Mục lục
Trang
I. Đặt vấn đề

1

1. Lý do chọn đề tài

1

2. Mục đích nghiên cứu của đề tài

1

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

2

4. Phương pháp nghiên cứu

2

5. Bố cục của đề tài
II. Giải quyết vấn đề

2
2

1. Cơ sở lí thuyêt

3

I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chọn đề tài
Giải phương t ình, b t phương t ình là một mảng i n thức lớn và há
quen thuộc đối với học sinh nhưng v n đề là giải th nào để cho nhanh, gọn và
hợp logic? Đó là câu hỏi mà bi t bao nhiêu giáo viên và học sinh chúng ta ngày
đêm đi tìm câu t ả. Ở lớp 12 có phần ứng dụng đạo hàm với tính năng ưu vi t
của nó có thể giải

t nhiều dạng toán đặc bi t có thể dùng để giải phương t ình,

b t phương t ình. Tuy nhiên trong qúa trình dạy học tôi nhận th y đa số học sinh
thi u tư duy, sáng tạo, có thể nói là học sinh còn

t lúng túng hi vận dụng i n

thức về hàm số, tính đơn đi u của hàm số t ong quá t ình giải phương t ình, b t
phương t ình. Nguyên nhân là do các em chưa hiểu được bản ch t của v n đề,
chưa có ỹ năng và inh nghi m t ong vi c vận dụng hàm số vào giải toán.
Muốn bồi dưỡng cho học sinh năng l c tư duy hàm số người thầy ngoài i n
thức chuyên sâu cần có lòng say mê nghề nghi p và năng l c t uyền thụ tốt để
giúp học sinh tìm hiểu một cách logic bản ch t của toán học, thông qua giải các
bài toán trên từng giờ lên lớp. ừ đó giúp các em có s say mê t ong vi c học
môn toán, để toán học t ở nên gần gũi và là s yêu m n, hứng thú học hỏi, niềm
say mê đối với các em học sinh
Với nguy n vọng giúp học sinh thay đổi tư duy về môn toán tôi tập t ung
hai thác cách giải phương t ình, b t phương t ình bằng phương pháp dụng tính
đơn đi u và của hàm số. Khi sử dụng phương pháp này, những bài toán về
phương trình, b t phương trình sẽ được giải quy t một cách

t t nhiên, thuần

t inh nghi m

- h c nghi m sư phạm
5. Bố cục của đề tài:
Đề tài chia làm ba phần chính:
1. Đặt v n đề
2. Giải quy t v n đề
3. K t luận

3


II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Cơ sở lý thuyết:
1.1. SGK Đại số 10 đó định nghĩa phương trình và bất phương trình một ẩn
như sau:
Cho hai hàm số: f( ) với tập ác đ nh Df , g( ) với tập ác đ nh Dy. Đặt
D  D f  Dy .

a đặt v n đề tìm các gía t a  D sao cho: f (a)  g (a), ( f(a)  g(a) ) .

Khi đó ta nói ằng đẳng thức f( ) = g( ) là một phương t ình (b t đẳng
thức f( ) > g( ) là một b t phương t ình) một ẩn.
Số th c a được gọi là một nghi m của phương t ình (b t phương t ình), D
là tập ác đ nh của phương t ình (b t phương t ình).
Giải phương t ình (b t phương t ình) là tìm t t cả các nghi m của nó.
Đ nh nghĩa t ên đây nêu lên mối quan h hữu cơ giữa các hái ni m hàm số,
phương t ình và b t phương t ình.
1.2.Tính đơn điệu của hàm số:
Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm t ên D.


n

f ( x), n  N , n  2 đồng bi n (ngh ch bi n),

1
với
f ( x)

f  x   0 là

ngh ch bi n (đồng bi n), y   f  x  ngh ch bi n (đồng bi n).
ổng các hàm đồng bi n (ngh ch bi n) t ên D là đồng bi n (ngh ch bi n)
trên D.
ích của hai hàm số dương đồng bi n (ngh ch bi n) t ên D là một hàm
đồng bi n (ngh ch bi n) t ên D.
1.3. Các dạng toán liên quan:
Từ các tính chất trên ta có 3 phương án biến đổi như sau:
Phương án 1:
Bi n đổi phương t ình về dạng: f(x) = k, nhẩm một nghi m ồi chứng
minh f(x) đồng bi n (ngh ch bi n) để suy a phương t ình có nghi m duy nh t.
Phương án 2:
Bi n đổi phương t ình về dạng: f(x) = g(x), nhẩm một nghi m ồi dùng lập
luận hẳng đ nh f(x) đồng bi n còn g(x) ngh ch bi n hoặc hàm hằng suy a
phương t ình có nghi m duy nh t.
Phương án 3:
Bi n đổi phương t ình về dạng: f(u) = f(v) chứng minh f đơn đi u hi đó ta
có: u = v.
Đối với b t phương t ình thì bi n đổi về dạng
đơn đi u để


