Xây dựng chùm bài tập từ một số đẳng thức trong BD HSG Toán THCS
Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Khi học môn Toán, mỗi học sinh đều gặp phải những khó khăn riêng của
mình. Điều này rất dễ hiểu, vì khi học Toán đa số học sinh chỉ muốn dừng lại
ở chỗ “Tìm ra được lời giải và có đáp số đúng”. Nếu vậy, cho dù học sinh có
giải được hàng trăm bài toán thì kiến thức thu được chẳng là bao so với việc
giải ít bài tập hơn nhưng luôn suy nghĩ để tìm cách giải khác, luôn luôn tìm
cách khai thác bài toán để đưa ra bài toán tương tự, đặc biệt hóa bài toán,
Sự đam mê và luôn tìm cách khai thác bài toán, đó chính là con đường tốt
nhất để đi lên trong học Toán. Điều này cũng đã được Albert Einstein khẳng
định “Học kiến thức phải giỏi suy nghĩ, suy nghĩ, lại suy nghĩ. Chính nhờ
cách ấy tôi đã trở thành nhà khoa học”.
Quý thầy cô giáo đồng nghiệp kính mến!
Các em học sinh lớp 8, lớp 9 thân mến !
Trước sự phát triển mạnh mẽ của nền kinh tế tri thức, sự phát triển mạnh
mẽ của công nghệ thông tin như hiện nay đã đặt nền giáo dục và đào tạo trước
những thời cơ và thách thức mới. Để hòa nhập với tiến độ phát triển đó thì
giáo dục và đào tạo phải đảm nhận vai trò hết sức quan trọng trong việc “đào
tạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng và Nhà nước ta
đã đề ra theo Nghị quyết số 40/2000/QH của Quốc hội về việc đổi mới giáo
dục phổ thông. Nhằm đáp ứng mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con
đường duy nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ khi còn
ngồi trên ghế nhà trường phổ thông. Nhưng để nâng cao chất lượng học tập
của học sinh thì cần rèn luyện kĩ năng tư duy, kích thích sự phát triển tư duy
sáng tạo. Đó là một yêu cầu không thể thiếu trong việc dạy học nói chung,
cũng như dạy học môn toán nói riêng. Vấn đề này lại càng được đặc biệt chú
ý đối với đối tượng học sinh khá, giỏi; với công tác bồi dưỡng học sinh giỏi.

Người viết: Ngô Tấn Nam - 1 - Giáo viên Trường THCS thị trấn Ba Tơ
Xây dựng chùm bài tập từ một số đẳng thức trong BD HSG Toán THCS

1. CƠ SỞ LÍ LUẬN:
Nếu "Toán học là một môn thể thao của trí tuệ" thì công việc của người
thầy dạy toán là tổ chức hoạt động trí tuệ ấy. Có lẽ không có môn học nào
thuận lợi hơn môn Toán trong công việc đầy khó khăn này.
Quá trình giải Toán chính là quá trình rèn luyện phương pháp suy luận
khoa học, là quá trình tự nghiên cứu và sáng tạo. Không dừng lại ở mỗi bài
toán đã giải mà hãy tìm thêm các kết quả thu được sau mỗi bài toán tưởng
chừng như đơn giản. Đó là tinh thần tiến công trong học toán và đó cũng là
điều kiện để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.
Trong các yêu cầu của việc giải bài tập toán thì việc tìm hiểu sự liên hệ
của bài toán này đối với bài toán khác, của đẳng thức này đến đẳng thức khác,
… là một trong những yêu cầu cần đặt ra đối với học sinh. Trong quá trình
giảng dạy môn Toán ở trường trung học cơ sở tôi nhận thấy các bài tập về
đẳng thức đều mang đậm một nội dung phong phú và đa dạng; ở những bài
tập đó tiềm ẩn các giả thiết và kết luận mới, đòi hỏi sự khai thác sáng tạo;
phát hiện ra điều mới ấy sẽ mang lại cho người học những kết quả đầy lý thú,
kiến thức mở rộng và sâu sắc hơn. Tuy nhiên, thông qua việc giao lưu trao đổi
kinh nghiệm với đồng nghiệp giảng dạy cùng môn trên địa bàn huyện Ba Tơ,
cũng như thông qua việc dạy bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp, bản thân tôi
nhận thấy hầu hết các giáo viên khi dạy bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán
chỉ tập trung giảng dạy theo từng chuyên đề riêng lẻ. Điều này cũng rất đáng
quý. Nhưng có quá nhiều chuyên đề cần phải giảng dạy cho học sinh mà thời
gian dạy bồi dưỡng thì quá ít dẫn đến dạy nhồi nhét kiến thức, tạo áp lực học
tập cho học sinh mà hiệu quả không cao. Chính vì thế qua các lần thi học sinh
giỏi cấp huyện đạt kết đạt được là rất thấp.

