Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan Page :1
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN CƯM’GAR
TRƯỜNG THCS NGUYỄN HUỆ
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
VẬN DỤNG NHỮNG BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ
PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC “NON STANDARD
PROBLEMS” TRONG RÈN LUYỆN TƯ DUY TOÁN HỌC
CHO HỌC SINH GIỎI BẬC
TRUNG HỌC CƠ SỞ.
Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan
CưM’gar, tháng 12 năm 2009
Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
PHẦN A : MỞ ĐẦU
Trong thời kỳ phát triển và hội nhập, cộng với việc gia nhập tổ chức WTO đã mở
cho đất nước ta rất nhiều cơ hội lớn nhưng cũng không ít những thách thức lớn. Trước
một thực tại như vậy , nước ta lại phải cùng một lúc giải quyết ba nhiệm vụ : Thoát khỏi
tình trạng nghèo nàn lạc hậu của nền kinh tế nông nghiệp ; đẩy mạnh công nghiệp hóa ,
hiện đại hóa và đồng thời tiếp cận ngay với nền kinh tế tri thức . Để làm nên sự nghiệp ấy
đòi hỏi rất nhiều yếu tố tác động tới, trong đó có việc thích ứng ngay với nền kinh tế tri
thức của thế giới . với bộ môn toán nếu “Toán học là một môn thể thao của trí tuệ” thì
công việc của người dạy toán là tổ chức hoạt động trí tuệ ấy. Có lẽ không có môn học nào
thuận lợi hơn môn toán trong công việc đầy hứng thú và khó khăn này.
Là một giáo viên giảng dạy môn toán hơn 9 năm và làm công tác quản lý được
2 năm tôi luôn luôn trăn trở rất nhiều về quá trình học toán và làm toán của các em học
sinh, trong quá trình học toán, làm toán các em học sinh có thể gặp đây đó những bài
toán mà đầu đề có “vẻ lạ”, “không bình thường”, những bài toán không thể giải bằng
dựng SKKN này nhằm giúp các em học sinh luyện tập để nhiều bài toán giải phương
trình và hệ phương trình “không mẫu mực” dần trở thành “quen thuộc” với mình, qua
đó biết cách suy nghĩ trước những phương trình và hệ phương trình “ không mẫu mực”
khác.
1. Mục đích :Với sáng kiến kinh nghiệm này tôi muốn đưa ra những kinh nghiệm và
những bài học thực tiễn qua quá trình bồi dưỡng nhiều năm học sinh giỏi, giảng
dạy cho các em học sinh có tố chất và yêu thích toán học tại trường THCS Nguyễn
Huệ
2. Tính thực tiễn, ý nghĩa : Qua nhiều năm bồi dưỡng tôi nhận thấy phương trình và
hệ phương trình không mẫu mực được quan tâm và ra đề thi nhiều trong các kỳ thi
học sinh giỏi các cấp vì vậy , cho đến năm học 2008 – 2009 đã thôi thúc tôi viết lên
những kinh nghiệm nhỏ trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, đến nay tôi nhận
Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan Page :3
Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
thấy đề tài phần nào đã đem lại hiệu quả cao, chất lượng học sinh giỏi cấp trường,
cấp huyện và học sinh giỏi toàn diện đi lên, các thầy cô cũng đã quan tâm nhiều
hơn đến phương trình và hệ phương trình không mẫu mực vì vậy không gặp khó
khăn trong quá trình giảng dạy học tập và bồi dưỡng học sinh giỏi.
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN :
1. Cơ sở lí luận khoa học :
Trong quá trình giảng dạy toán cần thường xuyên rèn luyện cho học sinh các phẩm
chất trí tuệ có ý nghĩa lớn lao đối với việc học tập, rèn luyện và tu dưỡng trong cuộc sống
của học sinh. Đối với học sinh khá giỏi, việc rèn luyện cho các em tính linh hoạt, tính độc
lập, tính sáng tạo, tính phê phán của trí tuệ là những điều kiện cần thiết trong việc học
toán. Chính vì vậy bồi dưỡng học sinh khá giỏi không đơn thuần chỉ cung cấp cho các em
một số vốn kiến thức thông qua việc làm bài tập càng nhiều, càng tốt, càng khó càng hay
mà phải cần thiết rèn luyện khả năng phát triển tư duy, sáng tạo làm toán cho học sinh,
đặc biệt đối với những bài toán được các em coi là “lạ”.
