UBND TỈNH HẢI DƯƠNG
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KINH NGHIỆM
VẬN DỤNG TÍNH CHẤT
CHỮ SỐ TẬN CÙNG VÀO GIẢI TOÁN
MÔN: TOÁN
KHỐI LỚP 6
NHẬN XÉT CHUNG:
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
ĐIỂM THỐNG NHẤT
Bằng số: ………………………………………………
Bằng chữ:………………………………………………
Giám khảo số 1: ……………………………………….
Giám khảo số 2: ……………………………………….
NĂM HỌC 2012-2013
1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG
TRƯỜNG THCS NGỌC KỲ

KINH NGHIỆM
VẬN DỤNG TÍNH CHẤT
CHỮ SỐ TẬN CÙNG VÀO GIẢI TOÁN
MÔN: TOÁN
TÊN TÁC GIẢ:VŨ THÀNH KHỞI
XÁC NHẬN CỦA NHÀ TRƯỜNG
(Ký, đóng dấu)
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………

Toán học là một môn khoa học thể hiện rõ nhất và là môn khoa học thể
hiện rõ nét tính sáng tạo, tích cực của học sinh. Để giúp học sinh học tập môn
Toán có hiệu quả, người giáo viên không chỉ nắm chắc kiến thức Toán đề cập
mà điều cần thiết nhất là phải có phương pháp truyền đạt thích hợp, giúp học
sinh một mặt tự tìm ra hướng giải cho bài toán, một mặt vận dụng tốt kiến thức
để giải quyết các vấn đề được đặt ra.
II. Cơ sở thực tế.
Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy môn Toán nhiều năm ở cấp THCS
và tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi thường xuyên. Bản thân tôi thấy nhiệm vụ
của người giáo viên không chỉ truyền thụ tất cả kiến thức cơ bản của Toán học,
các kiến thức phổ thông mà còn khai thác và giảng dạy cho các em nhiều kiến
thức mở rộng, nâng cao khác của toán, nhằm phát triển một thế hệ toàn diện và
tri thức, thẩm mỹ và trí tuệ.
Qua nhiều năm trực tiếp xây dựng và bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi
các khối lớp. Tôi cảm thấy lý thuyết về lũy thừa, về số chính phương, về tính
chia hết của một số…là rất rõ ràng, tuy nhiên quá trình vận dụng và kết hợp
các kiến thức đó vào giải toán nâng cao là rất khó khăn đối với học sinh đầu cấp
và còn rất mơ hồ đối với học sinh giỏi ở các khối lớp. Để học sinh có thể nắm
vững và vận dụng một cách có hiệu quả tất cả các dạng toán đó, không chỉ cần
4
đến sự lỗ lực của các em mà mỗi giáo viên phải có một kiến thức về số học vững
vàng, sâu, rộng. Bản thân mỗi người giáo viên chúng ta ngoài việc dạy học trên
lớp còn phải cùng các em tham gia giải quyết các vấn đề khó phát sinh trong
quá trình bồi dưỡng. Chính vì lý do đó, việc tự trau dồi kiến thức thường xuyên,
tự học để nâng cao trình độ là nhiệm vụ của từng thầy, từng cô. Từ những đề
tài, sáng kiến kinh nghiệm hàng năm sẽ giúp củng cố và bổ sung những kiến
thức sâu, rộng đó.
Với đề tài “ Vận dụng tính chất chữ số tận cùng vào giải Toán” đã
được bản thân tôi đi sâu nghiên cứu trong nhiều năm giảng dạy đội tuyển học
sinh giỏi khối 6 sẽ phần nào giải quyết một số khó khăn trong quá trình tìm

