Phát triển t duy học sinh thông qua khai thác báitoán bất đẳng thức
Chuyên đề: Phát triển t duy học sinh thông qua khai
thác bài toán bất đẳng thức
Phần I . Đặt vấn đề.
1. Lí do chọn đề tài:
T duy là một hình thức nhận thức lý tính của con ngời. Về mặt tâm lí thì t duy
là quá trình tâm lí phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ
bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tợng trong hiện thực khách quan mà trớc đó
con ngời cha biết.
T duy thể hiện sự phát triển của con ngời trong xã hội. T duy không tự nhiên mà
có mà nó do quá trình rèn luyện lâu dài, muốn t duy phát triển cần đợc rèn luyện th-
ờng xuyên, học các môn khoa học tự nhiên đặc biệt là môn toán phát triển t duy rất tốt.
Lứa tuổi THCS đang phát triển mạnh về mặt t duy nên giáo viên cần quam tâm không
đợc xem nhẹ vấn đề này.
Mỗi dạng bài toán bất đẳng thức có những phơng pháp giải bài tập khác nhau,
tuy nhiên khi làm bài tập về bất đẳng thức, nếu học sinh đợc nhìn ở các góc cạnh khác
nhau thì sẽ hiểu sâu hơn về bài tập bất đẳng thức và hơn nữa tìm đợc cái đẹp của môn
toán. Cái nhìn ở các phơng diện khác nhau chính là cách thay đổi bài toán có thể
thành các bài toán dễ hơn nhng có thể thành các bài toán khó hơn ( đây gọi là phát
triển bài toán ban đầu hay còn gọi khai thác bai toán ban đầu). Khi làm nh vậy thì ý
thức tự học của học sinh sẽ cao hơn, những bài tập khó sẽ trở lên dễ hơn, và quan trọng
nhát là học sinh có đợc tự tin khi giải bài tập và rèn cho mình một phơng pháp tự học
đúng đắn, khoa học.
Trong định hớng đổi mới phơng pháp bậc THCS thì tự học là một yêu cầu quan
trọng đối với học sinh. Tự học giúp học sinh say mê học tập, hiểu sâu kiến thức và
quan trọng hơn là phát triển óc sáng tạo. Vấn đề dặt ra là làm thế nào có thể giúp học
sinh tạo hứng thú trong việc tự học, tìm thấy niềm vui khi học toán. Để làm đợc nh vậy
thì giáo viên phải cung cấp cho học sinh hệ thống bài tập từ dễ đến khó, cho học sinh
nhìn hấy bài toán khó đều bắt đầu từ những bài toán cơ bản. HS cảm thấy bản thân
cũng có thể tạo ra các bài toán tơng tự nh vậy.
Trong thực tế giảng dạy ở trờng THCS , học sinh gặp nhiều khó khăn khi giải

