Các hớng khai thác một bài toán GV:
Hoàng Phơng Mai
Ch ơng I : Lời nói đầu
I- Cơ sở lý luận.
Tìm tòi lời giải là một bớc quan trọng trong hoạt động giải toán. Nó
quyết định sự thành công hay không thành công, đi đến sự thành công nhanh
hay chậm của việc giải toán. Điều cơ bản ở bớc này là biết định hớng đúng để
tìm ra đợc đờng đi đúng. Không có một thuật toán tổng quát nào để giải đợc
mọi bài toán cả.
Một vài kinh nghiệm giải toán đó là:
- Sử dụng các bài toán đã giải.
- Biến đổi bài toán.
- Phân tích bài toán thành những bài toán đơn giản hơn.
- Mò mẫm, dự đoán bằng nhiều cách thử một số trờng hợp có thể xảy
ra.
Hoặc tự đặt ra cho mình câu hỏi:
- Bạn đã gặp bài toán này lần nào cha? Hay đã gặp bài toán này ở một
dạng khác?
- Bạn có biết một bài toán nào có liên quan không? Một định lý có thể
dùng đợc không?
- Có thể phát biểu bài toán một cách khác không? Một cách khác nữa?
- Nếu bạn cha giải đợc bài toán thì hãy giải bài toán có liên quan mà dễ
hơn. Hoặc giải một phần bài toán, biến đổi bài toán, thay đổi ẩn của bài
toán
- Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện hay cha? Đã sử dụng toàn bộ điều kiện
hay cha? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán hay cha?
Để thực hiện những ý đồ s phạm nhất định, trong từng tình huống cụ
thể đối với từng loại đối tợng học sinh, giáo viên phải có khả năng làm dễ đi
những bài toán khó, làm khó những bài toán dễ,tạo ra những bài toán có mức
độ khó khăn, phức tạp nh nhau hoặc khác nhau, đa dạng hoá các bài toán theo
một chủ đề nhất định để đạt đợc những mục tiêu dạy học. Do vậy, việc khai

Đây là sáng kiến kinh nghiệm đầu tiên tôi thực hiện nên còn gặp nhiều
sai sót. Tôi rất mong muốn nhận đợc những ý kiến đóng góp của các đồng chí
để tôi rút ra đợc những kinh nghiệm cho phơng pháp giảng dạy của mình tốt
hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Giáo viên
2
Các hớng khai thác một bài toán GV:
Hoàng Phơng Mai
Hoàng Phơng Mai
Nội dung chính của đề tài gồm:
Ch ơng I : Lời nói đầu
Ch ơng II : Các hớng khai thác một bài toán
I- Tìm nhiều cách giải cho một bài toán
II- tìm thêm kết quả mới
III- các tri thức phơng pháp
iV- Thay đổi bài toán theo mục đích dạy học
v- một số con đờng tạo ra bài toán mới từ bài toán ban đầu
Ch ơng Iii : phần thực nghiệm
Ch ơng Iv : kết luận
3
Các hớng khai thác một bài toán GV:
Hoàng Phơng Mai
Ch ơng II : Các hớng khai thác một bài toán
I- Tìm nhiều cách giải cho một bài toán:
Một bài toán có thể nhìn ở nhiều góc độ khác nhau, mỗi cách nhìn cho
ta một cách giải khác nhau. Việc tìm nhiều cách giải cho một bài toán giúp ta
tái hiện đợc nhiều kiến thức, mỗi cách giải ứng với kiến thức thuộc nhiều mục
khác nhau. Cần nhiều cách giải cho một bài toán giúp cho học sinh khắc sâu
kiến thức, hệ thống kiến thức, nhớ bài tập đó lâu hơn và là tiền đề giúp cho ta

A
D
B
I
C
K
K
A
D
B
C
E
Các hớng khai thác một bài toán GV:
Hoàng Phơng Mai
Hớng tạo thứ 2 là tạo ra đoạn thẳng
gấp đôi CD ta có cách giải sau:
Cách 3: Trên tia đối của tia CB lấy CM = CB
CD là đờng trung bình của ABM
AM = 2CD
Sau đó chứng minh: AM = CK
do ACM = KBC (c.g.c) vì AC=KB (gt)
CM = BC (cách dựng)
ACM = KBC
Cách 4:
Trên tia đối của tia CAlấy CN=CA
thì BN = 2CD
(vì CD là đờng trung bình của ABN).
Do BCN = CBK (c.g.c). Vì BC chung
BCN = CBK = A + B = A + C
(góc ngoài của )

cách khai thác bài toán thì sẽ lĩnh hội đợc nhiều tri thức cũng nh phơng pháp
ghép hình từ bài toán trên.
Bài toán 2: Chứng minh rằng nếu một tam giác có trung tuyến cũng là
phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.
Cách 1: Trên tia đối của tia MA lấy điểm D
sao cho: MA = MD
Xét AMB và DMC
có: AM = BM (cách dựng)
AMB = DMC (đối đỉnh)
MB = MC (AM là trung tuyến)
Vậy AMB = DMC (c.g.c)
A
1
= D
1

