Lời nói đầu
Việc dạy đúng chuẩn mực kiến thức của chơng trình là một nhiệm vụ
quan trọng của mỗi ngời giáo viên đứng lớp. Tuy nhiên, việc bồi dỡng cho
học sinh khá, giỏi cũng là một việc làm rất cần thiết phải đợc tiến hành thờng
xuyên ở trong các nhà trờng phổ thông trung học cơ sở. Việc bồi dỡng giúp
cho học sinh khá không chỉ nắm vững những kiến thức, kỹ năng cơ bản mà
còn có thói quen suy nghĩ, tìm hiểu kỹ vấn đề để rồi suy luận một cách hợp
logíc tìm ra đợc lối giải những bài tập khó, giúp các em rèn trí thông minh
sáng tạo, có hứng thú trong khi học môn toán.
Đối với môn toán lớp 9, phần '' Phơng trình bậc hai'', ''Phơng trình quy
về phơng trình bậc hai'' là phần kiến thức trọng tâm, là phần kiến thức thờng
xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp, thi học sinh giỏi và thi vào trung
học phổ thông. Do đó, theo tôi học sinh cần nắm thật chắc chắn mảng kiến
thức này, đặc biệt là học sinh khá giỏi cần có cái nhìn thật đầy đủ về " Phơng
trình quy về phơng trình bậc hai". Sau khi nghiên cứu khá nhiều tài liệu tham
khảo viết về vấn đề này tôi thấy, các tác giả đã đa ra các bài toán rất đa dạng
và phong phú, tuy nhiên các dạng bài còn tản mạn, nằm trong nhiều tài liệu
khác nhau, do đó gây không ít khó khăn cho việc dạy của giáo viên và của
học sinh.
Trớc tình hình đó, sau khi nghiên cứu kỹ các tài liệu, tôi mạnh dạn đa
ra một hệ thống kiến thức nói về ''Phơng trình quy về phơng trình bậc hai'' với
một mong ớc là làm tài liệu ôn tập, nhàm tạo điều kiện thuận lợi hơn cho ngời
dạy và ngời học trong việc bồi dỡng học sinh khá giỏi.
''Một số phơng trình đa về phơng trình bậc hai'' là một hệ thống kiến
thức có đặc thù riêng, đợc tích hợp từ nhiều tài liệu khác nhau. Nói về cách
giải của một số loại phơng trình đa đợc về phơng trình bậc hai nh: Phơng trình
chứa ẩn ở mẫu; phơng trình bậc ba; phơng trình bậc bốn; phơng trình vô tỷ
Với mỗi loại phơng trình sau khi trình bày cách giải đều có kèm theo các ví
dụ minh hoạ, cuối mỗi dạng còn có các nhận xét và những lu ý nhằm giúp ng-
ời đọc dễ dàng tiếp cận với vấn đề cần nghiên cứu.
Tôi mong rằng thông qua các vấn đề mà tôi đã trình bày ở đề tài này

Nghiên cứu sách giáo khoa và chơng trình hiện hành ta thấy: SGK đại
số 9 đã đa ra cho học sinh một số loại phơng trình quy về phơng trình bậc hai
nh: phơng trình chứa ẩn ở mẫu, phơng trình vô tỷ, phơng trình trùng phơng, đa
vào ẩn mới song nhìn chung mức độ yêu cầu về loại này chỉ dừng lại ở mức
độ nhận dạng, chỉ phù hợp với học sinh đại trà, còn với các em học sinh ở các
2
lớp chuyên, lớp chọn nếu dừng lại ở yêu cầu trên thì cha đủ, vì vậy cũng cần
hệ thống, phân loại và giới thiệu với các em về mảng kiến thức ''Phơng trình
quy về phơng trình bậc hai''.
C. Đối tợng nghiên cứu
Nghiên cứu về các dạng phơng trình, các cách giải phơng trình nói
chung và phơng trình bậc hai nói riêng.
Nghiên cứu các phơng pháp dạy học toán ở trờng THCS.
Nghiên cứu nội dung sách giáo khoa đại số 9, các tài liệu tham khảo và
các chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi toán.
Nghiên cứu qua thực tế giảng dạy, qua học hỏi đồng nghiệp.
3
Phần II: Nội dung
A. Một số kiến thức và kỹ năng cần thiết khi học về giải ph-
ơng trình:
Khi học về giải phơng trình học sinh cần nắm đợc một số kiến thức và
kỹ năng sau:
+ Các quy tắc tính toán với các biểu thức đại số (các phép tính cộng,
trừ, nhân, chia )
+ Các hằng đẳng thức đáng nhớ
+ Kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử
+ Kiến thức về giá trị tuyệt đối của một số, một biểu thức đại số
+ Điều kiện để cho một biểu thức có nghĩa (biết tìm tập xác định của
phơng trình, tập xác định của một biểu thức
+ Kỹ năng biến đổi các biểu thức.

