Sáng kiến kinh nghiệm.
Dạy học
Giải toán bằng cách lập phơng trình
và hệ phơng trình.
a. đặt vấn đề
Nh chúng ta đã biết, ngay từ những ngày đầu mới cắp sách đến trờng. Học
sinh lớp 1 đã đợc tập giải phơng trình. Đó là những phơng trình rất đơn giản dới dạng
điền số thích hợp vào ô trống. Đối với các học sinh ở lớp cao hơn thì tính chất phức
tạp đề bài toán dới dạng phơng trình cũng dần đợc nâng lên. Đó là những phơng trình
viết sẵn, học sinh chỉ việc giải phơng trình, tìm ra ẩn số.
Tuy nhiên đối với học sinh lớp 8, lớp 9 các đề toán về phơng trình có thêm
dạng bài toán có lời, học sinh căn cứ vào đề bài toán để thành lập phơng trình. Kết
quả của bài toán không chỉ phụ thuộc vào kỹ năng giải phơng trình và còn phụ
thuộc nhiều vào việc thành lập phơng trình.
Đề bài toán là một đoạn văn mô tả mối quan hệ giữa các đại lợng đã biết và
các đại lợng cần tìm. Yêu cầu học sinh phải có kiến thức phân tích, khái quát,
tổng hợp liên kết các đại lợng với nhau, chuyển đổi từ ngôn ngữ thông thờng sang
ngôn ngữ toán học để thành lập phơng trình để giải.
Nội dung của bài toán hầu hết gắn với thực tiễn đời sống con ngời, nên
trong quá trình giải loại toán này học sinh thờng không lu tâm đến yếu tố thực tiễn
dẫn đến đáp số vô lý.
Việc giải các bài toán bằng cách lập phơng trình đối với học sinh ở bậc
THCS là một việc làm mới mẻ và khá khó khăn, dễ gây tình trạng học sinh chán
nản hoặc sợ hãi khi gặp dạng toán này.
Chính vì vậy nhiệm vụ của ngời thầy giáo không chỉ đơn thuần truyền thụ
cho học sinh những kiến thức cơ bản theo trình tự sách giáo khoa, mà vấn đề đặt ra
1
là ngời thầy phải dạy cho học sinh phơng pháp giải loại toán này phải dựa trên
những qui tắc chung là: Yêu cầu về giải một bài toán, qui tắc giải bài toán bằng
cách lập phơng trình , phân loại các loại toán dựa vào quá trình biến thiên của các
đại lợng làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các đại lợng dẫn đến lập đợc phơng trình dễ

hợp lý cha.
2.1. Yêu cầu 2: Lời giải bài toán lập luận phải có căn cứ chính xác.
Đó là trong quá trình thực hiện từng bớc có lôgic chặt chẽ với nhau, có cơ
sở lý luận chặt chẽ, đặc biệt phải chú ý đến việc thoả mãn điều kiện nêu trong giả
thiết. Xác định ẩn khéo léo, mọi quan hệ giữa ẩn và dữ kiện đã cho làm nổi bật đ-
ợc ý phải tìm. Nhờ mối tơng quan giữa các đại lợng trong bài toán thiết lập đợc
phơng trình (hệ phơng trình ) từ đó tìm đợc giá trị của ẩn số. Muốn vậy giáo viên
cần làm cho học sinh hiểu đợc đâu là ẩn? đâu là dữ kiện? đâu là điều kiện? Có thể
thoả mãn đợc điều kiện hay không? điều kiện có đủ để xác định đợc ẩn không? Từ
đó mà xác định hớng đi, xây dựng đợc cách giải.
Ví dụ 1:
Hai cạnh của một khu đất hình chữ nhật hơn kém nhau 4m. Tính chu vi của
khu đất đó nếu biết diện tích của nó bằng 1200m
2
.
H ớng dẫn:
ở đây bài toán hỏi chu vi của hình chữ nhật. Học sinh thờng có xu thế bài
toán hỏi gì thì gọi đó là ẩn, nếu gọi chu vi của hình chữ nhật là ẩn thì bài toán đi
vào bế tắc khó có lời giải. Giáo viên cần hớng dẫn học sinh phát triển sâu trong
khả năng suy diễn để từ đó đặt vấn đề: Muốn tính chu vi hình chữ nhật ta cần biết
gì? => (cạnh hình chữ nhật).
Từ đó: Gọi chiều rộng khu đất hình chữ nhật là x (đơn vị mét, điều kiện x > 0)
Từ đó có phơng trình x ( x + 4 ) = 120 <=> x
2
+ 4x 1200 = 0
3
Giải phơng trình ta có: x
1
= 30; x
2