Người viết: Ngô Tấn Nam - 3 - Giáo viên Trường THCS thị trấn Ba Tơ
Xây dựng chùm bài tập từ một số đẳng thức trong BD HSG Toán THCS
2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ:
2.1. Thuận lợi: Được sự quan tâm của phòng Giáo dục và Đào tạo huyện

cho học sinh lên lớp, học sinh xếp loại môn học từ trung bình trở lên theo chỉ
tiêu đề ra ở đầu năm học.
- Đa phần học sinh chưa xác định đúng được động cơ và mục đích học
tập, không thể hiện được ý thức phấn đấu, vươn lên trong học tập.
- Chưa có sự quan tâm đúng đắn từ phía phụ huynh. Nhiều phụ huynh
hầu như khoán trắng việc học của con em mình cho nhà trường, chưa có biện
pháp đề nghị nhà trường giúp đỡ con em mình học tốt hơn.
* Về phía Giáo viên:
Trong những năm gần đây chúng ta đã chú trọng đổi mới phương pháp
dạy học nhưng chưa đi vào thực chất và chưa có chiều sâu, chưa triệt để; chỉ
mới dừng lại ở việc cải tiến phương pháp dạy học truyền thống bằng cách sử
dụng các câu hỏi tái hiện, các câu hỏi nêu vấn đề nhưng chưa thực sát. Trong
quá trình giảng dạy chúng ta chú ý nhiều đến việc truyền thụ khối lượng kiến
thức nhưng chưa chú trọng đến cách dẫn dắt học sinh tìm hiểu khám phá và
lĩnh hội kiến thức từ những bài tập đơn giản mà các em đã biết. Do đó, khi
giảng dạy (đặc biệt là đối tượng học sinh giỏi) giáo viên thường hay yêu cầu
học sinh nhớ quá nhiều các dạng bài tập nhiều khi không cần thiết nên tạo áp
lực quá lớn cho học sinh.
3. CÁC BIỆN PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
Trong quá trình dạy bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp, các tiết dạy tự chọn
cũng như trong các tiết luyện tập tại lớp bản thân tôi luôn luôn coi trọng việc
khai thác bài toán để từ đó tìm thêm cách giải khác, xây dựng bài tập tương
tự, bài toán tổng quát, bài toán mới, từ những bài toán đơn giản mà học sinh
có thể dễ dàng giải được. Chẳng hạn:

Người viết: Ngô Tấn Nam - 5 - Giáo viên Trường THCS thị trấn Ba Tơ
Xây dựng chùm bài tập từ một số đẳng thức trong BD HSG Toán THCS
3.1. Xây dựng chùm bài tập từ đẳng thức:
( )
( ) ( ) ( )

a b c abc a b c a b c ab bc ca( ) ( ) ( )
2 2 2
1
( )
2
 
= + + − + − + −
 
a b c a b b c c a
Cách 2: Biến đổi vế trái thành vế phải
Ta có: (a + b)
3
= a
3
+ b
3
+ 3ab(a + b) ⇒ a
3
+ b
3
= (a + b)
3
- 3ab(a + b)
Nên a
3
+ b
3

