PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong chương trình toán học phổ thông phần đại số tổ hợp, số phức là chương
trình mới lạ và khó đối với các em học sinh. Các bài toán tổ hợp mang tính tổng
hợp và khái quát hóa cao. Vì vậy học sinh học đến phần này thường ngại, sự say
mê, sáng tạo giảm. Nếu chưa học đạo hàm, tích phân, số phức mà các em chỉ vận
dụng các công thức trong sách giáo khoa thì các em giải các bài toán về chứng
minh đẳng thức tổ hợp rất khó khăn. Các em không biết nên xuất phát từ đâu? Nên
dùng công thức nào để chứng minh? Để giúp học sinh khắc phục tình trạng
trên,giúp cho các em có sự say mê, tư duy sáng tạo trong việc học phần đại số tổ
hợp .Tôi đã đọc tài liệu,nghiên cứu,phân tích,cải tiến cách dạy, tìm tòi thêm các
công thức khác, hướng dẫn các em tự tìm tòi, tự phát triển ra các công thức mới
dựa trên các công thức đã có, các bài tập để trang bị cho các em lượng kiến thức để
các em vận dụng làm bài tập một cách khoa học hơn, sáng tạo hơn.Tạo ra sự hứng
thú trong học tập đồng thời giúp các em rèn luyện phương pháp giải bài tập không
những loại bài tập này mà còn vận dụng cách tư duy đó cho các loại bài tập khác.
Trong khuôn khổ đề tài “Rèn luyện tư duy,tìm tòi sáng tạo cho học sinh THPT
qua một số bài toán chứng minh đẳng thức tổ hợp” tôi chỉ nêu một số phương
pháp thường dùng để các em giải quyết bài toán chứng minh đẳng thức tổ hợp một
cách khoa học hơn, có cơ sở và có tính sáng tạo hơn. Từ đó để các em củng cố kiến
thức,rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học, đồng thời cũng trang bị thêm kiến
thức nhằm chuẩn bị tốt cho các kỳ thi tốt nghiệp và kỳ thi đại học,cao đẳng.
PHẦN II: NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Công thức nhị thức Niu-tơn:
kknk
n
nn
n
kknk
n
n

k
n
k
n
nCkC

),;(
*
Nnknk ∈≤

k
n
k
n
CnCk )1()1(
1
1
+=+
+
+

),;(
*
Nnknk ∈≤

1
1
1
1
1

+−=
k
n
k
n
k
n
nCCnnCk

),;;2( Nnknkk
∈≤≥

ii 2)1(
2
=+
;
ii 2)1(
2
=−
;
8)31(
2
−=+
i
;
8)31(
2
−=−
i
II: THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ

nn
nnnn
n
xCxCxCxCCx
+++++=+
−−
112210
)1(

)(
*
Nn∈
(1)
Thay x = 3 ta được:
n
n
nn
n
n
nnnn
n
CCCCCC 33 333)31(
11332210
++++++=+
−−
Hay
nn
n
n
nnnn

2
3210
−
+
=
+
++
+
+++++
n
nn
n
n
n
n
k
n
k
k
nnnn
CCCCCC

),,0(
*
NnNknk
∈∈≤≤
b.
nn
nnnn
CCCC

Nn
∈

2
Thay
2
1
=x
ta được
n
n
n
k
n
k
nnnn
n
CCCCCC
2
1

2
1

8
1
4
1
2
1

12

8
9
4
5
2
3
2
3210
−
+
=
+
++
+
+++++
n
nn
n
n
n
n
k
n
k
k
nnnn
CCCCCC
Suy ra điều

0
12
+
++++++++
++++=++++
n
nnnn
n
nnnn
CCCCCCCC
Xét khai triển
1212
12
22
12
1
12
0
12
12
)1(
++
++++
+
++++=+
nn
nnnn
n
xCxCxCCx


212
12
2
12
1
12
0
1212
2
12
1
12
0
12
2) (
2
1

=++++=++++
+
++++++++
điều phải chứng minh.
Ví dụ 3:
Chứng minh:
11321
2.)1( 32
−−
=+−++++
nn
n

*
NnNknk ∈∈≤≤
Ta có:
11
−
=
n
nn
CC

22
22
−
=
n
nn
CC

33
33
−
=
n
nn
CC11
)1()1(
n

n
nnnnn
CCCCCCnS
++++++=
−
Xét khai triển
nn
n
nn
nnnn
n
xCxCxCxCCx
+++++=+
−−
112210
)1(