* Khó khăn: Bên cạnh những mặt thuận lợi cũng có nhiều những khó khăn như:
Điều kiện cơ sở vật chất của nhà trường thiếu thốn, không có phòng học để mở việc bồi
dưỡng cho học sinh khá giỏi theo một trình tự có hệ thống từ các lớp nhỏ đến lớp lớn, cụ
thể từ lớp 6 đến lớp 9. Phòng thư viện của nhà trường còn ít đầu sách, do đó việc tìm tòi
sách đọc là vấn đề hạn chế. Nhưng khó khăn nhất vẫn là các em học sinh do điều kiện
của địa phương với đặc thù là vùng 2 của huyện , số nhân khẩu đông, điều kiện kinh tế
khó khăn,dân di cư tự do nhiều, vì vậy việc quan tâm đến học hành còn hạn chế nhiều về
tinh thần và vật chất, dẫn đến hạn chế việc học hành của các em đặc biệt là môn toán.
Vì vậy để cho môn toán ngày càng được nhiều học sinh yêu thích trước hết người
Thầy phải tác động như thế nào đó vào tiềm thức của các em, không những học sinh khá,
giỏi mà cần phải đánh thức các em có học lực trung bình và những học sinh chưa thật sự
yêu thích môn toán, để đạt được các mục tiêu này cần phải có một cú “hích” đó chính là
đào tạo , phát hiện ra những học sinh giỏi nhằm khuyến khích động viên các em kịp thời ,
là nhân tố khơi dậy và là tấm gương sáng cho những học sinh khác noi theo.
Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan Page :5
Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
IV. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN (NỘI DUNG SKKN) :
Phần I : Phương trình
I/ Phương trình một ẩn
Phương pháp thường vận dụng :
1/ Đưa về phương trình tích :
a/Các bước :
+ Tìm tập xác định của phương trình
+ Dùng các phép biến đổi đại số đưa PT về dạng f(x).g(x) h(x)=0
+ Dùng ẩn phụ
+ Dùng cách nhóm số hạng, hoặc tách số hạng
b/ Ví dụ1 : Giải phương trình :
2
+ =
ĐS : x=1; x= 2.
Ví dụ 2: Giải phương trình :
3
1 2 1x x− + + =
Giải : Điều kiện x
≥
- 2
Đặt :
2t x= +
( t
≥
0)
⇔
3 2
3 1t t− + =
⇔
3 2
3 1t t− = −
⇔
3- t
2
= (1- t)
3
Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan Page :6
Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
⇔
2
– 4x + 1)
3
= (x
2
–x - 1)
3
–( 3x-2)
3
gợi ý : áp dụng HĐT (a - b)
3
- (a
3
–b
3
)= -3ab( a - b)
ĐS :
1 5 2
2 3; ;
2 3
±
±
d/ (x
2
– 3x + 2)
3
+ (- x
2
+x + 1)
3
b/ Ví dụ1 : Giải phương trình :
6
4
2 2
1 1 3 2
19 5 95 3
x x x x
− − − +
+ + =
Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan Page :7
Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
Điều kiện :
2
2
1 0
1 0
3 2 0
x
x
x x
− ≥
− ≥
− + ≥
+ 1 > 0
x
2
– 3x + 3,5 =
2 2
(x – 2x 2)(x – 4x 5 )
2
+ +
Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số dương :
(x
2
– 2x + 2 ) và (x
2
– 4x + 5)
Đáp số : x = 3.
c/ Bài toán áp dụng :
a/
3 4 1 8 6 1 1x x x x+ − − + + − − =
gợi ý :
2 2
( 1 2) ( 1 3) 1x x− − + − − =
áp dụng bất đẳng thức :
a b a b+ ≥ +
dấu bằng sảy ra khi ab
≥
0 với a=
1 2x − −
; b= 3-
1x −
b/ 13[(x
Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
b/ Ví dụ
Ví dụ 1:Giải phương trình :
4 2
4 2 4 2 4 2
1
4 8
8 14 8 12 8 16
2
25(3 25 ) 29 18.3 7
x x
x x x x x x
− +
− + − + − +
+ = − −
(1)
Gợi ý :
2 2
2 2 2 2 ( 4)
( 4) 1 ( 4) 2
3 7 7 29
x
x x
−
− + − +
+ + =
x =
±
2 là nghiệm số của (1)
x x
+ < + =
• Xét x< 2 ta có :
2 2
3 1 3 1
( ) ( ) ( ) ( ) 1
2 2 2 2
x x
+ > + =
Vậy ta có nghiệm duy nhất là 2.
