Đề tài: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số vào bài toán Giải phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ bất phương trình
Phần 1: ĐẶT VẤN ĐỀ
LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Xuất phát từ mục đích của việc dạy và học toán ở trường Trung học phổ
thông.
Trong dạy học ta luôn coi mục đích chủ yếu của bài tập toán là hình thành
và phát triển tư duy toán học, tạo cho học sinh vốn kiến thức và vận dụng kiến
thức đã học vào thực tiễn. Vì vậy việc xây dựng và hình thành cho học sinh
phương pháp giải từng dạng toán là hết sức cần thiết.
Trong các đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi tuyển sinh vào Đại học, cao
đẳng thường xuất hiện các bài toán về giải phương trình, hệ phương trình, bất
phương trình, hệ bất phương trình. Với mỗi bài toán này thường có nhiều cách
giải hay, độc đáo. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số là một trong các phương
pháp rất có hiệu quả để giải phương trình, bất phương trình.
Trong những năm học trước đây, khi chưa sử dụng cách làm này thì chất
lượng học tập của học sinh ở phần này rất thấp, kết quả kiểm tra 3 lớp 12I, 12M.
12H của năm học 2007 - 2008 như sau:
Lớp
Số
HS
Điểm 8
đến 10
Điểm 6.5
đến dưới 8
Điểm 5 đến
dưới 6.5
Điểm 2 đến
dưới 5
Điểm dưới
2
SL % SL % SL % SL % SL %

) và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số f
đồng biến (hoặc nghịch biến) trên I.
Chú ý: Khoảng I của định lý có thể thay bởi một đoạn hoặc một nửa khoảng.
Khi đó phải bổ sung giả thiết “Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khỏng đó”
Chẳng hạn: Nếu hàm số f liên tục trên [a; b] và có đạo hàm f’(x) > 0 trên (a; b)
thì hàm số f đồng biến trên [a; b]. Tương tự cho hàm số nghịch biến.
3. Sử dụng thêm kết quả:
* Nếu hàm số f(x) đồng biến hoặc nghịch biến trên D thì đồ thị của nó nếu
cắt đường thẳng y = a ( a
∈
R) thì cắt tại một điểm duy nhất.
* Nếu hàn số f(x) đồng biến và g(x) nghịch biến (hoặc ngược lại) trên
cùng một miền xác định thì đồ thị của hai hàm y = f(x) và y = g(x) nếu cắt nhau
thì chúng cắt nhau tại một điểm duy nhất, từ đó phương trình f(x) = g(x) chỉ có
thể có nghiệm duy nhất hoặc vô nghiệm.
* Nếu f(t) là hàm đồng biến hoặc nghịch biến trên D thì f(x)= f(y)
⇔
x = y
* Nếu f(x) là hàm nghịch biến trên D thì f(x)
≤
f(x
0
) khi và chỉ khi x
≥
x
0
* Nếu f(x) là hàm đồng biến trên D thì f(x)
≤
f(x
0

2
 
∈ +∞
÷

 
Người thực hiện: MaiThị Mơ Đơn vị: Tổ Toán Tin - Trường THPT Ba Đình
2
Đề tài: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số vào bài toán Giải phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ bất phương trình
f’(x) =






+∞∈∀>
−
+
+
+
+
;
2
1
0
122
1
32
1

thừa hay đặt ẩn phụ thì dẫn đến phức tạp, sử dụng phương pháp hàm số là
phương pháp đơn giản nhất.
Ví dụ 2: Giải phương trình: x
5
+ x
3
-
1 3 4 0x− + =
Giải: Xét hàm số f(x) =
5 3
1 3 4x x x+ − − +
=0 với x
1
3
≤
f’(x) = 5x
4
+3x
2
+
3 1
0
3
2 1 3
x
x
> ∀ <
−
f(x) liên tục trên
1

(2)
Hàm số f(x) xác định
x R∀ ∈
. Xét hai khả năng sau:
a, Nếu x
2
3 2 0
3
x≤ ⇒ − ≤
Mặt khác
2 2
8 15 0x x x R+ − + < ∀ ∈
Do đó f(x) <0 khi x
2 2
3 3
x≤ ⇒ ≤
không thể là nghiệm của (2).
b, Nếu x >
2
3
khi đó f’(x) = 3 + x
2 2
1 1 2
0( )
3
8 15
Dox
x x
 
