Bài tập tự luyện : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Luyện thi Đại học năm 2010
Giáo viên: Nguyen Van Trinh - ĐT : 0982.071279 - Chuyên luyện thi Đại học tại Hà Nội
Trang 1
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ÔN THI ĐẠI HỌC NĂM 2010 MÔN TOÁN LỚP 12
CHUYÊN ĐỀ : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN
Bài 1:
Cho khối chóp
S.ABC . Trên ba cạnh SA; SB; SC lần lượt lấy ba điểm A'; B'; C' (không trùng S). Gọi V và
V' lần lượt là thể tích khối chóp
S.ABC;S.A 'B'C ' .Chứng minh rằng:
V' SA' SB' SC'
VSASBSC
=⋅⋅

Bài 2: ĐS:
1
2

Khối chóp
S.ABCD có đáy là hình bình hành, M là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua AM, song
song với BD chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.
Bài 3: ĐS:
3
a2 a6
a) ; b)
66

Cho hình chóp tứ giác đều có các cạnh bằng a:
S.ABCD
a) Tính thể tích khối chóp.
b) Tính khoảng cách từ tâm mặt đáy đến các mặt của hình chóp.

Bài 6: ĐS:
35
V
10
=

Khối lăng trụ
111
ABC.A B C có đáy là tam giác vuông cân, cạnh huyền AB 2= . Mặt phẳng
(
)
1
AA B
vuông góc với mặt phẳng
()
ABC ,
1
AA 3= ;
1
AAB
∠
nhọn;
()()
(
)
0
1
AAC;ABC 60∠=. Tính thể tích
khối lăng trụ.
Bài 7: ĐS: b)

2
a10
Sdvdt
16
=

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lượt là các trung điểm
của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với
mặt phẳng (SBC).
Bài 10: ĐS:
Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tam giác ABC có AB = BC =
2a, góc ABC bằng 120
0
. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC).
Bài 11: ĐS:
21
7

Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông
góc với đáy. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Bài tập tự luyện : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Luyện thi Đại học năm 2010
Giáo viên: Nguyen Van Trinh - ĐT : 0982.071279 - Chuyên luyện thi Đại học tại Hà Nội
Trang 2
Bài 12: (D.2006) ĐS:
3
257a 33a
a) b)
19 50

Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt

α=

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 2a. Góc giữa các mặt
bên và mặt đáy là α.
a) Tính thể tích khối chóp theo a va α.
b) Xác định α để thể tích khối chóp nhỏ nhất.
Bài 15: (B.2006) ĐS:
3
a2
V
36
=

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
AB a
=
; AD a 2= ; SA a= và SA vuông góc
với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC.
a) Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB).
b) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
Bài 16: (D.2009) ĐS:
3
4a 2a 5
V;d
95
==

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
AB a= ; AA ' 2a= ; A'C 3a
=

theo a.
Bài 18: (B.2009) ĐS:
3
9a
V
208
=

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có BB' = a, góc giữa đường thẳng BB' và mặt phẳng (ABC) bằng
60
0
; tam giác ABC vuông tại C và
0
BAC 60∠=. Hình chiếu vuông góc của điểm B' lên mặt phẳng (ABC)
trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A'ABC theo a.
Bài 19: ĐS:
3
V3a=
Trong không gian cho hình chóp tam giác đều
S.ABC có SC a 7= . Góc tạo bởi (ABC) và (SAB) bằng
0
60
. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
Bài 20: ĐS:
3
a
V
6
=


.
Bài 22: (Chuyên ĐH Vinh 2008) ĐS:
3
35a
V2a;h
10
==

Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy là hình chữ nhật, AD a 2;CD 2a
=
= . Cạnh SA vuông góc đáy và
32aSA =
. Gọi K là trung điểm AB.
a) Chứng minh rằng (SAC) vuông góc với (SDK)
b) Tính thể tích khối chóp
C. SDK theo a; Tính khoảng cách từ K đến (SDC).
Bài 23: ĐS:
3
a6
V
12
=

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt phẳng (SAC) vuông góc với đáy,
0
ASC 90∠=; SA tạo với đáy một góc 60
0
. Tính thể tích khối chóp.

Bài 26: ĐS:
3
a3 a 3
a) b)
46

Cho hình chóp tứ giác đều
S .ABCD
cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác SAC và khoảng cách
từ G đến mặt bên (SCD) bằng
a3
6
.
a) Tính khoảng cách từ tâm của mặt đáy đến mặt bên (SCD).
b) Tính thể tích khối chóp
S .ABCD

Bài 27: ĐS:
3
a
c)
36

Cho hình chóp
S .ABC
có đường cao AB BC a; AD 2a
=
==, đáy là tam giác vuông cân P . Gọi B' là
trung điểm của SB; C' là chân đường cao hạ từ A xuống SC.
a) Tính thể tích khối chóp

Bài tập tự luyện : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Luyện thi Đại học năm 2010
Giáo viên: Nguyen Van Trinh - ĐT : 0982.071279 - Chuyên luyện thi Đại học tại Hà Nội
Trang 4
Bài 30: (CĐ.2008) ĐS:
3
3
a
a) a ; b)
3

