ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGÔ VĂN TUẤN
VẬN DỤNG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VÀO GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN N
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
MÃ SỐ: 60.46.01.13
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. ĐÀM VĂN NHỈ
Thái Nguyên - Năm 2013
Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1 Ma trận 4
1.1 Ma trận và định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Ma trận và phép toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Định thức và tính chất của định thức . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 Đại số Matn(K) các ma trận vuông cấp n . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.4 Vectơ riêng, giá trị riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Chéo hóa ma trận vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1 Vành ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.2 Ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.3 Phương trình đặc trưng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.4 Chéo hóa ma trận vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Xây dựng phương trình hàm trên N 24
2.1 Giá trị riêng của hàm ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.1 Giá trị riêng của hàm đa thức của A . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.2 Giá trị riêng của hàm hữu tỷ của A . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Xét dãy số qua phép nhân ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Phương trình hàm trên N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4 Xây dựng phương trình hàm từ bài toán đã biết . . . . . . . . . . . . . . 50
2.5 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Chương I, trình bày khái niệm ma trận và phép toán, định thức và các
tính chất của định thức, đại số Matn(K), các ma trận vuông cấp N, vectơ
riêng, giá trị riêng, vành ma trận, ma trận nghịch đảo, phương trình đặc
trưng của ma trận, chéo hoá ma trận vuông.
Chương II, trình bày khái niệm giá trị riêng của hàm ma trận, xét dãy
truy hồi qua phép nhân ma trận, ứng dụng xây dựng và giải phương trình
hàm trên tập N.
Luận văn có sử dụng một số phương trình hàm của thầy giáo hướng dẫn.
Luận văn được hoàn thành với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của
PGS.TS. Đàm Văn Nhỉ - Đại học Sư Phạm Hà Nội. Em xin được bày tỏ
2
lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên và chỉ bảo hướng dẫn
của Thầy. Em xin trân trọng cảm ơn tới các Thầy, Cô trong Trường Đại
học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, phòng Đào tạo Trường Đại học Khoa
học. Đồng thời tôi xin cảm ơn tới Sở Giáo dục - Đào tạo Quảng Ninh, Ban
Giám hiệu, các đồng nghiệp Trường THPT Cô Tô - Huyện Cô Tô đã tạo
điều kiện cho tôi học tập và hoàn thành luận văn này.
Thái Nguyên, ngày 16 tháng 8 năm 2013
Tác giả
Ngô Văn Tuấn
3
Chương 1
Ma trận
1.1 Ma trận và định thức
1.1.1 Ma trận và phép toán
Định nghĩa 1.1.1. Một bảng gồm m.n số được viết thành m dòng, n cột
như sau:
in
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
m1
a
m2
. . . a
mj
. . . a
mn
(1.1)
được gọi là một ma trận kiểu (m, n).
Mỗi số a
ij
được gọi là một thành phần của ma trận. Nó nằm ở dòng thứ
i và cột thứ j.
Ta thường kí hiệu ma trận bởi các chữ in hoa: A, B Có thể viết ma
trận (1.1) một cách đơn giản bởi
A = (a
ij
)
m1
a
12
a
22
. . . a
i2
. . . a
m2
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
1j
a
2j
. . . a
ij
. . . a
mj
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
1n
a
2n
. . . a
in
. . . a
mn
hợp" với các phép toán trên các ánh xạ tuyến tính. Chẳng hạn ma trận của
tổng hai ánh xạ phải bằng tổng hai ma trận của những ánh xạ ấy.
Phép cộng hai ma trận
Mệnh đề và định nghĩa: Giả sử A = (a
ij
)
(m,n)
và B = (b
ij
)
(m,n)
lần
lượt là các ma trận của ánh xạ tuyến tính f, g ∈ Hom
K
(V, W) đối với hai
cơ sở (ε) và (ξ) đã chọn trong V và W . Thế thì ma trận của ánh xạ tuyến
tính f + g đối với hai cơ sở ấy là C = (a
ij
+ b
ij
)
(m,n)
.
Ma trận C được gọi là tổng của hai ma trận A và B kí hiệu là A + B
Chứng minh. Theo giả thiết
f(ε
j
) =
m
ξ
i
+
m
i=1
b
ij
ξ
i
=
m
i=1
(a
ij
+ b
ij
)
ξ
i
,
với mọi j ∈ {1, 2, . . . , n}.