c/ Bài toán áp dụng :
Giải phương trình :
1. 2
x
+ 3
x
+ 5
x-1
= 2
1-x
+ 3
1-x
+ 5
1-x
2. 3
x
+ 4
x
= 5
x
ta có hệ phương trình :
4
4
x y
y x
= −
= +
Đây là bài toán quen thuộc nên giải một cách dễ dàng
Lưu ý : x + y
≠
0
1 2
1 13 1 13
; ;
2 2
x x
− + − −
= =
(loại)
Đáp số :
1
1 13
2
x
− +
⇔
2 2 2
2 2
4 ( )
4 4
x y x y x y
y x x y
= − − = − +
⇔
= + = −
⇔
2
( )( 1) 0
4
x y x y
x y
+ − + =
= −
Vì x + y
≠
(loại)
Đáp số :
1 13
;
2
x
− +
=
c/ Bài toán áp dụng :
Giải phương trình :
1. 2 – x
2
=
2 x−
2. x
3
+ 1 = 2
3
2 1x −
3.
3 3
2 2 2
(3 1) (3 1) 9 1 1x x x+ + − + − =
II/ Phương trình nhiều ẩn :
1/ Đưa về phương trình tích :
a/Các bước :
Đưa phương trình về dạng f
1
(x,y, ) f
n
(1)
⇔
y
2
– x
2
= 91
⇔
( ) ( )
91y x y x+ − =
Vì
y
>0;
x
>0;
( ) ( )
y x y x+ > −
Và
y
-
x
>0
91 = 1.91 = 13. 7
Nên ta có :
91
1
13
7
y x
y
=
=
=
=
Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan Page :11
Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
Nghiệm của phương trình là : (45;46);(45;-46); (-45;-46);
(3;10); (3;-10); (-3;10); (-3;-10)
Ví dụ 2: Tìm nhiệm tự nhiên của phương trình sau :
2
m
– 2
( 2
m-n
– 1)= 2
6
. 31
⇔
6
2 2
2 1 31
n
m n−
=
− =
⇔
6
11
n
m
=
=
Nghiệm tự nhiên của phương trình là m=11; n = 6.
c/ Bài toán áp dụng :
2
; ;a
n
∈
Z.
f
1
(x,y, ); f
2
(x,y ); f
n
(x,y )
∈
Z
Xét mọi trường hợp có thể sảy ra để tìm được nghiệm thích hợp.
Dạng 2 :
Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan Page :12
Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
( , , )
( , , )
f x y m
g x y n
=
Với m, n
∈
Z cụ thể ; b>0
Vận dụng điều đã được chứng minh sau :
x
2
– 4xy + 5y
2
= 169 (1)
(1)
⇔
(x - 2y)
2
+ y
2
= 169
Số 169 chỉ có 2 cách phân tích thành tổng hai số chính phương :
169 = 13
2
+ 0
2
= 12
2
+ 5
5
Mà y
∈
Z
+
;
2x y−
∈
N
Do đó có các khả năng sau :
⇔
(
3x y−
)
2
+ (
2y
)
2
= 100
Mà 100 = 0
2
+ 10
2
= 6
2
+ 8
5
3x y−
;
2y
∈
N
Từ đó giáo viên có thể đưa ra nghiệm của pt như sau :
(15 ; 5); (-15;-5); (10; 0); (-10;0); (18 ; 4); (-18;-4); (6;4);
(-6;-4); (17 ; 3); (-17;-3); (1; 3); (-1;- 3) .
Chú ý :
1. Tìm nghiệm nguyên của một số phương trình có dạng :
ax
2
+(x+y)
2
+ (x+y+z)
2
= 26
vì x , y, z nguyên dương nên 1
≤
x< x + y < x + y + z
mà 26 = 1
2
+ 3
2
+ 4
2
do đó ta có :
4
3
1
x y z
x y
x
+ + =
+ =
=
( ; ; ); 1,2 ,
k
i
f x y i n
=
∈
N
Thì ta viết a dưới dạng
1 2 '
( ; ; )
h g k
n
a m m m x y
= + + +
m
i
∈
N; i = 1,2 , n
xét các trường hợp có thể sảy ra, từ đó tìm được nghiệm thích hợp
Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
1 10
1
7
x
y
z
+ =
+
10
3
+ x
2
+ y
2
)= 229( xy
3
+ 1 )
Đáp số : (2;3)
3. (x
2
+ 4 y
2
+ 28 )
2
= 17(x
4
+ y
4
+14y
2
+49)
Gợi ý : sử dụng Bunhia Kopski
Đáp số : (2;3).