− > >

2. Bất phương trình
Cách giải:
Bước 1: Đưa bất phương trình về dạng f(x) > a hoặc f(x) < a hoặc f(x)
a≥
hoặc
f(x)
≤
a
Bước 2: Xét sự biến thiên của f(x)
Bước 3: Xác định được a = f(x
0
)
Bước 4: Sử dụng dịnh nghĩa hàm đồng biến ,nghịch biến suy ra nghiệm của bất
phương trình.
Ví dụ 1: Giải bất phương trình:
9 5 2 4x x+ > − +
(1)
Giải: ĐK: x
2≥ −
(1)
9 2 4 5x x⇔ + + + >
Xét hàm số f(x) =
9 2 4x x+ + +
với x
2−≥
f’(x) =
1 2
0 2
2 9 2 2 4
x

8 4
5 5
1
x y y x
x y

− = −


+ =


(1)
(2)
Giải: Từ (2) có
8 4
1; 1 1; 1x y x y≤ ≤ ⇒ ≤ ≤
Xét hàm số f(t) = t
3
- 5t với t
[ ]
1;1∈ −
f’(t) = 3t
2
-5 < 0
[ ]
1;1t∀ ∈ −
Do đó f(t) nghịch biến trên [-1; 1]
Do đó f(x) = f(y)
⇔

1 0
0 2
x
y
− ≤ ≤


≤ ≤

(1) tương đương với x
3
- 3x -2 = y
3
-3y
2
⇔
(x + 1)
2
(x - 2) = y
2
(y - 3)
⇔
(x + 1)
2
(x + 1 - 3) = y
2
(y - 3)
⇔
f(x + 1) = f(y)
Xét hàm số f(t) = t

( )
2
2 2 2
1 2 4(1 )x x x− ⇔ + = −

⇔
x
4
+ 8x
2
= 0
⇔
x = 0 khi đó y = 1
Hệ có nghiệm ( x = 0; y = 1)
Người thực hiện: MaiThị Mơ Đơn vị: Tổ Toán Tin - Trường THPT Ba Đình
5
Đề tài: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số vào bài toán Giải phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ bất phương trình
Dạng 2: Hệ đối xứng loại 2 mà khi giải thường dẫn đến một trong hai phương
trình của hệ có dạng f(x) = 0 hoặc f(x) = f(y), trong đó f là hàm đơn điệu
Cách giải
+ Xét sự biến thiên của hàm số f(t)
+ Xét x > y đi đến mâu thuẫn
+ Xét x < y đi đến mâu thuẫn
+ xét x = y suy ra nghiệm
Cách giải 1: Xét hàm số f(t) = t
3
- 2t
2
+ 2t + 1, t
R∈

khi đó hệ có nghiệm (1; 1), (
1 5;1 5),(1 5;1 5)+ + − +
Cách giải 2: Trừ từng vế tương ứng của (1) cho (2) ta được:
x
3
- y
3
- 2(x
2
- y
2
) + 4(x - y) = 0
⇔
(x - y)[x
2
+ xy + y
2
- 2(x + y) + 4] = 0
⇔
2 2
2( ) 4 0
y x
x xy y x y
=


+ + − + + =

Với y = x thay vào (1) ta được x
3

Đề tài: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số vào bài toán Giải phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ bất phương trình
Bài tập áp dụng:
Giải các hệ phương trình sau:
a,
5 2 7
2 5 7
x y
x y

+ + − =


− + + =


b,
2
2 2
(4 1) ( 3) 5 0
4 2 3 4 7
x x y y
x y x

+ + − − =


+ + − =


II.PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

ln ln 0
2 2 2 2
x
x
x R
 
 
+ > ∀ ∈
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
Suy ra f(x) nghịch biến trên R
Mặt khác f(1) = 1 nêm đồ thị của f(x0 cắt đường thẳng y = 1 tại duy nhất một
điểm có hoành độ x = 1 hay phương trình có nghiệm duy nhất.
Nhận xét: ở bài toán này chỉ có thể dùng phương pháp hàm số.
Ví dụ 2; Giải phương trình: 2
3 2
8 14
x
x x
−
= − + −
Giải: ĐK x
3
≤
Phương trình đã cho tương đương với
3 2
2 8 14 0

Người thực hiện: MaiThị Mơ Đơn vị: Tổ Toán Tin - Trường THPT Ba Đình
7
Đề tài: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số vào bài toán Giải phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ bất phương trình
Giải: ĐK: x > 0
Đặt t = log
2 3 2
3
8
8 8 8
t t t
x x x x⇔ = ⇒ = ⇒ =
Phương trình (1) trở thành log
12
(
)
3 2
8 8
t t
t+ =
3
8 64 12
t t
t⇒ + =
3
8 64
1
12 12
t
t
 