2 2 2
1
( )
2
 
= + + − + − + −
 
a b c a b b c c a
Vậy
( )
3 3 3 2 2 2
3 ( )
+ + − = + + + + − − −
a b c abc a b c a b c ab bc ca

Người viết: Ngô Tấn Nam - 6 - Giáo viên Trường THCS thị trấn Ba Tơ
Bài toán A: Cho ba số a, b, c bất kì. Chứng minh rằng
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 3 3 2 2 2
1
3 ( ) ( )
2
 
+ + − = + + + + − − − = + + − + − + −
 
a b c abc a b c a b c ab bc ca a b c a b b c c a
Xây dựng chùm bài tập từ một số đẳng thức trong BD HSG Toán THCS


2
: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
3 3 3 3 3 3 3 3 3
) 3 ) 3 ) 3− + + − − − − − − +a a b c abc b a b c abc c a b c abc
Lời giải:
( )
( )
3 3 3 3 3 3
2 2 2
) 3 ( ) 3 ( )
= – +
− + + = + − + − −
− + + + +
a a b c abc a b c a b c
a b c a b c ab ac bc
3 3 3 3 3 3
) 3 ( ) ( ) 3 ( )( )− − − = + − + − − − −b a b c abc a b c a b c
( )
( )
2 2 2
+ = − − + + + −a b c a b c ab ac bc
( )
( )
3 3 3 3 3 3
2 2 2
) 3 ( 3 )
–
− − − + = − + + −
= − + + + + − −
c a b c abc a b c abc

là các số nguyên
Lời giải:
( )
2 2 2
3 3 3
2 2 2
(a b c) a b c ab bc ca
a + b c 3abc
A = =a b c ab bc ca
a b c a b c
+ + + + − − −
+ −
= + + − − −
+ + + +
( )
2 2 2
3 3 3
2 2 2 2 2 2
(a b c) a b c ab bc ca
a + b c 3abc
B a b c
a b c ab bc ca a b c ab bc ca
+ + + + − − −
+ −
= = = + +
+ + − − − + + − − −
Vậy A và B là các số nguyên.
Bài toán A
5
:

Bài toán A
6
: Cho
abc
là số tự nhiên có ba chữ số thỏa mãn
abc 9M
. Chứng
minh rằng
3 3 3
3+ + −a b c abc
chia hết cho 9
Lời giải: Ta có
abc 9 a b c 9⇒ + +M M
(1)
Lại có
( )
( )
3 3 3 2 2 2
3 –
+ + − = + + + + − −
a b c abc a b c a b c ab ac bc
(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra điểu phải chứng minh.
Bài toán A
7
:
a) Cho cho a, b, c, k là các số nguyên thỏa mãn
a b c k
+ +
M

(1)
Lại có
( )
( )
3 3 3 2 2 2
3 – +− + + = − + + + +a b c abc a b c a b c ab ac bc
(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra điểu phải chứng minh.
Bài toán A
9
: Cho
a, b,c N* ∈
và ƯCLN(abc, a + b + c) = 1. Chứng minh rằng
nếu
3 3 3
(a b c kabc) (a b c)+ + + + +M
thì
(k 3) (a b c)+ + +M
Lời giải:
Vì
3 3 3 3 3 3
(a b c kabc) (a b c) (a b c 3abc kabc 3abc) (a b c)+ + + + + ⇒ + + − + + + +M M
2 2 2
(a b c)(a b c ab bc ca) abc(k 3) (a b c)⇒ + + + + − − − + + + +M
abc(k 3) (a b c) (1)⇒ + + +M
Lại có ƯCLN(abc, a + b + c) = 1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra
(k 3) (a b c)+ + +M
Nhận xét 2:
Nếu viết

10
: Cho
2 2 2
; ; = − = − = −x a bc y b ac z c ab
.
Chứng minh rằng:
a) (ax by cz) (a b c) b) (ax by cz) (x y z)+ + + + + + + +M M
Lời giải:
a) Ta có:
( ) ( ) ( )
2 2 2 3 3 3
ax by cz a a bc b b ac c c ab a b c 3abc
+ + = − + − + − = + + −