)(
*
Nn∈
3
Thay x = 1 ta được:
n
n
n
nnnnn
n
CCCCCC
++++++=
−

*
Nnknk
∈≤
Ta có:
0
1
1
−
=
nn
nCC

1
1
2
2
−
=
nn
nCC

2
1
3
3
−
=
nn
nCC


22
1
1
1
0
1
1
)1(
−−
−−−−
−
++++=+
nn
nnnn
n
xCxCxCCx

)(
*
Nn ∈
Thay x = 1 ta được:
1
1
2
1
1
1
0
1
1

Có những bài toán để giải nhanh các em càn biết phân tích và dựa vào kết quả các
bài tập đã làm rồi.
Ví dụ 4:
Chứng minh:
a,
13210
2)2()1( 432.1
−
+=++++++
nn
nnnnn
nCnCCCC

)(
*
Nn
∈
b,
12)2()1( 32.1
1432
+−=−++++
−
nn
nnnn
nCnCCC

);2( Nnn
∈≥
Giải:
Hướng dẫn:

Cộng vế với vế ta được:
13210
2)2()1( 432.1
−
+=++++++
nn
nnnnn
nCnCCCC
b, Đặt:
1
3210
)1( 432.1 SCnCCCC
n
nnnnn
=++++++
4

2
432
)1( 32.1 SCnCCC
n
nnnn
=−++++
Cách 1: Ta có:
12)2(12.22)2() (2
1103210
12
+−=+−+=++++++−=
−−
nnn

*
Nn
∈
Giải: Áp dụng công thức:
1
1
−
−
=
k
n
k
n
nCkC

),;(
*
Nnknk
∈≤
Ta có:
0
1
1
−
=
nn
nCC

1
1

nCnC
Cộng vế với vế ta được:
)2 22(
1
1
12
1
21
1
0
1
−
−
−
−−−
++++=
n
n
n
nnn
CCCCnS
Xét khai triển
11
1
22
1
1
1
0
1

++++=
n
n
n
nnn
n
CCCC
Do đó :
1
3.
−
=
n
nS
Hay
11433221
3.2 2.42.32.2
−−
=+++++
nn
n
n
nnnn
nCnCCCC
điều phải chứng
minh.
Giáo viên: Làm cho học sinh hiểu rõ :Nếu ở ví dụ này ta thay x bởi một số tự nhiên
khác thì chúng ta lại có một bài toán mới. Từ đó giáo viên cho học sinh tổng quát
thành bài toán:
Bài tâp tổng quát:

1
11

4
1
3
1
2
1
1
13210
+
−
=
+
++++++
+
−
n
C
n
C
n
CCCC
n
n
n
n
nnnnn


k
n
k
n
C
n
C
k
Do đó:
1
1
0
1
1
+
+
=
nn
C
n
C

2
1
1
1
1
2
1
+

+
+
=
+
n
n
n
n
C
n
C
n
Cộng vế với vế ta được:
) (
1
1
1
11

4
1
3
1
2
1
1
1
3
1
2

1
1
0
1
1
)1(
++
++++
+
++++=+
nn
nnnn
n
xCxCxCCx

)(
*
Nn
∈
(1)
Thay x = 1 ta được:
1
1
2
1
1
1
0
1
1

n
C
n
C
n
CCCC
n
n
n
n
nnnnn
điều phải chứng minh.
Cách 2:Sử dụng đạo hàm (Phần sau) .
Giáo viên: Nếu ở khai triển (1) của ví dụ này ta thay x = 2; x = 3 thì kết quả như
thế nào ? giáo viên yêu cầu học sinh phát biểu thành một bài toán. Từ đó cho học
sinh phát triển thành bài tập tổng quát với x = a.
)(
*
Na
∈
Ví dụ 7:
Chứng minh:

2212322212
2).1()1( 321
−−
+=+−++++
nn
n
n

k
n
k
n
k
n
nCCnnCk

),;;2( Nnknkk
∈≤≥
và
0
1
1
−
=
nn
nCC
ta có:
1
1
0
2
22
)1(2
−−
+−=
nnn
nCCnnC
2

1
2
2
2
)1(
−
−
−
−
+−=
n
n
n
n
n
n
nCCnnCn
Cộng vế với vế ta được:
) () )(1(
1
1
2
1
1
1
0
1
2
21
2

nn
nnnn
n
xCxCxCCx

)(
*
Nn ∈
và
11
1
22
1
1
1
0
1
1
)1(
−−
−−−−
−
++++=+
nn
nnnn
n
xCxCxCCx

)(
*

2013
2013
2014
0
2013
CCCCCCCCCCC
=+++++
Giải:
Xét khai triển
20132013
2013201320132013
)1(
22102013
xCxCxCCx
++++=+20142014
2014201420142014
)1(
22102014
xCxCxCCx
++++=+40274027
4027402740274027
)1(
22104027
xCxCxCCx

k
n
k
mn
k
mn
k
mn
CCCCCCCCCCC
+
−−−
=+++++
01122110),,;0;0(
*
Nmnkmknk
∈≤≤≤≤
Đặc biệt: Khi m = n = k ta có bài toán:
Chứng minh:
n
n
n
n
n
nnnn
CCCCCC
2
221222120

nnnn
CnCCCCS )1()1( 4321
5432
−−+−+−=

)(
*
Nn
∈
3.Tính tổng:
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nCCCCCS
144332211
)1( 5.45.35.25
−−−−−
−+−+−=
)(
*
Nn
∈

1
)1(
1
)1(

4
1
3
1
2
1
1
1321
+
−
+
+
−
+−+−=
+
−

)(
*
Nn
∈
2.
12
2
3

C
n
C
n
CCCS
1
55

4
5
3
5
2
5
1
13
4
2
3
1
2
+
+++++=
+
−

)(
*
Nn ∈
4.

+
+++++=
+
−

),(
*
Nna ∈
5.
n
n
n
n
n
n
nnn
C
n
C
n
CCCS
1
)1(
1
)1(

4
1
3
1

1
−
+++=
n
nnn
C
n
CCS

)(
*
Nn
∈
7.
n
n
n
n
n
n
nnn
C
n
C
n
CCCS
1
55

4

a
C
n
a
C
a
C
a
C
a
S
1

432
1
13
4
2
3
1
2
+
+++++=
+
−

),(
*
Nna ∈
8. Chứng minh:

)(
*
Nn ∈
10.Tính tổng:
02112222112
)1( 2.1 aCnaCnaCaCS
n
n
n
n
n
n
n
n
+−+++=
−−−
),(
*
Nna ∈
11. Chứng minh:
2
1
12
1
2
3
1
2
0
1

C
C
C

)(
*
Nn ∈
12. Tính tổng:
0
1
2013
2014
1
2
2012
2014
2011
2012
2
2014
2012
2013
1
2014
2013
2014
0
2014
CCCCCCCCCCS
+++++=

332210

)(
*
Nn ∈
(1)
Lấy đạo hàm theo x hai vế của (1) ta được:
n
n
n
nnn
n
CxnCxxCCxn
132211
32)1(
−−
++++=+
Thay x = 1 ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét:
- Như vậy khi học sinh đã được học đạo hàm thì việc dùng đạo hàm để giải bài toán
này sẽ nhanh hơn cách giải ở phần trước.
- Ở Bài tâp tổng quát: phần phương pháp 1 ta chỉ cần thay x = a.
)(
*
Na
∈
- Nếu thay x = - 1 ta dược kết quả của bài tập 1 phần 1.
Ví dụ 2:
Chứng minh:
122)12( 2.32.2

0
12
12
)1(
+
+++++
+
+++++=+
nn
nnnnn
n
xCxCxCxCCx

)(
*
Nn
∈
(1)
Lấy đạo hàm theo x hai vế của (1) ta được:
12
12
23
12
22
12
1
12
2
)12( 32)1)(12(
+


)(
*
Nn ∈

Suy ra:
132210
)1(
+
++++=+
nn
nnnn
n
xCxCxCxCxx
(1)
Lấy đạo hàm theo x hai vế của (1) ta được:
n
n
n
nnn
nn
CxnCxxCCxxnx )1( 32)1()1(
22101
+++++=+++
−
Thay x = -1 ta có S = 0
9
Ví dụ 4:
Tính tổng:
2014

