VẬN DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÀO VIỆC
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ
PHƯƠNG TRÌNH
(DÀNH CHO HS LỚP 12 BAN KHTN)

A. MỞ ĐẦU :
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI :
Hàm số là một trong những khái niệm cơ bản của toán học nói chung và chương
trình toán phổ thông nói riêng. Quan điểm hàm số cần được quán triệt trong toàn bộ
chương trình toán ở trường trung học phổ thông. Các bài toán khó về hàm số, phương
trình, bất phương trình thường có mặt trong các kỳ thi đại học, cao đẳng, thi học sinh
giỏi các cấp Lý thuyết về hàm số, phương trình, bất phương trình và hệ phương trình
được trình bày khá rõ ràng trong SGK Đại số lớp 10 của nhà xuất bản Giáo dục ( Sách
chỉnh lý hợp nhất năm 2000, sách phân ban năm 2006) và một số sách tham khảo khác.
Toán học nói chung và Hàm số nói riêng có nhiều ứng dụng rất quan trọng trong
đời sống cũng như trong các ngành khoa học khác. SGK Đại số lớp 10 của nhà xuất bản
Giáo dục ( Sách chỉnh lý hợp nhất năm 2000 và sách phân ban năm 2006 ) đã trình bày
rất rõ về định nghĩa và các tính chất của hàm số; phương trình ; bất phương trình và hệ
phương trình. Để giúp học sinh THPT đặc biệt là học sinh lớp 12 có thể tìm hiểu sâu
hơn về hàm số và ứng dụng của nó làm cơ sở để tham gia các kỳ thi cuối cấp cũng như
ứng dụng trong thực tế cuộc sống, trong phạm vi đề tài sáng kiến kinh nghiệm của mình
tôi xin trình bày một ứng dụng của hàm số vào việc giải phương trình ; bất phương trình
và hệ phương trình đó là:
Vận dụng tính đơn điệu của hàm số vào việc giải phương trình, bất phương
trình và hệ phương trình. (Dành cho HS lớp 12 ban KHTN).
2. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
- Học sinh lớp 12A1 trường THPT Lộc Hưng.
-Ứng dụng tính đơn điệu giúp học sinh giải tốt các phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình.
3. PHẠM VI CỦA ĐỀ TÀI:
- Đề tài được nghiên cứu, thử nghiệm trong phạm vi lớp 12A1 trường THPT Lộc

.
Khi đó ta nói rằng đẳng thức f(x) = g(x) là một phương trình (bất đẳng thức f(x) >
g(x) là một bất phương trình) một ẩn.
Số thực a được gọi là một nghiệm của phương trình (bất phương trình), D là tập
xác định của phương trình (bất phương trình).
Giải phương trình ( bất phương trình ) là tìm tất cả các nghiệm của nó. Định nghĩa
trên đây nêu lên mối quan hệ hữu cơ giữa các khái niệm hàm số, phương trình và bất
phương trình.
 Tính đơn điệu của hàm số:
a.Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên khoảng (a;b).
- Hàm số f được gọi là đồng biến ( tăng ) trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi
)()();;(,
212121
xfxfxxbaxx <⇒<∈∀
.
- Hàm số f được gọi là nghịch biến ( giảm ) trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi
)()();;(,
212121
xfxfxxbaxx >⇒<∈∀
.
b.Tính chất:
Tính chất 1:
Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trên khoảng (a;b) thì
);(,;)()(
212121
baxxxxxfxf ∈∀=⇔=
( suy ra từ định nghĩa ).
Tính chất 2:
Nếu hàm số f chỉ tăng ( hoặc giảm ) trên khoảng (a;b) thì phương trình
0)( =xf

3
2
1
)223
2
(
5
log =
−−
+++−






xx
xx
(1)
Lời giải:
Đặt
)2,1(23
2
≥≤+−= xxxxu
, suy ra
0≥u
và
2
2
3

u
.
Đặt
2
2
2
1
)2(
5
log)(
u
uuf ++=
, vì f’(u) > 0,
[
)
+∞∈∀ ;0u
nên f đồng biến trên
);0[ +∞
. Mặt khác
.257
9
2
2
1
5
5
log)3( =+=f
Vì vậy:
2
333

+ >
+ −
nên f đồng biến trên (-3;2).
Trang 3
Ta có : f(1) = 1 nên phương trình : f(t)=f(1)
1t
⇔ =
2
1 5
1 0
2
x x x
±
⇔ − − = ⇔ =
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm:
1 5
2
x
±
=
Ví dụ 3 :Giải phương trình:
2
2
3
6
3
26
1
2
4

);2[ +∞
Ta có
'( ) 2007 (1 .ln2007) 0, [2; )
t
f t t t= + > ∀ ∈ +∞
=> hàm số đồng biến trên
);2[ +∞
nên từ phương trình (*) suy ra u = v,
hay
02
2
3
6
3
26
1
2
4 =+−⇔++=+ xxxxx
Đặt
1
2 3
0 3 2 0
2 ( )
X
X x X X
X l