Người viết: Ngô Tấn Nam - 9 - Giáo viên Trường THCS thị trấn Ba Tơ
Xây dựng chùm bài tập từ một số đẳng thức trong BD HSG Toán THCS

( )
2 2 2
(a b c) a b c ab bc ca (a b c)= + + + + − − − + +M
(đpcm)
b) Ta có:
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
x y z a bc b ac c ab a b c ab bc ca
+ + = − + − + − = + + − − −
(1)
Theo câu a, ta lại có
( )
2 2 2

(a b c) a b c ab bc ca
= + + + + − − −
(3)
Lại có
2 2 2
bc ac ab
ax by cz a a b b c c a b c ab bc ca
a b c
     
+ + = − + − + − = + + − − −
 ÷  ÷  ÷
     
(4)
Từ (3) và (4) suy ra đpcm
Bài toán A
12
: Cho
2 2 2
1 ; 1 ; 1= − = − = −
bc ac ab
x y z
a b c
.
Chứng minh rằng:
3 3 3 2 2 2
(a x b y c z) (a x b y c z)
+ + + +
M
Lời giải:
Ta có:

thì ta sẽ được vô số các bài toán tương tự bài toán A.
Bài toán A
13
: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)
3 3 3
( 1) (2 3) ( 4) 3( 1)(2 3)( 4)+ + + + − − + + −x x x x x x
b)
3 3 3
( ) ( ) ( ) 3( )( )( )+ + + + + − + + +x y y z z x x y y z z x
Người viết: Ngô Tấn Nam - 10 - Giáo viên Trường THCS thị trấn Ba Tơ
Xây dựng chùm bài tập từ một số đẳng thức trong BD HSG Toán THCS
c)
3 3 3
( 2 ) ( ) ( ) 3( 2 )( )( )+ − − + + + + − +x y y z z x x y y z z x
Hướng dẫn: Đặt ẩn phụ để đưa bài toán về bài toán A
3.1.2. Xây dựng chùm bài tập trong chứng minh đẳng thức; trong tính
toán; rút gọn biểu thức:
Bài toán A
14
:
Chứng minh rằng, nếu a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc thì a = b = c hoặc a + b + c = 0
Lời giải: Ta có
3 3 3 3 3 3

a b c
Bài toán A
15
: Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc.
Trích bài 38- Trang 13- SBT Toán 8-Tập 1
Hướng dẫn: Xem các cách giải ở bài toán B trang 21
Bài toán A
16
: Rút gọn các biểu thức sau:
a) A =
( ) ( ) ( )
3 3 3
2 2 2
a +b +c -3abc

a b b c c a− + − + −

b) B =
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
2
3 3 3

2
a b b c c a a b b c c a
b) Phương pháp giải tương tự câu a.
Nhận xét 4: Từ bài toán A
16
.a) nếu cho biết a + b + c bằng một giá trị nào đó
thì ta có thể tính được giá trị của biểu thức A. Chẳng hạn:
Bài toán A
17
: Cho a + b + c = 2014.

Người viết: Ngô Tấn Nam - 11 - Giáo viên Trường THCS thị trấn Ba Tơ
Xây dựng chùm bài tập từ một số đẳng thức trong BD HSG Toán THCS
Tính giá trị của biểu thức A =
( ) ( ) ( )
3 3 3
2 2 2
a +b +c -3abc

a b b c c a− + − + −
Hướng dẫn:
+ + = =
1 1
A = (a b c) .2014 1007
2 2

Bài toán A
18
: Cho ba số a, b, c là ba số khác 0 thỏa mãn điều kiện a
3

3 3 3
3+ + =a b c abc
. Khi đó
( ) ( ) ( )
2 2 2
1
( ) 0
2
 
+ + − + − + − =
 
a b c a b b c c a
⇒
( ) ( ) ( )
2 2 2
0
0
+ + =


− + − + − =


a b c
a b b c c a
⇒
0+ + =


= =

8
1

Bài toán A
19
:
Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a
a
+ b
b
+ c
c
- 3
abc
= 0.
Tính giá trị biểu thức P = (1 +
b
a
) (1 +
c
b
) (1 +
a
c
)
Hướng dẫn: Tương tự bài toán A
18
.a)
Bài toán A
20

