SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ CẦN THƠ
Trường THPT Chuyên Lý Tự Trọng
CHUYÊN ĐỀ
DÃY SỐ
Giáo viên hướng dẫn: Huỳnh Bửu Tính, Trần Diệu Minh.
- 1 -
NHÓM THỰC HIỆN:
Bùi Tấn Phương Nguyễn Anh Lộc
Trần Mỹ Hoa Dương Minh Quân
Tiêu Ngọc Diễm Quỳnh Bùi Tuấn Anh
Trần Thị Thanh Huyền Tống Trung Thành
Lê Thanh Tú
LỜI NÓI ĐẦU
Trong chương trình toán học THPT, các bài toán liên quan đến dãy số là một trong những
vấn đề quan trọng trong phần đại số và giải tích lớp 11. Dãy số là dạng toán khá phức tạp, cần rèn
luyện, học tập thường xuyên thì mới giải nhanh và tốt được. Vì thế, dãy số thường xuất hiện trong
các kỳ thi học sinh giỏi, thi Olympic toán để đánh giá khả năng tư duy của học sinh. Do đó để có thể
học tốt môn dãy số, ta cần luyện tập giải các bài toán liên quan dãy số đồng thời tích cực tìm ra
những phương pháp hay để giải toán dãy số một cách hợp lý nhất.
Ở chuyên đề này, tập thể tổ 02 lớp 11A1 đã tổng hợp và biên soạn một số vấn đề liên quan
đến dãy số để làm tài liệu học tập cho môn chuyên cũng như để nghiên cứu về một dạng toán khá lí
thú.
Chuyên đề gồm các phần:
:
1. Định nghĩa và các định lý cơ bản về dãy số.
2. Các dạng dãy số đặc biệt.
3. Một số phương pháp xây dựng dãy số.
4. Phương trình sai phân tuyến tính.
5. Dãy số và các vấn đề liên quan đến giới hạn.
- 2 -

Trong đó:
+
0
u
hay
1
u
được gọi là số hạng đầu.
+
n
u
được gọi là số hạng tổng quát.
+n được gọi là chỉ số của các số hạng.
Dãy số có thể được cho theo các cách sau đây:
1)Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát:
VD: Cho dãy số
( )
n
u
với
10
2 9
n
n
u
n
+
=
−
.

) được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có:
1n n
u u
+
>
.
Dãy số tăng hay dãy số giảm được coi là dãy đơn điệu.
VD: Xét tính đơn điệu của dãy số sau: u
n
= n + (
1
2
)
n
với
n
∀ ∈
¢
+
.
Giải:
n
∀ ∈
¢
+
Ta có: u
n+1
- u
n
= (1-

).Ký hiệu
sup
n
u
.
Dãy số (
n
u
) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại số
m
sao cho:
*
,
n
n u m∀ ∈ ≥¥
Số
m
lớn nhất được gọi là cận dưới đúng của (
n
u
).Ký hiệu
inf
n
u
.
Dãy số (
n
u
) được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới, tức là tồn
tại số

≤
1
⇒
-2
≤
(-1)
n
+ cos n
≤
2.
Vậy (u
n
) bị chặn.
Chú ý:
Mọi dãy số (
n
u
) giảm luôn bị chặn trên bởi
1
u
Mọi dãy số (
n
u
) tăng luôn bị chặn dưới bởi
1
u
.
3) Dãy con và dãy tuần hoàn:
Dãy con:
Cho dãy (u

).
Nhận xét: (u
n
) là dãy con của chính nó với n
k
=k.
VD: Cho dãy (u
n
) xác định bởi:
1
1
0 1
( 1)
n n n
u
u u u
+
≤ <


= −

với
n∀ ∈¢
+
.
CMR: dãy (u
2n+1
) là dãy giảm và dãy (u
2n

) xác định bởi u
0
= 1, u
1
= 0, u
n+1
= u
n
+ u
n-1
với n = 1,2,3,…… tuần hoàn với chu kì 6:
1,0,-1,-1,0,1,1,0,-1,-1,0,1,…….
Dãy tuần hoàn nhân tính:
Dãy (u
n
) được gọi là tuần hoàn nhân tính khi và chỉ khi
l
∃ ∈
¢
+
, l>1 sao cho u
n.l
= u
n

n
∃ ∈
¢
+
.

