ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐẶNG VĂN HIẾU
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - 2011
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐẶNG VĂN HIẾU
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ
Chuyên ngành: Toán học tính toán
Mã số: 604630
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
GS.TSKH Phạm Kỳ Anh
Hà Nội - 2011
LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành bản luận văn này tôi đã nhận được sự giúp đỡ to lớn của
các Thầy, Cô giáo, gia đình và bạn bè xung quanh.
Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn
GS.TSKH Phạm Kỳ Anh, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường đại học khoa
học tự nhiên, ĐHQG Hà Nội. Trong quá trình giảng dạy cũng như hướng dẫn,
thầy đã ân cần, động viên, giúp đỡ chỉ bảo tận tình cho tôi.
Tôi cũng gửi lời cảm ơn tới các Thầy, Cô trong Khoa Toán - Cơ - Tin học,
Phòng sau đại học, Trường Đại học khoa h ọc tự nhiên, ĐHQG Hà Nội đã dạy
dỗ, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, đặc biệt là các Thầy, Cô trong
Seminar của Bộ môn Toán học tính toán đã có những ý kiến đóng góp quý
báu giúp cho bản luận văn hoàn chỉnh hơn.
Ngoài ra tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các bạn đồng nghiệp đã giúp đỡ,

i
, tức là phải giải hệ phương trình (thông thường là
đặt không chỉnh)
F
i
(x) = y
δ
i
,i = 1, ,l.
Nếu xem y
δ
như là một véc tơ y
δ
= (y
δ
1
,y
δ
2
, ,y
δ
l
), với y
δ
i
∈Y
i
,
δ
như là

với điều kiện biên Neumann g =
∂
u
∂
v
trên biên
∂
Ω của Ω. Giả sử biết trước p
các giá trị Dirichlet của u trên biên
∂
Ω là f
0
, f
1
, , f
p−1
và đo đạc được các
giá trị Neumann g
i
=
∂
u
i
∂
v
trên biên
∂
Ω tương ứng. Khi đó ta viết lại bài toán
F
i

i
= 0, x ∈ Ω ⊂ R
d
u
i
= f
i
,x ∈
∂
Ω.
Bài toán ước lượng q ≥ 0 từ hệ trên là đặt không chỉnh (xem [5]).
Ví dụ 2. (Bài toán ước lượng mômen phi tuyến).
Bài toán ước lượng mômen phi tuyến là tìm hàm u ∈ L
2
(Ω) trên miền bị
chặn Ω ⊂R
d
thỏa mãn hệ p hương trình tích phân phi tuyến
g
i
=

Ω
k
i
(x,u(x))dx ∈ R
m
, i = 1, , p,
với các nhân trơn k
i

song, phương pháp chiếu điểm gần kề s ong song, phương pháp CQ - song
song giải hệ phương trình toán tử. Đăc điểm của các phương pháp này là hai
quá trình hiệu chỉnh và p hân rã song song được thực h iện đồng thời và tương
thích với nhau.
Luận văn này sẽ trình bày ba phương pháp giải hệ phương trình toán tử
đặt khôn g chỉnh: Phương pháp cực tiểu phiếm hàm ổn định với hạn chế độ
lệch trong mức sai số cho phép. Phương pháp cực tiểu phiếm hàm làm trơn
Tikhonov và phương ph áp Gauss - Newton hiệu chỉnh song song.
Nội dung chính của bản luận văn bao gồm các vấn đề sau đây:
1. Thiết lập tính đặt chỉnh của bài toán tối ưu có ràng buộc liên kết với hệ
phương trình toán tử đặt không chỉnh.
2. Đánh giá tốc độ hội tụ của phương pháp hiệu chỉnh đa tham số trong
trường hợp tổng quát.
3. Thiết lập mố i liên hệ giữa phương pháp nh ân tử Lagrange và phương
pháp hiệu chỉnh đa tham số.
4. Nghiên cứu phương pháp h iệu chỉnh đa tham số Tikhonov và đánh giá
tốc độ hội tụ.
5. Trình bày phương pháp chỉnh lặp song song dạng Gauss - Newton.
Các vấn đề 1−3 được trình bày trong bài báo của Torsten Hein [2]. Phần
5 được nghiên cứu trong công trình của Phạm Kỳ Anh và Vũ Tiến Dũng [1].
Phần 4 là các kết quả do học viên phát tr iển dựa theo tài liệu của Torsten Hein
[2], Nguyễn Bường và Nguyễn Đình Dũng [3].
6
Chương 1
Hiệu chỉnh đa tham số - sự
hội tụ và tốc độ hội tụ
Trong chương này, chúng tôi đề cập tới phương pháp hiệu chỉnh đa tham số
do Torsten đề x uất dựa trên việc cực tiểu phiếm hàm ổn định với điều kiện
độ lệch của các phương trình nằm trong giới hạn sai số cho phép, b ao gồm
các bổ đề về tính ổn định và đ ịnh lý về tốc độ hội tụ. Cuối chương, chúng tôi