Lời giải: Đặt
x ab
y bc
z ca
=


=


=

. Khi đó a
3
b
3
+b
3
c
3
+c
3
a
3
= 3a
2
b
2
c
2

= =
− + − + − =

 


Ta có M =
a b c
1 1 1
b c a
   
+ + +
 ÷ ÷ ÷
   
=
z x y
1 1 1
y z x
 
  
+ + +
 ÷
 ÷ ÷
  
 
=
y z z x x y
y z x
 
+ + +

( ) ( ) ( )
=
− + − + −
3 3 3
2 2 2
a +b +c -3abc
A
a b b c c a
không phụ thuộc vào giá
trị của a, b, c
Hướng dẫn:
+ + = =
1 1
A = (a b c) .2014 1007
2 2
từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Bài toán A
22
: Cho a, b, c là ba số nguyên liên tiếp. Chứng minh rằng giá trị
của biểu thức
3 3 3
a + b c 3abc
A
a b c
+ −
=
+ +
không phụ thuộc vào giá trị của a, b, c.
Lời giải: Ta có
( ) ( ) ( )

( )
3 3 3 2 2 2
3 ( )
+ + − = + + + + − − −
a b c abc a b c a b c ab bc ca

( ) ( ) ( )
2 2 2
1
( )
2
 
= + + − + − + −
 
a b c a b b c c a
Ta có nhận xét sau:
M 0
≥
với mọi a + b +c
≥
0. Dấu đẳng thức xảy ra khi
a = b = c, từ đó, ta có thể xây dựng một số bài tập sau:
Bài toán A
23
: Chứng minh rằng x
3
+y
3
+z
3

2
+(x-z)
2
+(y-z)
2
] ≤ 0 (vì x+y+z < 0)
Vậy x
3
+y
3
+z
3

≤
3xyz
Bài toán A
24
: Cho các số dương x, y, z. Chứng minh rằng x
3
+y
3
+z
3
- 3xyz
không âm.
Hướng dẫn: Giải tương tự bài toán A
23
(x, y, z là ba số dương nên x+y+z >0)
Bài toán A
25

2
 
= + + − + − + − ≥
 
 
⇒
3
x y z 3 xyz+ + ≥
. Dấu “ =” xảy ra khi x = y = z.
Bài toán A
26
: Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác, không phải là tam giác
cân. Chứng minh rằng a
3
+b
3
+c
3
– 3abc > 0.
Lời giải: Ta có
( )
3 3 3 2 2 2
3 ( )
+ + − = + + + + − − −
a b c abc a b c a b c ab bc ca

( ) ( ) ( )
2 2 2
1
( )

3
– 3abc > 0
Bài toán A
27
: Cho tam giác nhọn ABC. Chứng minh rằng:
a) sin
3
A + sin
3
B + sin
3
C – 3sinA.sinB.sinC ≥ 0
b) cos
3
A + cos
3
B + cos
3
C – 3cosA.cosB.cosC ≥ 0
c) tan
3
A + tan
3
B + tan
3
C – 3tanA.tanB.tanC ≥ 0
Hướng dẫn: Giải tương tự bài toán 23
3.1.4. Xây dựng chùm bài tập trong giải phương trình; giải hệ phương
trình:
Nhận xét 6: Nếu thay a, b, c bởi các đa thức một biến hoặc nhiều biến vào đa

1
2 -3 6 9
3 -5
x a
x b a b c x
x c
Khi đó phương trình (1) trở thành:
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 3 3
1
3 0 ( ) 0
2
 