x  x  5  x  7  x  16  14

Nhận xét:
Khi gặp dạng toán chứa căn, thường ta phải khử căn thức bằng cách bình
phương, lập phương hoặc nhân lượng liên hợp... Trong bài này ta có thể nhân
liên hợp
Giải
Cách 1: Dùng lượng liên hợp
Điều i n: x  5 . Khi đó
x  x  5  x  7  x  16  14  x  3  x  5  2  x  7  4  x  16  5  0
1
1
1
 1

  x  9 



0 x9
x 5  2
x7 4
x  16  5 
 x 3

Do

1
1

Mà f (9)  14 nên x  9 là nghi m duy nh t của phương t ình.
Nhận xét:
Ở cách 2: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số ta sẽ giải quết bài toán này ngắn
gọn và dễ hiểu hơn nhiều.

6


Ví dụ 2: Giải phương t ình sau:

2x  1  3 2x  2  3 2x  3  0

3

(1)

Giải
Cách 1:
3

2x  1  3 2x  2  3 2x  3  0  3 2x  1  3 2x  2   3 2x  3





3

2x  1  3 2x  2




3

(2 x  2) 2

2


3

1
3
 0; x   ,1,
2
2
(2 x  3) 2

Do đó hàm số f  x  đồng bi n.
3
1
f ( x)   nên suy ra x  1 là
Mà f     1  3 2; f  1  0; f     1  3 2; xlim

 2

 2

nghi m duy nh t của phương t ình đã cho.
Ví dụ 3: Giải phương t ình:


2
4x
1


 0, x   ;   .
2
4x 1
2

4x 1

đồng bi n t ên  ;   , nên phương t ình
2

1

n u có nghi m thì đó là nghi m duy nh t. Hơn nữa,

1
f   1
2

nên

x

1
2

bi n

hi

t  0.

Khi đó

1
 0, t  0 nên hàm số
t ln 3

Do

đó

từ

(1)

ta

có

x  1
f  u   f  v   u  v  v  u  0  x 2  3x  2  0  
x  2

Vậy nghi m của phương t ình đã cho là x  1; x  2 .
Ví dụ 5: Giải phương t ình

Suy a hàm số đồng bi n.

x 1
ừ (*)  f  x  1  f  2 x   2 x  x  1  2 x  x  1  0  
1
x  

2
2

2

2

1
2

Vậy phương t ình có nghi m là x   ; x  1
Ví dụ 6: Giải b t phương t ình x  ln x  1
Giải
Điều i n: x  0
1
x

Xét hàm số f  x   x  ln x trên  0;   . Ta có f   x   1   0, x  0 nên hàm số
f  x   x  ln x đồng bi n t ên  0;   .

Mặt hác f 1  1 . Do đó b t phương t ình x  ln x  1  f  x   f 1  x  1
K t hợp với điều i n x  0 ta được nghi m của b t phương t ình đã cho
là 0  x  1 .

4
4
u

1

v
17  v  1  v


u  v  1
u  1  v



4
4

u 4  17  v 4
u  17  v
.



2
v

1
v


Xét hàm số f  x   4 15  x  4 2  x trên 15;2 .
Ta

có

f  x 

1
4 4 15  x 

3



1
4 4 2  x

3

 0, x   15; 2  .

Suy

ra

hàm

số

f  x   4 15  x  4 2  x đồng bi n t ên  15;2 .