+) Một số tự nhiên bất kỳ khi nâng lên lũy thừa 4k+1 (
k N∈
) bất kỳ thì
CSTC vẫn không thay đổi.
3. Tính chất 3:
a. Số có CSTC là 3 khi nâng lên lũy thừa 4k+3 (
k N
∈
) sẽ có CSTC là 7
b. Số có CSTC là 2 khi nâng lên lũy thừa 4k+3 (
k N∈
) sẽ có CSTC là 8
c. Số có CSTC là 8 khi nâng lên lũy thừa 4k+3 (
k N
∈
) sẽ có CSTC là 2
d. Các số có CSTC là 0; 4; 5; 6; 9 khi nâng lên lũy thừa 4k+3 (
k N∈
) sẽ không
thay đổi CSTC
4. Tính chất 4:
Chữ số tận cùng của một tổng bằng chữ số tận cùng của tổng các chữ số hàng
đơn vị của các số hạng trong tổng ấy.
5. Tính chất 5:
Chữ số tận cùng của một tích bằng chữ số tận cùng của tích các chữ số hàng
đơn vị của các thừa số trong tích ấy.
6. Tính chất 6:
a. Tích của 1 chữ số chắn với số có CSTC bằng 5 được một số có CSTC là 0
b. Tích của 1 chữ số lẻ với số có CSTC bằng 5 được một số có CSTC là 5
c. Tích của các chữ số có CSTC bằng 1 là số có CSTC bằng 1

ứng là 6, 1, 1, 6
*Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa sau: 19
2008
; 12
100
;

12
103
Lời giải:
a) 19
2008
=19
2.1004
=(19
2
)
1004
=361
1004
361
1004
có chữ số tận cùng là 1(áp dụng tính chất 6 -c)
Vậy 19
2008
có chữ số tận cùng là 1

b) 12
100

12
100
có chữ số tận cùng là 6
7
12
3
có chứ số tận cùng là 8
Suy ra 12
3
. 12
100
có chữ số tận cùng là 8(áp dụng tính chất 5)
Vậy chữ số tận cùng của 12
103
là 8
Ví dụ 2: Tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa sau: 17
2007
, 19
21
; 13
1003
Lời giải:
Ta sẽ tìm cách liên hệ các luỹ thừa trên với luỹ thừa dạng A
2k
, A
4k
để vận
dụng các tính chất trên.
a. 17
2007

có chữ số tận cùng là 9.
c. 13
1003
=13
3
. 13
4.250
suy ra 13
1001
có chữ số tận cùng là 7.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng: 33
66
+77
55
– 2 chia hết cho 5
Lời giải:
Ta chứng minh 33
66
+77
55
-2 có tận cùng là 0 sau đó vận dụng dấu hiệu
chia hết cho 5
Thật vậy, 33
66
có cùng chữ số tận cùng với 3
66
, mà 3
66
=9
33

Vậy 33
66
+77
55
– 2 chia hết cho 5
8

*Bài tập áp dụng: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
110
111
56
37
75
76
64
27
19
20
107
102
53
45
114
44
99
99
(234
5
)
42

cũng có tận cùng lần lượt bằng 01, 25, 76.
* Ví dụ minh họa:
Ví dụ1: Tìm hai chữ số tận cùng của
4001
2
7
Lời giải:
Ta có
4001
2
7
=
( )
3999
2
4
7
=
3999
2
2401
có hai chữ số tận cùng là 01
Ví dụ 2: Chứng minh rằng :
a) 12
100
+ 19
21
chia hết cho 5
b)
4 1

⇒
12
100
có tận cùng là 6
9
* 19
21
= 19.(19
2
)
10
19
2
có tận cùng là 1
⇒
(19
2
)
10
có tận cùng là 1
⇒
19.(19
2
)
10
có tận cùng là 9
⇒
19
21
có tận cùng là 9

4
2.2
7
n
=
( )
4
2
2
7
n
=
4.
7
k
=
2401
k
có hai chữ số tận cùng là
01
Mặt khác
4 1
3
4
n+
=
3.81
4
n
=

, mà
76
l
có hai chữ số tận cùng là 76, do đó
4 1
3
4
n+
= 64.
10
4
l
và 64.76 có cùng hai chữ số tận cùng suy ra
4 1
3
4
n+
có hai
chữ số tận cùng là 64.
Suy ra
4 1
2
7
n
+
+
4 1
3
4
n