+ + − = ⇔ + + − + − + − =
 
a b c abc a b c a b b c c a
3
0 6 9 0 6 9
2
1 2 3 3 5 2 0
2

+ + = − = =
=
  

⇔ ⇔ ⇔ ⇔
  


3
+ (x – 1)
3
+ (2x + 1)
3
+ 3(1 – x
2
)(2x + 1) = 0
Hướng dẫn: Câu a, b ta sử dụng bài toán A để giải trực tiếp.
Câu c, ta phải biến đổi 3(1 – x
2
)(2x + 1) = - 3(x + 1)(x – 1)(2x + 1) sau đó
giải tương tự câu a, b.
Bài toán A
30
:
Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa a
3
+ b
3
+ c
3
– 3abc = 0.
Hỏi tam giác này là tam giác gì ?
Trích đề thi vào 10 chuyên Toán, THPT Lê Hồng Phong-TP.Hồ Chí Minh, năm 1988
Lời giải:
3 3 3
Ta có 3 0+ + − =a b c abc
( ) ( ) ( )
2 2 2


Trích đề thi HSG Toán 9-TP.Hồ Chí Minh- Năm học 1986-1987
Lời giải: Ta có: x
3
+ y
3
+ z
3
– 3xyz

= (x + y + z).(x
2
+ y
2
+ z
2
– xy – xz – yz)
⇔ 1 – 3xyz = 1.(1 – xy – xz – yz) ⇔ 3xyz = xy + yz + xz (1)
Mặt khác ta có:
1 = (x + y + z)
2
= x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2(xy + yz + xz) = 1 + 2(xy + yz + xz)
⇒ xy + yz + xz = 0 (2)
Từ (1) và (2) ⇒ 3xyz = 0 ⇒

 
+ + = + =

+ =



=

=
 
 


+ + = ⇔ + = ⇔ − = ⇔ ⇔
   


=

=

   

− =
+ + = + =


 


Tính giá trị biểu thức
= + +
2012 2013 2014
P x y z
Hướng dẫn: Sử dụng kết quả bài toán A
31
, từ đó tính được giá trị biểu thức P

Người viết: Ngô Tấn Nam - 17 - Giáo viên Trường THCS thị trấn Ba Tơ
Xây dựng chùm bài tập từ một số đẳng thức trong BD HSG Toán THCS
Bài toán A
33
: Giải hệ phương trình
2 2 2
3 3 3
x y z 2
x y z 26
x y z 38
+ + =


+ + =


+ + =


Đề thi HSG Toán 9- Tỉnh Phú Yên- Năm học 2001-2002
Lời giải: Ta có x
3

x y z 2
xyz 12
xy yz xz 11
+ + =


= −


+ + = −

Từ phương trình đầu ⇒ y + z = 2 – x
Từ phương trình thứ hai ⇒ yz =
12
(x 0)
x
−
≠
Thay vào phương trình cuối ta có: x( y + z) +
12
x
−
= -11
⇔ x.(2 – x) -
12
x
= -11⇒ x
2
( 2 – x) – 12 = -11x ( x ≠ 0)
⇔ 2x


=

* Với x = 1: Ta có
y z 2 x y z 2 1
y z 1
12 12
yz 12
yz yz
x 1
+ = − + = −
 
+ =

 
⇔ ⇔
  
− −
= −
= =

 
 

⇔
y 3
z 4
y 4
z 3


⇔ ⇔
  
− −
=
= =

 
−
 

⇔
y 1
z 4
y 4
z 1


=


=




=


=



=


= −




= −


=




Vậy hệ phương trình đã cho có 6 nghiệm:
(x, y, z) = (1; -3; 4), ( 1; 4; -3), (-3; 1; 4), (-3; 4; 1), (4; 1; -3), (4; -3; 1).
Bài toán A
34
: Giải hệ phương trình:
2 2 2
3 3 3
x y z 22
x y z 196
x y z 2008
+ + =




= =

. Kết hợp với hai phương
trình còn lại sẽ tìm được x, y, z.
Bài toán A
36
: Cho ba số a, b, c đôi một khác nhau thỏa a
3
+ b
3
+ c
3
≠ 3abc
Chứng minh rằng hệ
ax by cz 0
bx cy az 0
cx ay bz 0
+ + =