1 2
 5  3  2  1  3      (*)
5 5
t

t

9


t

t

1
2
Xét hàm số f  t   3      . Hàm số này là tổng của hai hàm đơn đi u giảm
5 5

nên là hàm đơn đi u giảm. Hơn nữa f 1  1 nên từ (*)  f t   f 1  t  1 .
Với t  1 ta có log 4 x  1  0  x  4 .
Vậy nghi m của b t phương t ình đã cho là 0  x  4 .
Ví dụ 9: Giải b t phương t ình
Giải : Điều i n: x 

7 x  7  7 x  6  2 49 x 2  7 x  42  181  14 x

(*)



trên

6

 ;  
7


nên

hàm

số

6

f  x   7 x  7  7 x  6  13 đồng bi n t ên  ;   .
7


Mà f  6  0 nên 7 x  7  7 x  6  13  0  f  x   f  6   x  6 .
K t hợp với điều i n x 
là

6
ta được nghi m của b t phương t ình đã cho
7

6

2

2

11/ 2x3  3x2  6x  16  4  x  2 3
12/ x( x 8  2 x  16)  6(4  x 2 )
13/ 5x  12 x  13x

4/ x  x2  x  1  x  1  x2  x  1  1
5/ log 2 sin x  2log3 tan x
6/

4

x2  4 4 x  2

14/ log 2

x 2  3x  5
 x2  x  2
2
2x  2x  3

7/ x3  4 x2  5x  6  3 7 x2  9x  4





8/ log5 3  3x  1  log 4  3x  1

2
2
2
2

 2 x  1  x  x  1   2 x  1  x  x  1

(Vô nghi m)
Mặt hác: f   0  1  0 . Suy ra f   x   0 nên hàm số đồng bi n.
Hơn nữa,
lim f  x   lim

x 

x 

2x
x2  x  1  x2  x  1

 1 ; lim f  x   lim
x 

x 

2x
x2  x  1  x2  x  1

1

Bảng bi n thiên:


x


x


2
2
x  mx  2  2 x  1  

2
2
 x 2  mx  2   2 x  1
mx  3x 2  4 x  1


1

 x   2

m  3x  4  1

x

Ta có

. Xét hàm số f ( x)  3 x  4 

f ' ( x)  3 


1
2

f ' ( x)

+

0
+

+





f ( x)

9
2



9
ừ bảng bi n thiên suy ra phương t ình có hai nghi m th c phân bi t hi m  .
2
Chú ý : Cách 2: Đặt t  2 x  1 , hi đó phương t ình t ở thành

t  0


t 4  3  t  m *

Nhận ét ứng với mỗi nghi m hông âm của phương t ình (*) có đúng 1
nghi m của phương t ình đã cho, do đó phương t ình đã cho có đúng 1 nghi m
hi và chỉ hi phương t ình (*) có đúng 1 nghi m hông âm.
Xét hàm số f  t   4 t 4  3  t với t  0
 f ' t  

t3
4

(t 4  3)3

 1 < 0.

f  t   0 nên có bảng bi n thiên:
Mà f  0   4 3 và xlim


13


t
f’(t)

4

f(t)


và

lim f ( x)  

x

Bảng bi n thiên:
x



2

f ' ( x)

+



f ( x)

0

ừ bảng bi n thiên suy ra m  0 phương t ình (*) có đúng một nghi m x  2 .
Vậy phương t ình đã cho có đúng hai nghi m th c phân bi t m  0 .
Nhận xét:

14



1
2 1  x . 8  x



1 x  8  x







1 x  8  x

1
2 1  x 8  x 







2 1  x 8  x  

1

 0, x   1;8


ừ bảng bi n thiên suy a giá t cần tìm của m là: 3  m   3 2
Ví dụ 6: ìm các giá t i của m để phương t ình sau có một nghi m th c
4

x2  2x  4  x  1  m

Giải : Điều i n: x  1
15


Đặt t  x  1  0 , Phương t ình t ở thành 4 t 4  3  t  m (*)
Nhận th y với mỗi nghi m hông âm của phương t ình (*) có đúng một
nghi m
của phương t ình đã cho. Do đó phương t ình đã cho có đúng một nghi m hi
phương t ình (*) có đúng một nghi m.
Xét hàm số f (t )  4 t 4  3  t trên 0;   .
t3

Ta có f (t ) 
'

4

(t 4  3)3

Bảng bi n thiên

 1  0, t   0;   và lim f (t )  0

t

t 3
t 3
t 3
Với m  0 thì phương t ình vô nghi m.
Với m  0 thì phương t ình
Xét hàm số f  t  

t 1
t 1
m
 m2 .
t 3
t 3

t 1
4
trên 5; . Ta có f   t  
 0, t  5;  

 t 2  2t  3  m2  t  3

2

 1  m2  t 2  2  3m2  1 t  3 1  3m2   0(3)
3m2  1
(3) có hai nghiệm là t  3; t 
. Yêu cầu bài toán được thoả khi
1  m2
3m2  1
t  5 Tức là
 5 1 m  3
1  m2
Ví dụ 8: Cho f ( x)  2.25 x  (2m  1)10 x  (m  2)4 x

