ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TỐNG THÀNH TRUNG NGHIÊN CỨU DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA
ĐỘNG HỌC CÁC QUẦN THỂ ĐƯỢC MÔ TẢ
BỞI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
2. TS. Trịnh Tuấn Anh
HÀ NỘI - 2011
Mục lục
Lời cam đoan i
Bảng ký hiệu iii
Mở đầu 1
1 Kiến thức chuẩn bị 6
1.1 Lý thuyết toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Toán tử đóng và toán tử compact . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Phổ của toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Khái niệm và một số tính chất của hàm hầu tuần hoàn . . 9
1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Một số tính chất của hàm hầu tuần hoàn . . . . . 11
1.3 Lý thuyết phổ của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 Phổ của hàm bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2 Phổ của hàm hầu tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.3 Một số tính chất của phổ hàm số . . . . . . . . . . 18
1.4 Nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.2 Một số tính chất của C
0
−nửa nhóm . . . . . . . . . 21
1.4.3 Nửa nhóm liên tục đều và nửa nhóm compact . . . 24
ii
MỤC LỤC
1.4.4 Định lý bao hàm phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Kết luận và kiến nghị 115
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo . . . . . . . . . . . . . 116
Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án 117
Tài liệu tham khảo 119
iv
Bảng ký hiệu
N Tập các số tự nhiên
Z Tập số nguyên
Q Tập các số hữu tỷ
R Tập các số thực
R
∗
+
Tập các số thực dương
C[a, b] Không gian các hàm số liên tục trên [a, b]
AP (R, X) Không gian các hàm hầu tuần hoàn
AAP (R
+
, X) Không gian các hàm hầu tuần hoàn tiệm cận trên R
+
L(X, Y) Không gian các toán tử tuyến tính liên tục
từ không gian Banach X đến không gian Banach Y
L(X) := L(X, X) Không gian các toán tử tuyến tính liên tục
từ không gian Banach X vào chính nó
L
1
(0, T, E) Không gian các hàm từ [0, T ] vào E, khả tích Lơ-be
L
1
+
ρ(A) Tập các điểm chính quy hay tập giải của toán tử A
R(λ, A)
n
= (λI −A)
−n
Lũy thừa bậc n của toán tử giải R(λ, A)
σ(A) Tập phổ của toán tử A
σ
0
(A) Phổ biên của toán tử A
σ
b
(f) Tập phổ Bohr của hàm f
Sp(f) Phổ Beurling của hàm số f
σ(f) Tập phổ Carleman của hàm f
N(T −λI) Không gian riêng ứng với giá trị riêng λ
của toán tử T
L
R
(Y, U) Tập hợp {A ∈ L(Y, U) : A
C
(Y) ⊆ U},
trong đó A
C
là C− thác triển tuyến tính của A
L
+
(Y, U) Tập hợp {A ∈ L(Y, U) : A ≥ 0}
R(f) Miền giá trị của hàm f
dụ điển hình về các mô hình giải tích.
Mô hình phổ biến nhất trong Toán-Sinh thái phải kể đến là mô hình
quần thể gồm hai loài khác nhau, một trong hai loài là thức ăn cho những
cá thể của loài kia. Tác động qua lại giữa các loài dạng này rất phổ biến
trong tự nhiên và được gọi là mối quan hệ "thú-mồi".
Một trong những vấn đề trung tâm của sinh thái học nói chung (của
Toán-Sinh thái nói riêng) là vấn đề ổn định, sự bền vững và các tính chất
của hệ sinh thái trong lân cận các trạng thái cân bằng. Mặt khác, các giới
hạn ổn định của hệ sinh thái xác định tải trọng tối đa của hệ sinh thái,
vượt qua giới hạn đó sẽ dẫn đến sự diệt vong hay sự bùng nổ của hệ sinh
thái. Chúng ta luôn gặp vấn đề ổn định khi xem xét các vấn đề đánh giá
giới hạn ô nhiễm môi trường, vấn đề xét các hậu quả hay thậm chí giải
quyết vấn đề về khả năng thực hiện các phương sách hoạt động kinh tế -
tự nhiên. Tất cả những đánh giá đó chỉ trực quan và xác thực khi chúng
là những đại lượng số.
Mặt khác, trong giai đoạn qua, lý thuyết ổn định toán học phát triển
hết sức mạnh mẽ và có rất nhiều ứng dụng trong khoa học và kĩ thuật.