j
thường bị nhiễu bởi y
δ
j
: ||y
δ
j
−y
j
|| ≤
δ
j
khi đó ta chỉ
có phương trình
F
j
(x) = y
δ
j
( j = 1, ,l),x ∈D. (1.1.2)
7
Trong ứng dụng thì bài toán (1.1.2) thường là bài toán đặt không chỉnh.
Ngay cả khi các hệ (1.1.1) và (1.1.2) giải được duy nhất thì nghiệm của (1.1.2)
cũng không chắc phụ thuộc liên tục vào dữ liệu. Nghĩa là nếu x
†
là nghiệm
duy nhất của (1.1.1) và x
δ
là nghiệm duy nhất của (1.1.2) thì ||x
†

(1.1.3)
Trong lý thuyết hiệu chỉnh Tikhonov, ta thay (1.1.2) bằng bài toán cực tiểu
phiếm hàm
l
∑
j=1
λ
j



F
j
(x) −y
δ
j



2
Y
j
+ J(x) → min
x∈D
, (1.1.4)
trong đó
λ
j
> 0( j = 1, ,l) là các tham số hiệu chỉnh.
Khi dùng phương pháp Lagrange để giải bài toán (1.1.3) ta có thể xem

δ



2
Y
+
α
J(x), (1.2.1)
8
ở đây J(x) = ||x−x
∗
||
2
hoặc J(x) = ||D(x−x
∗
)||
2
, trong đó D là toán tử tuyến
tính đóng.
Sau đây là một số giả thiết đối với toán tử F
j
,( j = 1, ,l) và phiếm hàm
ổn định J(x):
A1. Với dữ liệu chính xác thì hệ (1.1.1) có nghiệm x
†
, tức là F
j
(x
†

n→∞
(infJ(x
n
))).
A4. Tập
A(C) :=

x ∈ X : J(x) +
l
∑
j=1


F
j
(x)


≤C

bị chặn trong X với mọi C ≥ 0.
A5. Nếu x
n
⇀ x và J(x
n
) → J(x) thì x
n
→ x.
Nhận xét. Giả thiết A1 là một giả thiết tự nhiên đối với bài toán nhận
dạng, tức là nếu có quan sát chính xác y

δ
j
,( j = 1, ,l)

(1.2.2)
là tập các phần tử chấp nhận được. Vì x
†
∈ M
δ
,∀
δ
≥ 0 nên M
δ
= Ø. Ngoài
ra vì F
j
liên tục nên M
δ
là tập đóng.
Bây giờ ta chứng minh sự tồn tại nghiệm x
δ
của (1.1.3).
Bổ đề 1.2.1. Với các đ iều kiện (A1) −(A4) thì luôn tồn tại nghiệm x
δ
của
(1.1.3).
9
Chứng minh. Giả sử {x
n
} ⊂ M


