1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
BÁO CÁO LUẬN VĂN THẠC SỸ
Đề tài: “Một số quy trình xử lý thông tin mờ ứng
dụng vào bài toán ra quyết định tập thể”
Học viên thực hiện: Đoàn Văn Võ
GV hướng dẫn: PGS.TSKH Bùi Công Cường2
MỤC LỤC
Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt 5
MỞ ĐẦU 7
CHƢƠNG 1 8
TỔNG QUAN VỀ VIỆC RA QUYẾT ĐỊNH VÀ LOGIC MỜ 8
1.1 Tầm quan trọng của việc ra quyết định đối với các nhà quản lý. 8
1.2 Quá trình ra quyết định dựa vào máy tính 12
1.3 Mô hình hoá và các mô hình 12
1.4 Tập mờ và logic mờ 14
1.4.1 Tập mờ: 14
1.4.1.1 Định nghĩa tập mờ: 14
1.4.1.2 Các phép toán đại số trên tập mờ 15
1.4.1.3 Số mờ 15
1.4.2 Logic mờ và một số phép toán cơ bản 16
1.4.2.1 Logic mờ 16
1.4.2.2 Một số phép toán cơ bản của logic mờ 17
CHƢƠNG 2 19
TOÁN TỬ TRUNG BÌNH TRỌNG SỐ CÓ SẮP XẾP 19
2.1 Định nghĩa và một số tính chất 19
2.1.1 Định nghĩa toán tử OWA 19

3.3.1.3 Quy tắc tính trọng số cho toán tử LOWA 47
3.3.2 Thông tin ngôn ngữ có trọng số 50
3.4 Mức độ lựa chọn của các phƣơng án 51
3.4.1 Độ ƣu thế ngôn ngữ đƣợc chỉ ra bằng định lƣợng 52
3.4.2 Độ không ƣu thế ngôn ngữ đƣợc chỉ bằng định lƣợng 53
3.4.3 Cách sử dụng các mức độ lựa chọn của các phƣơng án 53
3.5 Các hƣớng tiếp cận khác nhau để đƣa ra quyết định nhóm không đồng nhất
diễn đạt bằng ngôn ngữ 54
3.5.1 Phƣơng pháp tiếp cận trực tiếp 57
3.5.1.1 Quá trình lựa chọn trực tiếp đƣợc chỉ dẫn bởi độ ƣu thế 57
3.5.1.2 Quá trình lựa chọn trực tiếp đƣợc chỉ ra bởi độ không ƣu thế 59
3.5.2 Phƣơng pháp tiếp cận gián tiếp 60
3.5.2.1 Quá trình lựa chọn gián tiếp đƣợc chỉ ra bởi độ ƣu tiên 60
3.5.2.2 Quá trình lựa chọn gián tiếp đƣợc chỉ ra bởi độ không ƣu thế 62
3.5.3 Quá trình lựa chọn kết hợp 63
3.5.3.1 Quá trình lựa chọn liên kết 64
3.5.3.2 Quá trình lựa chọn tuần tự 64
3.5.4 Cách sử dụng các quá trình lựa chọn 66
3.5.4.1 Quá trình dựa trên độ ƣu thế đối với quá trình dựa trên độ không
ƣu thế. 66
3.5.4.2 Quá trình trực tiếp đối với các quá trình gián tiếp 67
3.5.4.3 Các quá trình liên kết so với các quá trình tuần tự 67 4
CHƢƠNG 4 68
BÀI TOÁN ÁP DỤNG 68
4.1 Quá trình lựa chọn đầy đủ theo phƣơng pháp tiếp cận trực tiếp 68
4.1.1 Quá trình lựa chọn trực tiếp đƣợc chỉ ra bởi độ ƣu thế 68
4.1.2 Quá trình lựa chọn trực tiếp đƣợc chỉ ra bởi độ không ƣu thế 69


5
Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt
Ký hiệu/chữ viết
tắt
Tiếng Anh
Nghĩa Tiếng Việt
FL
Fuzzy logic
Logic mờ
OWA
Ordered weighted averaging
operator
Toán tử trung bình trọng số
có sắp xếp
IOWA
Induced ordered weighted
averaging operator