2
1
=S
(cạnh đáy x chiều cao)
Từ đó gọi chiều dài cạnh đáy(lúc đầu) là x(dm) x > 0.
Thì chiều cao (lúc đầu) sẽ là
4
3
x
=> Diện tích lúc đầu là
xx
4
3
2
1
.
Diện tích sau là
( )






+ 3
4
3
2
2
1

=.
2.4. Yêu cầu 4: Lời giải bài toán phải đơn giản
Bài toán phải đảm bảo đợc 3 yêu cầu trên không sai sót, có lập luận, mang
tính toàn điện và phù hợp kiến thức, trình độ của học sinh, đại đa số học sinh hiểu
và làm đợc.
Ví dụ 3: (Bài toán cổ)
Vừa gà vừa chó
Bó lại cho tròn
36 con
100 chân chẵn
Hỏi có mấy gà, mấy chó?
Với bài toàn này nếu giải nh sau:
Gọi số gà là x (x > 0; x
N
), thì số chó sẽ là 36 x
Số chân gà là 2x; số chân chó là 4(36 - x)
Ta có phơng trình 2x + 4(36 x) = 100
Giải ra ta có: x = 22=> Số gà là 22 con
Số chó là 36 22 = 14con
Thì bài toán sẽ ngắn gọn, dễ hiểu.
Nhng có học sinh giải theo cách dùng 2 ẩn (x, y), hoặc gọi là chân gà là x thì
đã vô tình đa thành bài toán khó hiểu không hợp vào trình độ học sinh.
2.5. Yêu cầu 5: Lời giải phải trình bày khoa học.
Đó là lu ý đến mối quan hệ giữa các bơc giải trong bài toán phải lôgic, chặt
chẽ với nhau. Các bớc sau đợc suy ra từ các bớc trớc nó đã đợc kiểm nghiệm,
chứng minh là đúng hoặc những điều đã biết từ trớc.
5
Ví dụ 4:
Chiều cao của một tam giác vuông = 9,6m và chia cạnh huyền thành hai
đoạn hơn kém nhau 5,6m. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác?

Giúp học sinh hiểu bài toán cho những dữ kiện gì? Cần tìm gì? Có thể mô
tả bằng hình vẽ đợc không?
1.2. Giai đoạn 2:
Nêu rõ các vấn đề liên quan để lập phơng trình. Tức là chọn ẩn nh thế nào
cho phù hợp, điều kiện của ẩn thế nào cho thoả mãn.
1.3. Giai đoạn 3: Lập phơng trình.
Dựa vào các quan hệ giữa ẩn số và các đại lợng đã biết, dựa vào các công
thức, tính chất để xây dựng phơng trình, biến đổi tơng đơng phơng trình đó về ph-
ơng trình về dạng đã biết.
1.4. Giai đoạn 4: Giải phơng trình: Vận dụng các kỹ năng giải phơng trình đã biết
để tìm nghiệm phơng trình.
1.5. Giai đoạn 5:
Nghiên cứu nghiệm của phơng trình để xác định lời giải của bài toán. Tức
là xét nghiệm của phơng trình với điều kiện đặt ra của bài toán với thực tiễn xem
có phù hợp không?
1.6. Giai đoạn 6: Trả lời bài toán, kết luận nghiệm của bài toán có mấy nghiệm
sau khi đã đợc thử lại.
1.7. Giai đoạn 7:
Phân tích biện luận cách giải này thờng mở rộng với học sinh khá, giỏi sau
khi đã giải xong có thể hỏi ý kiến học sinh biến đổi bài toán đã cho thành bài toán
khác nh:
- Giữ nguyên ẩn số thay đổi giữ kiện, giả thiết.
- Giữ nguyên các dữ kiện thay đổi ẩn và giả thiết.
- Giải bài toán bằng cách khác, tìm cách giải hay nhất.
2. Ví dụ minh hoạ cho các giai đoạn giải bài toán bằng cách lập phơng trình.
Ví dụ 5:
7
Nhà Bác An thu hoạch đợc 480kg cà chua và khoai tây. Khối lợng khoai tây
gấp 3 lần khối lợng cà chua. Tính khối lợng mỗi loại?
H ớng dẫn giải:

+ Giai đoạn 6 : Trả lời
Vậy khối lợng khoai đã thu là 306kg
Khối lợng cà chua đã thu là 120kg.
8
+ Giai đoạn 7:
- Từ việc chọn ẩn khác nhau dẫn đến lập phơng trình hoặc hệ phơng trình
cho ta nhiều cách giải, nhng lu ý cho học sinh tốt nhất là đa về lập phơng trình
đơn giản hơn, dễ giải hơn.
- Có thể từ bài toán này xây dựng bài toán mới. Chẳng hạn :
Một phân số có tổng của tử và mẫu là 480. Biết rằng mẫu số gấp 3 lần tử số. Tìm
phân số đó.
III. Phân loại dạng toán giải bài toán bằng cách lập phơng
trình (hệ phơng trình).
Các bài toán giải bằng cách lập phơng trình có thể phân lôi thành một số
dạng chính nh sau:
1. Dạng toán chuyển động.
Ví dụ 6:
Một sà lan xuôi dòng từ A đến B mất 2,5giờ và ngợc dòng từ B về A mất 4
giờ. Biết vận tốc dòng nớc là 3km/h, tính khoảng cách AB.
H ớng dẫn.
- Biết vận dụng linh hoạt công thức: Quãng đờng = Vận tốc x Thời gian.
- Bài toán trên là bài toán chuyển động trong dòng chảy.
Ta có công thức:
Vận tốc xuôi dòng = Vận tốc riêng + Vận tốc dòng nớc.
Vận tốc ngợc dòng = Vận tốc riêng Vận tốc dòng nớc.
(Vận tốc riêng > Vận tốc dòng nớc).
- Nếu chọn ẩn gián tiếp, tức là: Gọi vận tốc riêng của sà lan là x(km/h)
(x>3) ta dẫn đến phơng trình.
2,5(x + 3) = 4(x 3) (1)
Nếu chọn ẩn trực tiếp, tức là: Gọi khoảng cách AB là x(km) dẫn đến phơng trình.

y(
)0y



=+
=+
157
17
22
yx
yx
Bình phơng x
2
y
2
Chú ý: Với dạng toán liên quan đến số học cần chú ý về cấu tạo số; đặc
biệt chú ý điều kiện của ẩn.
3. Dạng toán về năng suất lao động (tỉ số phần trăm).
Ví dụ 8:
Trong tháng đầu 2 tổ sản xuất đợc 400 chi tiết máy. Trong tháng sau tổ
một vợt mức 10%, tổ hai vợt mức 15% nên cả hai tổ sản xuất đợc 448 chi tiết
máy. Tính xem trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy.
H ớng dẫn giải:
- Biết năng suất chung của hai tổ trong tháng đầu là 400 chi tiết. Nếu biết đợc
1 trong 2 tổ sẽ tính đợc tổ kia(chọn ẩn).
- Giả sử đã biết năng suất của tháng đầu sẽ tính đợc năng suất của tháng sau.
- Tính năng suất của từng tổ tháng sau từ đó lập đợc phơng trình.
Từ đó học sinh có thể giải theo 2 cách sau:
Cách 1:

400
yx
yx
Tóm lại: Với loại toán liên quan đến tỷ số phần trăm, giáo viên cần gợi mở
để học sinh hiểu rõ bản chất và nội dung bài toán để dẫn tới mối liên quan để thiết
lập phơng trình.
4. Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng( Toán qui về đơn vị).
Ví dụ 9:
Hai đội dân công cùng sửa một con mơng hết 24 ngày. Mỗi ngày phần việc
của độ 1 làm đợc bằng
2
1
1
phần việc của đội 2 làm đợc. Hỏi nếu làm một mình,
mỗi đội sẽ sửa xong con mơng đó trong bao nhiêu ngày?
H ớng dẫn giải
Coi toàn bộ công việc là một đơn vị công việc và biểu thị bởi số 1.
Cách 1:
Gọi số ngày đội 2 làm một mình sửa xong con mơng là x (ngày) x>0
Trong 1 ngày đội 2 làm đợc là
x
1
công việc
Trong 1 ngày đội 1 làm đợc
x
1
2
3
.
công việc.




=
=+
yx
yx
2
31
24
111
Giải hệ tìm đợc x= 40, y= 60
Tóm lại:- ở dạng toán này ta thờng coi toàn bộ công việc là một đơn vị công việc
và biểu thị bởi số 1.
- Nắm chắc mối quan hệ giữa các đại lợng nhờ hệ thức:
Công việc = Năng suất x Thời gian.
5. Dạng toán về tỷ lệ chia phần (Thêm, bớt, tăng, giảm tỷ số của chúng)
Ví dụ 10:
Có 2 kho dự trữ thóc. Kho thứ nhất nhiều hơn kho thứ hai 100 tấn. Nếu
chuyển từ kho thứ nhất sang kho thứ hai 60 tấn thì lúc đó số thóc ở kho thứ nhất
bằng
13
12
số thóc ở kho thứ hai. Tính số thóc ở mỗi kho lúc đầu?
H ớng dẫn giải
Cách Quá trình Kho I Kho II P.t xây dựng
1
Cha chuyển x + 100 x(x>0)
)( 60
13

Dùng hai lợng nhiệt, mỗi lợng bằng 168KJ để đun nóng 2 khối nớc hơn
kém nhau 1kg. Thì khối nớc nhỏ nóng hơn khối nớc lớn 2
0
C. Tính xem khối nớc
nhỏ đợc đun nóng thêm mấy độ?
H ớng dẫn giải :
- Học sinh nhớ đợc kiến thức vật lý:
+ Công thức tính nhiệt lợng Q = c. m(t
1
t
2
)
+ Nhiệt dung riêng của nớc c = 4,2 KJ/kg độ
Giải:
Giả sử khối nớc nhỏ đợc đun nóng thêm x độ (x>0)
=> Khối lợng của khối nớc nhỏ là
)(
,)(
kg
x
Q
m
ttc 24
168
12
==

=> Khối lợng của khối nớc lớn là:
)(, 224
168

cùng chiều vợt qua, cứ 10 phút lại gặp 1 xe chạy ngợc lại. Biết rằng các xa buýt có
cùng vận tốc khởi hành sau những khoảng thời gian bằng nhau và không dừng lại
trên đờng. Hỏi cứ sau bao nhiêu phút thì các xe buýt lại lần lợt rời bến.
H ớng dẫn giải.
Gọi thời gian phải tìm là x (phút), x>0
Và thời gian du khách đi từ A đến B là a(phút) (a>0)
Trong a phút đi từ A đến B ngời đó gặp
10
a
xe ngợc chiều chạy lại.
Trong a phút ngời đó gặp
15
a
xe cùng chiều vợt qua.
Ta có phơng trình:
12
10
1
15
12
1015
2
=+=+= x
x
aa
x
a
(thoả mãn điều kiện).
Vậy cứ 12 phút các xe buýt lại lần lợt rời bến.
Trên đây là 8 dạng toán thờng gặp về toán giải bài toán bằng cách lập ph-