Dạng 3: Tìm ba chữ số tận cùng của A
n
( n
∈
N
*
)
*Nhận xét:
-Nếu 3 chữ số tận cùng của A là
abc
, thì ba chữ số tận cùng của A
n
cũng
là ba chữ số tận cùng của
abc
n
”
-Chú ý: Các số có 3 chữ số tận cùng bằng 001; 376; 625 nâng lên luỹ
thừa nào khác 0 cũng có tận cùng lần lượt bằng 001; 376; 625
*Ví dụ áp dụng :
Ví dụ 1: Tìm 3 chữ số tận cùng của 5
2008
Lời giải:
Ta có 5
2008
=5
4.502
=(5
4
)

4
)
250
=625
250
có 3 chữ số tận cùng là 625
Suy ra 5
2012
-5
1000
có 3 chữ số tận cùng là 000
Vậy 5
2012
-5
1000
chia hết cho 1000.
Dang 4: Tìm chữ số tận cùng của một tổng, một tích
* Nhận xét:
Để giải các bài toán liên quan đến chữ số tận cùng của một tích giáo viên
cần hướng dẫn học sinh vận dụng linh hoạt tính chất 4- tính chất 5.
Dưới đây là một số ví dụ minh họa.
11
*Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm chữ số tận cùng của tổng sau ?
a. S
1
=9783+1789+8075+301+2779
b. S
2
=1+3

+3
7
+3
8
) +… +(3
28
+3
29
+3
30
)
Ta thấy mỗi nhóm có chữ số tận cùng bằng 0
Suy ra chữ số tận cùng của S
2
là chữ số tận cùng của : 3
28
+3
29
+3
30
Mà : 3
28
=(3
4
)
7
=(
** 1
)
7

b. 2.12.22……82.92
c. 39.49.59.69….1979.1989
Lời giải:
a. Ta thấy trong phép nhân 1.3.5.7……57.59 có chứa thừa số 5 nên tích của
phép toán là một số chia hết cho 5.
Suy ra số tận cùng của phép tính là 0 hoặc 5.
12
Vì phép toán là tích các số lẻ nên kết quả phải là số lẻ
Vậy số tận cùng của kết quả: 1.3.5.7……57.59 là 5
b. Đặt S = 2.12.22……82.92 =(2.12.22.32).(42.52.62.72).(82.92)
=
** 6
x
** 6
x
** 6
x
** 4
=
** 6
x
** 4
=
** 4
Vậy S có chữ số tận cùng là : 4
c. Đặt S=39.49.59.69….1979.1989
Ta thấy các thừa số trong tích cách nhau 10 đơn vị
Và số lượng các thừa số của tích là: (1989-39):10+1 =196
Do tích của hai số có số tận cùng là 9 thì bằng 1 và có 196 :2 =98 nhóm
Khi đó S=(39.49).(59.69)….(1979.1989)

37
= (942
4
)
15
–351
37
=(
** 6
)
15
-
** 1

=
** 6 ** 1 ** 5− =
chia hết cho 5
Vậy 942
60
-351
37
chia hết cho 5
b. Áp dụng các tính chất về chữ số tận cùng ta có:
99
5
-98
4
+97
3
+96

102
-2
102
chia hết cho 10
N= 17
5
+24
4
-13
21
chia hết cho 10
E= 98.96.94 – 91.93.95.97 chia hết cho 10
F= 999993
1999
-555557
1997
chia hết cho 5
S=1983
1983
-1917
1917
chia hết cho 10
Dạng 5: Chứng minh một số không là số chính phương
Để giải bài toán có liên quan đến số chính phương chúng ta cần lưu ý đến
tính chất 7. Ta xét ví dụ sau:
*Ví dụ minh họa:
Ví dụ: Chứng minh rằng S= 1+3
2
+3
3

