Đại học Quốc gia Hà Nội
Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
Cao Thị Vân Oanh
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM
TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60.46.01.13
Người hướng dẫn khoa học
GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU
HÀ NỘI - NĂM 2013
2
Đại học Quốc gia Hà Nội
Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
Cao Thị Vân Oanh
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM
TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60.46.01.13
Người hướng dẫn khoa học
GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU
HÀ NỘI - NĂM 2013
Lời cảm ơn
Trước hết, tôi xin chân thành cảm ơn GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu người đã
hướng dẫn và tận tình chỉ bảo tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn.
Đồng thời, tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các giảng
viên trong khoa Toán - Cơ - Tin trường Đại học Khoa học Tự Nhiên đã dạy bảo
tôi tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.

2.2.2 Áp dụng một số tính chất của hàm số . . . . . . . . . . . . . 63
2.2.3 Cấp số cộng và phương trình hàm trên N, Z . . . . . . . . . . 66
2.2.4 Kết hợp các tính chất của hàm số với các tính chất của dãy số 68
2.2.5 Hàm số sinh bởi phép biến đổi tịnh tiến và đồng dạng . . . 70
2.2.6 Hàm số sinh bởi phép biến đổi phân tuyến tính . . . . . . . 76
5
2.3 Sử dụng nguyên lý thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.4 Sử dụng tính chất của hàm tuần hoàn nhân tính . . . . . . . . . . . 82
2.5 Sử dụng một số tính chất của số học . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.6 Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3 Mở rộng phương trình hàm trên tập số hữu tỉ và một số phương
trình hàm trong các đề thi Quốc tế 96
3.1 Phương trình hàm trên tập số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.2 Một số bài toán về phương trình hàm trên tập số nguyên trong các
đề thi Olympic Toán. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Kết luận 107
TÀI LIỆU THAM KHẢO 1
6
Mở đầu
Lý thuyết phương trình hàm là một trong những lĩnh vực nghiên cứu quan trọng
của giải tích toán học. Các dạng toán về phương trình hàm rất phong phú bao
gồm các loại phương trình tuyến tính, phương trình phi tuyến, phương trình một
ẩn hàm và phương trình nhiều ẩn hàm.
Trong các kỳ thi Olympic Toán Quốc gia và Quốc tế thường xuất hiện các dạng
toán khác nhau có liên quan đến phương trình hàm. Để giúp các thầy cô giáo, học
sinh các trường phổ thông có thêm nhiều tư liệu mới về vấn đề này tôi xin trình
bày một số phương pháp chọn lọc trong việc giải phương trình hàm trên tập số
nguyên.
Luận văn gồm ba chương đề cập đến các vấn đề sau đây:
Chương 1 trình bày các tính chất cơ bản của hàm số (tuần hoàn, phản tuần

8
Khi đó f(x) là hàm tuần hoàn trên R với chu kỳ a ∈ R
+
tùy ý. Vì trong R
+
không
có số nhỏ nhất nên hàm f(x) không có chu kỳ cơ sở.
Định nghĩa 1.2. 1. Hàm số f(x) được gọi là hàm số phản tuần hoàn (cộng tính)
chu kỳ a (a > 0)trên M (M ⊂ D(f)) và

∀x ∈ M ⇒ x ±a ∈ M
f(x + a) = −f(x), ∀x ∈ M
2. Cho f(x) là một hàm phản tuần hoàn trên M. Khi đó T (T > 0) được gọi là
chu kỳ cơ sở của f(x) nếu f(x) phản tuần hoàn với chu kỳ T mà không là hàm
phản tuần hoàn với bất kỳ chu kỳ nào nhỏ thua T.
Ví dụ 1.3. Hàm sin x và cos x phản tuần hoàn với chu kỳ cơ sở π.
sin(x + π) = −sin x
cos(x + π) = −cos x
Bài toán 1.1. Cho f(x) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ a trên M. Chứng minh
f(x) cũng là hàm tuần hoàn chu kỳ 2a trên M.
Lời giải. Theo giả thiết, f(x) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ a trên M nên

x ± a ∈ M, ∀x ∈ M
f(x + a) = −f(x), ∀x ∈ M.
Suy ra

x ± 2a ∈ M, ∀x ∈ M
f(x + 2a) = f(x), ∀x ∈ M.
Vậy f(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2a trên M.
Nhận xét 1.2. Điều ngược lại không đúng. Tức là, một hàm tuần hoàn chưa chắc