LOWA
Linguistic ordered weighted
averaging operator
Toán tử trung bình trọng số
có sắp xếp ngôn ngữ

operator
Toán tử lấy trung bình trọng
số ngôn ngữ
QGLDD
Quantifier guieded linguistic
dominance degree
Độ ưu thế ngôn ngữ được
chỉ ra bởi định lượng
IQGLDD
Individual Quantifier guieded
linguistic dominance degree
Độ ưu thế ngôn ngữ được
chỉ ra bởi định lượng riêng
lẻ
AQGLDD
Aggregated quantifier guided
linguistic dominance degree
Độ ưu thế ngôn ngữ được
chỉ ra bởi định lượng chung 6

QGLNDD
Quantifier guieded linguistic
non-dominance degree
Độ không ưu thế ngôn ngữ
được chỉ ra bởi định lượng
CQGLDD
Collective quantifier guided

linguistic dominance degree
Độ ưu tiên ngôn ngữ được
chỉ ra bởi định lượng chung
CD
+
Satisfactory consensus degree
Độ nhất trí thoả mãn
CD
-
Non- satisfactory consensus
degree
Độ nhất trí không thoả mãn

7
MỞ ĐẦU
Thông thƣờng khi xem xét, đánh giá các dự án trƣớc tiên ngƣời ta quan tâm
tới một số chỉ tiêu định lƣợng. Ví dụ nhƣ, tổng vốn đầu tƣ, thời gian hoàn vốn,
Bên cạnh các chỉ tiêu định lƣợng, chẳng hạn nhƣ các dự án về công nghệ thông tin
ngƣời ta còn quan tâm đến các chỉ tiêu định tính nhƣ: độ may rủi, tính khả thi, độ
tƣơng thích,… đã có những Hội đồng mong muốn các cố vấn cho đánh giá bằng số
về các chỉ tiêu định tính này. Chẳng hạn họ muốn các chuyên gia phát biểu dƣới
dạng: ―Độ khả thi của dự án A này là 50%‖ hoặc ―Độ may rủi của dự án B này là
10%‖, đây là một mong muốn khó có thể thực hiện đƣợc một cách nghiêm túc. Một
cách tiếp cận khoa học, khách quan tƣơng đối dễ thực hiện là để các chuyên gia

nhƣ đầu vào và kết quả của mục tiêu đƣợc coi nhƣ đầu ra của quá trình. Nhà quản
lý giám sát quá trình này nhằm tối ƣu nó.
Ngày nay, công nghệ thông tin bùng nổ, nhà quản lý nhất thiết phải sử dụng các
công nghệ hiện đại hỗ trợ cho công viêc, trong đó, máy tính là một công cụ thiết
thực. Để hiểu làm thế nào các máy tính hỗ trợ nhà quản lý, điều cần thiết trƣớc tiên
là phải biết nhà quản lý làm gì. Họ làm nhiều thứ phụ thuộc vào vị trí của họ trong
doanh nghiệp, loại hình và quy mô của doanh nghiệp, các cơ chế chính sách và văn
hóa của doanh nghiệp và những cá tính của bản thân các nhà quản lý. Năm 1973,
nhà nghiên cứu Mintzborg đã phân chia vai trò của nhà quản lý thành ba loại: Giữa
các cá nhân với nhau (lãnh đạo danh dự, ngƣời lãnh đạo, mối liên hệ); thông tin
(ngƣời giám sát, truyền bá, ngƣời phát ngôn) và quyết định (ngƣời chủ hãng, ngƣời
giải quyết vấn đề, ngƣời phân phối nguồn lực, ngƣời đàm phán). Năm 2001,
Mintzberg và Wostlay cũng phân tích vai trò của những ngƣời ra quyết định trong
thời đại thông tin.
Những hệ thống thông tin thời kỳ đầu chủ yếu hỗ trợ vai trò thông tin. Tuy nhiên,
trong một vài năm gần đây, hệ thống thông tin đã phát triển, hỗ trợ cho cả 3 vai trò
trên. Sau đây, chúng ta chủ yếu xem xét sự hỗ trợ mà IT cung cấp cho vai trò quyết
định. Chúng ta chia công việc của nhà quản lý, trong trƣờng hợp nó liên quan đến 9
vai trò quyết định thành 2 giai đọan; giai đọan I là xác định các vấn đề và/hoặc cơ
hội; giai đọan II là quyết định sẽ làm gì với chúng.
Ra quyết định và giải quyết vấn đề. Một quyết định chỉ sự lựa chọn giữa hai hoặc
nhiều phƣơng án thay thế nhau. Các quyết định rất đa dạng và đƣợc thực hiện liên
tục bởi các cá nhân và tập thể. Các mục đích của việc ra quyết định trong các tổ
chức, doanh nghiệp đƣợc chia thành hai nhóm chủ yếu: Giải quyết vấn đề và khai
thác cơ hội.
Trong mỗi trƣờng hợp nhà quản lý phải ra quyết định, khả năng đƣa ra các quyết
định dứt khoát đƣợc xếp là quan trọng nhất trong một nghiên cứu do Harbridge