Vậy ma trận của f + g đối với hai cơ sở đã cho là (a
ij
+ b
ij
ấy là C = (ka
ij
)
(m,n)
.
Ma trận C được gọi là tích của hai ma trận A với số k, kí hiệu là kA.
Quy tắc nhân ma trận với một số: Muốn nhân một ma trận A với
một số k ta chỉ việc nhân số k với mọi thành phần của A.
Phép trừ hai ma trận
Định nghĩa 1.1.3. Ma trận (−1)A được gọi là đối của ma trận A. Kí hiệu
là −A. Với ma trận A và B, tổng A + (-B) được gọi là hiệu của A và B.
Kí hiệu là A - B.
Như vậy, với A = (a
(ij)
)
(m,n)
và B = (b
ij
)
(m,n)
ta có: −B = (−b
ij
)
(m,n)
,
A − B = (a
ij
− b
ij
)
Ma trận C được gọi là tích của hai ma trận A và B, kí hiệu là AB.
Chứng minh. Giả sử (ε) = {ε
1
ε
2
. . . ε
p
} là cơ sở của U,
(ξ) = {
ξ
1
,
ξ
2
, . . . ,
ξ
n
} là cơ sở của V, (ξ) = {
ξ
2
, . . . ,
ξ
m
} là cơ sở của W .
Theo định nghĩa ma trận của ánh xạ tuyến tính, ta có:
ζ
i
.
Do đó
fg(ε
k
) =
n
j=1
b
jk
f(
ξ
j
) =
n
i=1
b
jk
m
i=1
a
ij
ζ
i=1
(
n
j=1
a
ij
b
jk
)
ζ
i
.
Vì hệ (ζ) độc lập tuyến tính nên c
ik
=
m
j=1
a
ij
b
jk
.
Quy tắc nhân hai ma trận: Muốn tìm thành phần c
ik
của một ma
trận tích AB ta phải lấy mỗi thành phần a
ij
. . . a
1j
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2j
. . . a
2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
i1
a
i2
. . . a
ij
. . . a
in
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
. . . a
nj
. . . a
nn
a
11
a
12
. . . a
1j
. . . a
1n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
i1
a
i2
. . . a
ij
. . . a
in
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
nj
tạo thành cột thứ j của định thức. Khi ma trận A có cấp n ta cũng nói |A|
là một định thức cấp n.
Ta thấy, mỗi hạng tử của định thức cấp n là một tích của n thành phần
cùng với một dấu xác định, trong mỗi tích không có hai thành phần nào
cùng dòng hoặc cùng cột.
Tính chất 1.1.1. Nếu định thức
D =
a
11
a
12
. . . a
1j
. . . a
1n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
. . . a
nn
8
mà mọi thành phần ở dòng thứ i đều có dạng a
ij
= a
ij
+ a
”
ij
thì
D =
a
n2
. . . a
nj
. . . a
nn
+
a
Chứng minh. Kí hiệu hai định thức ở vế phải lần lượt là D
và D
.
Theo định nghĩa định thức ta có:
D =
σ∈S
(n)
sgn(σ)a
1σ
(1)
a
2σ
(2)
. . . (a
iσ
(i)
iσ
(i)
. . . a
nσ
(n)
= D
+ D
.
Tính chất 1.1.2. Nếu mọi thành phần ở dòng thứ i của định thức có thừa
số chung c thì có thể đặt c ra ngoài dấu định thức, tức là:
a
11
a
12
. . . a
1j
. . . a
= c
a
11
a
12
. . . a
1j
. . . a
1n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
i1
a
i2
. . . a
ij
. . . a
in
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
(1)
. . . ca
iσ
(i)
. . . a
nσ
(n)
=
σ∈S
(n)
sgn(σ)a
1σ
(1)
. . . a
nσ
(n)
= cD.