1
= x
2
=
a
b
2

+ Nếu

> 0: Phơng trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt
x
1,2
=
a
b
2

Khi b chẵn, hay b=2b
'
(b
'


) khi đó ta có:
4
'
=b
'2
- ac


0)
thì:
x
1
+ x
2
=
a
b
x
1
.x
2
=
a
c
Trờng hợp đặc biệt:
+ Nếu a+b+c = 0 thì phơng trình có nghiệm là: x
1
=1; x
2
=
a
c
+ Nếu a- b + c = 0 thì phơng trình có nghiệm là: x
1
=-1; x
2
=-

.x
2
>0
0>
a
c
x
1
+x
2
>0
0>

a
b
+ Phơng trình có hai nghiệm cùng âm khi:


0 hay b
2
- 4ac

0
x
1
.x
2
>0
0>
a


a
b
+ Phơng trình có hai nghiệm trái dấu nhng nghiệm số dơng có trị tuyệt
đối lớn hơn khi:
0<
a
c
0>

a
b
+ Phơng trình có hai nghiệm trái dấu nhng nghiệm số âm có trị tuyệt
đối lớn hơn khi:
0<
a
c
0<

a
b
* Nhờ định lý Viet, ta có thể tính đợc tổng (hoặc hiệu) các luỹ thừa bậc
n hai nghiệm của phơng trình: x
nn
x
21

(Với n
)Z
Ví dụ:

=+=+
x
2
4 4 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2
2
( ) 2( ) ( ) 2( )
b ac c
x x x x x
a a

+ = + =
II. Phơng trình quy về phơng trình bậc hai:
Trong chơng trình Toán ở trờng phổ thông ta thờng gặp một số dạng
phơng trình quy về phơng trình bậc hai sau:
A. Phơng trình chứa ẩn ở mẫu
Phơng trình chứa ẩn ở mẫu là những phơng trình có ẩn số nằm ở mẫu
thức của phơng trình.
a) Cách giải :
+ Tìm tập xác định của phơng trình
+ Quy đồng, khử mẫu
+ Biến đổi phơng trình, đa phơng trình về dạng ax
2
+bx+c=0
+ Giải phơng trình dạng ax
2
+bx+c=0
6
+ Nhận định kết quả và trả lời (loại bỏ những giá trị của ẩn vừa tìm đợc

ba
x
+
=
*
0
1
bax
0
1
abx
*
2
;x a
babx
2
Vậy với
; 0, 0a b a b
thì (1) có hai nghiệm phân biệt
Ví dụ 2: Giải phơng trình:
0
32
1
672
4
4
1
12832
4
2223


xxxxxxxx
TXĐ: x-2
0
2x
x+2
0


2
3
x
2x+3
0
Mẫu thức chung: (x-2)(x+2)(2x+3)
Khử mẫu ta có: 4 - (2x+3)- 4(x-2) +(x-2)(x+2)
0484324
2
=++ xxx
056
2
=+ xx
Giải phơng trình : x
2
-6x+5=0 ta đợc 2 nghiệm: x
1
=1, x
2
=5
7