bắt nguồn từ những đổi mới về công nghệ, thông tin liên lạc đƣợc nâng cấp, phát
triển của thị trƣờng toàn cầu và việc sử dụng Internet và kinh doanh điện tử. Một
vấn đề mấu chốt để ra quyết định đúng là khám phá và so sánh nhiều phƣơng án
thay thế thích hợp. Càng có nhiều phƣơng án thay thế thì càng cần đến những tìm
kiếm và so sánh có sự hỗ trợ của máy tính.
• Nhiều quyết định phải đƣợc tạo ra dƣới sức ép về thời gian. Thông thƣờng, không
thể xử lý bằng thủ công những thông tin cần thiết một cách đủ nhanh để có hiệu
quả.
Do sự không ổn định và hay dao động gia tăng trong môi trƣờng quyết định nên
cần thƣờng xuyên tiến hành phân tích phức tạp nhằm tạo ra những quyết định đúng.
Những phân tích nhƣ vậy thƣờng đòi hỏi sử dụng mô hình hoá toán học. Xử lý các
mô hình bằng thủ công có thể mất nhiều thời gian.
Nhiều khi cần phải tiếp cận nhanh chóng với những thông tin từ xa, tham khảo ý
kiến chuyên gia hoặc có hội thảo ra quyết định nhóm, tất cả đều không có nhiều chi
phí. Những ngƣời ra quyết định có thể ở các địa phƣơng khác nhau và thông tin
cũng vậy. Tập hợp những ngƣời ra quyết định và thông tin lại với nhau một cách
nhanh chóng và không tốn kém tiền của là một nhiệm vụ không mấy dễ dàng.
Những xu hƣớng này tạo ra khó khăn trong việc ra quyết định, nhƣng phân tích
bằng điện toán có thể là một sự trợ giúp khổng lồ. Ví dụ một hệ thống trợ giúp
quyết đinh (DSS) có thể kiểm tra một số lƣợng lớn các phƣơng án thay thế rất
nhanh chóng, cung cấp sự phân tích rủi ro một cách có hệ thống, có thể tích hợp với
các hệ thống thông tin và cơ sở dữ liệu và có thể sử dụng để hỗ trợ công việc nhóm
và tất cả những điều này có thể thực hiện với chi phí khá thấp. Cách thức thực hiện
tất cả những điều này sẽ đƣợc nêu ở phần sau.
Sự phức tạp của các quyết định. Các quyết định đƣợc sắp xếp từ đơn giản đến rất
phức tạp, bao gồm một chuỗi các quyết định nhỏ hơn có liên hệ với nhau. 11
Công việc của nhà quản lý có thể tự động hoàn toàn đƣợc không? quá trình ra quyết

1.2 Quá trình ra quyết định dựa vào máy tính
Khi ra quyết định dù mang tính tổ chức hay cá nhân, ngƣời ra quyết định phải trải
qua một quá trình có tính khá hệ thống. Nhà nghiên cứu Simon mô tả quá trình này
bao gồm ba giai đọan chính: Sự hiểu biết, thiết kế và lựa chọn. Giai đọan bốn là
thực hiện sau đó đã đƣợc bổ sung thêm.
Quá trình ra quyết định bắt đầu với giai đoạn nhận thức (sự hiểu biết), ở đó, nhà
quản lý nghiên cứu tình huống, phát hiện và xác định vấn đề. Trong giai đoạn thiết
kế, ngƣời ra quyết định xây dựng một mô hình đơn giản hóa vấn đề. Điều này đƣợc
thực hiện bằng cách tạo ra những giả thiết đơn giản hóa thực tế và bằng cách biểu
diễn mối quan hệ giữa tất cả các biến (số). Mô hình sau đó sẽ đƣợc xác định hiệu
lực và ngƣời ra quyết định lập ra các tiêu chí để đánh giá những giải pháp tiềm
năng đƣợc phát hiện. Quá trình này đƣợc lặp lại cho mỗi quyết định con trong
những tình huống phức tạp. Đầu ra của mỗi quyết định con là đầu vào của quyết
định chính.
1.3 Mô hình hoá và các mô hình
Một mô hình (trong việc ra quyết định) là một sự biểu hiện đƣợc đơn giản hóa hoặc
sự trừu tƣợng hoá thực tế. Nó thƣờng đƣợc đơn giản hóa bởi vì thực tế quá phức
tạp để có thể sao chép chính xác và do phần lớn những phức tạp này thực sự không
phù hợp với những vấn đề cụ thể. Với mô hình hoá, chúng ta có thể thực hiện
những thí nghiệm thực tế và phân tích một mô hình chứ không phải bản thân thực
tế. Những lợi ích của mô hình hoá trong việc ra quyết định là:
- Chi phí của thí nghiệm ảo thấp hơn nhiều so với chi phí thí nghiệm đƣợc tiến
hành với hệ thống thực.
- Các mô hình cho phép nén thời gian một cách mô phỏng. Các năm của quá trình
hoạt động có thể đƣợc mô phỏng bằng giây theo thời gian của máy tính. Việc
xử lý mô hình (bằng cách thay đổi các biến số) dễ dàng hơn nhiều so với việc
xử lý hệ thống thực. Bởi vậy, dễ tiến hành thí nghiệm hơn và không ảnh hƣởng
gì đến hoạt động hàng ngày của một doanh nghiệp. Chi phí của việc mắc sai
lầm trong quá trình vừa làm vừa sửa thực tế nhiều hơn nhiều so với khi sử dụng
mô hình trong các thí nghiệm ảo.

trong các hệ thống hỗ trợ quyết định.
Mô hình trí tuệ: Ngoài ba mô hình đã mô tả ở trên, mọi ngƣời thƣờng sử dụng một
mô hình trí tuệ hành vi. Một mô hình trí tuệ cung cấp sự mô tả chủ quan về một
ngƣời nghĩ nhƣ thế nào về một tình huống. Mô hình này bao gồm lòng tin, giả 14
thuyết, mối quan hệ và dòng chảy của công việc theo nhận thức của một cá nhân.
Chẳng hạn mô hình trí tuệ của một nhà quản lý có thể nói rằng nên đề bạt ngƣời lao
động lớn tuổi thay cho ngƣời lao động trẻ hơn và chính sách đó sẽ đƣợc phần lớn
ngƣời lao động ƣa thích hơn. Mô hình trí tuệ vô cùng có lợi trong tình huống mà
chỉ cần quyết định thông tin nào là quan trọng.
Việc sử dụng mô hình trí tuệ thƣờng là bƣớc đầu tiên trong mô hình hoá. Khi ngƣời
ta đã nhận thức đƣợc một tình huống, họ có thể mô hình hoá tình huống đó một
cách chính xác hơn bằng cách sử dụng một dạng mô hình khác. Các mô hình trí tuệ
có thể thƣờng xuyên thay đổi, vì vậy rất khó có thể dẫn chứng bằng tƣ liệu. Chúng
quan trọng không chỉ đối với việc ra quyết định mà còn đối với sự tƣơng tác giữa
con ngƣời và máy tính.
1.4 Tập mờ và logic mờ
1.4.1 Tập mờ:
Các tập mờ hay tập hợp mờ là một mở rộng của lý thuyết tập hợp cổ điển và đƣợc
dùng trong lôgic mờ. Trong lý thuyết tập hợp cổ điển, quan hệ thành viên của các
phần tử trong một tập hợp đƣợc đánh giá theo kiểu nhị phân theo một điều kiện rõ
ràng — một phần tử hoặc thuộc hoặc không thuộc về tập hợp. Ngƣợc lại, lý thuyết
tập mờ cho phép đánh giá từ từ về quan hệ thành viên giữa một phần tử và một tập
hợp; quan hệ này đƣợc mô tả bằng một hàm liên thuộc (hàm thành viên) [0, 1].
Các tập mờ đƣợc coi là một mở rộng của lý thuyết tập hợp cổ điển là vì, với một
đối tƣợng nhất định, một hàm liên thuộc có thể giữ vai trò của một hàm đặc trƣng
ánh xạ mỗi phần tử tới một giá trị 0 hoặc 1 nhƣ trong khái niệm cổ điển.
1.4.1.1 Định nghĩa tập mờ:

A
(x)] = 1
Ví dụ:
Tập mờ B, liệt kê theo ký hiệu mờ chuẩn là B = {0.3/3, 0.7/4, 1/5, 0.4/6}, có nghĩa
rằng giá trị của hàm liên thuộc cho phần tử 3 là 0,3, cho phần tử 4 là 0,7, v.v Lƣu
ý rằng các giá trị với độ liên thuộc bằng 0 không đƣợc liệt kê trong biểu diễn tập
hợp. Ký hiệu chuẩn cho độ liên thuộc của phần tử 6 trong tập B là μ
B
(6) = 0,4.
1.4.1.2 Các phép toán đại số trên tập mờ
Cho A, B là hai tập mờ trên không gian nền X, có các hàm thuộc 
A
, 
B
. Khi
đó phép hợp , phép giao , và phép lấy phần bù của tập A là ba tập mờ trên
không gian nền X với hàm thuộc đƣợc xác định nhƣ sau:

AB
(x) = max {
A


1.0

0.0 Tập cổ điển

Tập mờ

Hàm thuộc

Hình 1 16
1.4.2 Logic mờ và một số phép toán cơ bản
1.4.2.1 Logic mờ
Lôgic mờ (tiếng Anh: Fuzzy logic) đƣợc phát triển từ lý thuyết tập mờ để thực hiện
lập luận một cách xấp xỉ thay vì lập luận chính xác theo lôgic vị từ cổ điển. Lôgic
mờ có thể đƣợc coi là mặt ứng dụng của lý thuyết tập mờ để xử lý các giá trị trong
thế giới thực cho các bài toán phức tạp.
Ngƣời ta hay nhầm lẫn mức độ đúng với xác suất. Tuy nhiên, hai khái niệm này
khác hẳn nhau; độ đúng đắn của lôgic mờ biểu diễn độ liên thuộc với các tập đƣợc
định nghĩa không rõ ràng, không phải khả năng xảy ra một biến cố hay điều kiện
nào đó. Để minh họa sự khác biệt, xét tình huống sau: A đang đứng trong một ngôi
nhà có hai phòng thông nhau: phòng bếp và phòng ăn. Trong nhiều trƣờng hợp,
trạng thái của A trong tập hợp gồm những thứ "ở trong bếp" hoàn toàn đơn giản:
hoặc là anh ta "trong bếp" hoặc "không ở trong bếp". Nhƣng nếu A đứng tại cửa
nối giữa hai phòng thì sao? Anh ta có thể đƣợc coi là "có phần ở trong bếp". Việc