toán học sinh có sự nhìn nhận đánh giá chính xác, sáng tạo khi và tự tin qua gải bài tập
bất đẳng thức đó là phẩm chất của con ngời mới.
3. Kết quả cần đạt.
Các bài tập bất đẳng thức đều dựa trên bài toán cơ bản trong chơng trình nên
mục đích cần hớng đến học sinh trung bình cần làm tốt bài tập cơ bản này.
Sau đó GV phải giúp cho số học sinh đó hiểu đợc một số bài toán phát triển từ
những bài toán cơ bản đó nhng quan trọng hơn giáo viên cần giúp học sinh hớng phát
triển bài toán. Tại sao phải làm nh vậy? Làm nh vậy với mục đích gì? Qua đó giúp các
Lê Quốc Huy GV Trờng THCS Giang Biên Năm học 2008 - 2009
2
Phát triển t duy học sinh thông qua khai thác báitoán bất đẳng thức
em say mê môn toán số học sinh làm đợc điều này không nhiều vì đây là vấn đề khó
cần sự kiên trì và cố gắng của học sinh và GV mặc dù tôi hớng đến 1/4 số học sinh
đạt đợc điều này, có thể học sinh sẽ không tạo ra những dạng thầy đã làm vì vốn kinh
nghiệm của học sinh còn hạn chế GV cần động viên các em tự tin hơn. Việc sáng tạo
đó không những cần có kiến thức vô cùng chắc chắn học sinh cần có sự nhạy cảm của
toán học. Điều này phù hợp với học sinh giỏi nên tôi chỉ áp dụng yêu cầu này trong
quá trình dạy học sinh giỏi. Cho dù học sinh giỏi hay học sinh trung bình khi nhìn bài
bài toán dới góc độ khác nhau thì học sinh sẽ tự tin hơn, thích thú hơn với môn học,
yếu tố quan trọng của quá trình tự học, nó giúp quá trình rèn luyện hình thành t duy
của hoc sinh tốt hơn.
4. Phạm vi nghiên cứu.
Đề tài này đợc viết trong quá trình dạy và học, đợc rút ra từ một số kinh trong
quá trình dạy học ở trờng THCS Tiền Phong và trờng THCS Giang Biên nên đơng
nhiên đối tợng là học sinh đại trà không có nhiều học sinh khá giỏi. Đối tợng chính là
học sinh lớp 9 trờng THCS Giang Biên. Trờng THCS Giang Biên có 3 lớp 9 với 138 HS
nhng chủ yếu là học sinh trung bình và khá, số lợng học sinh giỏi rất ít nên việc đào
tạo bồi dỡng học sinh giỏi gặp rất nhiều khó khăn của trờng. Chính đối tợng học sinh
chiếm chủ yếu là trung bình và khá cộng thêm phạm vi nghiên cứu nhỏ hẹp nên vấn
đề đợc nghiên cứu rất đơn giản, nâng cao từng cấp độ để cho phù hợp với đối tợng học

Trớc vấn đề trên tôi thấy việc cần thiết phải hớng dẫn học sinh một số phơng
pháp chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng của bất đẳng thức là một việc cần
thiết cho học sinh , để giúp học sinh có thêm kiến thức về bất đẳng thức , taođiều kiện
cho học sinh khi làm bài tập về bất đẳng thức ,
3. Các phơng pháp nghiên cứu.
Phơng pháp điều tra
Phơng pháp đối chứng
Phơng pháp nghiên cứu tài liệu.
4. Giải pháp thực hiện
A. Kiến thức cơ bản
Ngay từ lớp 7 học sinh đã biết nhận xét về dấu của một số có luỹ thừa chẵn nắm
đợc tính chất của luỹ thừa bậc hai
Bình phơng hay luỹ thừa bậc hai của mọi số đều không âm
(*)
Dấu = xảy ra khi a = 0.
Lớp 8 học sinh đã đợc làm quen với hằng đẳng thức:
(a - b)
2
=a
2
2ab + b
2

Nếu sử dụng tính chất (*) thì
Lê Quốc Huy GV Trờng THCS Giang Biên Năm học 2008 - 2009
4
a
2
0








y
x
Khai triển và biến đổi chúng ta đớc bài toán sau
Bài toán 1 Chứng minh rằng với mọi x, y ta luôn có:
xy
y
x +
4
2
2
Giải:
0
2
0
44
2
2
2
2
2





Ta nhận thấy (x-y)
2

0, (y-z)
2

0 và ( z-x)
2

0. Nên ta có (x-y)
2
+(y-z)
2
+(z-x)
2

0. Khai
triển bài toán này ta đợc bài toán sau.
Bài toán 3. Chứng minh rằng với mọi x, y z ta luôn có:
xzyzxyzyx ++++
222
Lê Quốc Huy GV Trờng THCS Giang Biên Năm học 2008 - 2009
5
a
b
b
a
+
2 (II)
(a + b)