4. Tìm các giá trị nguyên dương khác nhau x
1
; x
n
sao cho :
4. Thường vận dụng hai nhận xét sau :
a) x
n
< y
n
< (x + a)
n
; (a
∈
Z
+
)
suy ra : y = (x + a+ i)
n
. với i = 1;2; ; a-1.
b) x(x+ 1) (x + n) < y (y+1) (y+ n) < (x + a)( x+ a + 1) (x + a+ n)
a
∈
Z
+
Suy ra : y(y +1) (y + n) = (x+ i)(x + i +1) (x + i + n) . với i = 1; ;a-1.
b/ Vd :
Ví dụ 1 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
1 1 1
2
x y z
+ + =
Giải : do vai trò bình đẳng của x , y , z nên ta có thể giả sử :
x
≤
+ x = y thì 2x + 1 = x
2
z
⇔
x( xz -2 ) =1
⇒
x = 1 ; xz – 2 = 1
⇒
x = 1 ; z = 3.
+ x > y thì 2x +1 > xyz.
⇒
2x > xyz.
Hay 2
≥
yz ( vì x khác 0)
• y = 1 , z = 2
⇒
x = 2
• y= 2 , z = 1
⇒
x = 3
Vậy nghiệm tự nhiên của PT là : (1;1;3 ); ( 2;1;2); ( 1;2;2); (3;2;1); (2;3;1).
c/ Bài toán áp dụng :
Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình sau :
1.
3
xy xz yz
z y x
+ + =
, a nà b là các số
nguyên, khi đó nếu a
2
+ b
2
chia hết cho p thì a chia hết cho p; b chia hết cho p.
Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan Page :17
Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
b/ Ví dụ 1 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
4xy – x – y = z
2
Giải :
⇔
(4x – 1) (4y – 1) = ( 2z)
2
+ 1
Giả sử : (x
o
; y
o
; z
o
) là nghiệm của phương trình:
Ta có : (4x
o
– 1) (4y
o
– 1) = ( 2z
∈
Z; r = 0 ; 1 ; -1 )
x
3
= (3a +r)
3
= 9M + r
3
Rõ ràng x
3
có dạng 9k; 9k + 1; 9k – 1
Suy ra Vế trái của phương trình chia cho 9 có dư là 0 hoặc 1 hoặc 8
Vế phải của phương trình chia cho 9 có dư là 6
Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.
c/ Bài toán áp dụng :
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau :
1. 4xy – y = 9x
2
– 4x + 2
2. x
2
– y
3
= 7
3. Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
13 7 2000x y− =
4.Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình :
a/
11
2 1 3 4 1 2
y
1
, ) mà x
0
> x
1
.
b/ Ví dụ :
Ví dụ 1 Tìm tất cả các nghiệm tự nhiên của phương trình :
x
2
+ (x+1 )
2
= y
2
+ 1
Gợi ý :
⇔
x
2
+ (x+1 )
2
- y
2
= 1
Ta thấy : x
1
= 1; y
1
= 2 là nghiệm nhỏ nhất của phương trình
Ta có :
2 2
0 0
7 0x y− =
2
0 0
7 7x x⇒ ⇒M M
Đặt x
0
= 7x
1
do đó
2 2 2
1 0 0 0
7 0 7 7x y y y− = ⇒ ⇒M M
, đặt y
0
= 7y
1
ta có :
2 2
1 1
7 0x y− =
vậy
0 0
;
7 7
x y
Ở phần I mục 4 “ Đưa về hệ phương trình” tôi đã đưa ra một số cách giải hệ
phương trình. Ở phần này với tham vọng chỉ đưa ra dưới dạng các ví dụ, hy vọng rằng
qua các ví dụ các thầy cô đồng nghiệp và các em có những ví dụ để tham khảo.