(*)

(2x
3
+2) +(7x
2
+7x)=0

2(x
3
+1)+7x(x+1) =0

2(x+1)(x
2
-x+1)+7x(x+1)=0

(x+1)(2x
2
+5x+2) =0

x+1=0 (1)
2x
2
+5x+2 = 0 (2)
Phơng trình (1) cho nghiệm x=-1
Phơng trình (2) cho nghiệm x=-2 và x=-
2
1
Vậy phơng trình (*) có tập hợp nghiệm là: S = -
2

'
= b
* Nếu b < 0

(2) vô nghiệm
(1) có nghiệm duy nhất x =1
* Nếu b = 0

(2) có nghiệm kép: x = a
(1) có hai nghiệm: x =1; x = a
* Nếu b > 0

(2) có hai nghiệm phân biệt:
(1) Có ba nghiệm phân biệt: x=1; x= a+
b
; x= a-
b
;
c) Nhận xét:
Giải phơng trình bậc ba ở THCS ta chủ yếu dùng phép phân tích đa
thức thành nhân tử để đa phơng trình về dạng phơng trình tích. Khi đó, ta có
một hệ thống hai phơng trình bao gồm một phơng trình bậc nhất và một ph-
ơng trình bậc hai.
+ Ta cần chú ý tới hai tính chất của phơng trình bậc ba:
ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0
* Nếu a + b +c + d = 0 thì trong các nghiệm của phơng trình ban

0), ta sẽ tìm đợc nghiệm số của phơng
trình ban đầu.
9
b) Ví dụ:
Ví dụ 1:
Giải phơng trình: x
4
x
2
6 = 0 (1)
Giải:
Đặt x
2
=t

0 phơng trình (1) trở thành:
t
2
t 6 = 0
Giải phơng trình t
2
-t-6=0 ta đợc t
1
=-2;t
2
=3
+ Với t = - 2 (loại vì t < 0 )
+ Với t =3
3= x
Vậy phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là : S = -

phân biệt tơng đơng với:

'
>0 m
2
- m- 2 > 0
x
1
+x
2
> 0 hay m-1> 0
x
1
x
2
> 0 m-3 <0
(m+1)(m-2)>0 m-2>0
m>1

m>1 (do m>1)
m<3 m<3
m>2
10


m>1 do đó 2< m <3
m<3
Khi 2<m<3 thì phơng trình (2') có hai nghiệm dơng phân biệt, do vậy
phơng trình (2) có 4 nghiệm phân biệt (Là hai cặp số đối nhau và khác nhau).
b) Phơng trình (2) có 3 nghiệm khi phơng trình (2') có nghiệm x = 0 và

+) Hoặc phơng trình (2') có nghiệm kép dơng.
+) Hoặc phơng trình (2') có 2 nghiệm phân biệt nhng chỉ có một
nghiệm dơng, nghiệm còn lại là âm.
d) phơng trình (2) vô nghiệm khi:
+) Phơng trình (2') vô nghiệm.
+) Hoặc phơng trình (2') có hai nghiệm âm.
Phơng trình (2') vô nghệm khi

'
<0
hay m
2
- m - 2 < 0

(m+1)(m-2)<0
Lập bảng xét dấu của tích (m+1)(m-2)
Ta xét dấu của các nhị thức bậc nhất (m+1) và (m-2) nhờ vào tính đồng
biến, nghịch biến của đồ thị hàm số y=ax+b (a

