ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN
TÊN ĐỀ TÀI
BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ
PHƯƠNG TRÌNH ELLIPIC NỬA TUYẾN TÍNH
M ã số: QT-06-04
Chủ trì đề tài: PGS. TS. Hoàng Quốc Toàn
HÀ NỘI 2006
1. Tên đề tài: Bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình
ellipic nửa tuyến tính
2. Mã số: QT 06-04
Chủ trì đề
3. tài: PGS. TS. Hoàng Quốc Toàn
Chủ nhiệm Bộ môn Giải tích, Khoa Toán-Cơ-
Tin học,
Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia
Hà Nội
4. T hành phần tham gia:
(a) ThS Dư Đức T h ắ n g
(b) NCS Đặng Anh T u ấn
(c) ThS Trần T ất Đ at
(d) CN Ngô Quốc A nh
(e) ThS Nguyễn T hế V in h
(f) HVCH T rịnh Thị H àng
(g) HVCH Nguyễn T hành Chung
ĐHKHTN
ĐHKHTN
ĐHKHTN
ĐHKHTN
ĐHGTVTHN
ĐHXDHN

7. Kinh phí:
Kinh phí cho đề tài là 20.000.000đ chẵn, được chi đúng theo dự trù.
ĐHKHTN
ĐHKHTN
ĐHKHTN
ĐHKHTN
ĐHGTVTHN
ĐHXDHN
111
Xác nhận của Ban CN Khoa
f U u X i ^ n -
Xác nhận của Trường
HIỄU TRUỎMG
Chủ trì đề tài
5".ThM
'1 :' 'L-
)L Jiiri, c . ; u^áỉ
PGS. TS. H oàng Quốc
Toàn
iy
TÓM TẮT BÁO CÁO BẰNG TIẾNG ANH
1. Subject title: Boundary value problems for system of semilinear
elliptic equations
2. Numerical code: Q T 06-04
3. Coordinate: Ass. Prof. Dr. Hoàng Quốc Toàn
D epartm ent of Analysis, Faculty of M athem atics, Me
chanics and Informatics,
University of Science Natural, Vietnam National Univer
sity, Hanoi.
4. List of participants:

nữa việc giải quyết những bài toán như vậy cũng khó khăn và phức tạp hơn.
Việc ứng dụng giải tích phi tuyến để nghiên cứu phương trình đạo hàm
riêng thường thông qua các phương pháp chính sau đây
- Phương pháp toán tử đơn điệu.
- Phương pháp áp dụng các định lý về điểm bất động.
- Phương pháp áp dụng lý thuyết bậc Leray-Schauder.
- Phương pháp biến phân-nguyên lý minim ax.
Mỗi m ột phương pháp đều cò những đặc điểm riêng của nó m à ta có thể lựa
chọn đê sử dụng m ột cách tốt n hất cho từng bài toán cụ thê. Sự phát triển
mạnh mẽ của giải tích hàm phi tuyến và tô pô đã cung cấp thêm những
công cụ hữu hiệu đê nghiên cứu các ngành toán học liên quan mà trong đó
cổ phương trình đạo hàm riêng không tuyến tính.
Trước hết ta thấy rằng các phương trình và hệ phương trình đạo hàm
riêng không tuyến tính cùng với các bài toán biên của nổ thường cò xuất xứ
từ nhũng bài toán thực tế trong V ật lý, Cơ học,., trong đò phải kê đến những
phương trinh nôi tiếng như phương trình Monge-Ampère, Hamilton-Jacobi,
hệ phương trình Navier-Stokes, Những bài toán như vậy nhất thiết phải có
nghiệm. Vấn đề đặt ra là nghiệm của chúng phải được hiểu theo một nghĩa
nào đò sao cho vừa phù hợp với ý nghĩa thực tiễn của nó vừa phải chặt chẽ
về m ặt toán học.
Nghiên cứu định tính của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng tập trung
vào ba vấn đề chính là: sự tồn tại, tính duy nhất và tính trơn của nghiệm
của bài toán biên với m ột lớp các bài toán phương trình đạo hàm riêng nào
dò.
Hướng nghiên cứu chính của chúng tôi là: xét sự tồn tại, tính đa nghiệm
của bài toán biên D irichlet đối với hệ elliptic nửa tuyến tính
(1)
VI
trong đổ n là một miền bị chặn hay khống bị chặn trong (N > 2) với
biên trơn d ũ . Trong một số trường hợp ta có thể mở rộng bài toán này cho