9
Tính chất 1.1.3. Trong định thức nếu đổi chỗ hai dòng cho nhau thì định
thức đổi dấu, tức là:
a
n1
a
n2
. . . a
nj
. . . a
nn
= −
a
n1
a
n2
. . . a
nj
. . . a
nn
Chứng minh. Kí hiệu định thức ở vế trái bởi D
, ở vế phải bởi D và coi
D
(ij)
là định thức của ma trận (b’), trong đó:
b
ij
= a
ij
σ∈S
(n)
sgn(σ)b
1στ
(1)
. . . b
hστ
(h)
. . . b
nστ
(n)
.
=
σ∈S
(n)
sgn(σ)a
1στ
(1)
. . . a
kστ
(k)
. . . a
hστ
(h)
. . . a
nστ
(n)
.
sgn(σ)a
1στ
(1)
. . . a
kστ
(k)
. . . a
hστ
(h)
. . . a
nστ
(n)
= −
µ∈S
(n)
sgn(µ)a
1µ
(1)
. . . a
kµ
(k)
. . . a
hµ
(h)
. . . a
nµ
(n)
= −D.
Tính chất 1.1.4. Nếu định thức có hai dòng giống nhau thì định thức ấy
11
a
12
. . . a
1j
. . . a
1n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
k1
a
k2
. . . a
kj
. . . a
kn
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
h1
a
h2
. . . a
hj
. . . a
hn
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
a
11
. . . a
1j
. . . a
1n
. . . . . . . . . . . . . . .
a
i1
. . . a
ij
. . . a
in
. . . . . . . . . . . . . . .
a
k1
+ ca
i1
. . . a
kj
+ ca
ji
. . . a
kn
+ ca
in
a
11
. . . a
1j
. . . a
1n
. . . . . . . . . . . . . . .
a
i1
. . . a
ij
. . . a
in
. . . . . . . . . . . . . . .
a
k1
. . . a
kj
. . . a
kn
. . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
. . . a
. . . a
1j
. . . a
1n
. . . . . . . . . . . . . . .
a
i1
. . . a
ij
. . . a
in
. . . . . . . . . . . . . . .
ca
i1
. . . ca
ij
. . . ca
in
. . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
. . . a
nj
. . . a
nn
a c
b d
Thật vậy:
a b
c d
= ad − bc =
a c
b d
.
µ
(1)1
a
µ
(2)2
. . . a
µ
(n)n
.
Mỗi µ có một ánh xạ ngược σ. Với mỗi i, đặt r = σ(i), ta có
µσ(i) = µσ(i).
Do đó:
a
µ
(r)r
= a
iσ
(i)
. (1.2)
Vì µσ là phép thế đồng nhất nên 1 = sgn(σ) = sgn(µ)sgn(σ).
Suy ra:
sgn(µ) = sgn(σ). (1.3)
Hơn nữa khi µ chạy khắp S
n
thì σ cũng vậy. Nhờ (1.2) và (1.3) có thể viết:
|
t
A| =
µ∈S
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
. . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
. . . a
nn
, B =
b
11
b
12
12
. . . c
1n
c
21
c
22
. . . c
2n
. . . . . . . . . . . .
c
n1
c
n2
. . . c
nn
,
với c
ik
=
n
j=1
a
ij
a
11
a
12
. . . a
1n
0 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
. . . a
nn
0 0 . . . 0
−1 0 . . . 0 b
11
b
12
. . . b
1n
0 −1 . . . 0 b
21
b
22
. . . b
2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . −1 b
n1
Bây giờ ta nhân lần lượt các dòng thứ n + 1 với a
11
, dòng thứ n + 2 với
a
12
, . . . , dòng thứ n + j với a
j
, . . . dòng thứ 2n với a
1n
, rồi cộng vào dòng
đầu. Khi đó dòng đầu của D biến thành
0, 0, . . . , 0, c
11
, c
12
, . . . , c
1n
.
Tổng quát, nhân dòng thứ n + 1 với a
1i
, . . . , dòng thứ n + i với a
ij
, . . . ,
dòng thứ 2n với a
in
rồi cộng vào dòng thứ i thì dòng thứ i trong D biến
thành
0, 0, . . . , 0, c
i1
, c
12
. . . c
1n
0 0 . . . 0 c
21
c
22
. . . c
2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 0 c
n1
c
n2
. . . c
nn
−1 0 . . . 0 b
11
b
12
. . . b
1n
0 −1 . . . 0 b
21
b
22
. . . b
2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . −1 b
−1 0 . . . 0
0 −1 . . . 0
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . −1
,
D = (−1)
(1+2+···+n)+(n+1+n+2+···+2n)
|AB|.(−1)
n
= (−1)
(1+2+···+n)+(n+1+n+2+···+2n)+n
|AB|
= (−1)
2n(n+1)
|AB| = |AB|.