0)
Ta thấy nghiệm của bất phơng trình (m+1)(m-2)< 0 là -1<m<2
Vậy phơng trình (2') vô nghiệm khi -1<m <2
Phơng trình (2') có hai nghiệm cùng âm khi
0
'

m
2
- m- 2
0

hoặc m
2
m<3
m<1
Kết hợp các điều kiện này ta đợc: m

-1
Vậy phơng trình (2') có hai nghiệm cùng âm khi m

-1
Tóm lại: Phơng trình (2) vô nghiệm khi -1 <m <2 hoặc m

-1.
c)Nhận xét:
Nghiên cứu về số nghiệm của phơng trình trùng phơng:
ax
4
+bx
2
+c=0 (a
0
) ta có nhận xét
+ Phơng trình vô nghiệm khi:
*) Hoặc phơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm: (

<0)
*) Hoặc phơng trình bậc hai có hai nghiệm cùng âm
sảy ra khi:

0

0>

a
b
Muốn vậy ta phải có: c = 0
12
0>

a
b
Khi đó nghiệm của phơng trình trùng phơng là: x=0; x=
a
b

+ Phơng trình có 4 nghiệm đơn (phân biệt) khi phơng trình bậc hai
trung gian có hai nghiệm dơng phân biệt. Khi đó nghiệm của phơng trình
trùng phơng là hai cặp số đối nhau, khác nhau.
+ Nếu phơng trình bậc hai trung gian có nghiệm kép t =0 (xảy ra khi b=
c = 0) thì phơng trình có nghiệm x= 0 (đây là 4 nghiệm trùng nhau).
+ Khi nói đến nghiệm số của phơng trình trùng phơng là số lẻ thì trong
đó phải có nghiệm số kép.
2- Phơng trình dạng: (x+a)
4
+ (x+b)
4
= c
Trong đó x là ẩn, a,b,c là các hệ số.
a) Cách giải:
Ta biến đổi t = x +
2





c
ba
t
ba
(Đây là phơng trình trùng phơng ẩn t; ta đã biết cách giải)
b) Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phơng trình:
( ) ( )
253
44
=+++ xx
(*)
Giải:
Đặt t =
4
2
53
+=
+
xt
Khi đó: x + 3 = t - 1
x + 5 = t + 1
Phơng trình (*) có dạng: (t-1)
4
+(t+1)
4

46
+=

x

x + 6 = t + 5
x 4 = t 5
Phơng trình (**) có dạng: (t+5)
4
+ (t-5)
4
= 82

2t
4
+ 300t
2
+ 1250 = 82

t
4
+ 150t
2
+ 584 = 0 (***)
Giải phơng trình (***)
Đặt t
2
= v
0
Thay vào phơng trình (***) ta có:

+(x+b)
4
=c
về một phơng trình trùng phơng (trung gian) có dạng tổng quát: t
4
+Bt
2
+ C = 0
Qua phép biến đổi t
2
= X (với x
0
) Ta đa đợc phơng trình về một phơng trình
bậc hai trung gian:
X
2
+ BX + C=0
Số nghiệm của phơng trình (x+a)
4
+(x+b)
4
= c phụ thuộc vào số nghiệm
của phơng trình bậc hai trung gian X
2
+BX + C = 0
*) Nếu phơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm hoặc chỉ có nghiệm âm thì
phơng trình trùng phơng t
4
+Bt +C = 0 vô nghiệm và do đó phơng trình đã cho
ban đầu vô nghiệm.

âm thì phơng trình đã cho ban đầu có hai nghiệm phân biệt.
+ Nếu phơng trình bậc trung gian có cả hai nghiệm dơng (phân biệt) thì
phơng trình đã cho ban đầu có 4 nghiệm phân biệt.
+ Nếu phơng trình bậc hai trung gian có một nghiệm dơng và một
nghiệm bằng 0 thì phơng trình đầu có 3 nghiệm
+ Nếu phơng trình bậc hai trung gian có một nghiệm kép dơng thì ph-
ơng trình đã cho ban đầu có hai nghiệm kép phân biệt.
3- Phơng trình dạng: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m.
Trong đó 4 hệ số a; b; c; d chia làm hai cặp, mỗi cặp 2 số có tổng bằng
nhau, chẳng hạn: a+d = b+c
a) Cách giải:
Nhóm (x+a) với (x+d); (x+b) với (x+c)
Các tích khai triển có dạng:
x
2
+(a+d)x+ad hoặc x
2
+(b+c)x+bc
Do a+d = b+c nên ta đặt x
2
+(a+d)x+k =t (k có thể là ad hoặc bc, hoặc tuỳ ý).
Khi đó, ta sẽ đa đợc phơng trình về dạng:
At
2
+Bt +C =0 ( Với A=1)
Giải phơng trình này ta tìm đợc nghiệm của t (khi phơng trình có
nghiệm). Giải tiếp phơng trình: x
2
+(a+d)x+ad=t ta sẽ có kết luận về nghiệm
của phơng trình ban đầu.

