Sỏng kin kinh nghim GV: Phan Qunh Nga THCS Ngha Liờn
Khai thác một bài toán nhằm phát huy tính sáng tạo cho
học sinh
Giải quyết cái phức tạp từ cái đơn giản, từ cái đơn giản khái quát thành vấn
đề tổng quát là hai hoạt động bỗ trợ cho nhau trong quá trình hình thành t duy
toán học.
I - Nhận thức cũ - Tình trạng cũ.
Khi giải quyết một bài toán ta thờng đặt ra một câu hỏi: " Đã gặp bài toán nào tơng
tự cha?". Điều này rất cần thiết với việc học toán.
* Học sinh THCS nói chung cha có năng lực giải các bài toán khó, nhng nếu đợc
giáo viên định hớng về phơng pháp hoặc kiến thứcvận dụng, hoặc gợi ý về phạm vi tìm
kiếm thì các em có thể giải quyết đợc vấn đề.
*Trong quá trình dạy toán nhiều giáo viên còn xem nhẹ hoặc cha chú trọng việc nâng
cao, mở rộng, phát triển các bài toán đơn giản ở SGK hoặc cha đầu t vào lĩnh vực này, vì
thế việc phát triển vấn đề mới từ bài toán quen thuộc còn nhiều bỡ ngỡ và khó khăn. Cha có
một định hớng củ thể.
*Việc đa ra một bài toán hoặc phát triển một bài toán cho phù hợp với từng đối tợng
học sinh để có kết qủa giáo dục tốt còn hiều hạn chế.
*Đại đa số học sinh THCS còn e ngại với bộ môn Hình Học do thiếu sự tự tin và
niềm đam mê.
II - Nhận thức mới, giải pháp mới
A. Nhận thức mới
+ Để giải quyết vấn đề trên trong quá trình giảng dạy cần chú trong các bài toán ở
SGK. Biết phát triển các bài toán đơn giản đã gặp để tăng vốn kinh nghiệm vừa phát triển
năng lực t duy toán học, vừa có điều kiện tăng khả năng nhìn nhận vấn đề mới từ cái đơn
giản và từ đó hình thành phẩm chất sáng tạo khi giải toán sau này.
+ Việc phát triển một bài toán phù hợp với từng đối tợng học sinh là rất cần thiết và
quan trọng, nó vừa đảm bảo tính vừa sức và là giải pháp có hiệu quả cao trong việc giải
toán vì nó không tạo cho học sinh sự nhụt chí mà là động lực thúc đẩy giúp cho học sinh có
sự tự tin trong quá trình học tập, bên cạnh đó còn hình thành cho các em sự yêu thích và
đam mê bộ môn hơn.

h
e
q
o
n
p
Nm hc: 2010-2011
1
Sỏng kin kinh nghim GV: Phan Qunh Nga THCS Ngha Liờn
(Hình 1)
Với bài toán trên ta có hai xu hớng phát triển để phù hợp với hai đối tợng học
sinh là học sinh Trung bình và học sinh Khá -Giỏi.
Đối t ợng I: đối với học sinh trung bình
Sau khi giải xong bài toán trên ta đa ra nhận xét:
Nhận xét 1: Tơng tự ta có thể chứng minh đợc các tam giác nào cân, từ đó hãy chứng
minh DE // PQ ( P,Q là chân các đờng cao lần lợt hạ từ A và B)
Vậy ta có thể yêu cầu thêm cho học sinh nh sau:
4) Gọi P,Q lần lợt là chân các đờng cao hạ từ A và B của tam giác ABC. Chứng minh:
PQ // DE.
Nếu yêu cầu này đợc đa ra ngay từ đầu thì chắc chắn HS sẽ gặp khó khăn trong khi
giải. Vì vậy qua việc giải các câu trên HS có thể giải nh sau.
Tóm tắt giải: Tơng tự câu 2 chứng minh tam giác HAE cân tại A nên
QH = QE suy ra PQ là đờng trung bình của tam giác DHE. Vậy PQ // DE.
Nhận xét 2: Trên hình vẽ. Các tứ giác AQPB và CPHQ có nội tiếp đợc
không? Hãy xác định tâm của các đờng tròn ngoại tiếp chúng?
5) Hãy xác định tâm của các đơng tròn ngoại tiếp các tứ giác AQPB và CPHQ?
Tóm tắt giải: + Tứ giác AQPB nội tiếp đờng tròn đờng kính AB.
Nên tâm là trung điểm của AB.
+ Tứ giác CPHQ nội tiếp đờng tròn đờng kính HC.
Nên tâm là trung điểm của HC.

