ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN CÔNG HÙNG
DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN
CỦA HỌ CÁC TOÁN TỬ TIẾN HÓA BỊ NHIỄU
VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - Năm 2012
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN CÔNG HÙNG
DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA HỌ CÁC TOÁN TỬ TIẾN HÓA
BỊ NHIỄU VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
MÃ SỐ : 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. ĐẶNG ĐÌNH CHÂU
Hà Nội - Năm 2012
Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Lời nói dầu . . . . . . . . 3
Chương 1. Phương trình vi phân trong không gian Banach và
họ các toán tử tiến hóa 6
1.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm 7
1.2 Phương trình vi phân tuyến tính trong không gian Banach và họ
các toán tử tiến hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Sự ổn định và giới nội nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính
có nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Phương trình vi phân tuyến tính trong không gian Banach với toán
tử hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

công nghệ, Sinh thái học,
Để nghiên cứu dáng điệu nghiệm của phương trình vi phân trong
không gian Banach chúng ta có thể sử dụng nhiều phương pháp khác
nhau. Ở đây, trong khuôn khổ của một luận văn thạc sĩ chúng tôi sẽ
trình bày hai phương pháp cơ bản là phương pháp xấp xỉ thứ nhất của
họ toán tử tiến hóa và phương pháp nửa nhóm bị nhiễu. Trong phần
cuối chúng tôi sẽ trình bày ứng dụng của phương pháp nửa nhóm vào
việc nghiên cứu mô hình quần thể phụ thuộc tuổi.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được
chia thành hai chương:
Chương 1: Bao gồm kiến thức chuẩn bị, phương trình vi phân trong
không gian Banach và họ các toán tử tiến hóa.
Chương 2: Trình bày về lý thuyết nửa nhóm và ứng dụng của lý
thuyết nửa nhóm vào các mô hình tiến hóa quần thể có phụ thuộc tuổi.
Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới người thầy, người
3
hướng dẫn khoa học của mình, PGS. TS. Đặng Đình Châu, người đã
đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình nghiên
cứu hoàn thành luận văn này. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm
ơn các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại Học Khoa
Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội đã trang bị cho tác giả các
kiến thức cơ bản nhất về lý thuyết toán học. Cảm ơn các thầy cô phòng
sau đại học và các phòng ban chức năng đã tạo điều kiện thuận lợi cho
tác giả trong suốt quá trình học tập tại trường.
Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp
đã luôn cổ vũ, ủng hộ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận
văn.
Do thời gian và trình độ còn có sự hạn chế nên luận văn không tránh
khỏi những sai sót rất mong nhận sự đóng góp của các thầy cô và bạn
bè đồng nghiệp. Tác giả xin chân thành cảm ơn!

1,1
[a, b] Không gian Sobolev (Không gian các hàm có đạo hàm
yếu bậc 1 và có chuẩn trong L
1
([a, b]) là hữu hạn).
5
Chương 1
Phương trình vi phân trong không
gian Banach và họ các toán tử tiến
hóa
Giả sử B là không gian Banach. Trong không gian B ta xét phương
trình vi phân:
dx(t)
dt
= f(t, x(t)), (1.1)
trong đó t ∈ R
+
, x(.) ∈ B và hàm f : R
+
× D −→ D, D là một miền đơn
liên trong không gian Banach B. Từ nay về sau, nếu không nói gì thêm
ta sẽ hiểu nghiệm của (1.1) là nghiệm theo nghĩa cổ điển sau:
Định nghĩa 1.0.1. Hàm x : I −→ B (I ⊂ R
+
) khả vi liên tục theo
t ∈ I được gọi là nghiệm của (1.1) nếu khi ta thay vào (1.1) sẽ thu được
một đồng nhất thức trên I. Tức là
dx(t)
dt
= f(t, x(t)); ∀t ∈ I,

; f
2
; . . . ; f
n
); x(t) = (x
1
(t); x
2
(t); . . . ; x
n
(t)).
Khi đó, phương trình (1.1) được viết như sau:

















dx

1
; x
2
; . . . ; x
n
)
(trong đó t ∈ R
+
; x
1
; x
2
; . . . ∈ R)
và với điều kiện ban đầu
x(t
0
) = (x
1
(t
0
); x
2
(t
0
); . . . ; x
n
(t
0
)) = (x
0

(,η)
=

(t, x) ∈ R
+
× B)| |t − t
0
| ≤ ; ||x − x
0
|| ≤ η

là một lân cận đóng của điểm (t
0
, x
0
) trong R
+
× B. Khi đó, ta có định
lí tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy như sau:
1.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm
Định lý 1.1.1. (Tính duy nhất nghiệm địa phương)
Giả sử tồn tại một lân cận đóng của (t
0
, x
0
) sao cho trong lân cận đó
7
hàm f(t, x) liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz:
||f(t, x
2

≤ M
1
< ∞.
(Do f(t, x) liên tục theo t nên f(t, x
0
) bị chặn trên |t − t
0
| ≤ ).
Lấy δ = min(;
η
M
1
) và kí hiệu C
δ
(B) là không gian Banach các hàm
liên tục x(t) xác định trên |t − t
0
| ≤ δ với chuẩn
|||x||| = sup
|t−t
0
|≤δ
||x(t)||.
Gọi B
η
(x
0
) = {x ∈ C
δ
(B) : |||x − x

).
Suy ra toán tử S là ánh xạ đi từ B
η
vào B
η
.
8
Hơn nữa, với x
1
, x
2
∈ B
η
. Từ điều kiện Lipschitz, ta có đánh giá sau:
||(Sx
2
)(t) − (Sx
1
)(t)|| ≤

t
t
0
||f(τ, x
2
(τ)) − f (τ, x
1
(τ))||dτ
≤ M


2
)(τ) − (Sx
1
)(τ)||dτ
≤ M
2
|||x
2
− x
1
|||

t
t
0
(τ − t
0
)dτ
=
[M(t − t
0
)]
2
2!
|||x
2
− x
1
|||.
Sử dụng phép đánh giá liên tiếp, ta được

n!
|||x
2
− x
1
|||.
Do
(δM)
n
n!
→ 0 khi n → +∞, nên với n đủ lớn thì S
n
là toán tử co trong
B
η
. Do đó sẽ tồn tại duy nhất nghiệm x(t) ∈ B
η
của phương trình tích
phân
x(t) = x
0
+
t

t
0
f(τ, x(τ ))dτ.
Chú ý: Nghiệm x(t) chỉ tồn tại duy nhất nghiệm trên |t − t
0
| ≤  ,

trong đó L(r) là hàm liên tục có tính chất

r
r
0
dr
L(r)
→ ∞ khi r → ∞.
Khi đó, mọi nghiệm của phương trình (1.2) có thể kéo dài trên khoảng
thời gian vô hạn t
0
≤ t < ∞.
Chứng minh. : Vì








x(t
2
) − x(t
1
)
t
2
− t
1






dx
dt








≥




d||x||
dt




.
Mặt khác, ta có
dx(t)
dt

dt
.
1
L(||x||)
dr
⇒ t − t
0
≥

||x||
||x
0
||
dr
L(r)
,
(đổi biến r = x(t)).
Do

r
r
0
dr
L(r)
→ ∞ khi r → ∞.
nên nếu ||x|| → ∞ thì t → ∞, do đó nghiệm có thể thác triển ra vô
hạn.
1.2 Phương trình vi phân tuyến tính trong không
gian Banach và họ các toán tử tiến hóa
Giả sử B là không gian Banach. Xét phương trình vi phân tuyến tính:

Ta nói rằng x(.) : I → B là nghiệm của (1.4) nếu x(t) khả vi (theo
nghĩa Frechet) và thỏa mãn (1.4). Khi đó x(t) cũng là nghiệm của (1.5).
11
Xét phương trình:
x(t) = g(t) +

t
t
0
A(τ)x(τ)dτ
với g(t) là hàm vectơ liên tục trên I và chỉ ra rằng nó có một nghiệm
liên tục trên đoạn [a; b] ⊂ I. Ta thấy phương trình trên là dạng tổng
quát của (1.5)
Giả sử C([a; b]; B) là không gian Banach các hàm liên tục trên [a; b]
với giá trị trong B và có chuẩn
|||x||| = max
t∈[a;b]
||x(t)||.
Trong không gian C([a; b]; B) xét toán tử:
(Sx)(t) = g(t) +

t
t
0
A(τ)x(τ)dτ.
Toán tử này đi từ C([a; b]; B) vào chính nó từ đó dễ dàng thấy (Sx)(t)
là liên tục.
Bằng phương pháp quy nạp thực hiện liên tiếp như trên ta được
(S
n

2
+ . . .
+

t
t
0

t
n−1
t
0
. . .

t
2
t
0
A(t
n−1
)A(t
n−2
) . . . A(t
1
)g(t
1
)dt
1
. . . dt
n−1

.
(1.6)
Từ đó với mỗi x
1
, x
2
∈ B ta có:
(S
n
x
2
)(t) − (S
n
x
1
)(t)
=

t
t
0

t
n
t
0
. . .

t
2

1
)(t)||
12
≤ |||x
2
−x
1
|||

t
t
0

t
n
t
0
. . .

t
2
t
0
A(t
n
)A(t
n−1
) . . . A(t
1
)dt

n
)A(t
n−1
) . . . A(t
1
)dt
1
. . . dt
n−1
dt
n
=
1
n!

t
t
0

t
t
0
. . .

t
t
0
A(t
n
)A(t

1
||| ≤
1
n!


b
a
A(τ)dτ

n
|||x
2
− x
1
|||.
Điều đó chỉ ra rằng toán tử S
n
co trong C([a; b]; B) khi n đủ lớn. Theo
nguyên lí ánh xạ co, tồn tại duy nhất một hàm x(t) liên tục trên đoạn
[a; b] và
x(t) = lim
n→∞
S
n
x
0
(t),
với mọi x
0

t
0
A(t
n
)A(t
n−1
) . . . A(t
1
)g(t
1
)dt
1
. . . dt
n−1
dt
n
= g(t) +
∞

k=1
g
k
(t).
(1.8)
Ở đó
g
k
(t) =

t


t
t
0
A(τ)dτ

. (1.10)
Trong trường hợp riêng chúng ta xét bài toán Cauchy



dx
dt
= A(t)x
x(t
0
) = x
0
.
(1.11)
Cùng với phương trình (1.11) ta cũng có phương trình dạng tích phân:
x(t) = x
0
+

t
t
0
A(τ)x(τ)dτ. (1.12)
Khi đó, nghiệm của phương trình (1.11) thu được từ (1.8) là:

t
0
A(t
n
)A(t
n−1
) . . . A(t
1
)x
0
dt
1
. . . dt
n−1
dt
n
.
Chú ý: Nếu như A(t) là liên tục mạnh thì nghiệm x(t) là khả vi liên
tục.
Kí hiệu U(t) ∈ L(B) là toán tử được xác định bởi
U(t) = I +

t
t
0
A(t
1
)dt
1
+

0
.
và từ đánh giá (1.10) ta có:
||U(t)|| ≤ exp


t
t
0
||A(τ)||dτ

.
14
Bằng phương pháp biến thiên hằng số ta có thể tìm nghiệm của (1.4)
như sau:
Đặt x(t) = U (t)y(t) trong đó U(t) xác định như trong (1.13). Thay vào
(1.4) ta được



dy
dt
= U
−1
(t)f(t)
y(t
0
) = x
0
.

dt
= A(t)x.
Họ các toán tử tiến hóa có các tính chất sau:
a) U(t, t) = I.
b) U(t, s)U(s, τ) = U(t, τ).
c) U(t, τ) = [U(τ, t)]
−1
.
Ngoài ra, ta luôn có:
d) ||U(t, τ)|| ≤ exp[

t
τ
||A(τ)||dτ] (t ≥ τ ).
e)
dU(t, s)
dt
= A(t).U(t, s).
f)
dU(t, s)
ds
= −U(t, s).A(t).
15
Chứng minh. • Các tính chất a)-b)-c) dễ dàng suy ra từ định nghĩa
của U(t, τ).
• Với mọi t
0
≤ τ ≤ t ≤ T ta có
x(t) = x(τ ) +


||U(t, τ)|| ≤ exp


t
τ
||A(τ)||dτ

, với t
0
≤ τ ≤ t ≤ T.
• Với x(t) = U(t)x
0
là nghiệm của bài toán (1.11) nên ta có
dU(t)
dt
= A(t)U(t) và
dU
−1
(t)
dt
= −U
−1
(t)A(t).
Theo định nghĩa
U(t, τ) = U(t)U
−1
(τ).
Suy ra
dU(t, τ)
dt

+
× G −→ B, f(t, 0) = 0. Để thuận
tiện chúng ta xét G là một miền mở chứa gốc tọa độ
G = {x ∈ B : x ≤ r, r > 0}
hoặc G có thể là toàn bộ không gian B.
Giả sử hàm f thỏa mãn mọi điều kiện để nghiệm của bài toán Cauchy
của phương trình (1.16) tồn tại duy nhất và có thể kéo dài ra vô hạn.
Kí hiệu x(t) = x(t, t
0
, x
0
) là nghiệm của phương trình vi phân (1.16)
thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t
0
) = x
0
, t
0
∈ R
+
, x
0
∈ G. Ta thấy rằng
nghiệm của bài toán Cauchy:



dx
dt
= f(t, x)

0
 < δ ⇒ x(t, t
0
, x
0
) < ε, ∀t ≥ t
0
.
17
Định nghĩa 1.3.2. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi
phân (1.16) được gọi là ổn định đều theo nghĩa Lyapunov nếu số δ trong
định nghĩa (1.3.1) không phụ thuộc vào t
0
.
Định nghĩa 1.3.3. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi
phân (1.16) được gọi là ổn định tiệm cận khi t → ∞ nếu:
a. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 ổn định.
b. Tồn tại một số  = (t
0
) > 0 sao cho với mọi x
0
∈ G và x
0
 < 
kéo theo
lim
t→+∞
x(t, t
0
, x

−λ(t−t
0
)
.x
0
, ∀t ≥ t
0
.
trong đó M, λ là các hằng số dương không phụ thuộc vào cách chọn x
0
.
Định nghĩa 1.3.6. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi
phân (1.16) được gọi là ổn định mũ đều khi t → +∞ nếu như số M ở
trên không phụ thuộc vào t
0
.
Bổ đề 1.3.1. (Bổ đề Gronwall - Belman)
Giả sử u(t) ≥ 0, f(t) ≥ 0, ∀t ≥ t
0
và các hàm u(t), f(t) là các hàm
18
liên tục trên [t
0
; +∞) (u(t), f (t) ∈ C
[t
0
;+∞]
) và thỏa mãn bất đẳng thức:
u(t) ≤ c +


f(τ)u(τ )dτ
≤ f(t).
Do đó ta có
d
dt

c +

t
t
0
f(τ)u(τ )dτ

≤ f(t).
Suy ra
ln

c +

t
t
0
f(τ)u(τ )dτ

− ln c ≤

t
t
0
f(τ)dτ.

,R
+
]
và hàm
m(t) ∈ C
1
[R
+
,R
+
]
. Khi đó nếu:
m

(t) ≤ v(t)m(t) + h(t) (1.20)
19
thì
m(t) ≤ c.e

t
τ
v(s)ds
+

t
τ
h(s)e

t
s

q

(t) ≤ h(t)e
−

t
τ
v(s)ds
.
Thật vậy, do hàm q(t) xác định như trên nên ta có:
q

(t) = m

(t)e
−

t
τ
v(s)ds
− m(t)v(t)e
−

t
τ
v(s)ds
.
Áp dụng (1.20) ta có:
q


ds,
hay
q(t) ≤ q(τ) +

t
τ
h(s)e
−

t
τ
v(ξ)dξ
ds.
Do đó ta có:
m(t)e
−

t
τ
v(s)ds
≤ c +

t
τ
h(s)e
−

s
τ
v(ξ)dξ

ta có định lý về sự giới nội đều và ổn định mũ đều của phương trình
(1.22) như sau:
Định lý 1.3.1. Giả sử nghiệm của phương trình (1.24) ổn định mũ
đều, tức là tồn tại một số c > 0 sao cho
||U(t, τ)|| ≤ c.e
−λ(t−τ)
, (t ≥ τ).
Khi đó, nếu f(t, x) thỏa mãn điều kiện (1.23) với M, L và λ − c.L > 0
thì nghiệm của phương trình (1.22) là giới nội đều với t ≥ 0 và đồng
thời cũng ổn định mũ đều.
Chứng minh. Từ giả thiết
||U(t, τ)|| ≤ c.e
−λ(t−τ)
, (t ≥ τ ).
Do nghiệm của phương trình (1.22) tương đương với phương trình tích
phân:
x(t) = U(t, τ)x(τ) +

t
τ
U(t, s)f(s, x)ds.
21
Từ đó ta có đánh giá:
||x(t)|| ≤ ce
−λ(t−τ)
||x(τ)|| +

t
τ
c.e

e
λ(s−τ)
||x(s)||ds
Đặt
m(t) = ||x(t)||.e
λ(t−τ)
.
h(t) = c.||x(τ )|| + c.M

t
τ
e
λ(s−τ)
ds, v(t) = c.L.
Khi đó, ta có h(τ) = c.||x(τ)|| và h

(t) = c.M.e
λ(t−τ)
> 0.
Áp dụng bổ đề Gronwall-Belman mở rộng ta có
m(t) ≤ h(τ ).e
c.L(t−τ)
+

t
τ
h

(s).e
c.L(t−s)

(λ−c.L)t
− e
(λ−c.L)τ

.e
−λτ+c.Lt
= c.||x(τ )||.e
c.L(t−τ)
+
c.M
λ − c.L

e
(λ(t−τ)
− e
c.L(t−τ)

.
Vậy
||x(t)||e
λ(t−τ)
≤ c.||x(τ)||.e
c.L(t−τ)
+
c.M
λ − c.L

e
(λ−c.L)t
− e

1
(t) = U(t, τ)x
1
(τ) +

t
τ
U(t, s)f(x
1
, s)ds.
x
2
(t) = U(t, τ)x
2
(τ) +

t
τ
U(t, s)f(x
2
, s)ds.
Khi đó, ta có
||x
1
(t)−x
2
(t)|| ≤ ||U (t, τ)|| ||x
1
(τ)−x
2

(s)||ds.
Điều này tương đương với
||x
1
(t) − x
2
(t)||e
λ(t−τ)
≤ c.||x
1
(τ) − x
2
(τ)|| +

t
τ
c.L||x
1
(s) − x
2
(s)||ds.
hay là
||x
1
(t) − x
2
(t)|| ≤ c.e
(cL−λ)(t−τ)
||x
1