Trong lý thuyết đó, định nghĩa ổn định đã được phát biểu một cách hoàn
toàn chặt chẽ và nhiều kết quả đạt được liên quan đến điều kiện cần và
đủ để hệ ổn định. Song vấn đề là ở chỗ lý thuyết đó không nghiên cứu
bản thân các đối tượng cụ thể mà nghiên cứu các mô hình toán học của
chúng. Vì vậy, nếu ta có một mô hình toán học tương đối "tốt" (theo nghĩa
tính phù hợp và sự mô tả đầy đủ) của một quần xã sinh học hay của hệ
sinh thái (chẳng hạn, bằng các thuật ngữ của phương trình vi phân hoặc
sai phân) thì ta có thể trả lời câu hỏi về tính ổn định của một quần xã
thực bằng cách nghiên cứu mô hình của chúng với các phương pháp thông
thường của lý thuyết ổn định. Tất nhiên, các tình huống thực tế phức tạp
hơn nhiều so với những điều ta mô tả. Nhưng ý nghĩa vẫn không thay đổi.
2
Mở đầu
học Khoa học Tự nhiên (ĐHKHTN), Đại học Quốc gia (ĐHQG) Hà Nội.
- Xêmina "Phương trình vi phân" của liên trường ĐH - Viện nghiên cứu:
Trường ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội - Đại học Sư phạm Hà Nội - Viện Toán
học Việt Nam.
- Xêmina "Những ứng dụng toán học trong hệ sinh thái và môi trường"
của Bộ môn Toán sinh, Trường ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội.
- Hội nghị Khoa học ngành Toán - Cơ - Tin học nhân kỷ niệm 50 năm
thành lập khoa, Hà Nội 10-2006.
- Hội nghị khoa học lần thứ XVII, Trường Đại học Mỏ địa chất Hà Nội,
2006,
- Hội nghị Toán học Toàn quốc, lần thứ 7, Quy Nhơn, tháng 8 năm 2008.
- Hội nghị Khoa học Trường ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội, năm 2010.
Luận án được hoàn thành tại Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường
ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội dưới sự hướng dẫn, sự động viên khích lệ lớn
lao của GS. TS. Nguyễn Hữu Dư và TS. Trịnh Tuấn Anh. Tôi xin bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc tới hai thầy hướng dẫn GS. TS. Nguyễn Hữu Dư và
TS. Trịnh Tuấn Anh, những người đã dành nhiều tình cảm, công sức dạy
dỗ, hướng dẫn tôi nghiên cứu khoa học và hoàn thành bản luận án này.
Trong quá trình học tập nghiên cứu để hoàn thành luận án, tác giả đã
nhận được rất nhiều sự giúp đỡ quý báu của các Thầy cô giáo trong Khoa
Toán - Cơ - Tin học, Trường ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội. Tác giả xin cảm
ơn sự giúp đỡ của các Thầy cô.
Trong thời gian làm luận án tôi đã học hỏi được rất nhiều kiến thức
bổ ích cũng như nhận được nhiều tình cảm sâu sắc từ tập thể các Thầy
cô, các thành viên của các xêmina "Giải tích và ứng dụng", "Những ứng
dụng toán học trong hệ sinh thái và môi trường" tại Khoa Toán - Cơ -
Tin học, Trường ĐHKHTN cũng như xêmina liên trường, Trường đại học
Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội - Đại học Sư phạm Hà Nội - Viện Toán
4
Mở đầu
Nhận xét 1.1.1. A là toán tử đóng khi và chỉ khi ∀{x
n
} ⊂ D(A), lim
n→∞
x
n
= x
và lim
n→∞
Ax
n
= y thì x ∈ D(A), Ax = y.
Định nghĩa 1.1.2. Cho M là không gian con của X. Một toán tử P được
gọi là phép chiếu từ X vào M nếu nó là toán tử tuyến tính liên tục từ X
vào M và P
2
= P.
Nhận xét 1.1.2. Nếu P là phép chiếu thì Q = I − P cũng là phép chiếu và
Im P = ker Q và ker P = Im Q.
Định nghĩa 1.1.3. Toán tử tuyến tính K ∈ L(X, Y) (không gian các toán
tử tuyến tính liên tục từ không gian Banach X đến không gian Banach Y)
được gọi là toán tử compact nếu K(S
1
) là compact tương đối trong Y, trong
đó, S
1
là hình cầu đóng đơn vị của X.
Ví dụ 1.1.1. Mọi toán tử hữu hạn chiều K ∈ L(X, Y) đều là toán tử
compact.
Ví dụ 1.1.2. Giả sử k : [a, b] × [a, b] → R là hàm liên tục. Khi đó toán tử
|Kf(t)−Kf(t
)| =
b
a
k(t, s)f(s) ds −
b
a
k(t
, s)f(s) ds
< nếu f ∈ S
1
,
trong đó S
1
là hình cầu đóng đơn vị trong C[a, b]. Điều đó chứng tỏ họ
{Kf} : f ∈ S
1
liên tục đồng bậc. Theo định lý Arzela-Ascoli, họ này
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Định lý 1.1.1. Giả sử X là một không gian Banach, L(X) là không gian
các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào chính nó. Khi đó, nếu T ∈ L(X)
là toán tử compact và λ là một số khác không thì N(T − λI) là một không
gian con hữu hạn chiều của X.