2
=- 4 (Vì a+b+c = 0)
+ Với t =1 Ta có x
2
+12x+32 =1 hay x
2
+12x+31=0
5
'
=

x
1
=-6 +
5
; x
2
=- 6-
5
;
+ Với t =- 4 Ta có x
2
+12x+32=-4 hay x
2
+12x+36 =0
0
'
=

Phơng trình có nghiệm kép x

1
=1; t
2
=-19
+) Với t =1 thay vào x
2
+5x-14 = t
Ta có x
2
+5x- 15 = 0
Ta có
2
5 60 85 85 = + = =
Vậy x
1
=
2
855 +
x
1
=
2
855
+) Với t=-19 Thay vào x
2
+5x-14=t
ta có x
2
+5x-14=-19


2
855
;
2
855
c) Nhận xét:
Với loại phơng trình có dạng trên, nếu khai triển vế trái đợc phơng trình
bậc 4 đầy đủ ta sẽ gặp khó khăn khi giải. Bằng việc nhóm hợp lý 2 đôi hệ số,
khai triển biến đổi trong mỗi nhóm ta sẽ đa đợc về phơng trình bậc hai trung
gian.
+ Nếu phơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm

phơng trình ban đầu
vô nghiệm.
+ Khi giải phơng trình bậc hai trung gian (ẩn t) sau khi giải tìm đợc giá
trị ta trả biến và giải phơng trình bậc hai theo ẩn x, thì nghiệm của phơng
trình này (nếu có) là nghiệm của phơng trình đầu.
4- Phơng trình dạng: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = mx
2

Với ad = bc
a) Cách giải:
Nhóm (x+a) với (x+d); (x+b) với (x+c); Do x = 0 không phải là nghiệm
của phơng trình; Ta chia cả hai vế của phơng trình cho x
2
. Đặt y =
ad
x
x
+

) = 4. Đặt y =
24
x
x
+
ta đợc phơng trình:
y
2
+ 25y +150 = 0 (1'). Phơng trình (1') có 2 nghiệm là y
1
= - 15; y
2
= -10
Giải các phơng trình:
24
x
x
+
= -15 và
24
x
x
+
= -10 ta đợc các nghiệm là:
x
1
=
15 129
2
+

a/ Dạng tổng quát: ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+dx+e = 0 (1)
Trong đó x là ẩn số, a; b; c; d; e là hệ số; a
0

và
2






=
d
b
a
e
với e

0
Khi
1=
a
e

(2)
Nhóm
0
2
2
++






++






+ c
x
d
bx
x
e
ax
Hay a
0
2
2

d
xt
bx
d
=++=
(do
a
e
b
d
=
2
2
)
Nên x
b
d
t
ax
e 2
2
2
2
=+
Ta có phơng trình: a
0
2
2
=++


Giải:
Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phơng trình (*) nên chia cả hai
vế cho x
2
ta đợc phơng trình tơng đơng:
2x
3
+3x-16+
0
23
2
=+
x
x
Suy ra
016
1
3
1
2
2
2
=