biến phân được áp dụng nhiều đó là sử dụng định lý ”q u a núi” của A.
Ambrosetti và p. Rabinowitz (xem J. Fund. Anal. 14 (1973), 349 - 381.).
Kết quả này vẫn đang được phát triển trong thời gian gần đây. Ngoài công
trinh trên của Ambrosetti và Rabinowitz, nhũng người khác cũng có công lớn
trong nghiên cứu hệ biến phân mà ta có thể kể tên ở đây là: L. Nirenberg,
D. G. de Figueiredo, L. Boccardo, E. Mitidieri, J. Pucci, J. Serrin,
Hệ phương trình elliptic nếu không biến phân thì được gọi là hệ phi biến
phân. Nghiên cứu hệ phi biến phân người ta có thê áp dụng các phương
pháp khác nhau như đã kể ở trên. Những người có công lớn trong việc nghiên
cứu hệ phi biến phân như là: L. Nirenberg, H. Amann,
Nhằm mục đích góp phần nghiên cứu định tính phương trình và hệ phương
trình đạo hàm riêng, trong đề tài nghiên cứu này chúng tôi áp dụng các
phương pháp khác nhau đê nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán biên
đối với m ột số lớp hệ elliptic nửa tuyến tính với phần chính là toán tử — A
(hay —Ap) trong miền bị chặn hoặc không bị chặn của
Đề tài nghiên cứu của chúng tôi được bắt đầu từ những năm trước đây
với sự tham gia của các sinh viên, học viên cao học và các cán bộ trẻ của Bộ
môn Giải tích, Khoa Toán-Cơ-Tin học. Nhiều báo cáo khoa học trinh bày
các phương pháp của giải tích phi tuyến và ứng dụng của nó vào phương
trình đạo hàm riêng không tuyến tính được thê hiện dưới dạng các chuyên đề
nhằm trang bị kiến thức cơ sở. Một số kết quả nghiên cứu được hoàn thành
trong giai đoạn từ năm 2005 đến nay đã được báo cáo ở các hội thảo khoa
học, hội nghị khoa học nhân kỷ niệm 50 năm thành lập Khoa Toán-Cơ-Tin
học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội hoặc đã
được công bố/đ ã gửi đăng trên các tạp chí chuyên ngành ở trong và ngoài
nước. Trong số đó cổ cả những kết quả nghiên cứu đáng khích lệ của sinh
viên và học viên cao học, chẳng hạn kết quả của nghiên cứu của CN Ngô
Quốc Anh đã được đăng trên Electron. J. Diff. Eqns., 129 (2005), 1-11.
Nội dung chính của đề tài nghiên cứu được thể hiện qua 04 báo cáo khoa
học và các kết quả nghiên cứu dưới đây.

trơn
—A u + q(x)u = au 4- Ị3v + f\{u, v),
-A v + q{x)v = ỗu + + / 2(w, v),
Ii(x) —► 0,'i>(:r) —> 0 khi |x| —> +oo
u lan = V lớn = 0,
trong đó /i, /> th ỏa mãn điều kiện Lipschitz; q (x) £ c ° (Mn), q(x) —
+ 0 0 khi |.r| —» +0 0 và tồn tại hằng số dương qo sao cho q (X) > Ợo-
Với những giả th iết ấn định lên trên các hệ số Q', ị3, ô, 7 chứng tôi chúng
minh sự tồn tại nghiệm của bài toán trong không gian Sobolev có trọng
K°(Q) được xây dựng thích hợp.
IX
Phương pháp nghiên cứu: đưa việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của
bài toán về việc chứng minh sự tồn tại điểm bất động của toán tử trong
không gian Banach Vq{ũ).
2. IIoÀNG Quốc T o à n và N gô Quốc A nh, Sự tồn tại nghiệm dương đối với một
hệ phương trình elliptic nưa tuyến tính trong miền không bị chặn (đã gửi
đăng)
Bằng sự kết hợp của phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới và định lý
diêm bất động Schauder, chúng tôi đã đưa ra điều kiện đê cho sự tồn
tại nghiệm dương của bài toán trong miền không bị chặn £7 c Rn với
biên ÔQ trơn sau đây
3. T rịnh T hị M inh h ằ n g v à H oà n g Q uố c T o àn, Sự không tồn tại và tính đa
nghiệm duơng của bài toán biên elliptic tụa tuyến tính trong miền bị
chặn.
Trong miền bị chặn Í2 c với biên ÔÍ2 trơn ta xét bài toán
Giả th iết rằng tồn tại hàm G(x,u,v), (x,u,v) € X t X R sao cho
dc l \ dG l t ^
— ự,u,v) = ỉ{x,u,v) , — {x,u,v)=g{xìu,v).
Sử dụng phương pháp biến phân, bài toán đang xét được đưa về xét sự
tồn tại điêni tới hạn của phiếm hàm liên kết