Vậy |AB| = |A|.|B|.
1.1.4 Vectơ riêng, giá trị riêng
0 và các vectơ riêng ứng với giá
trị riêng k của f. Rõ ràng W = ∅ vì
0 ∈ W. Giả sử α,
β ∈ W và r, s ∈ K.
Vì f là ánh xạ tuyến tính nên:
(rα+s
β) = f(rα)+f(s
β) = rf(α)+sf(
β) = r(kα)+s(k
β) = k(rα+s
β).
Điều này chứng tỏ rα+s
β là một vectơ riêng ứng với k. Do đó rα+s
β ∈ W.
Vậy W là không gian con của V. Hơn nữa W bất biến đối với f vì nếu α ∈ W
thì f(α) = k(α) ∈ W.
Các vectơ riêng ứng với các giá trị riêng phân biệt của một tự đồng cấu
liên quan với nhau như thế nào?
Định lý 1.1.2. Nếu α
1
, α
p−1
α
p−1
+ r
p
α
p
=
0 (1.4)
thì bắt buộc r
1
= r
2
= ··· = r
p−1
= r
p
= 0.
Vì α
i
là những vectơ riêng ứng với giá trị riêng k
i
nên tác động f vào hai
vế của bất đẳng thức (1.4) ta được
r
1
α
1
+ r
p
)α
2
+ ··· + r
p−1
(k
p−1
− k
p
α
p−1
=
0.
Theo giả thiết quy nạp, hệ vectơ {α
1
, α
2
, . . . , α
p−1
} độc lập tuyến tính.
Do đó:
r
1
(k
1
− k
p
) + r
2
1
, α
2
, . . . , α
p−1
} độc lập tuyến tính.
1.2 Chéo hóa ma trận vuông
1.2.1 Vành ma trận
Xét vành đa thức một biến K[x] trên trường K. Giả sử đa thức thuộc
K[x] là f(x) = a
s
x
s
+ a
s−1
x
s−1
+ ··· + a
1
x + a
0
và ma trận vuông A cấp
n 3. Định nghĩa
f(A) = a
s
A
s
+ a
s−1
A
) = αA
r+s
+ βA
r+t
với α, β ∈ K, suy ra ngay kết quả sau:
16
Định lý 1.2.1. Với hai đa thức f và g thuộc K[x] và ma trận A ta luôn có
(i) Nếu f = g thì f(A) = g(A).
(ii) (f + g)(A) = f(A) + g(A).
(iii) (fg)(A) = f(A)g(A).
(iv) f(A)g(A) = g(A)f(A).
(v) (αf)(A) = αf(A) với bất kỳ α ∈ K.
Ký hiệu K[A] = {f(A)|f ∈ K[x]}. Từ Định lý 1.2.1 suy ra ngay kết quả:
Định lý 1.2.2. Tập K[A] cùng phép cộng, nhân các ma trận và nhân ma
trận với một số lập thành một vành giao hoán có đơn vị E.
Mệnh đề 1.2.1. Tương ứng φ : K[x] → K[A], f(x) → f(A), là một toàn
cấu với Ker(φ) = (0).
Chứng minh. Do bởi φ(f +g) = (f +g)(A) = f(A)+g(A) = φ(f) +φ(g)
và φ(fg) = (fg)(A) = f(A)g(A) = φ(f)φ(g) theo Định lý 1.2.1 nên φ là
một đồng cấu vành.
Với f(A) = a
s
A
s
+ a
s−1
A
s−1
+ ··· + a
1
2
ma trận vuông
cấp n trên K đều là phụ thuộc tuyến tính. Như vậy tồn tại đa thức khác 0
là f(x) = x
s
+ a
s−1
x
s−1
+ ···+ a
1
x + a
0
∈ K[x] với s n
2
+ 1 thoả mãn
f(A) = 0. Vậy Ker(φ) = (0). Vì vành K[x] là vành iđêan chính nên có đa
thức bậc thấp nhất F (x) = 0 để Ker(φ) = (F ) = (0).