2
+y
2
-2yz+z
2
+x
2
-2xz+z
2

0

(x-y)
2
+(y-z)
2
+(z-x)
2

0 luôn đúng với mọi x, y, z.
Vậy
xzyzxyzyx ++++
222
Với bài toán này nếu tat hay z=1 thì ta lại có bài toán CMR: x
2
+y
2
+1

xy+x+y

+ b
2
x
2 2axby


a
2
y
2
+ b
2
x
2
+a
2
x
2
+ b
2
y
2
a
2
x
2
+ 2axby + b

- Phơng pháp 1: Dùng định nghĩa : A > B A B > 0.
+ Lập hiệu A B.
+ Chứng tỏ A B > 0.
+ Kết luận A > B.
+ Cách 1 : Xét hiệu : (a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) (ax + by)
2
= a
2
x
2
+ a
2
y
2
+ b
2
x
2
+ b
2
y
2

Lê Quốc Huy GV Trờng THCS Giang Biên Năm học 2008 - 2009
6
Phát triển t duy học sinh thông qua khai thác báitoán bất đẳng thức
Dấu = xảy ra khi
y
x
b
a
=
- Phơng pháp 2 : Phép biến đổi tơng đơng.
+ Biến đổi A > B A
1
> B
1
A
2
> B
2
(*)
+ Vậy A > B.
+ Cách 2 : Ta có (a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) (ax + by)
2

2
x
2
0
(ay bx)
2
0 luôn đúng a, b, x, y.
Dấu = xảy ra khi
y
x
b
a
=
Bất đẳng thức cuối cùng là đúng.
Vậy (a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) (ax + by)
2
- Phơng pháp 3 : Sử dụng bất đẳng thức đã biết
+ Cách 3 : Ta có (ay - bx)
2
0
a
2

2
(cộng 2 vế a
2
x
2
, b
2
y
2
).
(a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) (ax + by)
2
- Phơng pháp 4 : Phơng pháp phản chứng.
+ Giả sử có điều trái với kết luận.
+ Suy ra điều mâu thuẫn với giả thiết hoặc điều đã biết.
+ Giả sử sai kết luận đúng.
+ Cách 4: Giả sử (a
2
+ b
2
)(x
2

2
y
2
2aybx + b
2
x
2
< 0
(ay - bx)
2
< 0. Vô lý
Vậy (a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) (ax + by)
2
Bốn phơng pháp trên thể hiện trong 4 cách giải bài toán 1 là 4 phơng pháp thông
thờng để chứng minh bất đẳng thức.
Lê Quốc Huy GV Trờng THCS Giang Biên Năm học 2008 - 2009
7
Phát triển t duy học sinh thông qua khai thác báitoán bất đẳng thức
ở bài toán 4 này ta cho x=1, y=1 và a=
x21
, b=
x23 +

x
2
+ b
2
y
2
+ c
2
z
2
ta đợc:
a
2
x
2
+a
2
y
2
+a
2
z
2
+b
2
x
2
+b
2
y

(a
2
+ b
2
+ c
2
)(x
2
+ y
2
+ z
2
) (ax + by +cz)
2
Bài toán 5 :
CMR : (a
2
+ b
2
+ c
2
)(x
2
+ y
2
+ z
2
) (ax + by +cz)
2
( BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ 3 số a, b, c và x, y, z).

2
+b
2
y
2
+b
2
z
2
+c
2
x
2
+c
2
y
2
+c
2
z
2
- a
2
x
2
- b
2
y
2
- c

2
+ (az - cx)
2
+ (cy - bz)
2
0
Dấu = xảy ra khi
z
c
y
b
x
a
==
Bằng cách làm tơng tự ta có thể phát triển bài toán BĐT Bunhiacôpxki tổng quát:
(a
2
1
+ a
2
2
+ + a
2
n
)(x
2
1
+ x
2
2