- Việc khai thác bài toán này với mức độ từng bớc nâng dần nh trên vừa tổng hợp đợc các
kiến thức quan trọng vừa hoc trong chơng vừa tái hiện, xâu chuỗi đợc các kiến thức đã học
Nm hc: 2010-2011
2
Sỏng kin kinh nghim GV: Phan Qunh Nga THCS Ngha Liờn
trớc đây. Từ đó giúp học sinh thấy đợc sự đa dạng và lí thú của toán học, tạo cho các em có
sự hứng thú trong học tập và thêm yêu thích bộ môn hơn.
- Với mức độ yêu cầu nh trên ta có thể còn nhiều cách khai thác và có thể đề xuất theo
nhiều hớng khác nhau và cách giải khác nhau. Nhng ở đây tôi chỉ đề xuất theo trình tự yêu
cầu mức độ kiến thức tăng dần và có sự liên hệ giữa câu sau với câu trớc. Kiến thức vân
dụng chủ yếu ở chơng Đờng tròn. (Bài tập này ở phần ôn tập chơng III - Đờng tròn).
Đối t ợng II đối với học sinh khá - giỏi
Từ bài toán xuất phát ta đặt vấn đề nh sau:
Nhận xét 7: Sau khi giải xong bài toán ta thấy: Điểm D và E lần lợt đối xứng với điểm H
qua các cạnh BC và AC. Vậy nếu lấy điểm F đối xứng với H qua AB thì điểm F có thuộc đ-
ờng tròn (O) không? Ta có bài toán sau:
Bài toán 1: Cho tam giác ABC, các đờng cao AP và BQ cắt nhau tại H.
E, D lần lợt là các điểm đối xứng với H qua AC và BC.
1) Chứng minh rằng: Năm điểm A,B,D,C,E cùng thuộc một đờng tròn.
Tóm tắt chứng minh: (Hình 2)
- Dựng đờng tròn (O) ngoại tiếp tam
giác ABC.
Ta chứng minh: D,E thuộc đờng tròn
(O).
- E,H đối xứng qua AC nên tam giác
HAE cân tại A
suy ra A1 = A2 mà A1 = B1 (cùng phụ
với H1 = H2 ).
Vậy A2 = B1 suy ra tứ giác BAEC nội
tiếp đờng tròn (O).

+ ADM = 90
0
nên DM // BC suy ra tứ giác BDMC là hình thang.
Mà C1 = D1 ( Nội tiếp cùng chắn 1 cung)
Suy ra C2 = B2 ( Cùng phụ với C1 = D1)
Suy ra BM = CD
suy ra BDMC là hình thang cân.
+ BH = MC ( cùng bằng BD)
BH // MC ( cùng vuông góc AC).
Vậy BHCM là hình bình hành.
Nm hc: 2010-2011
3
Sỏng kin kinh nghim GV: Phan Qunh Nga THCS Ngha Liờn
Nhận xét 10: Gọi BC giao với HM tại N. Có dự đoán gì về đờng thẳng ON với đoạn DM?
4) Gọi N = BC HM. Chứng minh rằng ON là trung trực của đoạn DM.
Tóm tắt giải: (Hình 2)
Từ câu 3 ta có:
NB = NC ( Liên hệ giữa đờng kính và dây),
Suy ra ON vuông góc BC ON vuông góc DM ( theo câu 3 DM // BC ). ON là đ-
ờng kính nên ON đi qua trung điểm của DM, Hay ON là trung trực của DM.
Giáo viên có thể đặt yêu cầu cho học sinh: bằng cách tơng tự ta có thể đoán nhận
trên hình còn có những hình bình hành và hình thang cân nào khác?
Quan hệ gữa đoạn ON và đoạn AH có gì đặc biệt không ?
Vậy từ bài toán gốc ta xây dựng đợc bài toán 1 với mức độ phù hợp với học sinh khá
- giỏi. Trình tự các yêu cầu đợc mở rộng và có sự liên hệ, kế thừa các tính chất của câu tr-
ớc. Giải quyết đợc vấn đề trớc thì các vấn đề sau cũng đợc giải quyết nhẹ nhàng hơn.
Việc cho học sinh tự đoán nhận hình giúp học sinh có khả năng dự đoán hình dựa
trên cơ sở các tính chất của nó. Từ đó các em đợc củng cố các tính chất đã học của hình đ-
ợc dự đoán qua đó hình thành cho học sinh khả năng tự phân tích tổng hợp các tính chất
và có thể khái quát thành bài toán tổng quát hơn.

o
n
(Hình 3)
* Bài toán này có thể giải theo cách khác, ở đây tôi chỉ trình bày có tính kế thừa cách giải
từ bài toán 1. Tức là quy lạ về quen .
Sau khi giải xong bài toán trên ta có thể khẳng định với học sinh xem bài toán trên
nh một định lí quan trọng và cần nhớ để áp dụng cho giải toán sau này.
Nh vậy lại có một vấn đề phải đặt ra là: Nếu xem bài toán nh một định lí thì phải xét tính
toàn diện của nó. Tức là tính chất trên phải đúng trong mọi trờng hợp.
Vậy còn trờng hợp nào ta cấn phải xét?
+ Nếu trực tâm H nằm ngoài tam giác thì bài toán 2 còn đúng nữa không? (Hình 4)
Nm hc: 2010-2011
4
Sỏng kin kinh nghim GV: Phan Qunh Nga THCS Ngha Liờn
Tơng tự : Với bài toán 1. Giả sử tam giác ABC có một góc tù thì các kết luận 1;2;3;4 có
đúng nữa không ?(Hình 5)
a
b
c
d
h
q
o
p
e
(Hình 4)