(8)

Tìm m để f ( x)  0, với x  0 .
Lời giải:
Ta có: f ( x)  0 với x  0
2
x
 5  x 
5
 2     (2m 1)    m  2  0, x  0
 2
 2  

x

t   1
 2t 1

2
2

Bảng bi n thiên:




t
f’(t)

+

1
2

1
2

0

3
2

1

-

3. ìm m để phương t ình sau có nghi m duy nh t:



2log 1  mx  28   log5 12  4 x  x 2



25

4. ìm m để b t phương t ình:

x

2

 1  m  x x 2  2  4 đúng với x  0;1
2

5. ìm m để phương t ình sau có nghi m:
x x  x  12  m



5 x  4 x



6. ìm m để phương t ình có nghi m duy nh t:
x  1  x  2m x 1  x   2 4 x 1  x   m3

2

 2   m  x x 2  4  13
2

11. ìm tham số a để b t phương t ình nghi m đúng x :
3cos4 x  5cos3x  36sin 2 x  36  24a  12a 2  0

12. ìm a để b t phương t ình sau có nghi m với x :

 log

3







x 2  5  1 log 5 x 2  ax +6  1

4. Thực nghiệm sư phạm:
Để iểm t a tính hả thi của đề tài , tôi đã ti n hành dạy thử nghi m t ong
nhiều ti t dạy, sau mỗi ti t dạy tôi đều có bài iểm t a để hảo sát ch t lượng
học sinh. Vì thời lượng hông cho phép nên tôi chỉ giới thi u cách làm và

t

quả của 1 ti t dạy đối chứng và 1 ti t dạy th c nghi m ở lớp 12A và lớp 12B


HS

SL

%

SL

%

SL

%

40

10

25

15

37,5

15

37,5

0


t quả nêu t ên ta th y ằng lớp dạy th c nghi m có

t quả

học tập đạt được cao hơn. Như vậy bằng cách sử dụng tính đơn đi u của hàm số
phương t ình được giả nhanh hơn, gọn hơn, hi u quả hơn. Vì th
tập của học sinh nâng lên

t quả học

t. Mặt hác qua các ti t dạy th c nghi m này các

em được èn hả năng nhanh nhẹn, héo léo và tạo cho các em mạnh dạn, t tin
hơn , yêu thích, ham mê với môn toán
III. KẾT LUẬN
1. Bài học kinh nghiệm:
Sách giáo khoa THPT đã giảm tải há nhiều nhưng t ong các đề thi tuyển
sinh vào đại học có nhiều bài

t hó được phát t iển từ các bài tập t ong sách

giáo khoa, nên để giải quy t các bài toán đó cần phải sử dụng linh hoạt tính đơn
đi u của hàm số. ong những năm qua tôi đã đọc và nghiên cứu

t nhiều tài

li u để vận dụng phương pháp t ên bồi dưỡng học sinh ôn thi N và luy n thi
đại học, cao đẳng và th y ằng học sinh ti p thu tương đối chủ động, đa số học
sinh hiểu và vận dụng tốt t ong quá t ình giải các dạng bài tập ở t ên.


người yêu thích môn toán để đề tài này có ý nghĩa thi t th c hơn t ong nhà
t ường. Góp phần nhỏ bé vào vi c nâng cao hơn nữa ch t lượng Giáo dục phổ
thông. Giúp các em học sinh có phương pháp - ỹ năng hi giải các bài toán
liên quan đ n hàm số t ong các ỳ thi cuối c p.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
XÁC NHẬN CỦA HIỆU
TRƯỞNG NHÀ TRƯỜNG

Thanh óa, ngày 15 tháng 4 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.
Người th c hi n

Lê Bích Hảo

21


Tài liệu tham khảo
1. Sách giáo hoa Đại số 10 – NXB giáo dục.
2. Sách giáo hoa Giải tích 12– NXB giáo dục.
3. Căn số và toán vô tỉ - N b GD của Hoàng Kỳ
4. Sách bồi dưỡng học sinh giỏi toán Đại số và Giải tích 12 – NXB ĐHQG
Hà Nội.
5. Khảo sát nghi m phương t ình – N b GD của Lê Hoành Phò.
6. Hàm số - N b GD của Phan Huy Khải

22