+ < ∀ ∈
 ÷  ÷
   
f(t) nghịch biến trên R
f(1) = 1 suy ra phương trình f(t) = 1 có nghiệm duy nhất t = 1
Với t = 1 suy ra
8 64x x= ⇒ =
2. Bất phương trình:
Cách giải
+ Đưa bất phương trình về dạng f(x)
a≤
; f(x)
≥
a
+ Xét sự biến thiên của hàm số, sử dụng định nghĩa hàm đồng biến,
nghịch biến để kết luận nghiệm của phương trình
Ví dụ 1; Giải bất phương trình: log
2
(
2 2
3
5 5 1) log ( 5 7) 2x x x x− + + + − + ≤
(1)
Giải: ĐK: x
2
- 5x + 5
≥
0
5 5 5 5
4 4

t
t t
+ > ∀ ≥
+ +
Hàm số đồng biến trên
[
)
0;+∞
Mặt khác ta có f(1) = 2
Do đó bất phương trình f(t)
≤
2 hay f(t)
≤
f(1)
Tương đương với t
≤
1
Người thực hiện: MaiThị Mơ Đơn vị: Tổ Toán Tin - Trường THPT Ba Đình
8
Đề tài: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số vào bài toán Giải phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ bất phương trình
Với t
≤
1 ta có
2
5 5 1x x− + ≤
2
5 4 0 1 2 4x x x⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤
Nhận xét: Bất phương trình (1) chứa biểu thức của hai lô ga rit không cùng cơ
số và chứa căn thức nên sử dụng phương pháp đặt ẩn số phụ két hợp phương
pháp hàm số là cách làm đơn giản nhất.

−
 
⇔ − − ≥
 
Đặt t =
2x −
với
0 2t≤ <
(1a)
Bất phương trình trở thành: log
( ) ( )
2 2
2 2
2 2 log 2 2 0
t t
t t− ≥ ⇔ − − ≥
đặt f(t) = log
2
(2 - t
2
) -2
t

f’(t) = -
( )
2
2
2 ln 2 0 0; 2
(2 )ln 2
t

x
+ 5
x
= 50
b, x + x
log
2
3
+ x
log
2
5
c, 2
x+1
- 4
x
= x - 1
d, log(x
2
-6x + 5) = log(x - 1) + 6 -x
e, 3.25
x-2
+ (3x - 10).5
x-2
+ 3 - x = 0
g, (x + 2)log
2
3 3
( 1) 4( 1)log ( 1) 16 0x x x+ + + + − =
h,

a,
1 1 1
2 3 1
6 3 2
x x x
     
+ + <
 ÷  ÷  ÷
     
b, log
7
x < log
3
(
2)x +
c, log
3
x +
log 3
1 5
2 2
x
 
≥
 ÷
 
d, log
4
(x
2

x

2
4 5
x
≥ +
( )
1 5
4 5 3 4 1
3 3
x
x
x
x
 
 
⇒ + ≤ ⇔ + ≤
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
Đặt f(x) =
5 1
4
3 3
x
x
 
 

2
(21 - x) - log
2
2
4 4 4
2
log ( 1) 21 2 1 2 20x x x x x≥ + ⇔ − ≥ + ⇔ + ≤
Xét g(x) = x
4
+ 2x với x
[
)
2;∈ +∞
g’(x) = 4x
3
+ 2
[
)
2;x∀ ∈ +∞
Suy ra g(x) đồng biến trên
[
)
2;+∞
Mà g(2) = 20 do đó g(x)
20≤
hay g(x)
≤
g(2) khi và chỉ khi x
≤
2

Giải: ĐK
2 6 0
2 0
x y
x y
+ + >


+ + >

Người thực hiện: MaiThị Mơ Đơn vị: Tổ Toán Tin - Trường THPT Ba Đình
10
Đề tài: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số vào bài toán Giải phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ bất phương trình
(1) tương đương với
2
2 2
2009
2
2010
log
2010
2009
log 2009
x
y x
y
+
− =
+
2 2 2 2

2
(2x+2) + 1
3 2
3log 29 2) 2log 2( 1) 1x x⇔ + = + +
[ ] [ ]
3 2
3 1 log ( 1) 2 1 log ( 1) 1x x⇔ + + = + + +
3 2
3log ( 2) 2log ( 1) 6x x u⇔ + = + =
2
3
2 3
1 2
u
u
x
x

+ =

⇔

+ =


4 4
3 2
8 1
2 1 3 8 1 9 1
9 9

Với u = 1 suy ra x = 7 khi đó y = 7
+ Với x = -y ta có (20 trở thành: 3log
3
(y + 6) = 2log
2
2 + 1 = 3
suy ra y + 6 = 3
3y⇔ = −
khi đó x = 3
Tóm lại hệ có nghiệm (x; y) là (3; -3), (7; -7)
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:
2 2
ln(1 ) ln(1 )
(1)
(2)
12 20 0
x y x y
x xy y
+ − + = −