+ + =


+ + =

có nghiệm duy nhất.
Lời giải:
Cộng vế theo vế các phương trình của hệ, ta đươc: (a + b + c)(x + y + z ) = 0.
Vì a

ax by c(x y) 0 (a c)x (b c)y 0
b c
bx cy a(x y) 0 (b a)x (c a)y 0 (c a)x
(b a)x (c a) 0
b c
−

=

+ − + = − + − =
 

−
⇔ ⇔
  
+ − + = − + − = −
 

− + − =

−
(I)
Vì a, b, c đôi một khác nhau ⇒ b – c ≠ 0
(I)
(c a)x
y
b c
(b a)(b c)x (c a)(c a)x 0
−



=

−
⇔


+ + − − − =

⇒ x = 0 ⇒ y = 0 ⇒ z = 0
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x, y, z) = ( 0; 0; 0)
Bài toán A
37
: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

+ + + + + − + + + =
3 3 3
( ) ( ) ( ) 3( )( )( ) 0x y y z z x x y y z z x
Hướng dẫn: Biến đổi phương trình về dạng
2 2 2
1
( ) ( ) ( ) ( ) 0
2
 
+ + − + − + − =
 
x y z x y y z z x
(do 0)⇔ = = + + >x y z x y z
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là (x, x, x) với
x N*

⇔
( )
 
+ − − + + + + =
 
2 2 2
1
x y z (x y) (y z) (z x) 0
2
⇔

+ − =

= = − < >

x y z 0
x y z 0 (do z 0)
Vậy với x + y – z = 0 ⇔ x + y = z.
Thế vào phương trình thứ hai của hệ được z = 4
⇒ x + y = 4 ⇒ x = 1, y = 3 hoặc x = 3, y = 1 hoặc x = 2, y = 2.
Vậy hệ phương trình có ba nghiệm nguyên dương là:
(x, y, z) = (1; 3; 4), (3; 1; 4), (2; 2; 4).
3.2. Xây dựng chùm bài tập từ đẳng thức:
a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc với điều kiện a + b + c = 0

3
+ b
3
+ c
3
= 3abc.
Trích bài 38- Trang 13- SBT Toán 8-Tập 1
Xây dựng chùm bài tập từ một số đẳng thức trong BD HSG Toán THCS
Cách 4: Áp dụng hằng đẳng thức:
( )
3
3 3 3
3( )( )( )a b c a b c a b b c c a+ + − − − = + + +
⇒
3 3 3 3 3 3 3
0 3( )( )( ) 3a b c c a b a b c abc− − − = − − − ⇒ + + =
Sau đây là những ứng dụng của bài toán trên:
3.2.1. Xây dựng chùm bài tập trong bài toán phân tích đa thức thành nhân
tử; chứng minh chia hết:
Bài toán B
1
: Cho ba số nguyên a, b, c và a + b + c = 0.
a. Chứng minh rằng a
3
+ b
3
+ c
3
chia hết cho 3
b. Biết trong ba số a, b, c có ít nhất một số chẵn.


− =

− = ⇒ + + =


− =

.
Đa thức cần phân tích trở thành: (a – b)
3
+ (b – c)
3
+ (c – a)
3
= x
3
+ y
3
+ z
3
Áp dụng bài toán B: vì x + y + z = 0 ⇒ x
3
+ y
3
+ z
3
= 3xyz
⇒ (a – b)
3

2
Người viết: Ngô Tấn Nam - 22 - Giáo viên Trường THCS thị trấn Ba Tơ
Xây dựng chùm bài tập từ một số đẳng thức trong BD HSG Toán THCS
3.2.2. Xây dựng chùm bài tập trong chứng minh đẳng thức; trong tính
toán; rút gọn biểu thức:
Bài toán B
4
: Cho a+b+c = 0 và a, b, c khác 0.
Tính giá trị của biểu thức
3 3 3
a b c
B
abc
+ +
=
Lời giải: Từ giả thiết
3 3 3
0 3+ + = ⇒ + + =a b c a b c abc