mờ.
Định nghĩa 1.9: Hàm T: [0, 1] x [0, 1]  [0, 1] là một t - chuẩn (t- norm) nếu thoả
mãn các điều kiện sau:
a) T(1, x) = x, với mọi x  [0, 1]
b) T có tính chất giao hoán, tức là T(x, y) = T(y, x) với mọi x, y  [0, 1]
c) T không giảm theo nghĩa T(x, y)  T(u, v), với mọi x  u, y  v.
d) T có tính kết hợp: T(x, T(y, z)) =T(T(x, y), z) với mọi x, y, z [0, 1]
Ví dụ:
- Dạng Min: T(x, y) = min(x, y)
- Dạng tích: T(x, y) = xy
- Dạng Lukasiewiez: T(x, y) = max{x + y -1, 0}
 Phép tuyển :
Phép tuyển hay toán tử logic OR (disjunction) thông thƣờng cần thoả mãn các
tiên đề sau:
Định nghĩa: Hàm S: [0, 1] x [0, 1]  [0, 1] gọi là phép tuyển (OR suy rộng) hay t -
đối chuẩn (t – conorm) nếu thoả mãn các tiên đề sau:
a) S(0, x) = x với mọi x[0, 1]
b) S có tính giao hoán S(x, y) = S(y, x) với mọi x, y [0, 1] 18
c) S không giảm theo nghĩa S(x, y)  S(u, v) với x  u và y  v,
x, y, u, v[0, 1]
d) S có tính kết hợp S(x, S(y, z)) = S(S(x, y), z) với mọi x, y, z [0, 1]
Ví dụ:
- S(x, y ) = max(x, y)
- S(x, y ) = x+y –xy
- S(x, y) = min(x +y, 1)
Định lý: Cho N là một phép phủ định mạnh, T là một t - chuẩn, khi đó hàm S xác
định trên đoạn [0, 1] x [0, 1] bằng biểu thức: S(x, y) = N(T(Nx, Ny))


19
CHƢƠNG 2
TOÁN TỬ TRUNG BÌNH TRỌNG SỐ CÓ SẮP XẾP

R. Yager đã định nghĩa toán tử trung bình trọng số có sắp xếp – OWA. Tiếp
theo tác giả cùng nhiều nhà nghiên cứu đã trình bày hàng loạt khả năng sử dụng
những toán tử này vào các bài toán khác nhau. Gần đây, 1996 Herrera và các cộng
sự đã đƣa vào lớp toán tử tích hợp ngôn ngữ dựa vào OWA và bắt đầu ứng dụng
trong các bài toán quyết định tập thể.
2.1 Định nghĩa và một số tính chất
Quá trình tích hợp thông tin xuất hiện trong rất nhiều ứng dụng của các hệ tri
thức, ví dụ tích hợp trong mạng nơron, điều khiển mờ, hệ chuyên gia và hệ hổ trợ
quyết định, đặc biệt trong các bài toán phải xử lý những thông tin bất định. Y.
Yager đã giới thiệu một toán tử tích hợp mới đặt cơ sở trên toán tử trung bình có
sắp xếp OWA. Toán tử OWA này chỉ định nghĩa trên các vectơ số thực, tuy nhiên
chúng ta sẽ thấy toán tử này có thể suy rộng để phát huy thế mạnh của nó trong các
hệ tri thức.
Toán tử OWA thực chất đã cung cấp các toán tử kết hợp (loại phép toán lấy
trung bình) nằm giữa hai phép toán logic ―phép tuyển – OR‖ và ―phép hội – AND‖.
2.1.1 Định nghĩa toán tử OWA
Cho vectơ trọng số w = [w
1
, w
2
,… , w
n
]
T
, các trọng số w