y
δ
j



+
δ
j
≤


y
j


+ 2
δ
j
, j = 1, ,l.
Đặt C := J(x
0
) +
l
∑
j=1




Suy ra, tồn tại dãy {x
n
k
} sao cho x
n
k
⇀ x và F
j
(x
n
k
) ⇀

y
j
,(1 ≤ j ≤ l).
Theo (A2) thì F
j
(x) =

y
j
và ta có
F
j
(x
n
k
) −y
δ



F (x
n
k
) −y
δ
j



≤
δ
j
, (1 ≤ j ≤ l) ,
chứng tỏ x ∈ M
δ
.
Theo (A3) và x
n
k
⇀ x suy ra J(x) ≤ lim
k→∞
infJ(x
n
k
). Từ đó x là nghiệm của
(1.1.3).⊠
Bổ đề 1.2.2. Cho các điều kiện (A1)−(A4). Hơn nữa {y
(n)

và
δ
j
+ c
(n)
j
.
Khi đó
1. Tồn tại dãy con {x
δ
n
k
} ⇀ x
δ
là nghiệm của (1.1.3).
2. Nếu x
δ
là nghiệm duy n hất thì x
δ
n
⇀ x
δ
.
10
Chứng minh
1. Với mỗi n ∈N, đặt
M
(n)
δ
= {x ∈X :

δ
).
Do đó
J(x
δ
n
) ≤ J(x
δ
) ∀n. (∗)
Như lập luận trong Bổ đề 1.2.1.,tồn tại dãy {x
δ
n
k
} sao cho
x
δ
n
k
⇀ x ∈ M
δ
,
suy ra J(x
δ
) ≤ J(x) ≤ lim
k→∞
infJ(x
δ
n
k
) ≤ J(x

n→∞
J(x
δ
n
) =
J(x
δ
). Kết hợp với (A5) ta có ngay điều phải chứng minh.⊠
Cuối cùng chúng ta muốn chứng minh sự hội tụ của nghiệm của (1.1.3)
tới nghiệm x
†
của (1.1.1) khi
δ
j
→ 0,(1 ≤ j ≤ l).
Định nghĩa 1.2.1. x
†
được gọi là nghiệm J −min của (1.1.1) nếu
J(x
†
) = min{J(x) : F
j
(x) = y
j
,1 ≤ j ≤ l}.
Từ Bổ đề 1 . 2.1. và 1.2. 3. su y ra x
δ
hội tụ tới nghiệm J −min của hệ (1.1.1)
khi
δ

δ
} hội tụ
yếu tới nghiệm J −min x
†
của (1.1.1). Hơn nữa, nếu nghiệm J −min x
†
là
duy nhất thì x
δ
⇀ x
†
. Nếu thêm điều kiện (A5) thì x
δ
→ x
†
.
11
1.3 Tốc độ hội tụ
Định nghĩa 1. 3.1. Giả sử J là hàm lồi và khả vi Fréchet với J
′
(x) ∈ X
∗
,∀x ∈
D. Khoảng cách Bregman giữa

x,x ∈ D là D(

x,x) xác định bởi
D(


γ
: 0 ≤
γ
< 1 và
β
= (
β
1
,
β
2
, ,
β
l
)
T
∈ R
l
với
β
j
≥ 0,( j = 1, ,l) thỏa
mãn




J
′
(x

(1.3.1)
∀x ∈ B
r
(x
†
) ∩D với B
r
(x
†
) =

x ∈ X :


x−x
†


< r

, r > 0 đủ lớn.
Điều kiện A6 rất tổng quát và bao gồm các điều kiện nguồn, điều kiện nón
pháp tuyến vv
Định lý 1.3.1. Giả sử có các giả thiết (A1) −(A6);
δ
:= (
δ
1
, ,
δ

.
Chứng minh. Do x
†
∈ M
δ
∀
δ
≥ 0 nên J(x
δ
) ≤ J(x
†
).
Ta có
D(x
δ
,x
†
) = J(x
δ
) −J(x
†
) −