hứng thú tìm tòi, biết vận dụng sáng tạo các tính chất “về chữ số tận cùng” trong
việc khai thác và đưa ra nhiều lời giải hay, ngắn gọn, xúc tích. Từ đó mức độ
hứng thú cho phần học cũng tăng lên, góp phần tích cực trong việc nâng cao
chất lượng mũi nhọn của nhà trường vốn là mảng yếu trong nhiều năm.
Thông qua việc khảo sát và lấy ý kiến của học sinh lớp 6A(lớp chất lượng
cao) năm học 2011-2012 tôi có kết quả sau:
*) Bảng thống kê chất lượng học tập của học sinh:
Học
kỳ
Tổng
số
Giỏi Khá T.Bình Yếu
S.L % S.L % S.L % S.L %
I 34 6 17,6 18 52,9 10 29,5 0 0
II 34 14 41,1 16 47,1 4 11,8 0 0
*) Bảng điều tra mức độ hứng thú học tập của học sinh:
Học
kỳ
Tổng
số
Thích Không thích Bình thường
S.L % S.L % S.L %
I 34 17 0,5 8 23,5 9 26,5
II 34 28 82,4 2 5,9 6 17,7
IV: Bài học kinh nghiệm.
15
1.Đối với thầy:
Khi thực hiện đề tài này, một vấn đề tưởng trừng không quan trọng trong
chương trình toán phổ thông THCS, nhưng lại rất quan trọng với các em khi tiếp
cận toán số học và công tác bồi dưỡng học sinh giỏi. Tôi nhận thấy điều thành

2. Điều kiện áp dụng sáng kiến và kiến nghị.
Tuỳ theo đối tượng học sinh mà ta chọn áp dụng, theo tôi chuyên đề về
chữ số tận cùng ta nên áp dụng cho học sinh khá giỏi, dạy bồi dưỡng nâng cao,
ôn luyện thi vào các trường THPT khối chuyên. Đối với học sinh trung bình thì
giáo viên chủ yếu khai thác và cho các em làm các bài toán cơ bản, đơn giản,
thường gặp. Để thực hiện tốt đề tài trước hết giáo viên cần dạy cho học sinh một
số chuyên đề có liên quan:
- Lũy thừa của số tự nhiên
- Tính chất chia hết
- Số chính phương.
Trong thực tế giảng dạy, để một sáng kiến thành công, vận dụng có hiệu
quả không chỉ dừng ở lỗ lực cá nhân mà cần sự chung tay của cả tập thể, cả hội
đồng thẩm định. Ngoài ra thời gian đầu tư giảng dạy đề tài không phải trong thời
gian ngắn vậy tôi đề nghị tổ chuyên môn, nhóm toán tạo điều kiện mọi mặt cho
việc áp dụng thành công và hiệu quả. Đồng nghiệp góp ý bổ sung thêm, rút kinh
nghiệm sau mỗi lần thực nghiệm sao cho đề tài có thể áp dụng đại trà.
Bên cạnh đó các nhà quản lý, người viết sách cũng cần quan tâm hơn cho
mảng kiến thức mà tôi nghiên cứu.
17
C. KẾT LUẬN
Trong quá trình giảng dạy ở trường THCS, qua học hỏi kinh nghiệm ở các
thầy cô và các bạn đồng nghiệp, tôi đã viết đề tài này mong muốn được trao đổi
với đồng nghiệp những kinh nghiệm dạy toán. Trong phạm vi sáng kiến này, tôi
đã cố gắng hệ thống lại năm dạng toán cơ bản liên quan đến chữ số tận cùng mà
học sinh thường gặp.
Đề tài này được thực nghiệm riêng cho học sinh giỏi khối 6. Để giải đựơc
các bài toán trong đề tài thì bản thân các em phải nắm chắc các kiến thức về lũy
thừa, dấu hiệu chia hết cho một số. Phải chủ động và sáng tạo trong mọi hoạt
động, đề tài đòi hỏi các em phải có tư duy suy luận tốt, chính xác.
18