++

=+ tt
02032
2
=+ tt
18
Giải phơng trình:
02032
2
=+ tt
Ta đợc
4
4
133
1
=

=t
5,2
4
133
2
=
+
=t
+) Với t=- 4 ta có x+
4
1
=
x
(x

(x
0

)
015,2
2
=+ xx
Giải phơng trình
015,2
2
=+ xx
Ta đợc:
;
2
5,15,2
3

=x
;
2
5,15,2
4
+
=x
(Thoả mãn x
0

)
Vậy tập hợp nghiệm của phơng trình (*) là:
s

2
=+






+






+
x
x
x
x
074
5
21
25
2
2
2
=+



Phơng trình (****) trở thành:
07421)10(2
2
=+ tt
2
2 21 54 0t t + =
Giải phơng trình: 2t
2
-21t +54 = 0 ta đợc: t
1
=6; t
2
=4,5
+) Với t=6 ta có x+
6
5
=
x
(x
0

)
056
2
=+ xx
Giải phơng trình
056
2
=+ xx
ta có: x


)
Vậy phơng trình (***) có 4 nghiệm:
S=
{ }
5,2;2;5;1
d) Nhận xét:
+ Giải phơng trình dạng trên, bằng phép biến đổi tơng đơng và đổi biến
đa về phơng trình bậc hai trung gian. Giải rồi trả biến tìm nghiệm của phơng
trình đã cho ban đầu.
+ Về số nghiệm của phơng trình:
- Nếu phơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm

phơng trình đã cho ban
đầu vô nghiệm.
- Nếu phơng trình bậc hai trung gian có nghiệm t
1
,t
2
nhng các phơng trình
1
t
bx
d
x =+
;
2
t
bx
d

a/Cách giải:
- Tìm tập xác định của phơng trình bằng phép đổi biến f(x) =t
- Đa phơng trình về dạng: at
2
+ bt + c = 0 (2)
- Nếu phơng trình (2) có nghiệm t=t
0
, ta giải tiếp phơng trình f(x)=t
0
(*)
- Nghiệm của phơng trình (*) thoả mãn điều kiện)

là nghiệm của
phơng trình đã cho.
b) Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phơng trình: x
6
- 9x
3
+8=0 (1)
Giải: Đặt x
3
= y: (1) trở thành y
2
-9y+8=0 với nghiệm số y
1
=1 và y
2
=8. Từ đó
ta có hai phơng trình: x

+6x
3
+9x
2
-12x+3
VT = (x
2
+3x)
2
- 4(x
2
+3x)+3
Phơng trình (2) trở thành: (x
2
+3x)
2
-4(x
2
+3x)+3= 0
Đặt x
2
+3x=t
Thay vào (x
2
+3x)
2
- 4(x
2
+3x)+3=0
Ta có phơng trình bậc hai trung gian: t

3,4
=
2
213
Vậy tâp hợp nghiệm của phơng trình (2) là:
S =






++
2
213
;
2
213
;
2
133
;
2
133
(vì đều thoả mãn điều
kiện)
Ví dụ 3: Giải phơng trình:
36
13
2

.
1
1
.2
++

xx
Ta đợc phơng trình tơng đơng:
2
1
.
1
1
.2
36
13
2
1
.
1
1
.2
2
1
1
1
22
++
=
++





+

+ xxxx
0
36
13
)2)(1(
2
)2)(1(
1
2
=
++
+






++ xxxx
(3')
Đặt ẩn phụ:
t
xx
=

13
ta có
6
13
)2)(1(
1
=
++ xx
0323913
2
=++ xx
Phơng trình này vô nghiệm.
+) Với
6
1
=t
ta có
( )( )
6
1
21
1
=
++ xx
043
2
=+ xx
Giải phơng trình
043
2

;
a) Cách giải: Do x = 0 không phải là nghiệm của phơng trình (*) chia
cả hai vế của phơng trình (1) cho x
n
ta đợc phơng trình tơng đơng:
a
2n
x
n
+ a
2n-1
x
n-1
+ +
1
1
a
n
x

+
0
n
a
x
= 0 (**)
Rồi đặt X = x +
1
x
;