J
′
(x
†
),x
δ
−x

,x
†
) ≤
γ
D(x
δ
,x
†
) +
l
∑
j=1
β
j



F
j
(x
δ
) −F
j
(x
†
)



≤

δ
j
−y
j




≤
γ
D(x
δ
,x
†
) +2
l
∑
j=1
β
j
δ
j
≤
γ
D(x
δ
,x
†
) +2



2
.⊠
Nhận xét. Để thiết lập tốc độ hội tụ trong X ta cần đặt thêm điều kiện lên
các toán tử F
j
hoặc/và hàm J(x). Chẳng hạn giả sử J(x) là hàm lồi mạnh với
hệ số
η
> 0, tức là
J(tx+ (1−t)y) ≤tJ(x) + (1−t)J(y) −
η
2
t(1−t)x−y
2
, ∀t ∈[0;1].
Suy ra x−y
2
≤
2
η
D(x,y) = C.D(x,y) với C =
2
η
.
Từ đây kết hợp với (1.3.2) ta có



x

Mặt khác nếu J(x) = x−x
∗

2
thì D(

x,x) = 

x−x
2
.
Từ (1.3.2), ta được



x
δ
−x
†



2
= D(x
δ
,x
†
) ≤
2
1−

j
∈Y
∗
j
,(1 ≤ j ≤ l), (1.3.3)
trong đó G
j
∈ L(X,Y
j
) là xấp xỉ tuyến tính của F
j
với phần dư là
r
j
(x,x
†
) := F
j
(x) −F
j
(x
†
) −G
j
(x−x
†
). (1.3.4)
13
Sau đây là 3 ví dụ điển hình.
Hệ quả 1.3.1. Giả sử (1.3.3) thỏa mãn với

γ
= C và
β
j
=


w
j


Y
∗
j
,1 ≤ j ≤ l.
Chứng minh. Ta có

J
′
(x
†
),x−x
†

X
∗
,X
=
l
∑

j
≤
l
∑
j=1


w
j


Y
∗
j


G
j
(x−x
†
)


Y
j
≤
l
∑
j=1



≤
l
∑
j=1


w
j


Y
∗
j


F
j
(x) −F
j
(x
†
)


+

l
∑
j=1

) : X →Y
j
là liên tục Lipschitz. Điều này chứng tỏ (1.3.1)
là khái quát hóa của các giả thiết quen biết để chứng minh tốc độ h ội tụ. Mặt
khác tính liên tục Lipschitz của đạo hàm Fréchet không phải là điều kiện cần
để phương pháp hiệu chỉnh hội tụ. Do đó nó có thể được thay bởi các giả thiết
khác.
Hệ quả 1.3.2. Giả sử (1.3.3) thỏa mãn với



r
j
(x,x
†
)



Y
j
≤C
j



F
j
(x) −F
j

J
′
(x
†
),x−x
†

X
∗
,X
≤
l
∑
j=1


w
j


Y
∗
j
.



F
j
(x) −F


C
j
+ 1



F
j
(x) −F
j
(x
†
)


Từ đó suy ra điều phải chứng minh. ⊠
Hệ quả 1.3.3. Giả sử (1.3.3) thỏa mãn với



r
j
(x,x
†
)



Y


Y
∗
j
(1 −
C
j
)
−1
,1 ≤ j ≤ l.
Chứng minh. Ta có r
j
(x,x
†
) := F
j
(x) −F
j
(x
†
) −G
j
(x−x
†
).
Suy ra



G(x−x


≤



G(x−x
†
)



+



r
j
(x,x
†
)



.
Do đó
(1−C
j
)






.
Theo cách chứng minh của hệ quả (1.3.1) ta có

J
′
(x
†
),x−x
†

X
∗
,X
≤
l
∑
j=1


w
j


Y
∗
j
.