A/ Các ví dụ :
Ví dụ 1 : Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình sau :
Giải :
⇔
2 2
2 2
3 9
656 657 1983
x xy y
x xy y
+ − =
− − =
⇔
2 2
3 9
( )( 657 ) 1983
x xy y
x y x y
+ − =
+ − =
= −
;
4
1
x
y
= −
=
Dễ thấy chỉ có :
4
1
x
y
=
= −
;
4
1
x
y
= −
y xzt
z xyt
t xyz
+ =
+ =
+ =
+ =
Suy ra x, y , z , t lẻ do đó xyzt + x chẵn, dẫn đến mâu thuẫn
Vậy hệ phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình sau :
3 3 3
3
3
x y z
x y z
+ + =
+ + =
Hướng giải :
Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan Page :20
x y
xy x y
+ =
+ =
Hướng giải :
3 3
2
( ) 2
x y
xy x y
+ =
+ =
⇔
3
( ) 3 ( ) 2
( ) 2
x y xy x y
xy x y
+ − + =
+ =
Đặt :
uv
=
=
⇔
2
1
u
v
=
=
Vậy :
2
1
x y
xy
+ =
=
Do đó x và y là hai nghiệm của phương trình X
2
– 2X +1 = 0
Nên (x+y)(x+z) (z+y) = 0
Suy ra : x + y = 0 hoặc x + z = 0 hoặc y+z = 0
x + y = 0 thì z= 1 và x= y = o
Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan Page :21
Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
x + z = 0 thì y =1 và x = z = 0
y + z = 0 thì x = 1 và y = z = 0
B/ Bài toán áp dụng và tự luyện :
Giải các hệ phương trình sau trong Z :
Bài : 1 :
1995
1975
1945
1997
xyzt x
xyzt y
xyzt z
xyzt t
+ =
+ =
+ =
+ =
x y z t a
x y z t b
+ + + =
− + − =
Luôn có nghiệm nguyên.
Giải các HPT sau trong R :
Bài 5 :
2 2
2 2
3
7
x y x y
x y xy
+ + + =
+ + =
Bài 6 :
( ) 4
( ) 25
( ) 9
x x y z
y x y z
z x y z
hứng thú học toán của học sinh tôi thấy chỉ có 20% các em thực sự có hứng thú học toán,
40% học sinh thích học toán và 40% còn lại nửa thích nửa không trên tổng số 420 em học
sinh khối 8,9 của trường. Qua gần gũi tìm hiểu thì các em cho biết cũng rất muốn học
xong nhiều khi học một cách thụ động, chưa biết cách tư duy để tạo cho mình một sáng
tạo trong cách giải một bài toán nào đó đặc biệt dạng toán mà tôi đang dặt vần đề , bởi vì
do điều kiện khách quan của địa phương và của trường, học sinh chỉ được bồi dưỡng một
thời gian nhất định trước khi đi thi, do vậy chỉ được học một phương pháp, vì vậy học
sinh chưa có hứng thú học toán. Trong thực tế giảng dạy việc bồi dưỡng học sinh khá
giỏi môn toán, với cách làm trên đây đã mang lại hiệu quả cao trong việc rèn luyện giải
toán cho học sinh các em không còn bỡ ngỡ khi gặp những bài toán được coi là “lạ”. Cụ
thể 80% các em học sinh đã thực sự có hứng thú học toán bồi dưỡng cho học sinh khá
giỏi với chuyên đề tôi vừa trình bày, 20% các em còn cần gợi ý các trường hợp, song rất
mong muốn được tham dự lớp bồi dưỡng học sinh giỏi với chuyên đề này.
Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan Page :23
Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
PHẦN D : BÀI HỌC KINH NGHIỆM
Qua thời gian áp dụng SKKN vào thực tế giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi
rút ra được những kinh nghiệm sau :
Đây là một sáng kiến nhỏ nhắm góp phần vào các chuyên đề bồi dưỡng học sinh
giỏi toán, tôi không có tham vọng qua sáng kiến sẽ đào tạo được nhiều học sinh giỏi toán
mà chỉ mong được các thầy cô , đồng nghiệp tham khảo coi như là một tư liệu trong bộ
sưu tập các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, đối với học sinh cũng mong các em quan
tâm và tìm đọc các tài liệu nói về phương trình và hệ phương trình không mẫu mực, và
cũng coi đây là một tư liệu để các em gặp những bài toàn dạng này không bỡ ngỡ và khó
khăn trong quá trình suy luộc và giải toán. Trên thực tế bồi dưỡng theo tài lieeji tôi xin
được đề xuất một số kiến nghị sau :
- Dùng hệ thống câu hỏi phù hợp để phát triển sức suy nghĩ của học sinh cấp II nói
chung và học sinh giỏi nói riêng trong việc học toán.
Copyright: Tài liệu đại học ©