất
phát từ việc xét dấu “=” của bất đẳng thức, hay dựa vào tính chất của các biến số
để dự đoán kết quả. Chẳng hạn, ở ví dụ 1 từ bài toán xuất phát: “CMR nếu A, B, C
8
là 3 góc của một tam giác thì: cosA + cosB + cosC

( )
( )
ôsi
ôsi
ôsi

2

2

2
1
.1
1
.1
1
.1
C
C
C
a b
a b a b
b c
b c b c
c a
c a c a


=


là
1
3
a b c= = =
, từ đó ta dự đoán Max S =
6
⇒ a + b = b + c = c + a =
2
3
⇒
hằng số cần nhân thêm là
2
3
, đó chính là bước đặc biệt hoá bài toán. Vậy lời giải
đúng là:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
ôsi
ôsi
ôsi
. .
. .
. .
2
3 2 3
3





=




+ +
+ + ≤
+ +
+ + ≤
+ +
+ + ≤
⇒
( )
.
2
2 3.
3 3
3
.2 6
2 2 2
a b c
a b b c c a
+ + +
+ + + + + ≤ = =
.
Vậy Max S =

x
y x 6x 18
x 3
= − +
−
với
x (3; )∈ + ∞
Khi tiếp nhận bài tập này, ngay cả những học sinh khá, giỏi ở lớp 10 cũng
khó “định hướng” được việc phân tích để tìm lời giải của bài toán. Vấn đề là
học sinh phải huy động vốn kiến thức đã có của mình như thế nào để “định
hướng” cho việc tìm lời giải. Ta có thể gợi cho các em:
+) Nếu sử dụng công cụ bất đẳng thức thì cái đích là việc tìm ra số không đổi m
sao cho
y m, x 3≥ ∀ >
và phải chỉ ra được x
0
>3 để y(x
0
)=m. Với việc “gợi” như
vậy thì học sinh nhận thấy ngay rằng việc áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số
dương:
x
a
x 3
=
−
và
2
x 6x 18 b− + =
theo kiểu

 
− − −
 
 
10

9
y 6 x 3 6
x 3
 
⇔ ≥ − + +
 
−
 
Đến đây, giáo viên có thể hỏi biểu thức cuối có quen thuộc không ? tương tự bất
đẳng thức nào
1
a
a
+
≥ 2
lại áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương
9
x 3,
x 3
−
−
ta được:
y 72≥
, có dấu “=” khi x=6.

π
β = + π


thì (2)
nghiệm đúng
∀α
nên kết quả cần tìm là:
C 2
(*)
k2 ,k Z
4

=


π
β = + π ∈


Kết quả trên không sai, vì với C và β như trên thì rõ ràng (1) nghiệm đúng
với
∀α
. Để chỉ cho học sinh thấy rằng kết quả tìm được ở trên là chưa đầy đủ,
11
giáo viên gợi cho các em: “khi
3
4
π
β = −

.
Đến đây học sinh thấy được (*) chỉ là một trong các kết quả phải tìm. Giáo viên
phân tích cho các em biết rằng: bằng “trực giác” đối với (2) thì các em mới tìm
thấy (*) là một điều kiện đủ đối với C và β để (1) nghiệm đúng
∀α
chứ chưa
tìm được điều kiện cần và đủ đối với C và β để (1) nghiệm đúng
∀α
. Dựa vào
(2), gợi cho học sinh phân tích để tìm lời giải của bài toán như sau:
1) điều kiện cần: Nếu (2) nghiệm đúng
∀α
thì C và
β
phải là bao nhiêu?
+) (2) nghiệm đúng
∀α
nên (2) nghiệm đúng khi
4
π
α = −
và đồng thời
nghiệm đúng khi
4
π
α =
, tức là ta có hệ:

k2 ,(k Z)
4

π
  


= +β β = + + π ∈

 ÷


 




= −



+) Như vậy: Nếu (2) nghiệm đúng
∀α
thì ta tìm được (**) nhưng chưa
đảm bảo được là: Với C và β thoả mãn (**) thì (2) có nghiệm đúng
∀α
? vì thế
cần phải kiểm tra xem với (**) thì (2) có nghiệm đúng
∀α
hay không.
2) điều kiện đủ: Dễ dàng hướng dẫn học sinh chứng minh được với (**)
thì (2) nghiệm đúng
∀α