(x
†
)


Từ đó suy ra điều phải chứng minh.⊠
15
1.4 Hiệu ch ỉnh đa tham số trong không gian Hilbert
Ta xét bài toán (1 . 1 . 3) với X,Y
j
là các không gian Hilbert.
Giả sử J(x) := P(x)
2
trong đó P : X → Z là toán tử phi tuyến. Ta sử dụng
phương pháp nhân tử Lagrange giải bài toán (1.1.3).
Xét hàm Lagrange
L(x,
λ
) := J(x) +
l
∑
j=1
λ
j
(



F
j

δ
j



2
Y
j
. (1.4.2)
Ta có thuật toán tìm nghiệm của bài toán (1.1.3) như sau [16]
Thuật toán 1
1. Cho x
δ
0
∈ X,
λ
(0)
= (
λ
(0)
1
, ,
λ
(0)
l
) ≥ 0;k := 0.
2. Tìm nghiệm x
δ
k+1
của bài toán


ν
δ
ν
j
,
ε



,( j = 1, ,l)(0 <
ε
<< 1),
(1.4.3)
với
ν
> 0 cố định bất kì.
4. Nếu



λ
(k+1)
−
λ
(k)



< TOL thì dừng thuật toán, ngược lại đặt k := k+ 1

+
là điểm yên ngựa của hàm Lagrange
(1.4.1) ứng với bài toán (1.1.3) nếu x = x
δ
làm cực tiểu phiếm hàm Tikho nov
(1.4.2) ứng với tham số hiệu chỉnh
λ
=
λ
và thỏa mãn
λ
j
(



F
j
(x
δ
) −y
δ
j



2
−
δ
2

) ≤ L(x
δ
,
λ
) ≤ L(x,
λ
) ∀x ∈ D, ∀
λ
∈ R
l
+
.
Bất đẳng thức thứ hai tương với
J

x
δ

+
l
∑
j=1
λ
j




F
j



2
−
δ
2
j

,
hay

T
λ

x
δ

≤

T
λ
(x) ∀x ∈ D . Điều này đúng theo giả thiết x
δ
làm cực tiểu
phiếm hàm Tikhonov (1.4.2) .
Bất đẳng thức thứ nh ất tương đương với
l
∑
j=1


+
.
Do giả thiết (1.4.4) và (1.4.5) nên bất đẳng thức cuối này luôn đúng. Vậy Bổ
đề 1.4.2 được chứng minh. ⊠
Bây giờ ta đi chứng minh Định lý 1.4.1. Ta kiểm tra các giả thiết của Bổ
đề 1.4.2.
Theo cách xây dựng các dãy {
λ
k
} và {x
δ
k
} thì các giới hạn
λ
và x
δ
của phép
lặp (1.4.3) thỏa mãn

T
λ

x
δ

≤

T
λ
(x) với mọi x ∈ D, tức là x


−y
δ
j



ν
δ
ν
j
,
ε





,1 ≤ j ≤ l. (1.4.6)
17
Do 0 <
ε
≪1, nên từ (1.4.6) suy ra hoặc
λ
j
= 0 hoặc



F

j



2
>
δ
2
j
và
λ
j
= 0,
tức là



F
j

x
δ

−y
δ
j



ν

δ
ν
j
với mọi k ≥ k
0
(do F
j
liên tục và tính liên tục của
chuẩn). Do đó
max








F
j

x
δ
k

−y
δ
j



j
>
λ
k
0
j
> 0. Điều này vô lý vì
λ
j
= 0. Vậy giả thiết (1 . 4.5) thỏ a
mãn. Áp dụng Bổ đề 1.4.2, Định lý 1.4.1 được chứng minh. ⊠
Nhược điểm của thuật toán 1
1. Phải giải b ài toán tối ưu phi tuyến trên mỗi bước lặp.
2. Do phép lặp (1.4.3) hội tụ chậm nên cần thực hiện nhiều bước lặp.
Sau đây ta trình bày thuật toán lặp Gauss - Newton để tìm nghiệm xấp xỉ
của bài toán (1. 1.3).
Xét bài toán