1
Để ý rằng nếu a và x là 2 số nghịch đảo của nhau thì ax = 1 (x =
a
1
)
Từ bài toán 2 ta có thể đặt ra bài toán:
Bài toán 6:
Cho ba số x, y, z là 3 số dơng
Chứng minh rằng: (x + y + z)(
x
1
+
y
1
+
z
1
) 9
Lê Quốc Huy GV Trờng THCS Giang Biên Năm học 2008 - 2009
8
Phát triển t duy học sinh thông qua khai thác báitoán bất đẳng thức
Giải
Theo bài toán 2 (BĐT Bunhiacôpxki):
(x + y + z) (
x
1
+
y
1
+

y
1
+
z
1
) 9.
Nếu cho x+y+z=1 thì chúng ta lại có bài toán sau: Cho ba số x, y, z là 3 số d-
ơng Chứng minh rằng: (
x
1
+
y
1
+
z
1
) 9
Đặt a + b = x; b + c = y; c + a = z ta đợc BĐT:
2(a + b + c)(
ba +
1
+
cb +
1
+
ac +
1
) 9
(
cb

a
+
+
ca
b
+
+
ab
c
+

2
3
Giải
áp dụng bài toán 6 tacó:
(a+b+c+b+c+a)(
ba +
1
+
cb +
1
+
ac +
1
)
)
111
(
ac
ac

ab
c
+
+3) 9

cb
a
+
+
ca
b
+
+
ab
c
+

2
3
(1)
Ta tiếp tục khai thác bài toán 4.3 theo 2 bớc sau:
- Bớc 1 : Nhân 2 vế của (1) với a+b+c > 0.
Lê Quốc Huy GV Trờng THCS Giang Biên Năm học 2008 - 2009
9
Phát triển t duy học sinh thông qua khai thác báitoán bất đẳng thức
(a + b + c)(
ba
a
+
+

Bài toán 8 :
Cho a, b, c là 3 số dơng
CMR:
cb
a
+
2
+
ca
b
+
2
+
ab
c
+
2

2
cba ++
Chứng minh bài toán 8 ta có thể dẫn từ bài toán 5 theo hớng khai thác để đi đến
kết quả.
áp dụng bất đẳng thức bài toán 4.2
[(
2
)
cb
a
+
+ (

b
cb
cb
a
+
+
++
+
++
+
2(a + b + c)(
cb
a
+
2
+
ca
b
+
2
+
ab
c
+
2
) (a + b + c)
2

cb
a

+
ac
b
+
2
+
ab
c
+
2

2
3
(2)
Giải
Theo bài toán 8
cb
a
+
2
+
ac
b
+
2
+
ab
c
+
2


2
3
Nh vậy từ tính chất về luỹ thừa bậc hai ta đã khai thác đợc chùm bài toán từ dễ
đến khó hoặc rất khó mặt khác cũng rèn luyện t duy sáng tạo của học sinh.
II/.Khai thác bất đẳng thức II.
a
b
b
a
+
2
Đặt
0>= x
b
a
thì
.
1
xa
b
=
Ta có ngay bài toán:
Bài toán 1:
Cho số dơng x.
Chứng minh rằng: x +
x
1
2.
Khai thác bài toán 1 ta thấy: x.

+ b
2
+ c
2
+ d
2
2ab + 2cd
Liên kết với bài toán 9 ta có: a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
2(ab + cd) 4
Bài toán 3:
Cho a, b, c, d là 4 số dơng thoả mãn abcd=1
CMR: : a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
4
Tiếp tục liên kết bài toán 2 và 3 ta có:
Bài toán 4:
Cho a, b, c, d là 4 số dơng thoả mãn abcd=1

1
bc
+ (bd +
)
1
bd
2 + 2 + 2 = 6 (Bài toán 9)
Mà a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
4 (bài toán 10)

a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ ab + cd + ac + bd 10
Dấu = xảy ra khi a = b = c = d
ở bài toán 1 nếu ta thay x= a
2
-a+1 thì chúng ta có bài toán sau.