2014
0
2014
2014
)1( xCxCxCCx
+−+−=−
(2)
Lấy (1( cộng (2) ta được:
20142014
2014
44
2014
22
2014
0
2014
20142014
2 222)1()1( xCxCxCCxx
+++=−++
(3)
Lấy đạo hàm theo x hai vế của (3) ta được:
20132014
2014
34
2014
2
2014
20132013
4028 84)1(2014)1(2014 xCxCxCxx
++=−−+

n
n
n
n
CxCxCxCxCx
+++++=+
−−−
122110
)1(

)(
*
Nn ∈
(1)
Lấy đạo hàm theo x hai vế của (1) ta được:
12312011
)2()1()1(
−−−−−
++−+−+=+
n
nn
n
n
n
n
nn
CCxnCxnCnxxn

Suy ra
1221101

n
n
n
nnnn
n
CCCnCnCnnn
(điều phải
chứng minh).
Giáo viên:
Nếu ở (3) của ví dụ trên ta thay x = 2 thì được kết quả như thế nào ? giáo viên có
thể yêu cầu học sinh phát biểu thành một bài toán.Từ đó cho học sinh phát triển
thành bài tập tổng quát với x = a
)(
*
Na
∈
Bài tập:
1.Chứng minh đẳng thức:
n
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n

nnnn
nnCnnCCC

);2( Nnn
∈≥
4.Chứng minh đẳng thức:
2212322212
2).1()1( 321
−−
+=+−++++
nn
n
n
nnnn
nnCnCnCCC

);2( Nnn
∈≥
5.Chứng minh đẳng thức:
12)2()1()2( 2
1132
+−=−+−+++
−−
nn
n
n
nnn
nCnCnCC

)(

Có những bài tập có thể dùng nhiều phương pháp để chứng minh, một số ví dụ
hay một só bài tập ở hai phương pháp trên có thể dùng phương pháp tích phân để
giải.Giáo viên đưa ra các phương pháp sau đó yêu cầu học sinh lựa chọn phương
pháp nào cho phù hợp bởi vì mỗi em có thể thiên về mỗi mảng kiến thức khác
nhau.Rèn luyện để các em căn cứ vào đề bài để chọn cách lấy cận của tích phân.
Ví dụ:1
Cho n là số tự nhiên
1
≥
n
.Chứng minh đẳng thức sau:
1
12
1
11

4
1
3
1
2
1
1
13210
+
−
=
+
++++++
+

n
) ()1(
33221
1
0
0
1
0
+++++=+
∫∫

1
0
113423120
)
1
11

4
1
3
1
2
1
.(
n
n
nn
n
n

++++++=
−
(1)
Mặt khác:
1
12
1
)1(
)1()1()1(
1
1
0
1
1
0
1
0
+
−
=
+
+
=++=+
++
∫∫
nn
x
xdxdxx
nn
nn

.2
2
1
.2.2
113423120
+
++++++=
+−
n
n
nn
nnnn
C
n
CCCCP
1
1
.2.)1(
4
1
.2
3
1
.2
2
1
.2.2
13423120
+
−++−+−=

−
=
+
−
+
−
++
−
+
−
+
−
+
+++
−
n
C
n
C
n
CCCC
nn
n
n
n
n
n
n
nnnn
Giải:

1
113423120
)
1
11

4
1
3
1
2
1
.(
n
n
nn
n
n
nnnn
Cx
n
Cx
n
CxCxCxCx
+−
+
++++++=

n
n

−
++
−
+
−
+
−
+=
+
−
(1)
Mặt khác:
1
23
1
)1(
)1()1()1(
11
2
1
1
2
1
2
1
+
−
=
+
+

1
1
1
3210
+
=
+
−
+
−
++−+−
−
−
n
C
n
C
n
CCCC
n
n
n
n
n
n
nnnn

)(
*
Nn ∈

nn
x
xdxdxxx
n
nn
(1)
Xét khai triển:
nn
n
n
nnnn
n
xCxCxCxCCx )()1( )()()1(
23232222102
−++−+−=−
Ta có
1273523102
)1( )1(
+
−++−+−=−
nn
n
n
nnnn
n
xCxCxCxCxCxx
Lấy tích phân hai vế (từ 0 đến 1 ) ta được:
dxxCxCxCxCxCdxxx
nn
n

n
nn
nnnn
Cx
n
CxCxCxCx
+
+
−++−+−=
n
n
n
n
n
n
nnnn
C
n
C
n
CCCC
22
)1(
2
)1(

8
1
6
1

6
1
3
1
1
3210
+
−
=
+
+++++
+
n
C
n
CCCC
n
n
nnnnn

)(
*
Nn ∈

Giải:
Ta có:
)1(3
12
)1(3
)1(

nnnnn
n
xCxCxCxCCx )( )()()1(
33332323103
+++++=+
Ta có
2311382512032
)1(
+
+++++=+
nn
nnnnn
n
xCxCxCxCxCxx
Lấy tích phân hai vế (từ 0 đến 1 ) ta được:
dxxCxCxCxCxCdxxx
nn
nnnnn
n
) ()1(
23113825120
1
0
2
1
0
+
+++++=−
∫∫
1