3 3 3
a b c 3abc
B 3
abc abc
+ +
= = =

Bài toán B
5
: Cho x+y+z = 0 và x, y, z khác 0. Tính giá trị của biểu thức
2 2 2

x y z
+ +
.
Lời giải: Vì
1 1 1
0
x y z
+ + =
⇒
3 3 3
3 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
3. . .
x y z x y z xyz
x y z
     
+ + = ⇔ + + =
 ÷  ÷  ÷
     
M =
2 2 2 3 3 3 3 3 3
yz xz xy xyz xyz xyz 1 1 1 3
xyz. xyz. 3
xyz
x y z x y z x y z
 
+ + = + + = + + = =
 ÷
 
Bài toán B

z x y 2xy
z x y

= − +

− − =


+ + = ⇒ = − + ⇒ − − =
 
 
− − =
= − +



Người viết: Ngô Tấn Nam - 23 - Giáo viên Trường THCS thị trấn Ba Tơ
Xây dựng chùm bài tập từ một số đẳng thức trong BD HSG Toán THCS

3 3 2
x y z 0 x y z 3xyz+ + = ⇒ + + =
(bài toán B)
Q =
222
2
zyx
x
−−
+
222

xyz
2
3
=
2
3
.
Bài toán B
8
: Cho a + b + c + d = 0. Chứng minh rằng:
a
3
+b
3
+c
3
+d
3
= 3(c + d)(ab – cd) = 3(a + b)(cd – ab) = 3(a + c)(bd – ac).
Lời giải:
Ta có: a + b + c +d = 0 ⇒ a + b + (c+d) = 0
⇒ a
3
+ b
3
+(c+d)
3
= 3ab(c+d)
⇒ a
3

3 3 3
1 1 1 3
a b c abc
+ + =

Lời giải:
( )
+ +
+ + = + + ⇒ + + = ⇒ =
2
2 2 2
a b c ' a b c 0 0
ab bc ca
ab bc ca
abc

⇒ + + =
1 1 1
0
a b c
⇒
3 3 3
1 1 1 3
abc
a b c
+ + =
Bài toán B
10
: Cho x, y, z đôi một khác nhau thỏa mãn điều kiện:
3 3



Người viết: Ngô Tấn Nam - 24 - Giáo viên Trường THCS thị trấn Ba Tơ
Xây dựng chùm bài tập từ một số đẳng thức trong BD HSG Toán THCS
⇒
3 3
3 3 3
3
(x y) 1 z (y z) 1 x (z x) 1 y 0− − + − − + − − =
⇔ a + b + c = 0
Vì a + b + c = 0 ⇒ a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc.
Khi đó:
( ) ( ) ( )
− − + − − + − −
3 3 3 3 3 3
(x y) 1 z (y z) 1 x (z x) 1 y
= − − − − − −
3 3
3 3 3
3
3(x y)(y z)(z x) 1 x 1 y 1 z (*)
Đặt
( ) ( ) ( )
3 3 3 3 3 3

Do đó A = 3( x – y)(y – z)(z – x) – 3xyz(x –y)( y – z)(z – x)
= 3( x – y)(y – z)(z – x)(1 – xyz) (**)
Thế (**) vào (*), ta được:
3( x – y)(y – z)(z – x)(1 – xyz) =
3 3
3 3 3
3
3(x y)(y z)(z x) 1 x 1 y 1 z− − − − − −
⇔ 1 – xyz =
3 3
3 3 3
3
1 x 1 y 1 z− − −

⇔ ( 1 – x
3
) ( 1 – y
3
) ( 1 – z
3
) = (1 – xyz)
3
( đpcm)
3.2.3. Xây dựng chùm bài tập trong giải phương trình; giải hệ phương
trình:
Bài toán B
11
: Giải phương trình (2x – 5)
3
+ (4 – 3x)