Hệ quả 1.2.1. Ta có K[A]
∼
=
K[x]/(F ).
Chứng minh. Bởi vì φ : K[x] → K[A], f(x) → f(A), là một toàn cấu
với Ker(φ) = (F ) = (0) theo Mệnh đề 1.2.1 nên K[A]
∼
=
K[x]/Ker(φ) =
K[x]/(F ).
17
Nhận xét 1.2.1. Vì K[x] là vành các iđêan chính nên có duy nhất một
i1
+ a
k2
α
i2
+ ··· + a
kn
α
in
=
|A| khi k = i
0 khi k = i.
Ký hiệu ma trận với các phần tử α
ij
qua A
adj
= (α
ij
). Dễ dàng kiểm tra
AA
adj
= A
adj
A = |A|E.
Định nghĩa 1.2.1. Ma trận vuông B cấp n được gọi là ma trận nghịch đảo,
của ma trận vuông A cấp n nếu AB = BA = E. Khi đó ma trận nghịch
đảo B thường được viết qua A
−1
.
d
E.
Như vậy A
−
1
a
d
A
d−1
−
a
1
a
d
A
d−2
−···−
a
d−1
a
d
E
= E và có ma trận nghịch
đảo A
−1
= −
1
a
. Lập A
−1
qua các phần bù đại số
A
11
=
−4 2
−1 5
= −18, A
12
= −
0 2
1 5
2 −4
1 5
= 14,
A
23
= −
2 3
1 −1
= 5,
A
31
=
0 −4
= −8.
Ma trận nghịch đảo A
−1
=
A
adj
|A|
=
9/23 11/46 5/23
−1/23 −7/23 2/23
−2/23 −5/46 4/23
.
Ví dụ 1.2.2. Xác định ma trận nghịch đảo của ma trận B =
1 2 3
2 3 4
1 5 7
.
Bài giải. Với B =
1 2 3
2 3 4
ij
∈ K là A = (a
ij
). Nếu coi F(u) như là F.u thì từ F(u) = Au
ta suy ra biểu diễn dạng phương trình như sau:
n
j=1
(δ
ij
F − a
ij
)u
j
= 0 với
i = 1, 2, . . . , n. Như vậy |F E − A| = 0 và dẫn đến khái niệm sau:
Định nghĩa 1.2.2. Đa thức p(x) = |xE−A| = x
n
+δ
1
x
n−1
+···+δ
n−1
x+δ
n
được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận vuông A. Phương trình p(x) = 0
được gọi là phương trình đặc trưng của ma trận vuông A. Các nghiệm
19
λ
n−2
x
n−2
+ ··· + B
1
x + B
0
với các ma trận vuông B
j
cấp n. Do (xE − A)
adj
(xE − A) = p(x)E nên
(xE − A)(B
n−1
x
n−1
+ B
n−2
x
n−2
+ ··· + B
1
x + B
0
) = p(x)E. Ta có hệ
− AB
1
= δ
n−1
E
−AB
0
= δ
n
E
và suy ra
A
n
B
n−1
2
B
1
= δ
n−1
A
−AB
0
= δ
n
E.
Cộng tất cả các ma trận, vế theo vế, ta được phương trình p(A) = 0.
Định lý 1.2.4. Với ma trận vuông cấp n, đa thức m(x)
n
chia hết cho đa
thức đặc trưng p(x).
Chứng minh. Giả sử A là một ma trận vuông cấp n với đa thức đặc trưng
p(x) = |xE − A|. Ký hiệu đa thức tối tiểu của A là m(x) = x
r
+ b
1
x
r−1
+
··· + b
r
. Với các ma trận B
0
, B
1
E
··· = ···
B
r−1
= A
r−1
+ b
1
A
r−2
+ ··· + b
r−1
E
có
E = B
0
b
1
E = B
B
0
+ x
r−2
B
1
+ ··· + B
r−1
. Lấy định thức hai vế được
m(x)
n
= p(x)|B(x)|. Vì |B(x)| là một đa thức nên m(x)
n
˙: p(x).