Chứng minh. Xem trong [2].
Định lý 1.1.2. Giả sử X là một không gian Banach và T ∈ L (X) là toán
tử compact. Nếu λ thuộc tập phổ σ(T) của T và λ = 0 thì λ là một giá trị
riêng của T.
Chứng minh. Xem trong [2].
Định lý 1.1.3. Giả sử X là một không gian Banach. Nếu T ∈ L(X) là
toán tử compact thì σ(T) không có điểm tụ khác không và tập hợp σ(T)
nhiều nhất là đếm được.
Chứng minh. Xem trong [2].
1.2 Khái niệm và một số tính chất của hàm
hầu tuần hoàn
1.2.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.2.1. Tập các số thực S là trù mật tương đối trong R nếu
tồn tại số dương l sao cho [α, α + l] ∩S = ∅, với mọi α ∈ R.
Ví dụ 1.2.1.
i) Tập các số nguyên Z là trù mật tương đối trong R.
ii) Mọi tập trù mật trong R là trù mật tương đối trong R.
9
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Định nghĩa 1.2.2. (Định nghĩa hàm hầu tuần hoàn theo nghĩa Bohr)
Hàm liên tục f : R → X được gọi là hầu tuần hoàn nếu với mỗi > 0, tập
−chu kỳ
K(, f) := {τ ∈ R : sup
t∈R
f(t + τ) − f(t) ≤ }
m
b
m
, ở đó n
j
∈ Z, b
j
∈ M, j =
1, . . . , m.
Ví dụ 1.2.2.
i) Mọi hàm tuần hoàn đều là hàm hầu tuần hoàn.
ii) Đa thức lượng giác P (t) =
n
k=1
a
k
e
iλ
k
t
(a
k
∈ X, λ
k
∈ R) là hàm hầu
tuần hoàn.
iii) Với a, b bất kỳ, a, b ∈ X, các hàm f : R → X, trong đó f(t) =
a sin t + b sin
√
+
.
Ví dụ 1.2.3. Hàm
f(t) =
1
t
2
+ 1
+ cos
√
2t + sin 3t
là hàm hầu tuần hoàn tiệm cận.
* Không gian các hàm hầu tuần hoàn tiệm cận trên R
+
lấy giá trị trên X
kí hiệu là AAP (R
+
, X).
* Các định nghĩa hàm tuần hoàn tiệm cận, tựa tuần hoàn tiệm cận cũng
được định nghĩa tương tự như định nghĩa 1.2.5.
1.2.2 Một số tính chất của hàm hầu tuần hoàn
Tính chất 1.2.1. Nếu f : R → X là hàm hầu tuần hoàn thì f là hàm liên
tục đều trên R.
Chứng minh. Xem trong [29].
Tính chất 1.2.2. Nếu f ∈ AP (R, X) thì tập giá trị của f, R(f) := {x ∈
X : ∃t ∈ R : x = f(t)} là compact tương đối trong X.
Chứng minh. Xem trong [29].
Tính chất 1.2.3. Giả sử f
n
: R → X, n = 0, 1, 2 là dãy các hàm hầu tuần
hoàn φ(t) là một hàm hầu tuần hoàn.
Chứng minh. Xem trong [29].
Tính chất 1.2.8. (Định lý giá trị trung bình) Với mọi hàm hầu tuần hoàn
f thì giá trị trung bình
lim
T →∞
1
2T
T
−T
f(t)dt =: M{f}
tồn tại và giới hạn
lim
T →∞
1
2T
T +α
−T −α
f(t)dt =: M{f}
đều theo α.
12
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Chứng minh. Xem trong [29].
Với hàm hầu tuần hoàn f bất kỳ và với mọi λ ∈ R thì hàm f(t)e
−iλt
là hầu tuần hoàn, do đó với mọi λ ∈ R, a(λ, f) = M{f(t)e
−iλt
} được xác
(R) sao cho: supp Fϕ ⊂ [µ −
, µ + ] với > 0 nào đó và λ /∈ [µ −, µ + ].
13
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Đặt ψ(t) = ϕ ∗f(t) =
+∞
−∞
ϕ(t − s)f(s)ds. Suy ra
ψ(t) = a
+∞
−∞
ϕ(t −s)e
iλs
ds = −a
+∞
−∞
ϕ(ξ)e
iλ(t−ξ)
dξ
= −ae
iλt
+∞
−∞
ϕ(ξ)e
−iλξ
dξ = −ae
, ··· , λ
N
}.