(góc tơng ứng của tam giác bằng nhau)
Mà A
1
= A
2
(gt)
A
2
= D
1
ADC cân
AC = DC
Lại có: AB = DC
AB = AC hay ABC cân tại A

AB=AK(Cách dựng)AB =AC ABC cân
Cách 3:Chứng minh bằng phản chứng
Giả sử AB > AC. Trên cạnh AB
lấy AD = AC thì ADC cân.
Gọi I là giao điểm của CD và AM
ADCcân có AI là phân giác
ứng với cạnh đáy nên DI = IC
Mà MC = MC (gt)
IM là đờng trung bình của CBD
BD // IM
Điều này trái với giả thiết là BD cắt AM ở A
Giả sử AB < AC cũng chứng minh tơng tự
dẫn đến mâu thuẫn.
Vậy AB = AC hay ABC cân tại A
Nếu sử dụng trờng hợp bằng nhau của hai tam giác vuông thì ta có cách
giải sau:
Cách 4:
Vẽ MH AB; MK AC
Sau đó chứng minh: AK = AH, BH = CK
AB = AC
7
A
D
I
C
MB
A
H
K
B M C

Vậy AB = AC hay ABC cân tại A
Một số bài toán tuy rất đơn giản nếu ta chỉ giải một cách đơn thuần mà
ta cũng có thể nhận ra, quên đi việc tìm nhiều cách giải thì sẽ mất sự thú vị sẽ
không thấy cái hay của bài toán.
II- tìm thêm kết quả mới:
Nếu ta biết cách khai thác triệt để giả thiết bằng cách tìm thêm các kết
quả mới thì không những hiểu sâu về bài toán mà còn trải ra cho ta một con đ-
ờng để đi tìm kiến thức mới.
Ví dụ 1: Gọi H là trực tâm và AP, BN, CM là các đờng cao của ABC
có các góc nhọn. Chứng minh rằng tứ giác AMHN và BMCN nội tiếp.
9
A
D
B
M C
1
2
A
M
N
B
P
C
K
H
G
I1
1
2
Các hớng khai thác một bài toán GV:

MN
HG
HM
=
(Tính chất phân giác trong)
Do NC là phân giác ngoài của góc MNG trong MNG nên:
CG
MC
HG
HM
=
(2) (Tính chất phân giác ngoài)
Từ (1) và (2)
CG
CM
NG
MN
HG
HM
==
Kết quả mới: Chứng minh rằng:
CG
MC
HG
HM
=
:
BK
BN
HK

3
+ C
3
+ 3 (B + C)]
A
3
= -B
3
- C
3
+ 3 ABC
Từ bài toán này ta đề xuất 2 kết quả mới:
Chứng minh rằng nếu A + B + C = 0 thì A
3
+ B
3
+ C
3
= 3 ABC
Chứng minh rằng nếu A + B + C = 0 thì A
3
+ B
3
+ C
3
: A.B.C
III- các tri thức ph ơng pháp:
Nếu ngời giáo viên chỉ chăm chú vào việc giải toán mà không rút ra tri
thức phơng pháp thì học sinh chỉ biết những bài tập đó ma không biết phơng
pháp để giải những bài toán tơng tự hay tổng quát hơn.