f(x) −(−
1
2
f(x))
= f(x), ∀x ∈ M .
Ngược lại, với f(x) thỏa mãn (1.1) ta có
f(x + a) = g(x + a) −g(x + 2a) = g(x + a) −g(x) − [g(x) − g(x + a)] = −f(x), ∀x ∈ M.
Hơn nữa, ∀x ∈ M thì x±a ∈ M. Do đó f(x) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ a trên M.
Bài toán 1.4. Cho f(x) và g(x) là hai hàm tuần hoàn có chu kỳ cơ sở tương ứng
là a, b trên R, F (x) = f(x) + g(x). Chứng minh rằng F (x) là hàm tuần hoàn trên R.
Lời giải. Theo giả thiết, tồn tại m, n ∈ N
∗
(m, n) = 1 sao cho
a
b
=
m
n
.
Đặt T = na = mb. Khi đó
F (x + T) = f(x + na) + g(x + mb) = f(x) + g(x) = F (x), ∀x ∈ R.
Hơn nữa, dễ thấy ∀x ∈ R thì x = ±T ∈ R.
Vậy F (x) là hàm tuần hoàn chu kỳ T trên R.
1.1.2 Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính
Định nghĩa 1.3. Hàm số f(x) được gọi là hàm số tuần hoàn nhân tính chu kỳ a
(a /∈ {0; ±1}) trên M nếu M ⊂ D(f) và

∀x ∈ M ⇒ a
±1
x ∈ M

∀x ∈ M ⇒ a
±1
x ∈ M
f(ax) = −f (x), ∀x ∈ M.
Ví dụ 1.5. Xác định các hàm số f phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ 3 sao cho
f(3x) = −f (x), ∀x ∈ R
+
(1)
Lời giải. Ta có f(9x) = f(3.3x) = −f(3x) = f(x)
Vậy f(x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ 9.
⇔

f(3x) = −f (x), ∀x ∈ R
+
f(x) = f (9x), ∀x ∈ R
+
.
⇔

f(x) =
1
2
[f(x) −f(3x)](2), ∀x ∈ R
+
f(9x) = f (x), ∀x ∈ R
+
⇔ f(x) =
1
2
[g(x) −g(3x)], ∀x ∈ R

f(s
2
x) = f(x), ∀x ∈ M.
Vậy f(x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ s
2
trên M.
11
Bài toán 1.6. Chứng minh rằng hàm số f(x) là hàm phản tuần hoàn nhân tính
chu kỳ b (b = 0, ±1) trên M khi và chỉ khi

b
±1
x ∈ M, ∀x ∈ M
f(x) = g(x) − g(bx),
(1.2)
trong đó g(x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ b
2
trên M.
Lời giải. Thật vậy, với f(x) là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ b trên M.
Suy ra b
±1
x ∈ M với mọi x ∈ M.
Chọn g(x) =
f(x)
2
thì g(x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ b
2
trên M và
g(x) −g(bx) =
1

ln|b|
=
m
n
, m, n ∈ N) (giả thiết) nên nln|a| = mln|b| hay |a|
n
= |b|
m
.
Ta chứng minh T = a
2n
= b
2m
là chu kỳ của F(x) và G(x).
Theo giả thiết, f(x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ a và g(x) là hàm tuần
hoàn chu kỳ b nên ta có

f(T x) = f(a
2n
x) = f(x), ∀x ∈ R
g(T x) = g(b
2m
x) = g(x), ∀x ∈ R.
Suy ra
F (Tx) = f(a
2n
x) + g(b
2m
x) = f(x) + g(x) = F(x), ∀x ∈ R
G(T x) = f(a

Suy ra
f(x) =
f(x)+f(x)
2
=
f(x)+f(−x)
2
.
Chọn g(x) =
f(x)
2
thì f(x) có dạng (1.3).
Ngược lại, nếu f(x) có dạng (1.3) thì hiển nhiên f(x) là hàm chẵn trên R.
Bài toán 1.10. Chứng minh rằng f(x) là hàm lẻ trên R khi và chỉ khi f(x) có dạng
f(x) = g(x) − g(−x) (1.4)
13
với g(x) là hàm tùy ý trên R.
Lời giải. Nếu f(x) là hàm lẻ trên R thì ta có
f(x) = −f (−x), ∀x ∈ R.
Suy ra
f(x) =
f(x)+f(x)
2
=
f(x)−f(−x)
2
.
Chọn g(x) =
f(x)
2