J(x) = P(x)
2
Z
→ min
x∈D



F
j


2
Y
j
.
Giả thiết F
j
(x) và P(x) là các hàm khả vi Fréchet với các đạo hàm F
′
j
(x)
và P
′
(x). Giả sử đã biết x
δ
k
, ta đi tìm x
δ
k+1
= x
δ
k
+ ∆x bằng cách tuyến tính hóa
18
F
j

x
δ
k


+ P
′

x
δ
k

∆x.
Ta đưa về bài toán tìm cực tiểu của dạng toàn phương

T
λ
(k)
(x
δ
k
+ ∆x) ≈ Φ(∆x) → min
∆x
trong đó
Φ(∆x) =



P
′
(x
δ
k
)∆x+ P(x

j
(x
δ
k
)




2
Y
j
.
Tìm ∆x là nghiệm của phương trình
∂
Φ
∂
∆x
= 0, tức là
∂
Φ
∂
∆x
= 2P
′
∗
(x
δ
k
)P

′
j
(x
δ
k
)∆x+ F
′
∗
j
(x
δ
k
)

y
δ
j
−F
j
(x
δ
k
)

= 0
điều này tương đương với

P
′
∗

∆x
=
l
∑
j=1
λ
(k)
j
F
′
∗
j
(x
δ
k
)

y
δ
j
−F
j
(x
δ
k
)

−P
′
∗

3. Tìm
λ
(k+1)
= (
λ
(k+1)
1
, ,
λ
(k+1)
l
) theo công thức (1.4.3).
4. Nếu



λ
(k+1)
−
λ
(k)



< TOL1 và ∆x
X
< TOL2 thì dừng thuật toán,
ngược lại, đặt k := k + 1 và quay lại bước 2.
19
Sự hội tụ của phương pháp chỉnh lặp Gauss - Newton được nghiên cứu trong

l
,(
λ
j
≥ 0) và hằng số c > 0, đặt
M(x,
λ
,c) := J(x) +
1
2c
l
∑
j=1

max

0,
λ
j
+ cg
j
(x)

2
−
λ
2
j

. (1.5.2)

Với c
k
được chọn theo một quy tắc nào đó (thông thường ta chọn là dãy tăng:
c
k+1
≥ c
k
).
Ta có một số thay đ ổi nhỏ so với bài toán trên là thay tham số đơn c ∈ R
bằng véctơ tham số c
= (c
1
, ,c
l
)
T
∈ R
l
với c
j
> 0 và thay hàm (1.5.2) bởi
M(x,
λ
,c) := J(x) +
l
∑
j=1
1
2c
j




F
j
(x) −y
δ
j



ν
Y
j
−
δ
ν
j

; c
j
:=
λ
j
2
δ
2
ν
j
.

δ
j



ν
Y
j
−
δ
ν
j


2
−
λ
2
j


= J(x) +
l
∑
j=1
δ
2
ν
j
λ

δ
ν
j


2
−
λ
2
j


= J(x) +
l
∑
j=1
δ
2
ν
j
λ
j


max

0,1+
1
δ
ν

δ
2
ν
j
λ
j





max







0,



F
j
(x) −y
δ
j




F
j
(x) −y
δ
j



2
ν
Y
j
−
δ
2
ν
j

Kết quả này trùng với hàm Lagrange trong (1.4.1) với
ν
= 1. Hơn nữa ta
cập nhật (1.5.4) và đi đến
λ
(k+1)
j
:= max