Giải bài toán này sẽ khó hơn bài toán trên. Dành cho đối tợng học sinh
khá. Tuy nhiên ta cũng có thể làm cho bài toán dễ đi.
Ví dụ: Giải hệ bất phơng trình:
3x - 1 0
5x - 10 0
x - 2 > 0
v- một số con đ ờng tạo ra bài toán mới từ bài toánban đ ầu
I- Tác dụng của việc tạo ra bài toán mới từ bài toán ban đầu:
Để đảm nhận đợc vai trò Ngời thiết kế xây dựng nội dung giảng dạy,
thiết kế những tình huống để học sinh tự giác học tập, tự giác tham gia các
12
Các hớng khai thác một bài toán GV:
Hoàng Phơng Mai
hoạt động giải toán, ngời giáo viên phải có năng lực tạo ra các bài toán mới
phù hợp với yêu cầu của tiết dạy, phù hợp với trình độ thực tế của học sinh.
Bài toán mới có thể la bài toán hoàn toàn mới, cũng có thể là sự mở rộng, đào
sâu khai thác những bài toán đã biết. Thật ra, khó có thể tạo nên một bài toán
hoàn toàn không có quan hệ gì về nội dung, phơng pháp với những bài toán đã
có. Để thực hiện những ý đồ s phạm, trong từng tình huống cụ thể, đối với
từng loại đối tợng học sinh, giáo viên phải có khă năng làm dễ đi những bài
toán khó, làm khó thêm những bài toán dễ, tạo ra những bài toán có mức độ
khó khăn, phức tạp nh nhau hoặc đa dạng hoá các loại bài toán theo một chủ
đề nhất định.
Dới đây là một số con đờng dẫn đến cácbài toán mới từ bài toán ban
đầu.
iI-các con đờng tạo ra bài toán mới
1. Lập bài toán tơng tự với bài toán ban đầu
Ví dụ 1: Bài toán ban đầu: Cho tỉ lệ thức
d
c

BàI
TOáN
BAN
ĐầU
BàI
TOáN
MớI
Lập bài toán tơng tự
Lập bài toán đảo
Thêm một số yếu tố, đặc biệt hóa
Bớt một số yếu tố, khái quát hóa
Thay đổi một số yếu tố
Các hớng khai thác một bài toán GV:
Hoàng Phơng Mai
mình tìm ra những kết quả khác từ các bài toán ban đầu. Chẳng hạn, từ tỉ lệ
thức:
d
c
b
a
=
học sinh có thể chứng minh các kết quả sau:
;;
22
22
dc
ba
cd
ab
dc

) Q(B = 30
0
) => R (AC =
2
1
BC). Ta có
thể lập đợc 3 mệnh đề đảo:
Mệnh đề đảo 1: P => P Q
AC =
2
1
BC => A = 90
0
; B = 30
0
Mệnh đề đảo 2: P R => Q
A = 90
0
; AC =
2
1
BC => B = 30
0
Mệnh đề đảo 3: Q R => P
B = 30
0
; AC =
2
1
BC => A = 90

Ví dụ 1: Từ bài toán ban đầu.
Hãy tính tổng sau:
A =
10.9
1
9.8
1
_
4.3
1
3.2
1
2.1
1
++++
Bài toán mới: Hãy tính tổng sau:
B =
132
1
110
1
90
1
72
1
56
1
42
1
30

3
20
3
+++++++
Ví dụ 2: Bài toán đầu: Cho ABC cân có góc A = 100
0
. Trong góc C vẽ
tia Cx sao cho góc BCx = 30
0
. Tia này cắt tia phân giác của góc B tại E.
Chứng minh rằng AB = EB và tính góc AEB.
Bài toán này vào loại khó vì nó đòi hỏi phải vẽ thêm đờng phụ khá đặc
biệt. Vì vậy, để làm bài toán dễ giải hơn, ta có thể thêm câu hỏi nhằm gợi ý
cho việc giải bài toán.
Bài toán mới: Cho ABC cân có góc A bằng 100
0
. Trong góc C vẽ tia
Cx sao cho góc BCx bằng 30
0
. Tia này cắt phân giác của góc B tại E.
a) Vẽ ABC đều (A và D thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ BC).
Chứng minh rằng DA là phân giác của góc BDC.
b) Chứng minh rằng AB-EB và tính góc AEB.
Rõ ràng việc đa thêm câu hỏi a là nhằm gợi ý cho việc giải câu b.
Trong trờng hợp, việc đa thêm một số yếu tố của bài toán ban đầu có
thể chuyển việc nghiên cứu đối tợng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp
đã cho. Nói cách khác, khi đa thêm các điều kiện hạn chế, ta chuyển từ trờng
hợp chung sang trờng hợp riêng, đã tiến hành đặc biệt hoá bài toán ban đầu.
Ví dụ 3: Bài toán ban đầu: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình.
xy = x + y + 1995