CCCC
33
1

12
1
9
1
6
1
3
1
3210
+
+++++=
(2)
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
Giáo viên:
- Nếu thay tích phân từ 0 đến 1 bởi tích phân từ 1 đến 2 ta được ? Từ đó rút ra bài
tập tổng quát.
- Có những bài tập chúng ta cần kết hợp giữa đạo hàm và tích phân như ví dụ sau.
Ví dụ 5:
Chứng minh đẳng thức sau:
nnn
n
n
nnn
CCCC 23)12( 73
321
−=−++++

Lấy tích phân hai vế (từ 1 đến 2 ) ta được:

dxxnCxCxCCdxxn
nn
nnnn
n
) 32()1(
12321
2
1
2
1
1
−−
++++=+
∫∫
2
1
1133221
) (
n
n
nn
n
n
nnn
CxCxCxCxxC
+++++=
−−
=

nnn
n
n
nnn
CCCC 23)12( 73
321
−=−++++

)(
*
Nn ∈
điều phải chứng minh.
Giáo viên:
Yêu cầu học sinh suy nghĩ bài tập tổng quát,coi như một bài tập về nhà.
Bài tập:
1.Chứng minh đẳng thức sau:

nnn
n
nn
nnn
CCCC 34)23( 195
321
−=−++++

)(
*
Nn
∈
2.Tính tổng:


3.Chứng minh đẳng thức sau:
)1(2
)3(1
22
2.)1(
2
2.)1(

8
2
6
2
4
2
2
2
122
1
21
3
8
2
6
1
4
0
2
+
−−

1
)1(1
1
1
2.)1(
4
1
2
3
1
2
2
1
22
13423120
+
−+
=
+
−++−+−
+
n
C
n
CCCC
n
n
n
nn
nnnn

n
nnnn

)(
*
Nn ∈

6.Nêu các bài tập tổng quát (nếu có) của các bài tập trên.
Phương pháp4:Sử dụng số phức
Số phức là phần kiến thức mới mà học sinh đang còn lúng túng và rất mơ hồ, vì
vậy khi dạy phần này tôi phải lựa chọn phương pháp dạy để học sinh tiếp cận
nhanh nhất. Tôi đã phân loại các dạng bài tập để học sinh nắm bắt nội dung bài học
hiệu quả. Một trong các dạng đó là dùng số phức để chứng minh hay tính tổng đẳng
thức liên quan đến tổ hợp.
Ví dụ 1 :
Chứng minh đẳng thức:
10062013
2013
5
2013
3
2013
1
2013
2
−=+−+−
CCCC
Giải:
Xét khai triển :
20132013

+−+−++−+−=
(1)
Mặt khác:
[ ]
iiiiiii .22)2)(1()2)(1()1()1()1(
1006100610061006
1006
22013
−−=−+=+=++=+
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
iCCCCCCCCi ) ( 22
2013
2013
5
2013
3
2013
1
2013
2012
2013
4
2013
2
2013
0
2013
10061006
+−+−++−+−=−−

2013
2008
2013
8
2013
4
2013
0
2013
CCCCCS
+++++=
Giải:
Xét khai triển :
20132013
2013
33
2013
22
2013
1
2013
0
2013
2013
)1( iCiCiCiCCi
+++++=+

iCCCCCCCC ) (
2013
2013

2013
3
2013
1
2013
2012
2013
4
2013
2
2013
0
2013
10061006
+−+−++−+−=−−
Đồng nhất hai vế ta được:
2012
2013
4
2013
2
2013
0
2013
1006
2 CCCC
+−+−=−
(3)
Xét khai triển :
20132013

2) () (
=+++++++++
CCCCCCCC
Thay x = -1 ta có:
2013
2013
5
2013
3
2013
1
2013
2012
2013
4
2013
2
2013
0
2013
CCCCCCCC
++++=++++
Do đó:
2012
2013
4
2013
2
2013
0