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang
0
BAD ABC 90∠=∠=; AB BC a; A D 2a== =. SA
vuông góc với đáy và
SA 2a= . Gọi M; N lần lượt là trung điểm của SA; SD. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD và khối chóp S.BCNM.
Bài 31: (A.2008) ĐS:
3
a1
V;cos
24
=α=

Cho lăng trụ
ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A,
AB a;AC a 3== và hình chiếu vuông góc của A' trên (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể
tích khối chóp
A'.ABC và cosin của góc giữa hai đường thẳng AA' và B'C'.
Bài 32: (A.2007) ĐS:
3

d
13
=

Cho hình chóp S.ABC có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60
0
. Các tam giác ABC và SBC là
các tam giác đều cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (SAC)
Bài 35: (B.2007 – DB1) ĐS:
3
2a
V
27
=

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy. Cho
AB a; SA a 2==. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên SB; SC. Chứng minh
()
SC AHK⊥ và tính
thể tích khối chóp OAHK.
Bài 36: (B.2007 – DB2) ĐS:
3
R6
V
12
=

Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao
cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho
()

.
Bài 38: (D.2007 – DB2) ĐS:
a10
d
30
=

Cho lăng trụ đứng ABCA
1
B
1
C
1
có tất cả các cạnh đều bằng a. M là trung điểm của đoạn AA
1
. Chứng minh
BM ⊥ B
1
C và tính
()
1
BM;B C
d
Bài 39: (B.2007) ĐS:
a2
d
4
=

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. E là điểm đối xứng của D qua trung điểm

=
Cho hình chóp S.ABC mà mỗi mặt bên là một tam giác vuông.
SA SB SC a
=
==
. Gọi M; N; E lần lượt là
trung điểm của các cạnh AB; AC; BC. D là điểm đối xứng của S qua E; I là giao điểm của AD và (SMN).
a) Chứng minh rằng
AD SI⊥ .
b) Tính theo a thể tích khối tứ diện M.BSI.
Bài 42: (A.2006 – DB1) ĐS:
3
3a
V
16
=

Cho hình hộp đứng
ABCD.A'B'C'D' có các cạnh
a3
AB AD a; AA '
2
== =
và góc
0
BAD 60∠=. Gọi
M và N lần lượt là trung điểm của A'D' và A'B'. Chứng minh AC' vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính
thể tích khối chóp A.BDMN.
Bài 43: (A.2006 – DB2) ĐS:
3

SA a= . Gọi C' là trung điểm SC, mặt phẳng (P) đi qua AC' và song song với BD, cắt các
cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B', D'. Tính thể tích của khối chóp S.AB'C'D'.
Bài 45: (B.2006 – DB2) ĐS:
22 2 22
A'.BB'C'C
23ba a3ba
tan ; V
a6
−−
α= =

Cho hình lăng trụ
ABC.A'B'C' có A'ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB a= , cạnh bên
AA' b= . Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A'BC). Tính tan
α
và thể tích khối chóp A'BB'C'C.
Bài 46: (D.2006 – DB1) ĐS:
3
22
2ab
V
3
a16b
=⋅
−

Cho hình chóp tứ giác đều
S.ABCD cạnh đáy bằng a. Gọi SH là đường cao của hình chóp. Khoảng cách
từ trung điểm I của SH đến mặt phẳng (SBC) bằng b. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD

0
. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ.
Bài 49:
Cho hình hón đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O, SA và SB là hai đường sinh. Biết
SO 3a= , khoảng cách từ
O đến mặt phẳng (SAB) bằng a, diện tích tam giác SAB bằng 18a
2
. Tính thể tích và diện tích xung quanh
của khối nón đã cho.
Bài tập tự luyện : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Luyện thi Đại học năm 2010
Giáo viên: Nguyen Van Trinh - ĐT : 0982.071279 - Chuyên luyện thi Đại học tại Hà Nội
Trang 6
Bài 50: ĐS:
23
tp
S4a;Va
=
π=π;
()
3
O.O.AB
a3
Vdvtt
12
=
Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn tâm O và O'. Bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên đường
tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O' lấy điểm B sao cho
AB 2a= .
a) Tính diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích của khối trụ.
b) Tính thể tích tứ diện OO'AB.

()
23
2
max
4R 8R 4R
Vx x;V ,xR
33 3
=− + = =

Bài 55: ĐS:
4
22
4a
S
3a b
π
=
−

Cho tứ diện ABCD có
AB BC A C BD a====; AD b
=
. Hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) vuông góc với
nhau.
a) Chứng minh tam giác ACD vuông.
b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 56:
Hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a, tâm đáy là O; chiều cao
a
SH

π−π
=+π − + =π⇒=
+π

Bài 57: ĐS:
23
2
29 a 29 29 a
S4R ;V
16 384
ππ
=π = =

Cho hình chóp tứ giác đều
S.ABCD cạnh đáy và chiều cao cùng bằng a. Gọi E; K lần lượt là trung điểm
của các cạnh AD và BC.
a) Tính diện tích xung quanh của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.EBK.
b) Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.EBK.
Bài 58: ĐS:
2
24 a
S
9
π
=

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy có độ dài bằng a, cạnh bên tạo với mặt đáy một góc 30
0
.
Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.