Lời giải. Đặt x = a −y.
Khi đó 2a −x = a + y và điều kiện bài ra tương đương với
f(a + y) + f(a −y) = b, ∀y ∈ R.
Đặt g(y) = f(a + y) −
b
2
hay f(y) = g(y − a) +
b
2
thì ta có phương trình
g(−y) = −g(y), ∀y ∈ R,
hay g(y) là hàm lẻ trên Q.
Vậy hàm số thỏa mãn điều kiện bài ra có dạng
f(x) = g(x − a) +
b
2
= h(x −a) − h(−x + a) +
b
2
,
trong đó h(x) là hàm tùy ý trên R.
Định nghĩa 1.6 (Phương trình đương đương - phương trình hệ quả). Cho phương
trình
f
1
(x) = g
1
(x) (1.7)
có tập nghiệm S
1

⊂ S
2
thì ta nói phương trình (1.8) là hệ quả của phương trình (1.7).
Kí hiệu : f
1
(x) = g
1
(x) ⇒ f
2
(x) = g
2
(x).
1.2 Hàm xác định trên tập số nguyên
1.2.1 Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn trên tập số nguyên
Xét hàm số f(x) với tập xác định D(f) ⊂ Z và tập giá trị trong R. Khi đó ta
có được định nghĩa hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn trên tập số nguyên như
định nghĩa 1.1; 1.2; 1.3; 1.4
Do tập số nguyên Z là tập rời rạc nên ta có thể xác định được dạng tổng quát của
các hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn khi biết chu kỳ tuần hoàn của hàm số đó.
Nhận xét 1.3. Mọi hàm f(n) là hàm tuần hoàn chu kỳ 1 trên Z đều là hàm hằng.
Mệnh đề 1.1. Mọi hàm f(n) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2 trên Z đều có dạng
f(n) =
1
2
[a + b + (a − b)(−1)
n
], ∀n ∈ Z (a, b ∈ R). (1.9)
Chứng minh Giả sử f(n) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2 trên Z, ta cần chứng minh
f(n) =
1

1
2
[a + b + (a − b)(−1)
n+2
]
=
1
2
[a + b + (a − b)(−1)
n
] = f(n).
Vậy f(n) = f(n + 2), ∀n ∈ Z hay f(n) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2.
Mệnh đề 1.2. Mọi hàm f(n) tuần hoàn chu kỳ 3 trên Z đều có dạng
f(n) =
1
3
[a+b+c+(−a−b+2c)cos
2nπ
3
+
√
3(a−b)sin
2nπ
3
], ∀n ∈ Z, (a, b, c ∈ R) (1.11)
Lời giải. Với mọi hàm số f (n) có dạng (1.11) thì dễ dàng ta có
f(n + 3) = f(n), ∀n ∈ Z.
Suy ra f(n) là hàm tuần hoàn chu kỳ 3.
Ngược lại, giả sử f(n) là hàm tuần hoàn chu kỳ 3 và f(0) = c, f(1) = a, f(2) =
b(a, b, c ∈ R).

2π
3
+
√
3(a − b)sin
2π
3
]
=
1
3
[a + b + c + (−a − b + 2c)(−
1
2
) +
√
3(a − b)
√
3
2
]
= a = f(1).
3. Với n = 2 ta có
g(2) =) =
1
3
[a + b + c + (−a − b + 2c)cos
4π
3
+

√
3(a − b)sin
2nπ
3
], ∀n ∈ Z.
Bài toán 1.14. Cho a ∈ Z
+
. Xác định hàm số f(n) là hàm tuần hoàn chu kỳ a
trên Z.
Lời giải. Do f(n) là hàm tuần hoàn chu kỳ a trên Z nên ta có
f(n + a) = f(n), ∀n ∈ Z.
Dễ thấy rằng đây là phương trình sai phân bậc n có phương trình đặc trưng
λ
a
− 1 = 0 (1.12)
1. Nếu a chẵn thì phương trình (1.12) có n nghiệm
λ
1
= 1, λ
2
= −1, λ
k
= cos
2kπ
a
+ isin
2kπ
a
, λ