, vectơ a = (0.3, 0.5, 0.7, 0.2),
vectơ b là vectơ a mà các thành phần đƣợc sắp sếp theo chiều giảm dần, vectơ b sẽ
là b = (0.7, 0.5, 0.3, 0.2) và nhƣ vậy: F(a) = 0.3*0.7 + 0.4*0.5+ 0.1*0.3+0.2*0.2 =
0.48 20
Ý nghĩa cơ bản của toán tử này là sắp xếp lại, nghĩa là phần tử cần tích hợp a
i

không kết hợp với trọng số w
i
mà một trọng số sẽ kết hợp với một vị trí tƣơng ứng
của tập các phần tử tích hợp sau khi đƣợc sắp xếp.
Sự khác nhau của toán tử OWA đƣợc phân biệt bởi các trọng số này.
Để minh hoạ, chúng ta xét một số trƣờng hợp đặc biệt.
1) F* : trong trƣờng hợp w = w* = [1, 0,…., 0]
T

2) F
*
: trong trƣờng hợp w = w
*
= [0,… ,0,1]
T

3) F
Ave
: trong trƣờng hợp w = w
Ave

) =

i
i
a
n
1

2.1.2 Một số tính chất của toán tử OWA
 Tính chất 1: Đối với toán tử OWA – F
Ta luôn có tính chất:
F
*
(a
1
, …, a
n
)  F(a
1
, …, a
n
)  F*(a
1
, …, a
n
)
Chứng minh:
Đặt b
min
= min

 0
 b
min


j
jj
bw
 b
max
vì


j
j
w 1
hay
F
*
(a
1
, …, a
n
)  F(a
1
, …, a
n
)  F*(a
1
, …, a

1
,….,c
n
) . Trong đó toán tử OWA – F có trọng số cố định w
 Tính luỹ đẳng
Nếu a
i
= a với i thì F(a
1
,…, a
n
) = a
Nhận xét: Từ 4 tính chất trên ta thấy toán tử OWA có những tính chất kết hợp cơ
bản nhƣ một toán tử trung bình.
2.1.3 Hai độ đo quan trọng gắn với toán tử OWA
2.1.3.1 Định nghĩa độ phân tán hay entropy
Độ phân tán hay entropy của vectơ w đƣợc xác định bởi:
Disp(w) = -

i
ii
ww ln
.
Khi sử dụng toán tử OWA nhƣ là một toán tử trung bình (sử dụng F
Ave
) thì
Disp(w) = ln(n) chính là mức độ khi ta sử dụng tất cả các phần tử tích hợp bằng
nhau, khi đó giá trị độ đo là lớn nhất. Còn các trƣờng hợp F* và F
*,
thì độ phân tán

22
2.1.3.3 Định lý
Nếu w và w’ là hai vectơ OWA có n thứ nguyên và với  > 0, i  j, j< k có:
a) w
i
= w
i
’ i  j, k
b) w
j
= w’
j
+
c) w
k
= w’
k
- 
thì orness(w) > orness(w’)
Chứng minh:
orness(w) =




n
i

i
win
n
1
)(
1
1
+
 )()( knjn
= orness(w) + (k-j) > orness(w) vì k – j >0
và  > 0 
Định lý này chỉ ra rằng nếu chúng ta chuyển trọng số của vectơ w lên thì chúng ta
sẽ làm tăng orness, khi chuyển trọng số xuống thì làm giảm orness.
2.2 Đối ngẫu của toán tử OWA
2.2.1 Định nghĩa toán tử đối ngẫu:
F’ gọi là đối ngẫu (dual) của toán tử OWA- F, nếu nó là một toán tử OWA cùng
thứ nguyên với trọng số w’
i
= w
n+i+1

Có thể thấy rằng nếu F và F’ là một cặp đối ngẫu thì:
i) Disp(w’) = Disp(w)
ii) Orness(w’) = 1- orness(w)
Do vậy nếu F là giống tuyển (orlike) thì F’ giống hội (andlike). Bây giờ chúng
ta hãy xét một vài thay đổi khác của tập các trọng số OWA
Giả sử F có trọng số vectơ trọng số w
i
và w’
i