Ví dụ 2: Bài toán ban đầu: Cho nhọn ABC. Hai đờng cao BD và CE
cắt nhau tại H. Cho biết AB = HC. Tính góc C.
Bài toán mới: Bỏ yếu tố "Nhọn" của ABC ta có bài toán mở rộng hơn
nh sau: Cho ABC. Hai đờng cao BD và CE cắt nhau tại H. Cho biết AB =
HC. Tính góc C. Bài toán ban đầu chỉ có một đáp số là số đo của góc C bằng
45
0
còn bài toán mới, do bỏ điều kiện "Nhọn" của ABC nên ta có thể một
đáp số nữa là số đo của góc C bằng 135
0
.
5. Thay đổi một số yếu tố của bài toán ban đầu:
Khi thay đổi một số yếu tố của bài toán đã cho, ta có thể thay đổi một
vài dữ kiện, giả thiết; cũng có thể thay đổi một vài điều phải tìm, phải chứng
17
Các hớng khai thác một bài toán GV:
Hoàng Phơng Mai
minh: hoặc cũng có thể thay đổi vài điều nằm trong giả thiết và kết luận của
bài toán. Việc thay đổi này nhằm làm cho bài toán đã cho trở thành bài toán
khác, có thể dễ hơn hay khó hơn, có thể chuyển sang một thể loại khác, phải
dùng phơng pháp giải khác so với bài toán ban đầu.
Ví dụ: Bài toán ban đầu (Bài toán 1):
Cho ABC và đờng cao AH. Biết rằng AH =
2
1
BC và góc C bằng 75
0
.
Chứng minh rằng ABC là cân.
Bài toán này có nhiều cách giải. Một trong những cách giải là nh sau:

BD và góc ABC
bằng 15
0
Chứng minh rằng ABD cân.
Dựa vào kết quả của bài toán 1 và bài toán 2, ta suy ra bài toán mới nh sau:
Bài toán 3: Cho ABC (AB = AC) có góc B bằng 30
0
. Kẻ đờng cao BK.
Trên BK lấy điểm D sao cho BD= AC. Chứng minh rằng ADC đều.
Nghiên cứu ABC cân ở đỉnh góc B bằng 30
0
, ta nhận thấy nếu biết
cạnh bên AB = BC=1 thì ta tính đợc cạnh đáy AC =
32
. Nhng trong hình
1 có AC = AD=BD nên ta có thể đề xuất bài toán 4 nh sau:
Bài toán 4: Tính độ dài cạnh bên của một tam giác cân có góc ở đỉnh
bằng 130
0
và cạnh đáy có độ dài bằng 1.
Xem xét kỹ BKC (Góc K bằng 90
0
), góc KBC bằng 15
0
, góc KCD
bằng 60
0
, BC = DC, ta có thể đề xuất gbài toán 5 nh sau:
Bài toán 5: Không dùng bảng số và máy tính hãy tính tg15
o

Đặt KC = a ta lần lợt có: tg15
o
= tg góc KED
=
32
23
1
23
=
+
=
+
=
+
+
==
aa
a
DCKD
CEKE
CD
CE
DK
KE
19
B
D
K C
a
H.2

9. 8 9. 9
10. 7 10. 8
20
Các hớng khai thác một bài toán GV:
Hoàng Phơng Mai
trung bình
6.5
trung bình
7.6
Nh vậy có thể kết luận đợc rằng. kết quả của nhóm 2 cao hơn của nhóm
1.
Ch ơng Iv : kết luận
Qua quá trình giảng dạy và thực hiện sáng kiến kinh nghiệm tôi đã rút
ra một số kinh nghiệm nh sau:
Trong dạy học toán cho học sinh nói chung và học sinh THCS nói
riêng, việc dạy học các bài tập là vô cùng quan trọng. Để làm tốt đợc nhiệm
vụ này, ngời giáo viên nhất thiết phải trang bị cho mình những kiến thức, kĩ
năng về các hớng khai thác một bài tập. Có đợc những kiến thức, kĩ năng này
ngời giáo viên sẽ có điều kiện dạy tốt nhiều đối tợng học sinh trong cùng 1
bài toán, có điều kiện giúp học sinh nắm chắc, hiểu sâu kiến thức, biết phân
biệt đợc các yếu tố chính, cơ bản trong mỗi bài tập. Khai thác tốt bài tập giúp
học sinh học ít mà hiểu nhiều, rèn đợc óc sáng tạo, khả năng tìm tòi, phán
đoán, khái quát hoá.
Trong quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm,các hớng khai thác
một bài toán là vô cùng phong phú và sinh động, hơn nữa là một giáo viên trẻ
mới ra trờng, năng lực còn hạn chế nên sáng kiến kinh nghiệm này không
tránh khỏi có những sai sót. Rất mong nhận đợc sự đóng góp ý kiến của các
đồng chí để tôi giảng dạy ngày một tốt hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu trờng THCS Tiên Hiệp, các
đồng chí trong tổ Khoa học tự nhiên, các thầy cô giáo trong Hội đồng s phạm