Dỉrỉchlet không thvền nhất đối với hệ elliptic nửa tuyến tính.
Trong miền bị chặn Q c M.N (N > 3) với biên <9f2 trơn ta xét bài toán
trong đó 0 < a (x) , b (x) G c (Q ); h\ (x) , Ỉi2 (x) G c (ỠÍ2); A là tham số
dương.
Già sử T\{x),T
2
{x) là nghiệm duy nhất của các bài toán Dirichlet
Khi đó bài toán đang xét được đưa về bài toán biên Dirichlet với điều
kiện biên th u ần nh ất sau đây
— A u + a(x)u — X f(u, V) trong fỉ,
— Av + P(x)v = \g(u,v) trong Q,
u = h\ trên <9Í7,
V = h
,2
trên ỜQ,
(5)
— A ri(x-) + a(x)Tị(x) = 0 trong n ,
Ti(x) = hi(x) trên ỡfỉ,
(6)
và
- A t2{x ) + ị3(x )t2{x ) = 0 trong Q,
T2 (x) = Ji2 (x) trên dQ.
(7)
(
—A W\(x) + ơ(x)wi(x) = Xf(w + T) trong Q.,
- A w 2 {x) + /3(x )w2{x) — Ag(w + r) trong Q, (8)
Wi = 0 = VỦ2 trên dQ.,
trong đó Wị = u - Tì, w2 = r2, w = (wi,w2), T = ( t i , t 2).
Xì
sử dụng phương pháp biến phân chúng tôi chuyển bài toán (8) sang xét

1.1.3 Một số ước lượng cơ bản về phương trình elliptic cấp hai . . 11
1.2 Cực tiểu phiếm hàm. Phương pháp trực tiếp trong phép tính biến
p h â n 14
1.2.1 Điều kiện bức (coercive) và tính nửa liên tục d ư ớ i

14
1.2.2 Phương pháp nhân từ L agrang e 18
1.2.3 Phương pháp nghiệm trên yếu, nghiệm dưới y ế u
26
1.3 Một số định lý về lý thuyết điểm tới hạn và ứng dụng vào phương
trình elliptic nửa tuyến tính trong Rn 30
1.3.1 Điều kiện Palais-Smale và sự tồn tại điểm tới hạn

30
1.3.2 Ưng dụng định lý qua núi vào bài toán biên đối với phương
trình elliptic nửa tuyến tính
48
Chương 2 Một sỏ bất đẳng thức biến phàn và ứng dụng 63
2.1 Mở đ ầ u 63
2.2 Sự tồn tại nghiệm 64
2.3 Bất đẳng thức biến phân cho các toán tử đơn điệu

66
2.4 Toán tử N oncoercive 70
2.5 Một số ứng dụng 75
2.6 Phụ lục: Định lý Lax-Milgram phi t u y ế n
79
Chương 3 Phương pháp toán tử đơn điệu 82
3.1 Giới thiệu chung 82
3.2 Bài toán xuất p h á t 82

k.eí' lua* 1-24-
Tài liệu tham khảo 12$
in
Phương trình đạo hàm riêng
T \ • /• J.V
Lời nói đau
Trong niên khoá 2005-2006 Seminar chúng tôi đã đi sâu vào các phương pháp
giải tích phi tuyến ứng dụng vào phương trình vi phân không tuyến tính. Đồng
thời với nhiều báo cáo chuyên đề cung cấp các kiến thức cơ bản về các phương
pháp giải tích phi tuyến và các ứng dụng của nó, các cán bộ tham gia Seminar
đã lần lượt báo cáo các kết quả nghiên cứu của mình. Chúng tôi nhận thấy rằng
Seminar đã có ích thực sự cho các cán bộ mới vào nghề cũng như các học viên cao
học.
Có thể nói sự hăng hái nhiệt tình tham gia Seminar của nhiều cán bộ trẻ trong
bộ môn giải tích đã làm sôi động không khí học tập và nghiên cứu trong Bộ môn.
Một số cán bộ tuy tuổi đời, tuổi nghề còn trẻ nhưng đã có những kết quả nghiên
cứu, những bài báo được đăng ở các tạp chí toán học trong và ngoài nước. Đó là
những “ thành tựu” bước đầu mà Seminar chúng tôi đã làm được.
Năm 2004-2005 chúng tôi in tập 1 về các bài giảng ứng dụng giải tích hàm vào
phương trình vi phân đạo hàm riêng. Năm nay trong tập 2 chúng tôi giới thiệu các
ứng dụng của giải tích phi tuyến vào việc nghiên cứu các bài toán biên của phương
trình vi phân đạo hàm riêng không tuyến tính.
Chương 1 do Phó Giáo sư Tiến sĩ Hoàng Quốc Toàn viết.
Chương 2 do Thạc sĩ Nguyễn Thế Vinh viết.
Chương 3 do Thạc sĩ Trần Tất Đạt viết.
Chương 4 do NCS-Tiến sĩ Đặng Anh Tuấn viết.
Vì lý do này hay lý do khác, tập Seminar của chúng tôi không tránh khỏi những
sai sót. Chúng tôi dần dần sẽ hiệu đính lại, hy vọng trước hết hữu ích cho những
ai mới vào nghề và có quan tâm đến việc nghiên cứu phương trình vi phân đạo
hàm riêng.

Như vậy, việc nghiên cứu bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng có
thế đưa về việc nghiên cứu một phương trình phiếm hàm dạng
K (u) = 0, u e X
trong đó K(u) nói chung là phi tuyến.
Rõ ràng tính khả vi Frechet của phiếm hàm J phụ thuộc vào dáng điệu của
hàm F (X, u, Vu, v 2ti, ).
Giả sử u0 G X là điểm cực tiểu tương đối của J và J € Cl(X) thì u0 phải thoả
mãn điều kiện DJ(uo) = 0. Do đổ u0 là nghiệm của bài toán biên đang xét.
Nếu J không khả vi liên tục Frechet nhưng tồn tại đạo hàm theo nghĩa yếu
trong X thì u0 thoả mãn phương trình Euler-Lagrange theo nghĩa yếu
(■v,DJ(u0)) = 0, Vt; £ X.
Như vậy, dù J khả vi liên tục Frechet hay có đạo hàm theo nghĩa yếu thì điểm cực
tiêu tương đối u0 cũng là nghiệm suy rộng của bài toán biên liên kết.
Từ đổ ta thấy việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán biên dẫn đến việc
tìm các điểm tới hạn của phiếm hàm J, tức là những điểm u e X mà DJ{u) = 0,
trong đó ngoài những điêm cực tiẽu địa phương còn cổ các điểm tới hạn khác nói
chung là các điểm yên ngựa.
Một trong những tiêu chuẩn tồn tại điểm tới hạn được đề cao đó là ’’định lý
qua núi”.
Năm 1950, Courant đưa ra định lý qua núi trong không gian hữu hạn chiều.
Năm 1973, Ambrosetti và Rabinowitz chứng minh định lý qua núi đối với phiếm
hàm J 6 Cl(X) trong không gian Banach vô hạn chiều.
Định lý qua núi góp phần quan trọng trong việc áp dụng giải tích phi tuyến
nghiên cứu các bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến.
Như vậy, ý tưởng của phương pháp biến phân trong phương trình đạo hàm
riêng là: để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán biên ta có thê sừ dụng các
phương pháp của lý thuyết tối ưu đê tìm điểm cực tiêu (hoặc diêm tới hạn) của
phiếm hàm năng lượng liên kết với nó.
1.1 M ột vài vấn đê bổ sung kiến thức
1.1.1 Không gian Sobolev và đinh lý nhúng