4
2
2
+
+
aa
aa
Theo bài toán 5 ta có: B=
1
1
4
2
2
+
+
aa
aa
=
3525)
1
1
1(
2
2
=
+
++
aa
aa
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là -3 khi đó a= 0 và a=1

1
+
b
1

ba +
4
Giải
Xét hiệu
a
1
+
b
1
-
ba +
4
=
)(
4)()(
baab
abbabbaa
+
+++
=
( )
)
2)(
baab
ba

cb +
4c
1
+
a
1

ac +
4
Do đó nếu cộng theo vế của 3 BĐT trên ta đợc:
ba +
1
+
cb +
1
+
ac +
1

(
2
1
+
a
1

+

1
c
Giải
Theo bài toán 2:
ba +
1

(
4
1
+
a
1

b
1
)
cb +
1

(
4
1
+
b
1

c
1
)

+
b
1

)
1
c
Dấu = xảy ra khi a=b=c
Khai thác bài toán 3 bằng cách :
+ Đặt a= x + y; b= y + z; c= z + x
Lê Quốc Huy GV Trờng THCS Giang Biên Năm học 2008 - 2009
13
Phát triển t duy học sinh thông qua khai thác báitoán bất đẳng thức
=
a
1

yx +
1

(
4
1
x
1
+
y
1
)
=

+ Thêm điều kiện :
+
x
1

y
1
+
z
1
= 4
Ta hình thành bài toán 4 là một BĐT đã là một bài thi đại học khối. Điều này càng
chứng tỏ việc học sinh nắm chắc kiến thức ngay từ lớp dới là vô cùng quan trọng.
Bài toán 4:
Cho x, y, z là các số dơng thoả mãn:
+
x
1

y
1
+
z
1
= 4
CMR:
zyx ++2
1
+
zyx ++ 2

+
y
1
+
z
1
+
z
1
)
Tơng tự:
zyx ++ 2
1

16
1
(
x
1
+
y
1
+
z
1
+
z
1
)
zyx 2

1
. 4 (
+
x
1

y
1
+
z
1
)
Mà
+
x
1

y
1
+
z
1
= 4
Vậy
zyx ++2
1
+
zyx ++ 2
1
+

(
y
1
+
z
1
) =
x8
1
+
y16
1
+
z16
1
Tơng tự:
Lê Quốc Huy GV Trờng THCS Giang Biên Năm học 2008 - 2009
14
Phát triển t duy học sinh thông qua khai thác báitoán bất đẳng thức
zyx ++ 2
1

x16
1
+
y8
1
+
z16
1

1
+
z
1
)=1
Vậy
zyx ++2
1
+
zyx ++ 2
1
+
zyx 2
1
++
1
Khai thác bài toán 4 bằng cách đặt vào tam giác ta có:
Bài toán 5:
Xét tam giác ABC có: BC = a, CA = b, AB = c, chu vi a+b+c = 2p không đổi.
CMR:
cba
ab
2++
+
cba
bc
++2
+
cbc
ac

4
1
(
ba
bc
+
+
ca
bc
+
)
cba
ac
++ 2

4
1
(
ab
ca
+
+
ba
ca
+
)
Cộng theo vế của 3 BĐT ta đợc:
cba
ab
2++

+
+
ba
ca
+
) =
4
1
(a + b + c) =
4
1
.2p =
2
p
Dấu = xảy ra khi ABC đều có a = b =c =
3
2 p
Tiép tục khai thác bải toán trong tam giác về mối quan hệ giữa cạnh của tam giác và
chu vi của nó ta có:
Bài toán 6
Trong ABC có chu vi a + b +c = 2p ( a, b, c là độ dài 3 cạnh ).
CMR :
ap
1
+
bp
1
+
cp
1