…u
n
.
a) CMR dãy (u
n
) tăng, (x
n
) giảm.
b) CMR x
n
=
2
2( 1)
n
n
+
+
.
2) Dãy (u
n
) xác định bởi:
1 2 3
1 3
1
n n n
u u u
u u u
− −
= = =


1
0 1
1
(1 )
4
n
n n
u
u u n
+
+
< <



− > ∀ ∈


¢
. CM: dãy (u
n
) tăng và bị chặn.
5) Dãy (u
n
) xác định bởi:
1
1
1
2
1

0
1
1 1
1
1
*.
n n n
u
u
u ku u n
+ −
=


= −


= − ∀ ∈

¥
Không là dãy tuần hoàn.
- 5 -
PHẦN 02: MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ ĐẶC BIỆT
Cấp số cộng:
Định nghĩa:
Dãy được gọi là cấp số cộng khi và chỉ khi kể từ số hạng thứ 2 trở đi mỗi số hạng bằng số
hạng đứng trước nó cộng với số không đổi. Số không đổi được gọi là công sai.
Ký hiệu:
Có
: số hạng đầu tiên

Giải:
- 7 -
theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi
Tức là khi và chỉ khi theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
Cấp số nhân:
Định nghĩa:
Dãy được gọi là cấp số nhân khi và chỉ khi kể từ số hạng thứ 2 trở đi mỗi số hạng bắng số
hạng đứng trước nó nhân với số không đổi. Số không đổi được gọi là công bội.
Ký hiệu:
Có
: số hạng đầu tiên
: số hạng thứ n (tổng quát)
: công bội
Nhận xét:
-
- Dãy xác định bởi:

( là các số thực khác không)
là 1 cấp số nhân.
Tính chất:
1. Công thức số hạng tổng quát:
là CSN có
- 8 -
Chứng minh:
…
Suy ra:
Nhận xét: mà:
thì
2.
3. Tổng của n số hạng đầu tiên:

)
4. Tìm 3 số tạo thành cấp số cộng có tổng bằng 6, biết rằng nếu hoán đổi vị trí số hạng thứ nhất
và số hạng thứ hai đồng thời giữ nguyên số hạng thứ ba ta được cấp số nhân.
Giải:
Gọi 3 số cần tìm theo thứ tự là :
Ta có: (thay vào dưới)
và
Ta có 2 dãy số thoả mãn:
+với ta có dãy là dãy hằng: 2 , 2 , 2
+với ta có dãy -4 , 2, 8
Bài tập:
1. Chứng minh các mệnh đề sau đúng với:
- 11 -
3. Cho lập thành cấp số nhân. Cmr:
4. Tìm độ dài các cạnh tam giác ABC vuông tại A theo thứ tự lập thành cấp số nhân.
Tìm công bội của cấp số đó.
5. Cmr điều kiện cần và đủ để 3 số tạo thành cấp số cộng là 3 số lập
thành cấp số nhân.
Một số dãy số đặc biệt:
1. Dãy Fibonacci:
1.1 Định nghĩa: Dãy xác định bởi:
được gọi là dãy Fibonacci
Dãy Fibonacci viết dạng liệt kê:
1.2 Các định lý:
Định lý 1: Cho dãy là dãy Fibonacci:
Khi đó:
- 12 -
Định lý 2: (Công thức Binet)
Cho là dãy Fibonacci:
Số hạng tổng quát của dãy là:


Hoặc tổng quát hơn là công thức sau:
với mọi
2.
3.
4.
d. Khi chỉ số là số nguyên tố
L
n
đồng dư với 1 mod n nếu n là số nguyên tố.
e. Số nguyên tố Lucas
Số nguyên tố Lucas là số Lucas, và đồng thời là một nguyên tố. Các số nguyên tố Lucas nhỏ nhất
được biết là:
2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349,
4. Cấp số nhân cộng:
Dãy được gọi là cấp số nhân cộng nếu như , ta có:
là các hằng số)
Đặc biệt:
dãy là CSN công bội là .
dãy là CSC công sai là .
Dãy số thực:
Định nghĩa:
- 15 -
Theo quan điểm của lý thuyết tập hợp dãy số là một ánh xạ , trong đó là tập hợp số tự
nhiên, hoặc tập con của tập số tự nhiên nhỏ hơn / lớn hơn một số tự nhiên m nào đó. Khi đó thay
cho ta dùng kí hiệu .

Nếu là hữu hạn ta có dãy hữu hạn:
Ngược lại nó được xem là vô hạn:
Đôi khi, dãy hữu hạn cũng có thể được xem là vô hạn với các phần tử từ thứ m trở đi là bằng nhau.

Ví dụ như cho dãy . Xét hàm số:
- 17 -
với
Lấy đạo hàm của nó, ta thu được:
Đạo hàm này nhỏ hơn 0 khi . Điều này xảy ra với mọi , nên dãy là dãy
giảm.
Dãy số thực bị chặn:
Dãy bị chặn trên khi và chỉ khi tồn tại ở đó , . Số được gọi là giá trị
chặn trên.
Ngược lại, dãy bị chặn dưới khi và chỉ khi tồn tại ở đó , . Số được
gọi là giá trị chặn dưới.
Nếu một dãy có cả 2 tính chất trên thì dãy đó được gọi là dãy bị chặn.
Ví dụ: dãy bị chặn dưới bởi 0 vì nó luôn có giá trị dương.
Giới hạn của một dãy số thực:
Khái niệm giới hạn của dãy số bắt nguồn từ việc khảo sát một số dãy số thực, có thể tiến "rất
gần" một số nào đó. Chẳng hạn, xét dãy số thực:
Hay
- 18 -
Khi cho n tăng lên vô hạn thì phân số trở nên nhỏ tuỳ ý, do đó số hạng thứ của dãy có
thể tiến gần đến 1 với khoảng cách nhỏ tuỳ ý . Người ta diễn đạt điều đó bằng định nghĩa sau:
Đinh nghĩa
Cho dãy số thực và một số thực . Khi đó nếu:
thì được gọi là giới hạn của dãy . Khi đó ta cũng nói dãy hội tụ.
Giới hạn của dãy thường được kí hiệu:
Hoặc
(khi )
Các định lý cơ bản
1. Nếu dãy có giới hạn hữu hạn thì nó bị chặn.
2. Dãy hội tụ chỉ có một giới hạn.
3.