. Vậy hàm số tăng trên R do đó,
( )
yxyfxf =⇔=⇔ )()(5
, thế vào (4) ta có phương trình :
cos2 sin 2 cos sin 1 0
2
sin cos 2sin cos 2cos 0
sinx cosx 2cosx(sinx cosx) 0
x x x x
x x x x x
+ + + + =
⇔ + + + =
⇔ + + + =
(sin cos )(2cos 1) 0x x x⇔ + + =
Trang 4
*
sin cos 0 tan 1 ( )
4
x x x x k k Z
π
π
+ = ⇔ = − ⇔ = − + ∈
*
)(2
3
2
2
1
cos01cos2 Zkkxxx ∈+±=⇔−=⇔=+
π

12
23
12
23
12
(5)
Lời giải
Xét hàm số :
ttttf ++=
23
)(
, với
Rt
∈
. Khi đó:
(5)





=+
=+
=+
⇔
)(12
)(12
)(12
xfz
zfy

zyx
zyx
xx
xxxxxxx
1
1
0)1
2
)(1(
01
2323
12
Vậy nghiệm của hệ phương trình là : (1;1;1) hoặc ( -1;-1;-1).
 Chú ý: Khi hướng dẫn cho học sinh phương pháp này cần đặc biệt lưu ý sự
liên tục của hàm số đặc trưng trên tập xác định của chúng.
Chẳng hạn đối với bài toán:
Giải hệ phương trình:





+=
−=−
12
11
3
xy
y
y

và y = f(x) liên tục trên
f
D
thì




=
=
⇔



=
=
0);(0);(
)()(
yxF
yx
yxF
yfxf

Ví dụ 6: Giải bất phương trình:
( )
2 3 2
4 2 1 1 6 15 14x x x x x x
− − + > − + −
(6)
Lời giải:

: đúng
Vậy tập nghiệm S = R.
Ví dụ 7: Giải bất phương trình:
2
sin
2
cos2
3 log 2005 0
6
3
x
x
 
 ÷
 
+ − ≥
(7)
Lời giải:
Ta có:

2 2
2
sin sin
cos
2 2 3
cos2
3 log 2005 0 log 2005
6 6
2
3 3

Đặt
[ ]
1;0,
2
sin ∈= txt
Trang 6
Bất phương trình trở thành:
2005
6
log
9
1
.3
3
2
≥+












tt
Hàm

.
Suy ra, bất phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 8: Cho
x
m
x
m
x
xf 4)2(10)12(25.2)( +++−=
(8)
Tìm m để
,0)( ≥xf
với
0
≥∀
x
.
Lời giải:
Ta có:
0)( ≥xf
với
0≥∀x

2
5 5
2 (2 1) 2 0, 0
2 2
x x
m m x
 

+∞
Đặt
2
2 2
( ) , 1
2 1
t t
f t t
t
− +
= ∀ ≥
−
( )
2
2
3
4 4 3
2
'( ) 0
1
2 1
2
t
t t
f t
t
t




là kết quả cần tìm.
Ví dụ 9: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có đúng 1 nghiệm:
Trang 7
+
∞
2
5
2
4
2 4 1x x x m
+ + − + =
(9)
Lời giải:
Đặt t =
1 0x
+ ≥
, phương trình trở thành:
( )
4
4
3 *t t m
+ − =
Nhận xét ứng với mỗi nghiệm không âm của phương trình (*) có đúng 1 nghiệm
của phương trình đã cho, do đó phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi
phương trình (*) có đúng 1 nghiệm không âm.
Xét hàm số
( )
44
3f t t t
= + −

Từ bảng biến thiên suy ra các giá trị cần tìm của m là:
4
0 3m
< ≤
.
Bài tập tương tự:
1. Chứng minh rằng phương trình sau có đúng một nghiệm:

012
25
=−−− xxx
(Đại học, cao đẳng khối D – 2004)
2. Xác định m để phương trình sau có nghiệm:

22422
1112)211( xxxxxm −−++−=+−−+
(Đại học, cao đẳng khối B – 2004)
3.Giải phương trình:
xx
x
x
4
)1(
12
log
2
2
2
−=
−

π π

− = −


+ =



− < <

III. KẾT QUẢ:
Trang 8
 0 f’(
-
f(
0
Qua thực hiện sáng kiến kinh nghiệm, tôi nhận thấy các em có nhiều tiến
bộ, đa số học sinh hiểu và vận dụng tốt vào bài tập và có nhiều cách giải hơn về phương
trình, bất phương trình và hệ phương trình. Sau khi thử nghiệm và đối chứng, tôi thu
được kết quả sau:
Đối chứng:
Lớp TSHS
Đạt yêu cầu Không đạt yêu cầu
TS % TS %
12B
1
39 18 46.2 21 53.8
Thử nghiệm:
Lớp TSHS

MỤC LỤC
Trang 10

Trang
A- MỞ ĐẦU 01
1- Lí do chọn đề tài 01
2- Đối tượng nghiên cứu 01
3- Phạm vi của đề tài 01
4- Phương pháp nghiên cứu 01
B- NỘI DUNG 02
1- Cơ sở lý thuyết 02
2- Các ví dụ 03
3- Kết quả 09
C- KẾT LUẬN 09
D- TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………… 10
Nhận xét, đánh giá của tổ trưởng tổ toán – tin trường THPT Lộc Hưng:
Trang 11
Nhận xét, đánh giá của Ban Lãnh Đạo trường THPT Lộc Hưng: