ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN
■ • • •
TÊN ĐỂ TÀI
DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM CỦA CÁC
HỆ ĐỘNG Lực VÔ HẠN CHIỂU
• • • •
MÃ SỐ: QT 03 - 01
CHỦ TRÌ ĐỂ TÀI: PGS.TSKH. NGUYẺN VÀN MINH
p T / 3 0 6
HÀ NỘI - 2003
Mục lục
1 Mờ Đầu 3
2 Nội dung chính 6
2.1 Tiêu chuẩn Massera đối với nghiệm hầu tuần hoàn của phương
trình có biến hằng từng khúc 6
2.1.1 Phổ Carlemann của hàm s ố
6
2.1.2 Hàm hầu tuần hoàn
7
2.1.3 Tiêu chuẩn M assera 7
2.2 Nghiệm hầu tuần hoàn phương trinh sai phân hàm dạng trung tính 8
2.2.1 Phổ của dãy
8
2.2.2 Phương trình sai phân có trễ trung tín h

9
2.2.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm hầu tuần hoàn

10
2.3 Nghiêm hầu tuần hoàn của phương trinh tiến hóa đặt không chỉnh 12

0
Câu hỏi đặt ra là khi nào
F(x
) cũng là hàm hầu tuần hoàn chu kỳ
T.
Bằng
lý luận sơ cấp, ta có thể chỉ ra F(x) có dạng: F(x) — G(x) 4- ax, trong đó
3
_ 1 T
G(x) là hàm hầu tuần hoàn chu kỳ T, liên tục còn a = — f f(t)dt.
T 0
Vậy thì F tuần hoàn với chu kỳ T khi và chỉ khi a = 0, hoặc F tuần hoàn
với chu kỳ T khi và chỉ khi F giới nội.
Ngay sau khi đưa ra khái niệm hàm số hầu tuần hoàn, Bohr cũng đã chứng
minh được một kết quả tương tự. Việc mở rộng kết quả của Bohr cho lớp hàm
hầu tuần hoàn lấy giá trị trong không gian Banach thực sự là một chủ đề hấp
dẫn và khó khăn. Người ta đã tìm được các điều kiện mang tính hình học bổ
sung để kết quả trên của Bohr vẫn đúng.
Năm 1950, trong một công trình nổi tiếng của mình, Massera đã nhìn nhận
bài toán của giải tích như trường hợp riêng của bài toán sau:
dx
= A(t)x + f{t), X e R n,
dt
trong đó A(t),f(t) là liên tục, tuần hoàn cùng chu kỳ T. Dùng phương pháp
điểm bất động của ánh xạ sau chu kỳ, Massera đã chứng minh rằng trên có
nghiệm tuần hoàn chu kỳ T khi và chỉ khi nó có một nghiệm giới nội.
Kết quả của Massera đã được nhiều nhà nghiên cứu phương trình vi phân
quan tâm mở rộng. Đặc biệt, năm 1974, S.N. Chow và J. Hale đã công bô' một
mở rộng của định lý Massera cho lớp phương trinh vi phân hàm dạng trễ:
^ = Lx, + /((),

tiến hóa.
Các kết quả nhận được trong các nghiên cứu của chúng tôi là mới được công
bố trong 3 bài báo khoa học, 2 trong số đó đã được nhận đăng và 1 đang gửi
đăng. Toàn văn các bài báo này được đưa vào phần phụ lục của báo cáo.
Trong khi thực hiện đề tài chúng tôi đã nhận được sự giúp đỡ của rất nhiều
cán bộ trong Khoa Toán - Cơ - Tin học và các cán bộ trong Phòng Khoa học -
Công nghệ, ĐHKHTN, Ban Khoa học -Công nghệ, ĐHQG HN. Chúng tôi chân
thành cám ơn tất cả sự động viên cổ vũ và giúp đỡ nhiệt tình trên.
Hà nội 2003 Chủ trì đề tài QT 03-01
PGS. TSKH. Nguyễn Vãn Minh
5
Phần 2
Nội dung chính
Trong phần nội dung của báo cáo chúng tôi sẽ trình bày các kết quả chính.
Chứng minh đày đủ của các kết quả này độc giả có thể tìm thấy
trong các bài báo của phần phụ lục.
2.1 Tiêu chuẩn Massera đối với nghiệm hầu tuần
hoàn của phương trình có biến hằng từng khúc
Trong mục này ta xét sự tồn tại nghiệm hầu tuần hoàn của phương trình vi phân
có dạng sau:
trong đó A là toán tử tuyến tính tác động trong không gian hữu hạn chiều C'\
/ là hàm giới nội trên R nhận giá trị trong cn, [.] là hàm phần nguyên.
2.1.1 Phổ Carlemann của hàm sô
Định nghĩa 2.1 Phổ Carleman của hàm u G L}oc{R, X) có độ tăng dưới cấp mũ
là tập hợp sp(u) gồm tất cá các số thực £ sao cho biến đổi Fourier- Carleman
u(.) của u được xác định theo công thức
(1)
0
không có thác triển giải tích xung quanh bất kỳ lân cận nào của
i£.

c
ơei(A)
u
sp(f),
(2.2)
(2.3)
7
Nếu không có các điểu kiện bổ sung thì Định lý Massera không đúng đối với
phương trình đang xét. Thật vậy, ta xét phản ví dụ sau.
X = e ^ a .
có nghiệm giới nội nhưưng không có nghiệm tuần hoàn.
Trong trường hợp / là hàm hầu tuần hoàn chu kỳ hữu tỷ ta có Định lý
Massera sau.
Định lý 2.3 Giả sử f là hàm hầu tuần hoàn chu kỳ hữii tỷ T — e. Khi đó
phương trình (ì) có nghiệm tuần hoàn chu kỳ T = p khi và chỉ khi nó có nghiệm
giới nội trên nửa trục [0, + 00).
2.2 Nghiệm hầu tuần hoàn phương trình sai phân
hàm dạng trung tính
Trong mục này, chúng ta sẽ nghiên cứu điều kiện tồn tại nghiệm giới nội và
hầu tuần hoàn của phương trinh sai phân có trễ trung tính dạng:
A (Dxn) = Lxn +f(n), n ẽ Z , (2.1)
trong đó / e loo(X),D,L € L(C,X), A(D„) := Dxn+1 - Dxn, X là không
gian Banach, iooỌQ là không gian các dãy giới nội trong X với chuẩn thông
thường, c .= ịý { —r, —r + 1, ,0} —» x j là không gian Banach với chuẩn
I 4> |:= sup II ộ(n) ||. Nếu X : 7L —> X,thì xn £ c được hiểu là hàm
xn(ỡ) = x{n + 6), n E Z; — r < 9 < 0.
2.2.1 Phổ của dãy
Xét ^00(X) là không gian tất cả các dãy giới nội trong không gian Banach
X, 9 := {s„} nez c X với chuẩn II0II = Supllýnịị,S(k) là toán tử dịch chuyển
thứ k trong 4o(X), nghĩa là (S(k)g)n = gn+k-

0
Dộ= W>eC, (2.2)
k=—r
0
Lộ = vự> e c, (2.3)
k=-r
trong đó Ak.Bk c L(X), VẢ; = —r, Ngoài ra, toán tử A(Dxn) trong
phương trình (2.1) có thể viết lại dưới dạng:
A(Dxn) = Dxn+1 - Dxn (2.4)
0 0
=>• A(Dxn) — ^ ^ ^4/cxn_|_i(fc) ^ ^ AhXỵiịk')
k=—r k=—r
0 0
= ^ + 1 + fc) - ^ Ẩfcx(n + /c)
k=—r k——r
0
= Ấ
0
x(n+l)+ ^ (i4jfc_! - i4jfc)x(n + fc) - A _ rx(n - r).
k=—r+l
Kết hợp với(2.2), (2.3), phương trinh (2.1) có thể viết lại dạng sau:
0
A0x(n + 1) = ckx(n + k) + f(n) (2.5)
k=—r
9
trong đó
Ck — Ak — Ak-I + Bk, Vfc — (—r + 1 , 0 ) ,
c —r = A—r •Ị' -Ổ—r
Định nghĩa 2.7 Phương trình (2.1) hay (2.5) được gọi là atomic tại 0 nếu A0
khả nghịch.

Ck,
(k
— —
r , 0)
và
Aơ(Ao)
n =
ộ. Khi đó, với mối f
6 A(X),
phương trình
(2.1)
có nghiệm

giới nội duy nhất Xf sao cho
ơ(xj)

c
ơ(f).
Hơn thế nữa nếu f là hấu tuần

hoàn thì Xf cũng là hấu tuần hoàn.
Từ đây ta được các hệ quả:
10
Hệ quả 2.1 Giả sử toán tử Ao giao hoán với các toán tử Ck, (k = —r , 0)
và cho f e /oo(X). Khi đó phương trình (2.1) có duy nhất nghiệm Xf 6 /oo(X)
ơ (/)a (Ấ o ) n 5^0 = ộ, hcm thể nữa nếu f là hầu tuấn hoàn thì Xf cũng là
hầu tuần hoàn và ơ(xf) c ơ(f).
Hệ quả 2.2 Giả sử toán tử D của phương trình (2.1) là atomic tại 0 tức là A0
khả nghịch và A là tập con đóng của đường tròn dơn vị sao cho ơ(f) n = 0-
Khi đó, phương trình (2.1) tồn tại duy nhất nghiệm Xf £ A(X).


nội thì phương trình
(2.1)
có nghiệm hầu tuần hoàn.
n
A 6 c : Í(An+1A - £ A €
3=1
n
tích.
E i nA = 0-
Er,i Uơ(/)> tr o n 8 đ ó E r .1 := £ i n r -
11
2.3 Nghiệm hầu tuần hoàn của phương trình tiến
hóa đặt không chỉnh
Trong mục này chúng ta đi nghiên cứu sự tồn tại nghiệm hầu tuần hoàn đối
với phương trinh dạng
^ = Au + /(í) (2.8)
at
trong đó A là toán tử tuyến tính ( không giới nội) và là toán tử sinh của C-nửa
nhóm các toán tử tuyến tính trong không gian Banach X, và / là hàm hầu tuần
hoàn theo nghĩa Bohr. C-nửa nhóm là một lĩnh vịưc mới đang được nhiều người
quan tâm nghiên cứu. Nghiệm hầu tuần hoàn của phương trình không thuần nhất
trên gần đây đã được nghiên cứu trong công trình của c.c. Chen, Nguyen Van
Minh, S.Y. Shaw. Các phương pháp được các tác giả trên sử dụng là phương
pháp nửa nhóm tiến hóa, phân rã phổ các nghiệm giới nội. Trong mục này
chúng tôi giới thiệu một phương pháp nghiên cứu sai phân hóa. Phương pháp
này cho phép sử dụng các kết quả của mục trên.
Định nghĩa 2.9 ỉ) Hàm u € Cl(J, X) dược gọi là nghiệm ( cổ điển) trên J của
phương trình (2.8) với f cho trước, f e C(J, X) nếu u(t) E D(A), Ví 6 J và
li, / íhoả mãn phương trình (2.8) với mọi t £ J.

R(C)
khả nghịch}.
12
Định lý 2.8 Cho R(C) là đóng. Khi đó phương trình (2.8) có duy nhất một
nghiệm u với u(t) € R{C) đù tốt tuấn hoàn với chu kỳ 1 đối với mọi hàm
f e ƠR, R(C) chu kỳ 1 khỉ và chỉ khi 1 6 pc{T(ì)).
2.3.2 Nghiệm hầu tuần hoàn
Phần này chúng ta sẽ đưa ra điều kiện đủ để tồn tại nghiệm đủ tốt hầu tuần
hoàn của phương trình (2.8). Kết quả chính cùa phần này là
Mệnh đề 2.5 Cho c là đơn ánh tuyến tính với miền giá trị đóng và f là hàm
hầu tuấn hoàn sao cho f( t) € R(C), Ví € M. Khi đó nghiệm đủ tốt u trên R
bất kỳ của phương trình (2.8) là hầu tuần hoàn nếu dãy {u(n)}n£z là hầu tuần
hoàn.
Định lý 2.9 Giá thử tất cà các giả thiết của mệnh đề (2.5) thoả mãn. Hơn thế,
giả sử
^ ữ )n ơ ( c - lT( 1)|*(C)) = 0 . (2.10)
Khi đó, tồn tại nghiệm hấu tuần hoàn của phương trình(2.8)
13
Phần 3
Tài liệu tham khảo
1. w. Arendt, c. J. K. Batty, M. Hieber, F. Neubrander, Vector-valued
Laplace transỉorms and Cauchy problems, Birkhauser Verlag, Basel-
Boston-Berlin, 2001 (Monogrphs in mathematics; Vol. 96).
2. w. Arendt, C.J.K.Patty, Almost periodic solutions of first and second oder
Cauchy problems, Joumal of Differential Equations 137 (1997), N.2, 363-
383.
3. w. A. Copel, Dichotomies in Stability theory, Lecture Notes in Math.
vol . 629, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1978.
4. D. Danẻrs and p. K. Medina, Abstract evolution equations, periodic
problems and applications, Pitman Research Notes in Math. Ser. volume

Diíĩerential equations (Xanthi, 1987), 319-326, Lecture Notes in Pure
and Appl. Math., 118, Dekker, New York, 1987.
16. Y. Hino, s. Murakami and Nguyen Van Minh, Decomposition of varia-
tion of constants íormular for abstract functional differential equations,
Funkcial. Ekvac. 45 (2002), 341-372.
17. Y. Hino, T. Naito, Nguyen Van Minh, Jong Son Shin, Almost periodic
solutions oỉdiữerential equations in Banach spaces , Taylor and Francis,
London-NevvYork, 2002.
18. z. s. Hu and A. B. Mingarelli, On a question in the theory of almost
periodic differential equations, Proc. Amer. Math. Soc., 127 (1999),
2665-2670.
19. R. Johnson, A linear almost periodic equation with an almost automorphic
solution,
Proc. Amer. Math. Soc.
82 (1981), no. 2, 199-205.
20. Y. Katznelson,
An Introduction to Harmonic Analysis,
Dover Publi cations,
Nevv York, 1968.
21. Y. Li, z. Lin and z. Li, A Massera type criterion for linear íunctional
differential equations with advanced and delay, Journaì of Mathematicaỉ
Analysis and Applications, 200 (1996), 715-725.
15
22. Y. Li, F. Cong, z. Lin and w. Liu, Periodic solutions for evolution equa-
tions, Nonlinear Anaỉ., 36 (1999), 275-293.
23. J. L. Massera, The existence of periodic solutions of systems of differential
equations, Duke Math. J., 17 (1952), 457-475.
24. s. Murakami T. Naito, Nguyen Van Minh, Evolution Semigroups and sums
of commuting operators: a new approach to the admissibility theory of
íunction spaces, Journal of Diíĩerential Equations 164 (2000), 240-285.

33. A. Pazy, Semigroups of linear Operators and Applications to Partiaỉ
. Differential Equations, Applier Math. sei. 44, Springer-verlag, Berlin-
New York, 1983.
34. J. Pruss, Evolutionary Integral Equation and Applications, Birkhauser,
Basel, 1983.
35. G. Seiíert, Almost solutions of certaint differential equations with piece-
wise constant delays and almost periodic time dependence, Journal of
Diữerentiaỉ Equations 164, (2001), 451-458.
36. J. H. Shen and I. p. Stavroulakis, Oscillatory and nonoscillatory delay equa-
tion with piecevvise constant argument, Journal of Mathematical Analysis
and Applications, 248 (2000), 385-401.
37. J. s. Shin and T. Naito, Semi-Fredholm operators and periodic solutions for
linear íunctional differential equations, Journal of Diữerential Equations,
153 (1999), 407-441.
38. N. Tanaka, On the exponentially bounded C-semigroups, Tokyo J. Math.
10 (1987), 107-117
39. N. Tanaka, I. Miyadera, Exponentially bounded C-semigroups and inte-
grated semigroups, Tokỵo J. Math. 12 (1989), 99-115.
40. N. Tanaka, I. Miyadera, C-semigroups and the abstract Cauchy problem,
J. Math. Anal. Appl. 170 (1992), 196-206.
41. P.J.Y. Wong, R.p. Agarwal, Nonoscillatory Solutions of Functional Dif-
íerence Equations Involving Quasi-Differences Funkcialaj Ekvacioj 42
(1999), N.l, 389-412.
42. R. Yuan, Almost solutions of a class of singularly perturbed differential
equations with piecevvise constant argument, Nonlinear Anal., 37, (1999),
43. s.
Zhang, Stability of neutral delay difference systems,
Computers &

Mathematics with Applications,

học vì cá V nuhĩa lv lluivếl cũ nu như áp dụng của chúm;. Các kết quả của
chúnu tỏi đòi với plurưnu trình có biến hằne, lừng khúc mới chỉ dừng lại ở
tiêu clniẩn Masscra cho nghiệm Luấn hoàn. Các tiêu chuẩn tương tự cho
nghiệm háu tuán hoàn vẫn còn chưa biết có đúng hay không.
BAO CÀO TOM TẢT
l. Tên đề tài: Dáng điệu tiệm cận nghiệm của các hệ động lực vô hạn chiều.
Mã số: QT 03- 0 1

>. Chủ trì đề tài: PGS.TSKH Nguyễn Văn Minh
3. Cán bộ tham gia:
TS. Đặrig Đình Châu,
- ThS. Nguyễn Minh Mẫn,
- ThS. Tống Thành Trung,
- ThS. Lê Huy Tiễn,
- CN. Hà Bình Minh,
- CN. Nguyễn Trung Thành,
- CN. Dư Đức Thắng,
- CN. Hy Đức Mạnh,
- CN. Nguyễn Trường Thanh,
- CN. Kiều Thu Linh,
- Hoàng Ngọc Tùng
4. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu:
Mục tiêu nghiên cứu:
- Nghiên cứu tiêu chuẩn Massera cho sự tồn tại nghiệm
tuần hoàn của phương trình vi phân có biến hằng từng
khúc
- Nghiên cứu điều kiện tổn tại các dao động điều hoà
trong các hệ sai phân hàm dạng trung tính
- ứng dụng nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm
phương trình tiến hoá không đặt chỉnh liên kết với một

- Hội thảo khoa học: 3.350.000 đ
- Mua văn phòng phẩm: 3.000.000 đ
- Cước phí bưu điện, Internet: 1.000.000 đ
SUMMARY
1. Title of project: Asymptotic behavior of solutions of iníìnite dimensional
dynamical systems.
2. Code ofproject: QT03-01
3. Head ofresearch group: Associate Professor Nguyen Van Minh
4. Participants:
a. Dr. Đang Đinh Chau,
b. MS. Nguyen Minh Man,
c. MS. Tong Thanh Trung,
d. MS. Le Huy Tien, Ha Binh Minh,
e. BS. Nguyen Trung Thanh,
f. BS. Du Duc Thang,
g. BS. Hy Duc Manh,
h. BS. Nguyen Truong Thanh,
i. Kieu Thu Linh,
j. Hoang Ngoe Tung
5. Aims and contents ofthe project:
a. Research aims:
- Estabilishing Massera criteria for the existence of almost periodic
solutions of differential equations vvith picewise constant argument.
- Study of conditions for the existence of harmonic oscillations in
neutral functional difference equations
- Applications of the above results to ill-posed evolution equations
associated with C-semigroups.
b. Contents of research:
- Estimating the spectra of bounded solutions of inhomogeneous
equations with piecwise constant argument and then deducing

6.000.000 VND
Seminars & coníerences: 3.350.000 VND
Stationery and others: 3.000.000 VND
Oversea postage, Internet: 1.000.000 VND
Hà Nội, ngày 1/8/2003
Ý kiến của ban chủ nhiệm khoa Chủ tri đề tài
GS.TSKH. Phạm Kỳ Anh PGS.TSKH. Nguyễn Văn Minh
PHAN PHỤ LỤC
Bài báo 1: Nguyen Trung Thanh, “Massera criterion for periodic
solutions of differential equation with piecewise constant argument” đã được
nhận đăng trên tạp chí: Journal of Mathematical Analysis and Applications.
Bài báo 2: Nguyen Van Minh, Nguyen Minh Man, “On the
assymptotic behavior of solutions of neutral delay difference equations”
đang in trong tạp chí: Journaỉ of Science.
Bài báo 3: Nguyên Minh Man, “Almost periodic solutions of evolution
equation associated with C-semigroups: An approach via implicit difference
equations” đang gửi đăng.