4
+ 3x
3
16x
2
+3x + 2 = 0 (1)
Giải: Do x = 0 không phải là nghiệm của phơng trình. Ta chia cả hai vế
của (1) cho x
2
ta đợc phơng trình tơng đơng:
2(x
2
+
2
1
x
) + 3(x +
1
x
) - 16 = 0 (1')
y = x +
1
x
ta đợc phơng trình: 2y
2
+ 3y 16 = 0 (1'')
Giải phơng trình (1'') ta đợc hai nghiệm là: y
1
= - 4; y
2

= 2 .
Vậy phơng trình (1) có 4 nghiệm là: x
1
= -2 +
3
; x
2
=-2 -
3
; x
3
=
1
2
; x
4
=2 .
Ví dụ 2: Giải phơng trình: 6x
4
+ 7x
3
36x
2
- 7x + 6 = 0 (2)
Giải: Do x = 0 không phải là nghiệm của phơng trình. Ta chia cả hai vế
của (2) cho x
2
ta đợc phơng trình tơng đơng:
6(x
2

3
và x -
1
x
=
3
2
ta đợc bốn nghiệm:
x
1
= -3 ; x
2
=
1
3
; x
3
= -
1
2
; x
4
= 2.
Vậy phơng trình (2) có 4 nghiệm là: x
1
= -3 ; x
2
=
1
3

;
Cách giải: Phơng trình luôn có nghiệm là : x = -1. Khi đó:
(***) (x+1). Q(x) = 0
( )
1 0
( ) 0
x
Q x

+ =

=


Trong đó Q(x) là phơng trình đối xứng bậc chẵn.
Ví dụ 3: Giải phơng trình: 2x
5
+ 5x
4
13x
3
13x
2
+5x + 2 = 0 (3)
Giải: Phơng trình (3) tơng đơng với phơng trình:
(x +1)( 2x
4
+ 3x
3
16x

1
= - 1; x
2
= -2 +
3
; x
3
= -2 -
3
; x
4
=
1
2
; x
5
= 2.
8- Vài phơng trình bậc cao khác:
a) Ví dụ
23
Ví dụ 1: Giải phơng trình:
x
5
+ 2x
4
5x
3
- 10x
2
+ 4x+ 8 = 0 (*)


x =1
x+2=0 x=-2
x
2
- 4 = 0 x=
2
Vậy phơng trình (*) có tập nghiệm là:
S = -1; 1; -2; 2
Ví dụ 2:
Giải phơng trình
x
4
+4x
3
+3x
2
+2x-1=0 (*)
Ta nhóm các số hạng lại thì đợc: (x
4
+4x
3
+4x
2
)-(x
2
-2x+1)=0

(x
2

133
Ví dụ 3:
Giải phơng trình: x
4
- 4x
3
-10x
2
+37x-14 = 0
Giải:
24
Giả sử phân tích vế trái của phơng trình thành (x
2
+px+q)(x
2
+rx+s)
Trong đó p, q, r, s là các hệ số nguyên cha xác định. Ta có:
x
4
- 4x
3
- 10x
2
+37x - 14 = (x
2
+px+q)(x
2
+rx+s)
Đồng nhất các hệ số của những số hạng cùng bậc ở hai vế của đồng
nhất thức ta có hệ phơng trình sau:

+ Biến đổi về dạng tích, vế phải bằng 0
+ Phân tích thành nhân tử đa phơng trình về hệ thống phơng trình bậc
nhất và bậc hai (đã biết cách giải)
+ Số nghiệm của phơng trình bậc nhất, bậc hai là nghiệm của phơng
trình ban đầu).
D- Phơng trình vô tỷ:
Dạng thờng gặp: *)
Mxfa =)(
*) af(x)+b
cxg =)(
(M là hằng số hoặc đa thức)
a) Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phơng trình:
x=
17 +x
(1)
Giải:
Điều kiện:
7

x
: (1)


x+1= 7x +
(1')
25