a
b
c

b
c
m
h
o
n
p
h
3
h
2
h
1
(Hình 6)
B ớc 2: Phải chứng minh điểm H là duy nhất:
Giả sử tồn tại thêm một điểm H' khác H bất kì trong mặt phẳng chứa tam giác ABC thoả
mãn điều kiện bài toán.
Tức là: Điểm đối xứng của H' qua các điểm M,N,P lần lợt là H'1 , H'2, H'3 , khi đó ta có: H'M
= MH'1 ; H'N = NH'2 suy ra MN là đờng trung bình của tam giác H'1H'H'2
suy ra MN //=
2
1
H'1H'2 .
Mà MN //=
2
1
H1H2 //=
2
1
AB.

một điểm H thoả mãn:
Giả sử tồn tại một điểm H' khác H
trong mặt phẳng thoả mãn yêu cầu của
bài toán. Lúc đó ta gọi tâm các đờng
tròn ngoại tiếp các tam giác AH'B,
AH'C và BH'C lần lợt là O1, O2, O3.
Do ba đờng tròn bằng nhau nên: IO1 =
IO3; JO2 = J O3; TO1 = TO2, suy ra
a
b
c
h
o
p
q
k
(Hình7)
a
b
c
h
o
i
t
j
o
1
o
2
o

+ Từ mỗi bài toán sau mỗi nhận xét trên còn có thể có hớng khai thác khác để đề xuất thêm
bài toán mới và lời giải cũng có thể giải theo nhiều cách khác nhau. Tuy nhiên ở đây chỉ
xây dựng bài toán mới và đinh hớng cách giải dựa trên cơ sở các bài toán trớc nó.

III- bài học kinh nghiệm
1. Để lôi cuốn đợc học sinh tham gia tích cực và tự giác, tạo cho các em sự tự tin và niềm
đam mê trong học tập, thì khi đa ra một vấn đề, một bài toán cần chú ý tới đối tợng học
sinh, khả năng của các em ở mức độ nào, từ đó giáo viên mới đa ra yêu cầu đề đảm bảo tính
vừa sức đối với học sinh.
Trong cả quá trình dạy học nên chú trọng khai thác, mở rộng các bài toán ở SGK trong
chừng mực có thể, hợp lí nhằm rèn luyện cho học sinh biết nhìn nhận bài toán dới nhiều
góc độ khác nhau, hình thành năng lực t duy tổng hợp và sáng tạo toán học từ đó tạo cho
học sinh sự hứng thú trong học tập.
2. Một số định hớng khi khai thác một bài toán cho phù hợp với đối tợng:
a) Với học sinh trung bình:
+ Kiến thức: Không nên đa ra yêu cầu mà khi giải quyết phải vận dụng
quá nhiều đơn vị kiến thức cơ bản, mức độ lập luận là trực tiếp hoặc chỉ
nên suy luận từ một đến hai bớc. (đa ra yêu cầu trực tiếp, tờng minh
kiến thức cần đạt).
+ Kĩ năng: chú trọng kĩ năng trình bày lời giải và căn cứ lập luận.
b) Với học sinh khá - giỏi:
+ Kiến thức : Có thể yêu cầu ở mức độ tổng quát hơn, vấn đề đa ra đòi
hỏi học sinh phải t duy thật sự và phải biết phân tích xét các trờng
hợp xảy ra của bài toán và nêu rõ đợc mấu chốt của bài toán là ở đâu.
+ Kĩ năng: Đòi hỏi phải có cách lí luận chặt chẽ, ngắn gọn và khoa học,
khả năng vận dụng kiến thức một cách tổng hợp, sáng tạo.
Với các tiêu chí nh trên giáo viên có căn cứ cụ thể để từ đó định hớng đợc hớng mở
rộng một bài toán cho phù hợp với các đối tợng học sinh.
Bản thân tôi là một giáo viên , vốn kiến thức và kinh nghiệm còn nhiều hạn chế, vì vậy
chắc rằng bài viết còn nhiều thiếu sót. Tuy nhiên tôi cũng xin mạnh dạn trình bày những

9A 48 2 4% 23 48% 18 38% 5 10%
9C 46 4 8% 26 57% 13 28% 3 7%
9D 47 2 4% 25 53% 16 34% 4 9%
Nhìn chung chất lợng đợc nâng lên khá đồng đều, do có thể áp dụng phù hợp với khả
năng tiếp thu của từng đối tợng học sinh
Ngoài việc nâng cao đợc chất lợng học tập cho học sinh còn tạo cho các em sự tự tin
khi làm một bài toán Hình Học, do qua quá trình giảng dạy đã phần nào gây dựng đợc cho
các em sự tự tin và niềm đam mê trong học tập nói chung và bộ môn Hình Học nói riêng.
Nm hc: 2010-2011
9