Định lý 1.2. Với mọi k G No, 1 ^ p < +oo, không gian con w k'p (Q) n c°° (fỉ) trù mật
trong w k'p (íỉ)
BỔ sung của w k'p (fỉ) nC°° (fỉ) trong w k'p (ũ) được ký hiệu là Hk’p (Q). Đặc biệt
khi p = 2 thì ký hiệu Hk'2 (Í2) được sử dụng thông thường. Wq'p (Q) là bao đóng
của C£°(Q) trong w k'p (ft). Hq2 (íì) là bao đóng của cỏ° (Í2) trong Hq2 (íì). Đối
ngẫu.của H k'2 (ữ) được ký hiệu là H~k (í)).
2. K hông gian H o lder. Giả sử rỉ c R". Hàm u : Q. —» R được gọi là liên tục theo
Holder với số mũ ị3 > 0 nếu
Ịu]<« . SUp < +00
*/»* F - 2/1
X.yẽn
4
Chương 1. Phương pháp biến phản và m ột số áp dụng
Với 771 € N0, 0 < 0 ^ 1, ta ký hiệu
c m’0 (Cl) = {u £ c m (fỉ) : Dau liên tục theo Holder với số mũ Ị3 > 0 với mọi Ịa| = m} .
Nếu ũ là compắc tương đối thì c m,/3 (íì) là không giam Banach với chuẩn
IMIc~> = £ + E
[
0
"
4
S)-
ỊaỊ^m |aỊ=m
Chú ý rằng với 0 < (3 ^ 1, tập hợp các hàm trơn không trù mật trong c m,/3 (íi).
Ký hiệu Cm'° (ũ) = c m (fỉ).
3. Đ ịnh lý n h ún g. Già sử X và Y là các không gian Banach. Ta nói X được
nhúng liên tục trong Y và ký hiệu
X — Y
nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính i : X —* Y sao cho tồn tại hằng số c > 0 thỏa mãn
||i(z)||y ịgslM lx - V x e x .

1.1.2 Tính khả vi của phiếm hàm
1. Đạo hàm Frechet. Cho V là không gian Banach, / là phiếm hàm xác định
trên V. Ta nói phiếm hàm / khả vi Frechet tại điêm u e V nếu tồn tại một ánh
xạ tuyến tính bị chặn, ký hiệu là f(u) € V* và được gọi là đạo hàm Frechet của /
tại u sao cho
Nếu ánh x ạ u -+ f{u) là liên tục thì ta nói phiếm hàm / thuộc lớp Cl{V). Chuẩn
của f{u) được xác định
Giả sử / là phiếm hàm khả vi Frechet trong không gian Banach V, V* là đối ngâu
của nó. Ký hiệu (,) là phép toán đối ngẫu. Như vậy
II/' (u)|| - sup {!/' (u) {h)\ :heV, |Ị/iỊ| = 1} .
(,) : V X V — R
6
Chương 1. Phương pháp biến phân và m ột số áp dụng
và
/ ' : V V'
là đạo hàm Frechet của /. Khi đó với mọi h EV ta có
f'(u)(h) = ự(u),h) , V u ev :
Giả sử V e V. Đạo hàm theo hướng V của / tại u e V (hay là đạo hàm Gateaux)
được xác định như sau
Điểm u e V thỏa mãn phương trình /'(tí) = 0 được gọi là điểm tới hạn, ngược lại
nếu /'(li) 7^ 0 thì u được gọi là điểm đều (hay điêm chính quy) của /. số p € R
được gọi là giá trị tới hạn của / nếu tồn tại một điểm tới hạn u € V sao cho
/(li) = /3, f'(u) = 0. Giả sử M là một tập con của V. Điểm Uo e M là điểm cực
tiẽu tuyệt đối của / trên M nếu f(v) > f(u0) với mọi V e M. Điểm u0 E M là điểm
cực tiểu tương đối của / trên M nếu tồn tại một lân cận w của UQ trong V sao cho
fiv) ^ ĩ(u0 ) với mọi V e M n w . Hơn nữa, trong trường hợp / khả vi, ta sẽ nói
đến sự tồn tại điểm yên ngựa (saddle point), tức là các điểm tới hạn u của / sao
cho trong mọi lân cận w của u trong V đều chứa các điểm V\, v2 e V n w sao cho
Trong các hệ vật lý, điểm yên ngựa xuất hiện như là trạng thái cân bằng không
bền vững.