k
sin
2nkπ
a
), ∀n ∈ Z (1.13)
Giả sử f(0) = b
0
, f (1) = b
1
, f (a − 1) = b
a−1
.
Thay n = 0, 1, 2, , a −1 vào phương trình (1.13) ta được hệ a phương trình a
ẩn. Giải hệ này ta tìm được a
1
, a
2
, c
k
, d
k
(k = 1, 2, ,
a−2
2
).
Với a = 2 ta cũng thu được kết quả giống mệnh đề 1.1.
2. Nếu a lẻ thì phương trình (1.12) có n nghiệm
λ
1
= 1, λ

k
cos
2nkπ
a
+ d
k
sin
2nkπ
a
), ∀n ∈ Z (1.14)
18
Giả sử f(0) = b
0
, f (1) = b
1
, f (a − 1) = b
a−1
.
Thay n = 0, 1, 2, , a −1 vào phương trình (1.14) ta được hệ a phương trình a
ẩn. Giải hệ này ta tìm được a
1
, c
k
, d
k
(k = 1, 2, ,
a−1
2
).
Với a = 3 ta cũng thu được kết quả giống mệnh đề (1.2).

− (a −b)(−1)
n+1
], ∀n ∈ Z,
đặt a − b = k, k ∈ R thì hàm số f(n) có dạng
f(n) =
1
2
(k(−1)
n
− k(−1)
n+1
) = k(−1)
n
, ∀n ∈ Z.
Mà f(1) = 2, nên ta có k = −2.
Vậy hàm số thỏa mãn điều kiện bài ra có dạng f(n) = −2(−1)
n
, ∀n ∈ Z.
Bài toán 1.16. Cho a ∈ Z
+
. Xác định hàm số f(n) là hàm phản tuần hoàn chu
kỳ a trên Z.
Lời giải. Vì f(n) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ a trên Z nên hàm số f(n) có
dạng
19
f(n) = g(n) − g(n + a),
trong đó g(n) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2a. Hay g(n) có dạng
g(n) = a
1
+ a

cos
nkπ
a
+ d
k
sin
nkπ
a
),
Suy ra
g(n + a) = a
1
+ a
2
(−1)
n+a
+
a−1

k=1
(c
k
cos
(n + a)kπ
a
+ d
k
sin
(n + a)kπ
a

Suy ra
g(n + 2) = a
1
+ a
2
(−1)
n+2
+ c
1
cos
(n+2)π
2
+ c
2
sin
(n+2)π
2
= a
1
+ a
2
(−1)
n
− c
1
cos
nπ
2
− c
2

1.2.2 Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính trên tập số nguyên
Mệnh đề 1.3. Mọi hàm f(n) tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2 trên Z đều có dạng
f(n) =

f
n
, (∀f
n
∈ R), n = 2s + 1
f
2k+1
, n = 2
l
(2k + 1), l ∈ N
∗
, k ∈ Z.
(1.15)
Chứng minh Nhận xét rằng, mọi n ∈ Z đều có thể viết dưới dạng n = 2
l
(2k +1)
với l ∈ N
∗
, k ∈ Z, nên ta có
f(n) = f (2
l
(2k + 1)) = f(2k + 1), ∀n ∈ Z.
Vì vậy
f(n) =

f

, n = 2
2s
(2k + 1), s ∈ N
∗
, k ∈ Z.
Chứng minh Nhận xét rằng, mọi n ∈ Z đều có thể viết dưới dạng n = 2
l
(2k +1)
với l ∈ N, k ∈ Z, nên ta có
f(n) = f (2
l
(2k + 1)), ∀n ∈ Z.
Vì vậy
f(n) =

f
n
, (∀f
n
∈ R), n = 2s + 1
f
2k+1
, n = 2
l
(2k + 1), l ∈ N
∗
, k ∈ Z.
Vậy hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2 có dạng
f(n) =


k
,
trong đó f
k
nhận giá trị thực tùy ý, n = ka
s
với s ∈ N, k ∈ Z, k không chia hết cho
a.
Với a = 2 thì f(n) có dạng f(n) = f
k
tùy ý nếu n = 2
l
k, với l ∈ N, k lẻ .
Bài toán 1.20. Cho a ∈ Z
+
, a = ±1. Xác định hàm phản tuần hoàn nhân tính chu
kỳ a trên Z.
Lời giải. Nhận xét rằng, mọi n ∈ Z đều có thể viết dưới dạng n = ka
s
với k không
chia hết cho a, s ∈ N. Suy ra
f(n) = f (ka
s
), ∀n ∈ Z.
Vì vậy
f(n) =