2013
22
2013
1
2013
0
2013
2013
)3( )3()3()3()31( iCiCiCiCCi
+++++=+

iCCCCCCC 3)3 3(3 33
2013
2013
10063
2013
1
2013
2012
2013
10064
2013
22
2013
0
2013
++−++−+−=
(1)
Mặt khác:
[ ]

10066
2013
34
2013
22
2013
0
2013
23 333
−=++−+−
CCCCC
Điều phải chứng
minh.
Sau khi giải xong ví dụ này giáo viên yêu cầu học sinh rút ra kết quả của bài tập
sau:
Tính tổng:
2013
2013
10065
2013
23
2013
1
2013
3 33 CCCCS
+−+−=
Ví dụ 4 :
Cho n là số tự nhiên
1
≥

Nn ∈

14332210
)1(
+
+++++=+⇒
nn
nnnnn
n
xCxCxCxCxCxx
Thay
αα
sincos ix +=
và áp dụng công thức Moa_vrơ ta được:
++++++=+++
αααααααα
)1cos( 3cos2coscos)sincos1)(sin(cos
210
nCCCCii
n
nnnn
n
))1sin( 3sin2sinsin(
210
αααα
++++++
nCCCCi
n
nnnn
(1)

cos
)
2
sin
2
)(cossin(cos)
2
sin
2
)(cossin(cos
+
+
+
=
++=++
n
i
n
n
i
n
iii
n
Do đó:
α
α
α
α
αααα
2

=++++++
n
nCCCCC
nnn
nnnnn
Điều phải chứng minh.
Bài tập:
1.Chứng minh đẳng thức sau:
α
α
ααααα
2
2
sin
2
cos2)1sin( 4sin3sin2sinsin
3210
+
=++++++
n
nCCCCC
nnn
nnnnn

)(
*
Nn
∈
2.Tính tổng
2014

42
π
n
CC
n
nn
=−+−

)(
*
Nn ∈
5.Chứng minh
17

3
cos2 333
634220
π
n
CCCC
n
nnnn
=+−+−

)(
*
Nn ∈
6.Chứng minh

3

27
1
9
1
3
1
7531
+−+−=
nnnn
CCCCM

)(
*
Nn ∈
8.Chứng minh rằng:







+=+++
3
cos22
3
1

Lớp Sỹ số Điểm từ 5 đến dưới 7 Điểm từ 7 đến dưới 8 Điểm trên 8
Số lượng % Số lượng % Số lượng %
12M 41 11 26,8 10 24,4 20 48,8
12B 44 7 15,9 12 27,3 25 56,8
12G 49 2 4,1 11 22,4 36 73,5
18
PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
1.Kết luận
Qua quá trình thực hiện đề tài này tôi thu được một số bài học kinh nghiệm:
- Luôn củng cố và khắc sâu các kiến thức có liên quan.
- Cần rèn luyện cho học sinh sau khi đọc đề bài cần phân tích và chọn lời giải tối
ưu nhất. Biết linh hoạt trong việc lựa chọn cách giải và phải để ý đến thời gian làm
bài, nhất là khi đó là bài kiểm tra.
- Biết phân tích bài toán và tìm ra các cách giải khác nhau, từ đó nhằm phát huy
tính sáng tạo và khái quát hóa bài toán. Động viên các em nỗ lực tìm tòi những lời
giải hay, tranh luận với bạn bè giúp nhau cùng tiến bộ.
- Rèn luyện cách trình bày bài một cách chặt chẽ, cẩn thận và sáng sủa.
- Làm cho các em yêu thích môn toán và say mê học toán hơn.
Trên đây lầ một số phương pháp để rèn luyện cho học sinh, tuy nhiên trong phạm
vị đề tài này tôi cũng chỉ mới giải quyết một số bài toán. Rất mong các bạn đồng
nghiệp góp ý kiến để có một cách dạy và khai thác thể loại này một cách tốt nhất và
hiệu quả cao nhất.
2.Đề xuất
- Nhà trường trang bị thêm các tài liệu tham khảo cho thư viện nhà trường để giáo
viên và học sinh cùng nghiên cứu.
- Các sáng kiến kinh nghiệm của các thầy cô hàng năm lưu giữ ở thư viện để giáo
viên và học sinh cùng nghiên cứu,và học tập.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