sẽ là dãy cộng tính, chu kì 2.
- 21 -
PHẦN 03: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ
Xây dựng dãy hội tụ bằng phương trình
Có thể xây dựng dãy số hội tụ về một số xuất phát từ một phương trình có nghiệm là theo cách
sau:
Ví dụ 1: Xét = , là nghiệm của phương trình
2
=2. Ta viết lại dưới dạng và
ta thiết lập dãy số thỏa mãn . Nếu dãy này hội tụ thì giới hạn sẽ là .
Tương tự như vậy, ta có thể xây dựng được dáy số tiến về căn bậc của như sau:
Cũng với giới hạn cần đến là , ta có thể xây dựng dãy khác theo “phong cách” như vậy:
=1+
Tất nhiên, trong tất cả các ví dụ trên, ta chỉ có được phương trình với nghiệm theo ý muốn khi đã
chứng minh được sự hội tụ của dãy số. Vì vậy, cần cẩn thận với cách thiết lập bài toán kiểu này. Ví
dụ, với dãy số =1+ thì không phải với nào dãy cũng hội tụ và không phải lúc nào
giới hạn cũng là .
- 22 -
Một cách tổng quát, ta có thể dùng phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ Newton để xây dựng các dãy
số. Để tìm nghiệm của phương trình phương pháp Newton đề nghị chọn tương đố
gần nghiệm đó và xây dựng dãy truy hồi:
Khi đó dãy sẽ dần đến nghiệm của phương trình .
Ví dụ 2:Xét hàm số -2 thì = và ta được dãy số
.
Xét hàm số thì và ta được dãy số
Xây dưng dãy truy hồi từ cặp nghiệm của phương trình bậc hai
Chúng ta thấy, từ hai nghiệm của một phương trình bậc 2 có thể xây dựng ra các dãy truy
hồi tuyến tính bậc 2 (kiểu dãy số Fibonacci). Tương tự như thế, có thể xây dựng các dãy truy hồi
tuyến tính bậc cao từ nghiệm của các phương trình bậc cao. Trong phần này, chúng ta sẽ đi theo
một hướng khác: xây dựng các dãy truy hồi phi tuyến tính bậc nhất từ cặp nghiệm của phương

0
1x x x n
+ + + =
− −
thuộc khoảng (0,
1)
a) Chứng minh dãy {x
n
} hội tụ.
b) Hãy tìm giới hạn đó.
- 24 -
Bình luận: x
n
được xác định duy nhất vì hàm số
1 1 1
( )
1
n
f x
x x x n
= + + +
− −
liên tục và đơn
điệu trên (0, 1). Tuy nhiên, ta không thể xác định được giá trị cụ thể của x
n
. Rất may mắn, để chứng
minh tính hội tụ của x
n
, ta không cần đến điều đó. Chỉ cần chứng minh tính đơn điệu và bị chặn là
đủ. Với tính bị chặn, mọi thứ đều ổn vì 0 < x

n
(x
n
) +
, trong khi đó f
n+1
(0
+
) > 0. Theo tính chất của hàm liên tục, trên khoảng (0,
x
n
) có ít nhất 1 nghiệm của f
n+1
(x). Nghiệm đó chính là x
n+1
. Như thế ta đã chứng minh được x
n+1
<
x
n
. Tức là dãy số {x
n
} giảm. Do dãy này bị chặn dưới bởi 0 nên dãy số có giới hạn.
Ta sẽ chứng minh giới hạn nói trên bằng 0. Để chứng minh điều này, ta cần đến kết quả quen thuộc
sau: 1 + > ln(n)
(Có thể chứng minh dễ dàng bằng cách sử dụng đánh giá ln(1+ ) <
Thật vậy, giả sử lim x
n
= a > 0. Khi đó, do dãy số giảm nên ta có x
n

, chứng minh rằng dãy {x
n
} có giới hạn hữu hạn khi n dần đến vô cùng.
Lời giải. Kết quả của câu a) là hiển nhiên vì hàm f
n
(x) tăng trên (0, +∞). Dễ dàng nhận thấy 0 < x
n
< 1. Ta sẽ chứng minh dãy x
n
tăng, tức là x
n+1
> x
n
. Tương tự như ở những lời giải trên, ta xét
f
n+1
(x
n
) = a
10
x
n
n+11
+ x
n
n+1
+ x
n
n
+ … + x + 1 = x