w
in
n
win
n
11
)
1
1
)((
1
1
')(
1
1
=




n
i
i
win
n
1
2
)1)((
)1(
1

)(
)1(
1
=




n
i
in
n
1
2
)(
)1(
1
-
1
1
n
orness(F) =
=
1
1
2
)1(
)1(
1
2

toán tử OWA.
2.2.2 Độ trội
Định nghĩa: Cho F là toán tử OWA với trọng số w
a) F có độ trội nếu các trọng số thoả mãn điều kiện: w
i
 w
j
với mọi i < j
b) F có độ trội mở rộng (buoyancy measure extensive) nếu nhƣ điều kiện là
chặt theo nghĩa w
i
> w
j
vơi mọi i < j
Định lý : Nếu F có độ trội thì orness(F)  0.5
Chứng minh: Ta có orness(F) =




n
i
i
win
n
1
)(
1
1
=

1
1
2
1

vì


n
i
i
w
1
=1. Hay: orness(F) =






n
i
i
w
n
in
1
)
2
1

, ta có: q
n+1-i
=
1
1)1(2


n
inn
=
1
12


n
in
= -q
i

Nhiệm vụ của chúng ta là phải chứng minh:




n
i
i
w
n
in

1
)(
2
1

2
1
vì q
j
= - q
n+1-j
, q
j

0 với  j  m và w
j
 w
n+1-j
. Vậy, orness(F) 
2
1
24
Trƣờng hợp 2: Nếu n là số lẻ, nghĩa là n = 2m +1 và khi ấy:
orness(F) =



m
mm
, do vậy, orness(F) 
2
1

Định lý đã đƣợc chứng minh.
Bổ đề: Nếu trọng số thoả mãn điều kiện w
i
 w
n+1-i
thì orness(F) 0.5 và nếu trọng
số thoả mãn w
i
 w
n+i-1
thì orness(F)  0.5.
Một lớp quan trọng của độ trội là độ trội mạnh (strong buoyancy measure). Một
toán tử OWA n thứ nguyên đƣợc gọi là có độ trội mạnh nếu: w
i



n
ij
j
w
1

n
i
wi
1
1
nên trọng số của toán tử OWA có những
tính chất của một phân phối xác suất.
Giả sử chúng ta có một quyết định cần đƣa ra. Ứng với mỗi phƣơng án lựa chọn có
một tập các kết quả xảy ra A = {a
1
, …, a
n
}. Thực sự một vài phần tử trong A đƣợc 25
xác định bởi một số tác nhân bên ngoài đƣợc gọi là tự nhiên. Trên A xác định một
phân phối xác xuất P, với p
i
là xác suất mà kết qủa thứ i xảy ra tốt nhất. Gọi V là
giá trị của mỗi phƣơng án thì: V = F(a
1
, …, a
n
), trong đó F là toán tử OWA với
trọng số w = P.
Nếu w
n
= p
n

)(
1
1
1
n
nn
n
n
win
n
n
i
i

(c). Một vùng khác toán tử OWA đƣợc sử dụng rất thành công là trong lý thuyết về
tập mờ và lôgic đa trị. Chúng ta thấy rằng rất nhiều các phép toán của tập mờ sử
dụng trong các ứng dụng có các phép toán sử dụng logic đa trị (multivalued logic).
Nếu A và B là hai tập mờ của x, ta có với mỗi x  X, thì độ thuộc A(x), B(x)
có thể đƣợc xác định bởi những số trong đoạn [0,1]. Khi đó phép giao E = A  B
và phép hợp H = A  B đƣợc định nghĩa bằng:
E(x) = T(A(x), B(x)) và H(x) = S(A(x), B(x)), trong đó T và S là các cặp t - chuẩn
(t- norm) và t - đối chuẩn (t- conorm). Đây là họ toán tử cần thiết của logic đa trị.
Thông thƣờng ngƣời ta hay lấy T = Min và S = Max. Min là ―pure and‖ phép hội
thuần tuý, và Max là ―pure or‖ phép tuyển thuần tuý.
Hình dƣới đây sẽ chỉ ra mối liên hệ giữa toán tử OWA, t - chuẩn và t - đối chuẩn.
t- chuẩn
OWA
t - đối chuẩn
Min
Max