f(k), s = 2m, m ∈ N
−f(k), s = 2m + 1, m ∈ N.
Vậy hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ a có dạng

nhận giá trị thực tùy ý, m ∈ N, k ∈ Z, k lẻ.
1.3 Một số dãy số dạng đặc biệt
Tương tự như đối với hàm số thông thường, ta có thể coi dãy số u
n
như một hàm
f(n) = u
n
xác định trên tập Z và nhận giá trị trong R. Vì vậy, cũng giống như hàm
số xác định trên tập số nguyên thì dãy số cũng có các dạng như: Dãy số tuần hoàn,
phản tuần hoàn, dãy số tuần hoàn nhân tính, phản tuần hoàn nhân tính. Ngoài ra,
dãy số còn có một số dạng đặc biệt khác: cấp số cộng, cấp số nhân, cấp số điều hòa.
Định nghĩa 1.7. 1. Dãy số {u
n
} thỏa mãn điều kiện
22
u
1
− u
0
= u
2
− u
1
= = u
n+1
− u
n
=
Được gọi là một cấp số cộng.
2. Khi dãy số {u

d = u
1
− u
0
.
Tính chất 1.1. Giả sử {u
n
} là một cấp số cộng có số hạng đầu {u
1
} và công sai d.
1. Kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng
hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là
u
k
=
u
k−1
+u
k+1
2
.
2. Số hạng tổng quát u
n
của nó được tính theo công thức sau u
n
= u
1
+ (n −1)d.
3. Với mỗi số nguyên dương n, gọi S
n

, ∀m, n ∈ N. (1.16)
Lời giải.
Điều kiện cần. Giả sử dãy u
n
lập thành một cấp số cộng với công sai d.
Khi đó u
n
= u
0
+ nd, ∀n ∈ N.
Vậy nên
u
2m
+ u
2n
= 2u
0
+ (2n + 2m)d
và
23
2u
m+n
= 2[u
0
+ (m + n)d].
Từ đó ta có
2u
m+n
= u
2m

2u
m+n
= 2u
m
+ 2u
n
− 2u
0
(1.18)
hay
u
m+n
= u
m
+ u
n
− u
0
(1.19)
Thay m = 1 vào (1.20), ta có
u
n+1
= u
n
+ u
1
− u
0
= u
n

− a
n−1
=
và vì vậy
a
n
=
a
n−1
+a
n+1
2
, ∀n ∈ N
∗
.
24
hay
f(a
n
) = f(
a
n−1
+a
n+1
2
) =
f(a
n−1
)+f(a
n+1

n
} lập thành một cấp số nhân thì thương q =
u
1
u
0
được gọi là công
bội của cấp số đã cho.
Nhận xét 1.7. 1. Khi cho một dãy số hữu hạn {u
0
, u
1
, u
2
, , u
n
} thỏa mãn điều
kiện
u
1
u
0
=
u
2
u
1
=
u
n

một cấp số nhân.
4. Nếu {u
n
} là một cấp số nhân với số hạng dương thì {v
n
} với v
n
= log
a
u
n
, ∀n ∈
N, 0 < a = 1 lập thành một cấp số cộng.
Tính chất 1.2. Giả sử {u
n
} là một cấp số nhân có số hạng đầu u
1
và công bội
q = 0.
1. Kể từ số hạng thứ hai, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối
với cấp số nhân hữu hạn) bằng tích của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là
u
2
k
= u
k−1
.u
k+1
.
2. Số hạng tổng quát u

2
m+n
= u
2m
u
2n
, ∀m, n ∈ N (1.20)
Lời giải. Đặt ln u
n
= v
n
, ∀n ∈ N. Khi đó u
n
= e
v
n
và đẳng thức trên có dạng
e
2v
m+n
= e
v
2m
+v2n
, ∀m, n ∈ N.
hay
2v
m+n
= v
2m

0
a
1
=
a
1
a
2
= =
a
n−1
a
n
=
và vì vậy
a
2
n
= a
n−1
a
n+1
, a
n
> 0, ∀n ∈ N
∗
.
hay
f(a
n

Chứng minh rằng dãy {f(a
n
)} là một cấp số nhân.