Carathéodory, tức g là hàm đo được theo X G n và liên tục theo u e Rm.
Định lý 1.9. Giả thiết g : íì X Rm —> R là hàm Carathéodory thỏa mãn điều kiện tăng
|g (x, w)| ^ c (1 + |u|5) với s > 1.
Khi đó toán tủ g (X, u) là liên tục từ Lsp (íì) vào ư (ft) với mọi 1 ^ p < +oo.
Chú ý thẽm rằng các điều kiện tăng của định lý trước đòi hỏi cấu trúc khá đặc
biệt. Một cách tông quát hơn ta có thê già thiết hàm F thỏa mãn các điêu kiện
tăng sau đây.
Fl) \p\2 ^F(x,u,p)^c(\u\)(l + \p\2).
F2) Fu (x ,u ,p K c (M )(1 + M2).
F3) Fp(x,u,p) ^ c ( H ) ( l + |p|).
vớ i X £ ũ, u £ R, p 6 K n .
Với những giả thiết như vậy, nói chung phiếm hàm f(u) không thể khà vi
Frechet trong H 1'2 (Í2). Tuy nhiên, cực tiẽu (trong Hq 2 (ỉì) chẳng hạn) có thể tồn
tại. Liệu nó có thể mô tả điều kiện cần của cực trị dưới dạng phương trình Euler-
Lagrange được hay không? Đê trà lời cho câu hỏi này, ta có định lý sau đây.
8
Chương 1. Phương pháp biến phân và một sô' áp dụng
Định lý 1.10. Giả sử phiếm hàm ỉ xác định như trên trong đó F là hàm Carathéodory
thuộc lớp c 1 theo u và p thỏa mãn các điều kiện tăng tự nhiên FI)-F3). Khi đó, nếu
u, </? e H ì’2 (Í2) n L°° (rỉ), đạo hàm theo hướng ip của f tại u tồn tại và được xác định
bởi công thức
■J-J (u + Etp) |£=0 = í (Fu (X, u, Vu) if + Fp (X, u, Vu) Vyj) dx.
n
Hơn nữa, tại điểm cực tiểu u G H 1’2 (Í2) n L°° (rì) của f trong đó F thỏa mãn các điêu
kiện Fỉ)-F3) phương trình Euler-Lagrange thỏa mãn theo nghĩa yếu như sau
ỉ
(Fu (X, u, Vu) <p + Fp (z, u, Vu) Vip) dx = 0
với mọi ự> G H 1’2 (fì) n L°° (íí).
Chú ý rằng giả thiết u 6 L°° (Í2) thường được thỏa mãn tự nhiên.
Đê’ giải thích kỹ hơn về ý nghĩa của định lý này ta hãy nhắc lại khái niệm biến

1 của / tại u0 nếu tồn tại sẽ bằng 0, tức là
được gọi là phương trình Euler-Lagrange của phiếm hàm /.
Vậy nếu Uo £ Z/1 (í~2) là điểm cực tiểu địa phưcmg của phiếm hàm /(lí), u e H
thì u0 là nghiệm của phương trình Euler-Lagrange theo nghĩa yếu.
Ví dụ. Nguyên lý Dirichlet
Cho F (x, z,p) = ị \p\2 trong đó \p\2 = Fp = {Fu F2 , Fn), Fz = 0. / (u) =
1 = 1
ị f ịVuị2 dx, f E c 1 (H) thì
ỗf(u0,v) = 0 , Vu e H.
Giả sử / G Cl(H), khi đó ta có
ự (u) ,v) = ỉ' (0) = Ị (Fu (x, u, Vu) V + Fp (x, u, Vu) Vu) dx , \/v G (íĩ)
Ị (Fu (x, Uq, Viio) — divFj, (x, u0, Vito)) vdx = 0 , Vu G C£° (Í2).
Định nghĩa. Phương trình
Fu (X, ti, Vu) — divFp (x, u, Vu) = 0
Q
n