Định lý 1.2.5. Mỗi đa thức f(x) ∈ K[x] thoả mãn f(A) = 0 thì f(x) chia
hết cho m(x). Đặc biệt p(x) cũng chia hết cho m(x).
Chứng minh. Giả sử đa thức f(x) thoả mãn f(A) = 0. Sử dụng phép chia
với dư, biểu diễn f(x) = q(x)m(x) + r(x) với đa thức r(x) có deg r(x) <
deg m(x). Vì f(A) = 0, m(A) = 0 nên r(A) = 0 và như vậy r(x) = 0 hay
f(x) chia hết cho m(x). Do bởi p(A) = 0. Theo Định lý 1.2.3 nên p(x) cũng
chia hết cho m(x).
Ví dụ 1.2.3. Xác định đa thức đặc trưng và đa thức tối tiểu của ma trận
A =
2 0 0
0 2 2
0 0 1
.
Bài giải. Vì |xE − A| =
x − 3 −1
−3 x − 5
= (x − 2)(x − 6) nên có tích
(A−2E)(A−6E) = 0. Đặt 4B = A−2E, 4C = −A+6E. Khi đó B +C =
E, 6B + 2C = A, BC = 0 = CB. Lại có
B = BE = B(B + C) = B
2
C = CE = C(B + C) = C
2
.
Từ các kết quả này suy ra A
n
= 6
n
B + 2
n
C bằng phương pháp quy nạp
theo n. Do đó A
2012
=
1
4
= x
2
− (a + d)x + ad − bc nên
A
A − (a + d)E
bc − ad
= E. Vậy A
−1
=
A − (a + d)E
bc − ad
.
21
Ví dụ 1.2.6. Cho A =
1 −3 3
3 −5 3
6 −6 4
. Khi đó hãy
(i) Xác định |A| và A
−1
.
(ii) Đặt A
n
=
.
Bài giải. (i) Vì |xE − A| =
x − 1 3 −3
−3 x + 5 −3
−6 6 x − 4
= (x + 2)
2
(x − 4) =
x
3
− 12x − 16 nên A
A
2
− 12E
16
= E. Vậy A
−1
=
A
2
P
−1
.
Với công thức xác định A
n
ta dễ dàng suy ra các kết quả còn lại.
1.2.4 Chéo hóa ma trận vuông
Xét không gian vectơ K
3
trên trường K với chiều bằng 3. Giả sử ma trận
A =
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
= t
3
+ δ
1
t
2
+ δ
2
t + δ
3
với ba giá trị riêng λ
1
, λ
2
, λ
3
. Ký hiệu u
i
= (b
i1
, b
i2
, b
i3
), i = 1, 2, 3, là những
vectơ khác vectơ
0 thỏa mãn Au
22
trận
x = c
1
(b
11
, b
12
, b
13
) + c
2
(b
21
, b
22
, b
23
) + c
3
(b
31
, b
32
, b
33
)
=
b
2
c
3
và
Ax = c
1
Au
1
+ c
2
Au
2
+ c
3
Au
3
= c
1
λ
1
u
1
+ c
2
λ
2
u
2
+ c
2
0
0 0 λ
3
c
1
c
2
c
3
.
Từ đây có AP
c
1
c
2
c
3
= P
λ
1
0 0
0 λ
2
0
0 0 λ
3
c
1
c
2
c
3
.
Dễ dàng suy ra P
−1
AP =
λ
1
0 0
0 λ
2
0
0 0 λ
3
và ta nói rằng đã chéo hóa được
ma trận vuông A.
23
Chương 2
Xây dựng phương trình hàm trên N
2.1 Giá trị riêng của hàm ma trận
E − A).
Giả sử p(x) = |xE − A| = (x −λ
1
)(x − λ
2
) . . . (x −λ
n
). Như vậy
|g(A)| = (−1)
mn
b
n
0
|α
1
E − A||α
2
E − A|. . . |α
m
I −A|
= (−1)
mn
b
n
0
m
k=1
n
i
) với mỗi đa thức g(x).
Chứng minh. Do bởi |g(A)| =
n
i=1
(−1)
m
b
0
m
k=1
(α
k
− λ
i
)
như đã chỉ ra ở
trên nên |g(A)| = (−1)
mn
b
n
0
m
k=1
n
Copyright: Tài liệu đại học ©