Ví dụ 1.3.2. Cho f là hàm tuần hoàn chu kỳ 2π và chuỗi Fourier của nó
là
k∈Z
f
k
e
2iπkt
. Khi đó, Sp(f) = {2kπ : f
k
= 0}.
Chứng minh. +) Sp(f) ⊂ {2kπ : f
k
= 0}.
Thật vậy, ∀λ /∈ {2kπ : f
k
= 0} suy ra λ = 2k
0
π, k
0
∈ Z hoặc λ = 2k
0
π mà
f
k
0
= 0, trong đó f
k
.
Ta có:
u(t) = f ∗ϕ(t) = lim
n→∞
P
n
∗ ϕ(t),
= lim
n→∞
N(n)
k=1
a
n,k
e
2ikπt
∗ ϕ(t),
= lim
n→∞
N(n)
k=1
a
n,k
e
2ikπt
+∞
−∞
= 0
}
.
+) Đảo lại, ∀λ ∈ {2πk : f
k
= 0} và với > 0 đủ nhỏ ta có thể chọn hàm
ϕ ∈ L
1
(R) sao cho Fϕ(ξ) = 1; ∀ξ ∈
λ −
2
, λ +
2
và Fϕ(ξ) = 0, ∀ξ /∈
[λ −, λ + ]. Lý luận tương tự như trên ta có:
W (t) = f ∗ ϕ(t) = lim
n→∞
P
n
(t) ∗ϕ(2kπ),
= lim
n→∞
N(n)
k=1
a
f(z) =
∞
0
e
−zt
f(t)dt nếu Rez > 0
−
∞
0
e
zt
f(−t)dt nếu Rez < 0
không có thác triển giải tích quanh lân cận của iξ, được gọi là tập phổ
Carleman của hàm f.
Định lý 1.3.1. Nếu f ∈ BUC(R, X) thì tập phổ Beurling của f trùng với
tập phổ Carleman của nó, tức là Sp(f) = σ(f).
Chứng minh. Xem trong [39].
Ví dụ 1.3.3. Cho f(t) = ae
iλt
với λ ∈ R và a ∈ X. Khi đó ta có σ(f) = {λ}.
∞
0
=
a
z − iλ
.
Tương tự với Rez < 0 ta cũng có:
I
2
= −
∞
0
e
zt
f(−t)dt =
a
z − iλ
.
Do đó,
f(z) không có thác triển giải tích trong lân cận của iλ.
Vậy, σ(f) = {λ}.
Nhận xét 1.3.1. Kết hợp ví dụ 1.3.1 và ví dụ 1.3.3 ta được một ví dụ minh
hoạ cho định lý 1.3.1.
16
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Ví dụ 1.3.4. Giả sử f là hàm tuần hoàn chu kỳ τ thì
∞
k=0
τ
0
e
−kλ(k τ +t)
f(kτ + t)dt =
∞
k=0
e
−λkτ
τ
0
f(t)dt
= (1 −e
−λτ
)
−1
τ
0
e
−λt
f(t)dt.
0
e
−λ
n
t
f(t)dt là hệ số Fourier thứ n của f.
Vậy σ(f) = {λ
n
=
2πn
τ
: f
n
= 0, n ∈ Z}.
1.3.2 Phổ của hàm hầu tuần hoàn
Định nghĩa 1.3.3. (Phổ Bohr)
Giả sử f là hàm hầu tuần hoàn. Khi đó ta gọi tập hợp
σ
b
(f) := {λ ∈ R : a(λ, f) := lim
T →∞
1
2T
T
−T
e
−iλt
f(t)dt = 0}
là tập phổ Bohr của f.
(f).
1.3.3 Một số tính chất của phổ hàm số
Định lý 1.3.2. Cho f, g
n
∈ BUC(R, X), n ∈ N sao cho g
n
hội tụ đều trên
R đến f khi n → ∞. Khi đó:
1) Tập hợp Sp(f) là đóng.
2) Sp(f(·+ h)) = Sp(f).
3) Nếu α ∈ C\{0} thì Sp(αf) = Sp(f).
4) Nếu Sp(g
n
) ⊂ Λ với mọi n ∈ N thì Sp(f) ⊂ Λ.
5) Nếu A là toán tử đóng, f(t) ∈ D(A), ∀t ∈ R và Af ∈ BUC(R, X) thì
Sp(Af) ⊂ Sp(f).
6) Sp(ψ ∗ f) ⊂ Sp(f) ∩supp Fψ, ∀ψ ∈ L
1
(R, X).
Chứng minh. Xem trong [36], [40] và [41].
18
Copyright: Tài liệu đại học ©