− + =

Giải: ĐK
1 0 1
1 0 1
x x
y y
+ > > −
 

Vậy f(x) = f(y) khi và chỉ khi x = y
Khi đó nghiệm của hệ là x = y = 0
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:
3 2
3 2
2( 2 1) ( 1) (1)
(2)
4 1 ln( 2 ) 0
x x y x y
y x y x

+ − − = +


+ + + + =


Giải: ĐK: y
2
+2x > 0
(1) tương đương với 2x(x
2
+ 2) = (y + 1)(x
2
+ 2)
1 2y x⇔ + =
Thay vào (2) ta được: y
3
+ 2(y + 1) + 1 + ln(y
2

suy ra hàm số đồng biến trên R
Mà f(-1) = 0 nên y = -1 là nghiệm duy nhất của hệ phương trình
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:
4
6 2
1
log ( ) log
4
(1)
16
sin 1
x
(2)
1 os
4
os
16
x x x
x
c
c x
π
π
π

+ =





= 6
t

⇔

2 1
1
3 3
t t
   
+ =
 ÷  ÷
   
(3)
Hàm f(t) =
2 1
3 3
t t
   
+
 ÷  ÷
   
là hàm giảm trên R
Người thực hiện: MaiThị Mơ Đơn vị: Tổ Toán Tin - Trường THPT Ba Đình
12
Đề tài: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số vào bài toán Giải phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ bất phương trình
Lại có f(1) = 1 nên phương trình (3) có nghiệm duy nhất t = 1
Với t = 1 suy ra
4
2


2,
2
3
3 2 0
3 3 0
x x
x x

− + ≤


− + ≥



III. Phương trình lượng giác.
Để giải một phương trình lượng giác, ta có thể biến đổi đưa phường trình về
dangjtichs hoặc đặt ẩn phụ hoặc đánh giá hai vế của phương trình. Ngoài những
phương pháp thông dungjtreen, ta có thể xét sự biến thiên của hàm số.
Ví dụ: Giải phương trình
1cossinsinsin
2
=+++ xxx
(1)
Giải: Phương trình (1) tương đương với
coxxx −=+
2
cossinsin
(2) với sinx

51+−
)(2
2
15
arcsin
2
2
15
arcsin
Zmmx
kx
∈
−
−=
+
−
=
⇔
ππ
π
( loại vì cosx >0)
Vậy phương trình có nghiệm x = k2
π
; x =
ππ
m2
2
15
arcsin +
−

dưới 6.5
Điểm 2 đến
dưới 5
Điểm dưới
2
SL % SL % SL % SL % SL %
12E 45 6 13.3 13 28.9 22 48.9 4 9.8 0 0
12B 45 8 17.8 15 33.3 19 42.2 3 6.7 0 0
12N 45 6 13.3 12 26.7 22 48.9 5 11.1 0 0
Tổng
135 20 14.8 40 29.6 63 46.7 12 8.9 0 0
Đối chiếu với kết quả của học sinh sau khi học phần này của năm học trước ( khi
chưa thực hiện đề tài này) thì chất lượng học sinh tăng lên rõ rệt. Tỉ lệ học sinh
yếu kém giảm từ 42,9% xuống còn 8,9%; tỉ lệ học sinh khá giỏi tăng từ 5,2% lên
8.9%. Do nắm được phương pháp làm bài, phương pháp học tập, nên các em đã
yêu thích môn toán hơn và nhiều em học tập tiến bộ rõ rệt, đặc biệt là khi học
phần phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình.
2. Bài học kinh nghiệm:
- Bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất
phương trình là dạng toán khó đối với học sinh, vì vậy khi giảng dạy phần này
cần lựa chọn phương pháp và rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy, khả năng
hệ thống kiến thức.
- Trong thực tế, nhiều học sinh tiếp thu phương pháp giải rất nhanh nhưng
việc trình bày chưa chặt chẽ, chưa rõ ràng vì vậy giáo viên cần sửa cho học sinh
một cách tỉ mỉ.
- Chất lượng của học sinh phụ thuộc rất nhiều vào bài giảng của thầy, vì
vậy mỗi dạng toán cần có sự phân loại và hệ thống được các phương pháp giải.
Người thực hiện: MaiThị Mơ Đơn vị: Tổ Toán Tin - Trường THPT Ba Đình
14
Đề tài: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số vào bài toán Giải phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ bất phương trình