đẳng thức cô-si trong khi đó có rất nhiều bất đẳng thức khác?. Tại sao lại phân
tích 7b
3
thành tổng của 2 số hạng? có thể tách số hạng thứ nhất thành 2 số
hạng?
Vì vậy, tri thức mà học sinh lĩnh hội được sẽ là sự ghi nhớ một cách máy
móc. Để dạy cho học sinh bài toán trên, giáo viên cần làm sáng tỏ những thắc
mắc của học sinh bằng hệ thống các câu hỏi:
Điều kiện
≥ ≥a 0,b 0
gợi cho ta biết nên dùng bất đẳng thức nào? (dùng
bất đẳng thức cô-si).
Dùng bất đẳng thức cô-si theo chiều nào? vì sao?. (căn cứ vào chiều của
bất đẳng thức (1), VT
≥
VP và 2 chiều của bất đẳng thức cô-si ta chọn chiều: TB
cộng
≥
TB nhân; đặt M =
3 3
3a + 7b
)
Chỉ rõ các phương án có thể áp dụng bất đẳng thức cô-si? Học sinh sẽ
nghĩ đến việc áp dụng bất đẳng thức cô-si cho 2 số không âm, tuy nhiên kết quả
thu được không như ta mong đợi. Đến đây thầy có thể hỏi tiếp: Có thể dùng
phương án khác hay không? (có thể xem M là tổng của nhiều hơn 2 số hạng, mà
trước hết ta hãy xem M là tổng của 3 số hạng không âm).
Phân tích số hạng nào trong 2 số hạng đó?
(Xem M = m
1

; trên cơ sở đó ta đi đến
khẳng định: giữ nguyên 3a
3
, tách 7b
3
thành tổng của 2 số hạng).
Có thể tách M thành tổng của 3 số hạng nào?
(M = 3a
3
+

b
3
+ 6b
3
; M = 3a
3
+ 2b
3
+ 5b
3
M = 3a
3
+3

b
3
+ 4b
3
).

hợp trình bày lời giải.
Như vậy, trong quá trình giảng dạy giáo viên cần coi trong vai trò của việc
phân tích đặc điểm bài toán để hình thành phương pháp giải.
Ví dụ 8. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

− + − + + + =
90
2 2 2
90 90
5
(1 x) m 1 x (m ) (1 x) 0
4
(1)
Hình thức của bài toán dễ tạo ra những sự “ngợp”, nên gây cho học sinh
khó khăn trong việc phát hiện ra mối quan hệ bản chất chứa trong bài toán. Giáo
viên gợi học sinh phân tích tìm mối liên hệ giữa các yếu tố tạo nên bài toán để
tìm tòi lời giải.
Xác định điều kiện của phương trình? (1 - x
2
≥ 0 ⇔ -1 ≤ x ≤ 1).
Quan sát bài toán em nhận ra mối liên hệ nào không?(1 - x
2
= (1 + x)(1 - x))
Các hạng tử
−
2
90
(1 x)
,
−

2
90
( 1 x)
;
+
2
90
(1 x)
=
−
2
90
( 1 x)
.
Đặt
− =
90
1 x X
;
+ =
90
1 x Y
, ta được:
+ + + =
2 2
5
X mX.Y (m )Y 0
4
(2)
Em có nhận xét gì về phương trình (2)? Hãy đề xuất phương pháp giải?

, được:

+ +
 
+ + + =
 ÷
− −
 
2
90
90
1 x 1 x 5
m (m ) 0
1 x 1 x 4
Đặt t =
+
 
 ÷
−
 
2
90
1 x
1 x
(t ≥ 0). Ta được: t
2
+ mt + m +
5
4
= 0 (3)

(3)
15
Giải: Cách giải 1(Cho lớp 10 chương trình nâng cao)
Từ
2 2
(2) 9 (x y z) 9 (1.x 1.y 1.z)⇒ = + + ⇒ = + +
2 2 2
9 3(x y z ) minT 3⇒ ≤ + + ⇒ =
, khi x=y=z=1.
Cách giải 2(Cho lớp 9 và lớp 10)
+) (2) và (3) có tính chất: “x, y,z có vai trò như nhau” gợi cho ta: “có khả
năng T nhỏ nhất khi x=y=z=1” ta thử khai thác theo hướng này xem sao!
+) Gắn giả thiết và kết luận ta có:
2 2 2
(x 1) (y 1) (z 1) 0 (x, y,z)− + − + − ≥ ∀
2 2 2
x y z 2(x y z) 3 0 T 3⇔ + + − + + + ≥ ⇔ ≥
từ đó minT=3.
Phân tích 2 lời giải trên ta nhận thấy: Cách 2 là hay nhưng đòi hỏi quá trình phân
tích phải công phu. Cách 1là cách “tốt” để có thể khái quát được bài toán.
Ví dụ 10. Chứng minh rằng hàm số:
2 2
f(x) x x 1 x x 1= − + + + +
có giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi x=0
Khai thác các tính chất của hàm số f(x) ta có lời giải 1:
Lời giải 1:
Do
2 2
x + x + 1 > 0 x; x - x + 1 > 0 x∀ ∀
nên f(x)>0

2 4 4
1 3 3
2 2
1 ( ) 0
2 4 4
+ + = + + ≥ > ∀
− + = − + ≥ > ∀
x x x x
x x x x
f(x) là tổng của 2 số dương, gợi ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức cô-si:
16
4
.
2 2 4 2
( ) 1 1 2 1 2= − + + + + ≥ + + ≥f x x x x x x x
Dấu đẳng thức xẩy ra khi:


⇔



2 2
x + x +1 = x - x +1
x = 0
4 2
x + x +1 = 1
Suy ra f(x)
2≥
khi x=0 (đpcm).

+x+1=[x-(-
1
2
)]
2
+(0-
3
2
)
2
x
2
-x+1=(x-
1
2
)
2
+(0-
3
2
)
2
Khi đó hàm số biến đổi về dạng:

2 2
2 2
1 3 1 3
( ) ( ) 0 0
2 2 2 2
f x x x

Từ hình vẽ, ta suy ra:
MA + MB = MA’ + MB
≥
A’B,
dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M
≡
O
⇔
x = 0.
Vậy, Min f(x) = A’B =2OB= 2 khi x = 0.
17
0
x
y
−
1
2
M
1
2
3
2
B
A
A'
III. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
1. Tổ chức thực nghiệm
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại trường THPT Hoằng Hoá 4.
+) Lớp thực nghiệm: 10A
4

x m(x )
x x
(1)
Tìm m để phương trình có nghiệm?
Câu III: a) Vẽ đồ thị hàm số y = x
2
- 4x + 3. Từ đó, xác định m để phương
trình x
2
- 4x + 3 = m có nghiệm x
∈
[1; +
∞
).
18
b) Nêu phương pháp giải bài toán:
“Tìm m để phương trình ax
2
+ bx + c = m (m là tham số; a, b, c là các hằng
số cho trước và a
0≠
) có nghiệm x
∈
D”.
Việc ra đề như trên hàm chứa những dụng ý sư phạm, tất nhiên đề kiểm tra
này dành cho học sinh có học lực khá trở lên ở hai lớp thực nghiệm và đối chứng.
Xin được phân tích rõ hơn về điều này và đồng thời đánh giá sơ bộ về chất lượng
làm bài của học sinh.
Đề kiểm tra như trên là không quá khó và cũng không quá dễ so với trình
độ học sinh. Có thể nói với mức độ đề như trên thì sẽ phân hóa được trình độ

1.Kết quả nghiên cứu.
Sáng kiến kinh nghiệm
1. Đã phần nào làm sáng tỏ thực trạng về khả năng rèn luyện các thao tác
tư duy trong dạy học toán ở trường phổ thông.
2. Đã làm phần nào làm sáng tỏ một số con đường để tập luyện cho học
sinh khả năng phân tích, khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự.
3. Đã thể hiện được các định hướng sư phạm nhằm rèn luyện các thao
tác tư duy trong dạy học bài tập Đại số ở trường THPT.
4. Thiết kế cách thức dạy học một số ví dụ, hoạt động theo hướng dạy học
tích cực.
5. Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh học tính khả thi và hiệu quả
của những định hướng sư phạm được đề xuất.
Như vậy có thể khẳng định rằng: Sáng kiến kinh nghiệm hoàn thành được
mục đích nghiên cứu và có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên.
2.Kiến nghị đề xuất.
1.Đối với tổ nhóm chuyên môn nhà trường.
Các tổ chuyên môn nên tăng cường trình bày các chuyên đề trong
chương trình bộ môn.
2.Đối với Sở giáo dục và đào tạo.
Nên giới thiệu phổ biến về các trường phổ thông các sáng kiến kinh
nghiệm có chất lượng để cùng nhau trao đổi và áp dụng thực tế.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hoá, ngày 15 tháng 05 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác

20
Nguyễn Ngọc Đô
21