1

)()(
4
bpap +
=
c
4
bp
1
+
cp
1

a
4
cp
1
+
ap
1

b
4
Cộng theo vế của bất đẳng thức ta có :
ap
1
+
bp
1

làm từ dễ đến khó ,kết hợp ôn tập , giao bài tập về nhà , kiểm tra học sinh
Sau khi hớng đẫn xong nội dung chuyên đề cần chỉ cho học sinh những kiến
thức cần thiết , đồng thời rèn luyện những kỹ năng làm bài tập cho học sinh Cần đa
nội dung vào giờ dạy cho phù hợp ,tránh dồn ép học sinh tiếp nhận kiến thức một cách
thụ động mà đạt kết quả không mong muốn
Lê Quốc Huy GV Trờng THCS Giang Biên Năm học 2008 - 2009
16
Phát triển t duy học sinh thông qua khai thác báitoán bất đẳng thức
Các bài tập về bất đẳng thức thờng là tơng đối khó đối với học sinh , nhng khi
hớng dẫn học sinh xong đề tài ,học sinh sẽ thấy rằng việc làm bài toán về bất đẳng
thức sẽ rễ hơn . Đồng thời đứng trớc bài toán khó cho dù ở dạng bài tập nào học sinh
cũng có hớng suy nghĩ và tập suy luận , các em sẽ có tự tin hơn .
Nhìn vào kết quả thu đợc ta có thể khẳng định đổi mới phơng pháp dạy giải toán
khai khác mở rộng hay tơng tự là việc rất cần thiết để nâng cao chất lợng giáo dục toàn
diện cho HS. Phơng pháp dạy học này rất phù hợp với đặc điểm tâm sinh lý lứa tuổi
của HS, có thể vận dụng sáng tạo, linh hoạt không những đối với môn toán mà còn có
hiệu quả đối với tất cả các môn học.
Mong rằng chuyên đề này chỉ là một hớng nhỏ, một cách làm nhỏ của tôi khi dạy
học sáng tạo và hiệu quả Đó là phơng châm của ngời học toán.
2.Kiến nghị đề xuất.
a) Về sách giáo khoa , vở bài tập.
Cần có hệ thống bài tập tơng tự, mở rộng , khái quát bài toán hoặc có thể hớng
dẫn học sinh mở rộng phát triển bài toán.
b) Phơng pháp.
Tổ chức các chuyên đề dạy toán đặc biệt tiết luyện tập, ôn tập từ cấp phòng
xuống cấp cụm rồi đến cấp trờng thờng xuyên rút kinh nghiệm, tổ chức thực hiện
đổi mới phơng pháp theo hớng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.
Trên đây là một số ý kiến của bản thân trong việc đổi mới phơng pháp dạy học
nhằm nâng cao chất lợng dạy giải toán. Do tuổi đời , tuổi nghề, kinh nghiệm, trình độ
lý luận còn hạn chế các vấn đề tôi trình bày chắc chắn không tránh khỏi những thiếu

xuyên môn toán ( Quyển
2)
- Lê Văn Hồng
- Phạm Đức Quang

Giáo dục 2007
2. Danh sách cách sáng kiến đã viết
STT Tên sáng kiến Xếp loại Năm học
1 Một phơng pháp chia hết B 2004-2005
2 ứng dụng của một hằng đẳng thức B 2005-2006
3 ứng dụng của hệ thức Viét B 2006-2007
4
Làm quen phơng pháp khai thác bài toán thông
qua bài toán tỉ lệ thức
B 2007-2008
Trờng thcs giang biên
Lê Quốc Huy GV Trờng THCS Giang Biên Năm học 2008 - 2009
18
Phát triển t duy học sinh thông qua khai thác báitoán bất đẳng thức
cộng hoà x hội chủ nghĩa việt namã
độc lập tự do hạnh phúc
bản cam kết
i/ tác giả
họ tên: Lê Quốc Huy
sinh ngày: 16/08/1979
đơn vị: trờng thcs giang biên vĩnh bảo hải phòng
điện thoại : 01685246787
II/ Sản phẩm
Phát triển t duy của học sinh thông qua khai thácbài toán bất đẳng thức
III/ Cam kết

Mục lục Trang 20
Nhận xét đánh giá của hội đồng thẩm định trờng THCS Giang Biên:
Lê Quốc Huy GV Trờng THCS Giang Biên Năm học 2008 - 2009
20
Phát triển t duy học sinh thông qua khai thác báitoán bất đẳng thức
Nhận xét, đánh giá của phòng giáo dục huyện Vĩnh Bảo
Lê Quốc Huy GV Trờng THCS Giang Biên Năm học 2008 - 2009
21