0,
λ



0,
λ
(k)
j
+
λ
(k)
j
δ
ν
j




F
j
(x) −y
δ
j



ν
Y
j
−
δ

ν
Y
j
δ
ν
j







.
Kết quả này trùn g với (1.4.3) khi
ε
= 0.
21
Chương 2
Phương pháp hiệu chỉnh đa
tham số Tikhonov
Trong chương này, chúng tôi đề cập tới phương pháp hiệu chỉnh đa tham
số Tikhonov dựa trên việc cực tiểu phiếm hàm làm trơn Tikhonov, trong đó
phiếm hàm có chứa tham số
α
và các tham số -
λ
j
, ( j = 1, ,l). Phần này tôi
phát triển d ựa theo cách tiếp cận tổng quát của Torsten [2] để mở rộng các kết




y
δ
j
−y
j



≤
δ
j
,( j = 1,2, ,l) ta có
hệ mới
F
j
(x) = y
δ
j
,x ∈ D,( j = 1,2, ,l). (2.1.2)
22
Phương pháp hiệu chỉnh đa tham số Tikhonov
Xét bài toán cực tiểu hóa phiếm hàm làm trơn Tikhonov
T
α
(x) =
l
∑

λ
l
)
T
,
λ
j
> 0,
λ

∞
= 1, phiếm hàm ổn định
J : D ⊂X → R và véctơ hiệu chỉnh
α
= (
α
1
, ,
α
l
)
T
;
α
j
=
α
λ
j
, j = 1,2, ,l.

Chứng minh. Đặt d = inf
x∈D
T
α
(x). Khi đó tồn tại dãy cực tiểu {x
n
}⊂D, sao
cho d = lim
n→∞
T
α
(x
n
). Nói riêng d ãy {T
α
(x
n
)} là dãy bị chặn, nghĩa là, tồn tại
R > 0 sao cho 0 ≤ T
α
(x
n
) ≤ R ∀n ∈ N. Điều này tương đương với
l
∑
j=1
λ
j



) +
l
∑
j=1


F
j
(x
n
)


≤C, ∀n. Mà theo (A4) tập
A(C) =

x : J(x) +
l
∑
j=1


F
j
(x)


≤C

là bị chặn.

F
j
(x
n
k
) ⇀ y
j
( j = 1,2, ,l).
Theo giả thiết (A2) thì x
0
∈D và F
j
(x
0
) = y
j
,( j = 1,2, ,l). Do tính nửa
liên tục dưới yếu của chuẩn và của J(x), ta có








F
j
(x
0

δ
j



, j = 1,2, ,l
J(x
0
) ≤ lim
k→∞
infJ(x
n
k
).
Từ đây suy ra
d ≤T
α
(x
0
) ≤ lim
k→∞
infT
α
(x
n
k
) ≤ lim
k→∞
supT
α

là nghiệm của bài toán (2.1.3) ứng với y
δ
j
thay
bằng y
δ
n
j
Khi đó
1. Tồn tại một dãy con hội tụ của dãy x
n
.
2. Mỗi giới hạn của dãy con là nghiệm của bài toán (2.1.3).
24
Chứng minh. Lập luận tương tự như trong định lý 2.2.1 ta có



x
n
k
⇀ x
0
∈ D
F
j
(x
n
k
) ⇀ y

λ
j



F
j
(x
n
k
) −y
δ
n
k
j



2
+
α
lim
k
infJ(x
n
k
)
≤ lim
k


≤ lim
k

l
∑
j=1
λ
j



F
j
(x) −y
δ
n
k
j



2
+
α
J(x)

=
l
∑
j=1

T
α
(x). (2.2.2)
Bây giờ ta chứng minh x
n
k
→ x
0
. Từ (2.2.1) ta có
lim
k→∞

l
∑
j=1
λ
j



F
j
(x
n
k
) −y
δ
n
k
j

2
+
α
J(x
0
)
(2.2.3)
Ta kết luận J(x
n
k
) → J(x
0
). Thật vậy giả sử ngược lại J(x
n
k
)  J(x
0
). Vì
J(x
0
) ≤ lim
k
infJ(x
n
k
) nên nếu đặt C := lim
k
supJ(x
n
k

(x
0
) nên từ (2.2.3) ta có
lim
m
l
∑
j=1
λ
j



F
j
(x
m
) −y
δ
m
j



2
=
l
∑
j=1
λ